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微专题13　解三角形
高考定位　应用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算，既有选择、填空题，也有解答题，难度为中档或偏下.
【真题体验】
1.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　)
A. B.
C. D.
2.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.
3.(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
【热点突破】
热点一　利用正、余弦定理求边或角
1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径).
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B, c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
例1 (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.
规律方法　当题目条件中出现边和角的“混和体”时有两种方案：(1)全部统一为角，将“边的齐次式”中的边直接化为对应角的正弦；(2)全部统一为边，利用正、余弦定理将角转化为边，最后用因式分解等代数技巧化简即可.
训练1 (1)(2024·济南模拟)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C＝b，则A＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2024·绵阳诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＋＝，则＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
热点二　三角形的面积问题
三角形的面积公式
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
(1)S＝ah(h为BC边上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝(a＋b＋c)r(r为△ABC内切圆的半径)；
(4)S＝.
例2 (2024·阜阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asin Acos B＋bsin Acos A＝acos C.
(1)求角C的大小；
(2)若a＝3，且·＝1，求△ABC的面积.
规律方法　与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
训练2 (2024·湛江调研)如图，在△ABC中，点D在边AC上，且AB⊥BD.已知cos A＝2sin sin ，AB＝.
(1)求A；
(2)若△BCD的面积为，求BC.
热点三　解三角形的实际应用
解三角形实际问题的步骤
例3 (2024·临沂模拟)在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标C，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为(　　)
A.7公里 B.8公里
C.9公里 D.10公里
规律方法　解三角形应用问题的要点
(1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得到实际问题的解.
训练3 (2024·湖州、衢州、丽水模拟)某学生为测量某酒店的高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，如图，现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在点C处测得酒店顶端A的仰角∠ACB＝28°，则酒店的高度约为(参考数据：≈1.4，≈2.4，tan 28°≈0.53)(　　)
A.91米 B.101米
C.111米 D.121米
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·青岛模拟)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2asin B，bc＝4，则△ABC的面积为(　　)
A.1 B.
C.2 D.2
2.在△ABC中，已知C＝45°，b＝，c＝2，则角B为(　　)
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
3.(2024·北京海淀区调研)在△ABC中，sin B＝sin 2A，c＝2a，则(　　)
A.∠B为直角 B.∠B为钝角
C.∠C为直角 D.∠C为钝角
4.(2024·河南名校调研)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且b＝2a，2a2＋b2＝c2，则sin B＝(　　)
A. B.
C. D.
5.(2024·石家庄模拟)海伦公式是利用三角形的三条边的长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为S＝，它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海沦—秦九韶公式.现在有周长为10＋2的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为(　　)
A.8 B.4
C.6 D.12
6.(2024·昆明诊断)在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，则sin∠ADC的值为(　　)
A. B.
C. D.
7.(2024·广东名校联考)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达.现需测A，B两点间的距离，测量者在河对岸选定两点C，D，测得CD＝ km，同时在C，D两点分别测得∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为(　　)
A. km B. km
C. km D. km
二、多选题
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.下面四个结论正确的是(　　)
A.若a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4
B.若＝，则A＝
C.若a2＋b2D.若A9.(2024·武汉调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与△ABC有关的结论正确的是(　　)
A.若a＝2，A＝30°，则＝＝4
B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰直角三角形
C.若△ABC是锐角三角形，则cos AD.若2＋＋3＝0，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC∶S△ABC＝1∶6
三、填空题
10.(2024·泰安模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccos B＝2a－b，则C＝________.
11.(2024·合肥调研)如图是2024年4月30日17时46分神舟十七号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1 200 m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于点D，D和观测点A在同一水平线上，在A测得点B的仰角∠DAB＝30°，且sin∠BAC＝，则此时返回舱底端离地面的距离CD＝________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，计算过程中，球半径四舍五入保留整数)
12.(2024·无锡模拟)设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.若B＝C≠A，且a(b2＋c2－a2)＝b2c，则A＝________.
13.(2024·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos B＝，b＝5，＝.
(1)求a的值；
(2)求sin A的值；
(3)求cos(B－2A)的值.
14.(2024·北京卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为钝角，a＝7，sin 2B＝bcos B.
(1)求A；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积.
条件①：b＝7；
条件②：cos B＝；
条件③：csin A＝.
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析版】
1.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，
因为B＝，所以sin Asin C＝sin2B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，
所以a2＋c2＝ac，
所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，
所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，
又sin A>0，sin C>0，
所以sin A＋sin C＝.故选C.
2.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.
答案　2
解析　由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，
所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，
则b＝2.
3.(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
解　(1)由余弦定理得cos C＝＝，
又0∴cos B＝sin C＝，∴cos B＝.
又0(2)由(1)得A＝π－B－C＝，
由正弦定理＝，
得＝，∴a＝c.
∴△ABC的面积S＝acsin B
＝c2×＝3＋，
解得c＝2.
【热点突破】
热点一　利用正、余弦定理求边或角
1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径).
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B, c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
例1 (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.
解　(1)由sin A＋cos A＝2，
得sin A＋cos A＝1，
所以sin＝1.
因为0所以A＋＝，故A＝.
(2)由bsin C＝csin 2B，
得bsin C＝2csin Bcos B，
由正弦定理，得bc＝2cbcos B，
所以cos B＝，
因为0C＝π－(A＋B)＝，
所以sin C＝sin＝sin＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.
由正弦定理得b＝＝＝2，
c＝＝＝＋，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋＋3.
规律方法　当题目条件中出现边和角的“混和体”时有两种方案：(1)全部统一为角，将“边的齐次式”中的边直接化为对应角的正弦；(2)全部统一为边，利用正、余弦定理将角转化为边，最后用因式分解等代数技巧化简即可.
训练1 (1)(2024·济南模拟)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C＝b，则A＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2024·绵阳诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＋＝，则＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)由acos C＋asin C＝b以及正弦定理可得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B，
因sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
代入整理得sin Asin C－cos Asin C＝0，
因为00，
则得tan A＝，
又因为0(2)因为＋＝，
所以＋＝，
由正弦定理得＋＝，
由余弦定理的推论得
＋＝，
整理得a2＋b2＝3c2，
即＝3.故选C.
热点二　三角形的面积问题
三角形的面积公式
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
(1)S＝ah(h为BC边上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝(a＋b＋c)r(r为△ABC内切圆的半径)；
(4)S＝.
例2 (2024·阜阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asin Acos B＋bsin Acos A＝acos C.
(1)求角C的大小；
(2)若a＝3，且·＝1，求△ABC的面积.
解　(1)法一　因为asin Acos B＋bsin Acos A＝acos C，
所以根据正弦定理得
sin Asin Acos B＋sin Asin Bcos A＝sin Acos C，
因为sin A≠0，
所以sin Acos B＋sin Bcos A＝cos C，
即sin(A＋B)＝cos C，即sin C＝cos C.
因为cos C≠0，所以tan C＝.
因为0法二　由三角形内的射影定理知
acos B＋bcos A＝c，
所以asin Acos B＋bsin Acos A＝(acos B＋bcos A)sin A＝csin A＝acos C，
又由正弦定理得sin Csin A＝sin Acos C，
因为sin A≠0，所以sin C＝cos C，
因为cos C≠0，所以tan C＝，
因为0(2)·＝bccos A＝1.
因为a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以b2＋c2＝9＋2bccos A＝11.①
因为c2＝a2＋b2－2abcos C，
所以b2－c2＝2abcos C－a2
＝2×3×b×cos －32＝3b－9.②
联立①②可得2b2－3b－2＝0，
解得b＝2(负根舍去)，
故△ABC的面积为absin C＝×3×2×＝.
规律方法　与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
训练2 (2024·湛江调研)如图，在△ABC中，点D在边AC上，且AB⊥BD.已知cos A＝2sin sin ，AB＝.
(1)求A；
(2)若△BCD的面积为，求BC.
解　(1)因为cos A＝2sin sin
＝2sin sin ＝2sin cos ＝sin A，
可得tan A＝＝1，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)作BE⊥AC，垂足为E，
在△ABD中，由A＝，
AB⊥BD，知△ABD为等腰直角三角形，
因为AB＝，所以BD＝，AD＝2，BE＝1，
由△BCD的面积为BE·CD＝，
解得CD＝1，
可得AC＝AD＋CD＝3，
所以BC＝＝.
热点三　解三角形的实际应用
解三角形实际问题的步骤
例3 (2024·临沂模拟)在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标C，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为(　　)
A.7公里 B.8公里
C.9公里 D.10公里
答案　D
解析　依题意，设炮弹第一次命中点为C，则AB＝14，AC＝BC＝AM＝18，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝，
在△ABC中BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos θ，
即182＝142＋182－2×14×18cos θ，
解得cos θ＝，
所以cos θ＝2cos2－1＝，
又θ为锐角，解得cos ＝(负值舍去)，
在△ABM中BM2＝AM2＋AB2－2AM·ABcos ＝182＋142－2×18×14×＝100，
所以BM＝10，
即B炮台与弹着点M的距离为10公里.
规律方法　解三角形应用问题的要点
(1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得到实际问题的解.
训练3 (2024·湖州、衢州、丽水模拟)某学生为测量某酒店的高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，如图，现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在点C处测得酒店顶端A的仰角∠ACB＝28°，则酒店的高度约为(参考数据：≈1.4，≈2.4，tan 28°≈0.53)(　　)
A.91米 B.101米
C.111米 D.121米
答案　B
解析　由题知∠CBD＝30°，
在△BCD中，＝，
因为sin∠BDC＝sin 105°＝sin(60°＋45°)
＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝，
所以BC＝＝＝50(＋)，
所以，在△ABC中，AB＝BCtan ∠ACB＝50(＋)×tan 28°≈101(米).
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·青岛模拟)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2asin B，bc＝4，则△ABC的面积为(　　)
A.1 B.
C.2 D.2
答案　A
解析　根据正弦定理得sin B＝2sin Asin B，
因为B∈(0，π)，则sin B≠0，
所以1＝2sin A，解得sin A＝，
所以S△ABC＝bcsin A＝×4×＝1.
2.在△ABC中，已知C＝45°，b＝，c＝2，则角B为(　　)
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
答案　A
解析　在△ABC中，由正弦定理可得sin B＝＝＝，又因为c>b，可得C>B，即0°3.(2024·北京海淀区调研)在△ABC中，sin B＝sin 2A，c＝2a，则(　　)
A.∠B为直角 B.∠B为钝角
C.∠C为直角 D.∠C为钝角
答案　C
解析　由sin B＝sin 2A＝2sin Acos A，得b＝2acos A，cos A＝，又c＝2a，所以cos A＝＝＝，化简得b＝a，因为c2＝4a2＝a2＋b2，所以△ABC是直角三角形，且C是直角.故选C.
4.(2024·河南名校调研)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且b＝2a，2a2＋b2＝c2，则sin B＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由b＝2a，2a2＋b2＝c2，得2a2＋b2＝6a2＝c2，
所以cos B＝＝＝，
又B∈(0，π)，所以sin B＝＝.
5.(2024·石家庄模拟)海伦公式是利用三角形的三条边的长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为S＝，它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海沦—秦九韶公式.现在有周长为10＋2的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为(　　)
A.8 B.4
C.6 D.12
答案　C
解析　∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，
∴a∶b∶c＝2∶3∶，
∵△ABC的周长为10＋2，
即a＋b＋c＝10＋2，
∴a＝4，b＝6，c＝2，
∴p＝＝5＋，
∴S△ABC＝＝6.
6.(2024·昆明诊断)在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，则sin∠ADC的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　如图，在△ ABD中，
由正弦定理得＝，
即＝，
故sin ∠BAD＝ .
又BD故∠BAD只能是锐角，从而cos∠BAD＝.
所以sin∠ADC＝sin(∠BAD＋∠ABD)
＝sin(∠BAD＋45°)＝×＋×＝，故选C.
7.(2024·广东名校联考)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达.现需测A，B两点间的距离，测量者在河对岸选定两点C，D，测得CD＝ km，同时在C，D两点分别测得∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为(　　)
A. km B. km
C. km D. km
答案　D
解析　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴△ADC是等边三角形，
∴AD＝CD＝AC＝ km.
在△BCD中，∠BDC＝30°，∠CBD＝180°－60°－30°－45°＝45°，
由正弦定理得＝，
即＝，BC＝＝ km，
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°＝＋－2×××＝，∴AB＝ km，
即A，B两点间的距离为 km.
二、多选题
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.下面四个结论正确的是(　　)
A.若a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4
B.若＝，则A＝
C.若a2＋b2D.若A答案　BC
解析　由正弦定理知＝4＝2R，所以外接圆半径是2，故A错误；
由正弦定理及＝，
可得＝＝1，即tan A＝1，
由0因为cos C＝<0，所以C为钝角，
△ABC一定是钝角三角形，故C正确；
若A＝，B＝，显然cos A>cos B，故D错误.
9.(2024·武汉调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与△ABC有关的结论正确的是(　　)
A.若a＝2，A＝30°，则＝＝4
B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰直角三角形
C.若△ABC是锐角三角形，则cos AD.若2＋＋3＝0，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC∶S△ABC＝1∶6
答案　ACD
解析　对于A，设△ABC外接圆的半径为R，
因为a＝2，A＝30°，
所以2R＝＝＝4，
所以＝＝2R＝4，
＝＝2R＝4，
所以A正确.
对于B，因为acos A＝bcos B，
所以由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
因为A，B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确.
对于C，由△ABC是锐角三角形得A＋B>，即A>－B，
因为y＝cos x在上单调递减，
所以cos A所以C正确.
对于D，如图所示，设AC的中点为M，BC的中点为D，
因为2＋＋3＝0，
即2(＋)＋(＋)＝0，
则2×2＋2＝0，即2＝－，
所以点O是MD上靠近M的三等分点，
所以点O到AC的距离等于D到AC的距离的，
又由B到AC的距离为D到AC的距离的2倍，
所以O到AC的距离等于B到AC的距离的.
由三角形的面积公式，可得S△ABC＝6S△AOC，
即S△AOC∶S△ABC＝1∶6，
所以D正确.
三、填空题
10.(2024·泰安模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccos B＝2a－b，则C＝________.
答案　
解析　根据题意，在△ABC中，2ccos B＝2a－b，
则2sin Ccos B＝2sin A－sin B，
变形可得2sin Ccos B＝2sin(B＋C)－sin B，
则有2sin Bcos C＝sin B，
因为sin B>0，所以cos C＝，
因为C∈(0，π)，则C＝.
11.(2024·合肥调研)如图是2024年4月30日17时46分神舟十七号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1 200 m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于点D，D和观测点A在同一水平线上，在A测得点B的仰角∠DAB＝30°，且sin∠BAC＝，则此时返回舱底端离地面的距离CD＝________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，计算过程中，球半径四舍五入保留整数)
答案　20 m
解析　设半球的半径为r m，
则2πr2＝1 200，∴r≈14，
∴BC＝5r＝70 m.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
则AB＝＝70××＝180(m)，
又∵∠DAB＝30°，∴BD＝90 m，
则CD＝BD－BC＝20 m.
12.(2024·无锡模拟)设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.若B＝C≠A，且a(b2＋c2－a2)＝b2c，则A＝________.
答案　
解析　因为b2＋c2－a2＝2bccos A，
所以2abccos A＝b2c，即2acos A＝b，
即2sin Acos A＝sin B，所以sin 2A＝sin B，
所以2A＝B或2A＋B＝π.
因为B＝C，所以A＋B＋C＝A＋2B＝π.
若2A＝B，则A＝，B＝C＝；
若2A＋B＝π，则A＝B＝C＝，与B＝C≠A矛盾.综上，A＝.
四、解答题
13.(2024·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos B＝，b＝5，＝.
(1)求a的值；
(2)求sin A的值；
(3)求cos(B－2A)的值.
解　(1)由＝得a＝c，
由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accos B，
即c2＋c2－25＝2·c·c·，
得c2－25＝c2，得c＝6，
故a＝c＝4.
(2)因为cos B＝，
所以sin B＝＝，
由正弦定理得＝，
即＝，得sin A＝.
(3)因为a0，
由sin A＝，得cos A＝，
则cos 2A＝2cos2A－1＝，
sin 2A＝2sin Acos A＝，
故cos(B－2A)＝cos Bcos 2A＋sin Bsin 2A
＝×＋×＝.
14.(2024·北京卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为钝角，a＝7，sin 2B＝bcos B.
(1)求A；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积.
条件①：b＝7；
条件②：cos B＝；
条件③：csin A＝.
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
解　(1)由题意知，2sin B·cos B＝bcos B.
又A为钝角，所以B为锐角，
故cos B≠0，所以2sin B＝b，从而＝，
又＝＝＝，
所以sin A＝.
又A为钝角，所以A＝.
(2)若选①，结合 (1)得2sin B＝×7，
所以sin B＝，B＝，A＋B＝π，
则△ABC不存在，所以条件①不符合要求，
故不选择条件①.
若选②，由题知sin B＝＝，
又＝，即＝，
所以b＝3.
又C＝π－(A＋B)，
所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×－×＝.
所以S△ABC＝absin C＝×7×3×＝.
若选③，由题知c·＝，所以c＝5.
由a2＝b2＋c2－2bccos A得，
49＝b2＋25＋5b，
即(b＋8)(b－3)＝0，
解得b＝3(负值舍去).
所以S△ABC＝bcsin A＝×3×5×＝.(共57张PPT)
板块二 三角函数与平面向量
微专题13　解三角形
高考定位
应用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算，既有选择、填空题，也有解答题，难度为中档或偏下.
【 真题体验 】
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精准强化练
热点一　利用正、余弦定理求边或角
热点二　三角形的面积问题
热点三　解三角形的实际应用
热点突破
热点一　利用正、余弦定理求边或角
例1
当题目条件中出现边和角的“混和体”时有两种方案：(1)全部统一为角，将“边的齐次式”中的边直接化为对应角的正弦；(2)全部统一为边，利用正、余弦定理将角转化为边，最后用因式分解等代数技巧化简即可.
规律方法
训练1
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热点二　三角形的面积问题
例2
与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
规律方法
训练2
热点三　解三角形的实际应用
解三角形实际问题的步骤
例3
√
解三角形应用问题的要点
(1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得到实际问题的解.
规律方法
训练3
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【精准强化练】
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3.(2024·北京海淀区调研)在△ABC中，sin B＝sin 2A，c＝2a，则
A.∠B为直角 B.∠B为钝角
C.∠C为直角 D.∠C为钝角
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10.(2024·泰安模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
2ccos B＝2a－b，则C＝________.
根据题意，在△ABC中，2ccos B＝2a－b，
则2sin Ccos B＝2sin A－sin B，
变形可得2sin Ccos B＝2sin(B＋C)－sin B，
则有2sin Bcos C＝sin B，
20 m
12.(2024·无锡模拟)设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.若B＝C≠A，
且a(b2＋c2－a2)＝b2c，则A＝________.
因为b2＋c2－a2＝2bccos A，
所以2abccos A＝b2c，即2acos A＝b，
即2sin Acos A＝sin B，所以sin 2A＝sin B，
所以2A＝B或2A＋B＝π.
因为B＝C，所以A＋B＋C＝A＋2B＝π.
(3)求cos(B－2A)的值.

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