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　数列中的放缩问题
【知识拓展】
1.数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式结合试题将稳定在中等偏难的程度，其核心技能是放缩技巧的应用.
2.通项放缩常见结论
(1)>＝－；
(2)<＝－(n≥2)；
(3)<＝(n≥2)；
(4)＝<＝2；
(5)Tr＋1＝C·＝·<<＝－(r≥2)；
(6)<1＋1＋＋＋…＋<3；
(7)＝<＝2(－＋)(n≥2)；
(8)＝>＝2(－＋)；
(9)＝<＝
＝(－＋)；
(10)＝<
＝＝－(n≥2)；
(11)＝<
＝·
＝·
＝·<2(n≥2)；
(12)＝<
＝＝＝－(n≥2)；
(13)＝<＝＝－；
(14)<＝－(n≥2).
【类型突破】
类型一　先求和再放缩证明不等式
对于数列和的不等式，若和易求，一般先求和，再放缩证明.
例1 (2024·沈阳模拟)已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝＋，证明b1＋b2＋…＋bn<.
训练1 (2024·鹰潭模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，已知是首项为、公差为的等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn＝，Tn为数列{bn}的前n项积，证明：Tn≤6n－1.
类型二　先放缩通项再求和证明不等式
若数列和的不等式不易求和，一般先适当放缩通项，然后累加求和.
例2 (2024·丽水调研)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝，求T99；
(3)证明：＋＋＋…＋>9.
训练2 已知数列{an}满足a1＝4，当n≥2时，an－4an－1＝－.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列bn＝nan－1，证明：＋＋…＋<.
类型三　通项放缩与求值
(1)通项放缩确定新数列；
(2)先放缩再求和式子的应用.
例3 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且an，Sn，a为等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若m为正整数，记集合的元素个数为bm，求数列{bn}的前50项和T50.
训练3 (2024·合肥质检)已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝3，T＝a.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求[S2 024]([x]表示不超过x的最大整数).
【精准强化练】
1.记Tn为正项数列{an}的前n项积，且a1＝1，a2＝2，TnTn＋2＝2T.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<.
2.(2024·重庆诊断)已知数列{an}满足a1＝1，a2n＋1＝a2n＋1，a2n＝2a2n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝＋＋…＋，求证：T2n<3.
【解析版】
1.数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式结合试题将稳定在中等偏难的程度，其核心技能是放缩技巧的应用.
2.通项放缩常见结论
(1)>＝－；
(2)<＝－(n≥2)；
(3)<＝(n≥2)；
(4)＝<＝2；
(5)Tr＋1＝C·＝·<<＝－(r≥2)；
(6)<1＋1＋＋＋…＋<3；
(7)＝<＝2(－＋)(n≥2)；
(8)＝>＝2(－＋)；
(9)＝<＝
＝(－＋)；
(10)＝<
＝＝－(n≥2)；
(11)＝<
＝·
＝·
＝·<2(n≥2)；
(12)＝<
＝＝＝－(n≥2)；
(13)＝<＝＝－；
(14)<＝－(n≥2).
【类型突破】
类型一　先求和再放缩证明不等式
对于数列和的不等式，若和易求，一般先求和，再放缩证明.
例1 (2024·沈阳模拟)已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝＋，证明b1＋b2＋…＋bn<.
(1)解　由题意可知，当n＝1时，a1＝2；
当n≥2时，由a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2得，
a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)·2n＋2，
两式作差可得，nan＝(n－1)·2n＋1－(n－2)·2n＝n·2n，∴an＝2n，
a1＝2也适合该式，故an＝2n.
(2)证明　由题意知bn＝＋＝＋，
故b1＋b2＋…＋bn＝＋
＝1－＋－×＝－，
由于n∈N*，则＋>0，
故－<，
即b1＋b2＋…＋bn<.
规律方法　此类不等式一般另一端为常数，求和以后常利用去项放缩或利用函数的单调性放缩.
训练1 (2024·鹰潭模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，已知是首项为、公差为的等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn＝，Tn为数列{bn}的前n项积，证明：Tn≤6n－1.
(1)解　因为是首项为、公差为的等差数列，
故＝＋(n－1)＝＋，
即Sn＝n(n＋1)＝，
当n≥2时，Sn－1＝，
故Sn－Sn－1＝an＝－
＝＝n2，
当n＝1时，a1＝S1＝＝1，符合上式，
故an＝n2.
(2)证明　由an＝n2，Sn＝，
故bn＝＝＝，
则Tn＝b1b2…bn＝··
·…·＝，
因为(2n＋1)(n＋1)≥3×2＝6，
故Tn≤＝6n－1.
类型二　先放缩通项再求和证明不等式
若数列和的不等式不易求和，一般先适当放缩通项，然后累加求和.
例2 (2024·丽水调研)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝，求T99；
(3)证明：＋＋＋…＋>9.
(1)解　因为2Sn＝n2＋n，①
当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)2＋n－1，②
所以①－②得到2an＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，即an＝n，
又a1＝1，满足an＝n，所以an＝n.
(2)解　因为bn＝＝＝－，
所以T99＝b1＋b2＋…＋b99＝－1＋－＋…＋－＝－1＝9.
(3)证明　因为＝>＝－，
所以＋＋…＋＝＋＋…＋>－1＋－＋…＋－＝－1＝9，
即＋＋＋…＋>9.
规律方法　此类题型关键是如何放缩数列的通项，需要熟悉常见的放缩技巧及结论.
训练2 已知数列{an}满足a1＝4，当n≥2时，an－4an－1＝－.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列bn＝nan－1，证明：＋＋…＋<.
(1)解　当n≥2时，an－4an－1＝－，
两边同除4n后得－＝－，
所以
上述等式累加得－1＝－1＋，
即＝，所以an＝.
又n＝1时，a1＝4满足an＝，
故an＝(n∈N*).
(2)证明　由bn＝nan－1＝4n－1，
所以bn＝4·4n－1－1＝3·4n－1＋4n－1－1≥3·4n－1，
所以≤，
当n＝1时，＝<，
当n≥2时，＋＋…＋<
＝·＝<.
综上，对任意的n∈N*，＋＋…＋<.
类型三　通项放缩与求值
(1)通项放缩确定新数列；
(2)先放缩再求和式子的应用.
例3 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且an，Sn，a为等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若m为正整数，记集合的元素个数为bm，求数列{bn}的前50项和T50.
解　(1)由已知得2Sn＝an＋a，
当n＝1时，有a1＝1，
当n≥2时，有2Sn－1＝an－1＋a，
∴2an＝a－a＋an－an－1，
(an－an－1)(an＋an－1)＝an＋an－1，
an＋an－1>0，
∴an－an－1＝1，
∴数列{an}为等差数列，∴an＝n.
(2)由＋≤m，得m－≤an≤m＋，显然b1＝0，b2＝1.
当m≥3时，m－≤1 (m－1)2，
易证2m－1∴1≤an≤2m－1，bm＝2m－1，
从而{bn}的前50项和
T50＝0＋1＋(5＋7＋…＋99)＝1＋＝2 497.
规律方法　1.通项放缩确定新数列注意解相关不等式；
2.先放缩再求和式子的应用，应注意考虑所得式子的性质.
训练3 (2024·合肥质检)已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝3，T＝a.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求[S2 024]([x]表示不超过x的最大整数).
解　(1)当n≥2时，T＝a，T＝a，
相除得a＝，
a＝a，
a＝a，n≥2，
∴数列{ a}是常数列，a1＝3，
∴a＝3，an＝3n.
(2)bn＝＝1－>1－，
∴Sn＝＋＋…＋
＝n－而Sn>n－
＝n－＝n－1＋>n－1，
∴2 023【精准强化练】
1.记Tn为正项数列{an}的前n项积，且a1＝1，a2＝2，TnTn＋2＝2T.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<.
(1)解　由TnTn＋2＝2T可得，＝，即an＋2＝2an＋1，
又因为a2＝2a1，
所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an＝a1·2n－1＝2n－1.
(2)证明　＝＝，
所以＋＋…＋＝2＝2×
＝<.
2.(2024·重庆诊断)已知数列{an}满足a1＝1，a2n＋1＝a2n＋1，a2n＝2a2n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝＋＋…＋，求证：T2n<3.
(1)解　将a2n＝2a2n－1代入a2n＋1＝a2n＋1中，得a2n＋1＝2a2n－1＋1.
下面构造等比数列：
令a2n＋1－k＝2(a2n－1－k)，
得a2n＋1＝2a2n－1－k，则－k＝1，则k＝－1，
∴a2n＋1＋1＝2(a2n－1＋1)，
故数列{a2n－1＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴a2n－1＋1＝2·2n－1，∴a2n－1＝2n－1，
a2n＝2·a2n－1＝2(2n－1)＝2n＋1－2，
故an＝
(2)证明　由(1)知a2n－1＝2n－1，a2n＝2n＋1－2，
∴＝，＝.
又2n－1≥2n－1，∴≤，2n＋1－2≥2n，
∴≤，
故≤，≤，
则T2n＝＋＋…＋＋<
＋
＝＋
＝2＋＝3－3<3，
故T2n<3.(共35张PPT)
板块三 数列
提优点8　数列中的放缩问题
知识拓展
精准强化练
类型一　先求和再放缩证明不等式
类型二　先放缩通项再求和证明不等式
类型三　通项放缩与求值
类型突破
类型一　先求和再放缩证明不等式
对于数列和的不等式，若和易求，一般先求和，再放缩证明.
(2024·沈阳模拟)已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2.
(1)求{an}的通项公式；
由题意可知，当n＝1时，a1＝2；
当n≥2时，由a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2得，
a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)·2n＋2，
两式作差可得，nan＝(n－1)·2n＋1－(n－2)·2n＝n·2n，∴an＝2n，
a1＝2也适合该式，故an＝2n.
例1
此类不等式一般另一端为常数，求和以后常利用去项放缩或利用函数的单调性放缩.
规律方法
训练1
类型二　先放缩通项再求和证明不等式
若数列和的不等式不易求和，一般先适当放缩通项，然后累加求和.
(2024·丽水调研)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
因为2Sn＝n2＋n，①
当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)2＋n－1，②
所以①－②得到2an＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，即an＝n，
又a1＝1，满足an＝n，所以an＝n.
例2
此类题型关键是如何放缩数列的通项，需要熟悉常见的放缩技巧及结论.
规律方法
训练2
类型三　通项放缩与求值
(1)通项放缩确定新数列；
(2)先放缩再求和式子的应用.
例3
1.通项放缩确定新数列注意解相关不等式；
2.先放缩再求和式子的应用，应注意考虑所得式子的性质.
规律方法
训练3
【精准强化练】
2.(2024·重庆诊断)已知数列{an}满足a1＝1，a2n＋1＝a2n＋1，a2n＝2a2n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
将a2n＝2a2n－1代入a2n＋1＝a2n＋1中，得a2n＋1＝2a2n－1＋1.
下面构造等比数列：
令a2n＋1－k＝2(a2n－1－k)，
得a2n＋1＝2a2n－1－k，则－k＝1，则k＝－1，
∴a2n＋1＋1＝2(a2n－1＋1)，
故数列{a2n－1＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，

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