资源简介

　截面或交线问题
【知识拓展】
1.空间几何体截面的主要原理为两个基本事实及两个性质.
(1)两个基本事实
①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线；
②如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
(2)两个性质
①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；
②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.
2.立体几何中的截面类型
(1)平面截球：圆面.
(2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形.
(3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形.
(4)平面截圆锥曲面：椭圆、双曲线(单支)、抛物线.
【类型突破】
类型一　截面问题
考向1　多面体中的截面问题
例1 (多选)在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为(　　)
A.等腰梯形 B.非矩形的平行四边形
C.正五边形 D.正六边形
考向2　球的截面问题
例2 已知三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝BC＝，AC＝2，点E，F分别是线段AB，BC的中点，直线AF，CE相交于点G，则过点G的平面α截三棱锥S－ABC的外接球球O所得截面面积的取值范围是________.
训练1 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面α满足AC∥α，BC1∥α，若直线AC到平面α的距离与BC1到平面α的距离相等，平面α与此正方体的各个面都相交，则交线围成的图形为(　　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
类型二　交线问题
考向1　多面体中的交线问题
例3 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，设过P，Q，R的截面与平面AD1以及平面AB1的交线分别为l，m，则l，m所成的角为(　　)
A.90° B.30°
C.45° D.60°
考向2　与球有关的交线问题
例4 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝4，以CC1的中点M为球心，4为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为(　　)
A.2π B.3π
C.4π D.8π
训练2 已知正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，2为半径的球面与此正三棱台的表面的交线长为________.
【精准强化练】
一、单选题
1.过一个圆锥的侧面一点(不是母线的端点)作圆锥的截面，则截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分中的(　　)
A.①②③④ B.①③④
C.①② D.①②④
2.已知过BD1的平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1分别交于点M，N，则下列关于截面BMD1N的说法中，不正确的是(　　)
A.截面BMD1N可能是矩形 B.截面BMD1N可能是菱形
C.截面BMD1N可能是梯形 D.截面BMD1N不可能是正方形
3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为(　　)
A. B.
C.9 D.18
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(　　)
A.等腰梯形 B.三角形
C.正方形 D.矩形
5.(2024·南京质检)已知三棱锥P－ABC的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为，若该三棱锥的外接球O的半径为，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为(　　)
A.6π B.12π
C.2π D.4π
二、多选题
6.如图，一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆柱底面圆半径为r，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ，则下列对椭圆E的描述中正确的是(　　)
A.短轴长为2r，且与θ大小无关
B.离心率为cos θ，且与r大小无关
C.焦距为2rtan θ
D.面积为
7.(2024·茂名模拟)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，则(　　)
A.直线EF与BC1所成的角为60°
B.过空间中一点有且仅有两条直线与A1B1，A1D1所成的角都是60°
C.过A1，E，F三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为3＋2
D.过直线EF的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形
三、填空题
8.在圆台O1O2中，四边形ABCD是其轴截面，AD＝DC＝BC＝AB，过O1C与轴截面ABCD垂直的平面交下底面于EF，若点A到平面CEF的距离是，则圆台的体积等于________.
9.已知三棱锥P－ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于________.
10.(2024·武汉质检)在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，M为底面三角形斜边BC上一点，且·＝0，AC＝AA1＝1，P为线段BC1上一动点，则平面AMP截三棱柱所得截面面积的最大值为________.
【解析版】
1.空间几何体截面的主要原理为两个基本事实及两个性质.
(1)两个基本事实
①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线；
②如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
(2)两个性质
①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；
②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.
2.立体几何中的截面类型
(1)平面截球：圆面.
(2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形.
(3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形.
(4)平面截圆锥曲面：椭圆、双曲线(单支)、抛物线.
【类型突破】
类型一　截面问题
考向1　多面体中的截面问题
例1 (多选)在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为(　　)
A.等腰梯形 B.非矩形的平行四边形
C.正五边形 D.正六边形
答案　ABD
解析　画出截面图形如图1，C，D分别是所在棱的中点，
四边形ABCD为等腰梯形，故A正确；
　　
图1　　　　　　　　 图2
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图2所示)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于点E，F，G，H，根据平面平行的性质定理可得四边形EFGH中，EF∥HG，且EH∥FG，故四边形EFGH是平行四边形，但不一定是矩形，故B正确；
　　
图3　　　　　　　　 图4
经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形(如图3所示)，但此时不可能是正五边形，故C错误；
六边形的顶点为正方体各棱的中点，六边形为正六边形(如图4所示)，故D正确.
考向2　球的截面问题
例2 已知三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝BC＝，AC＝2，点E，F分别是线段AB，BC的中点，直线AF，CE相交于点G，则过点G的平面α截三棱锥S－ABC的外接球球O所得截面面积的取值范围是________.
答案　
解析　因为AB2＋BC2＝AC2，故AB⊥BC，
又因为SA⊥平面ABC，
故三棱锥S－ABC的外接球球O的半径
R＝＝，
取AC的中点D，连接BD，BD必过点G，如图所示，
因为AB＝BC＝，故DG＝BD＝，
因为OD＝，故OG2＝＋＝，
则过点G的平面截球O所得截面圆的最小半径的平方r2＝－＝；
过点G的平面截球O所得截面圆的最大半径为球半径R＝，
故截面面积的最小值为，最大值为，
故截面面积的取值范围是.
规律方法　作几何体截面的方法
(1)利用平行直线找截面；
(2)利用相交直线找截面.
训练1 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面α满足AC∥α，BC1∥α，若直线AC到平面α的距离与BC1到平面α的距离相等，平面α与此正方体的各个面都相交，则交线围成的图形为(　　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
答案　D
解析　如图，设E，F，G，H，M，N分别为AB，BC，CC1，C1D1，A1D1，AA1的中点，
连接EF，FG，GH，HM，MN，NE，A1B，CD1，AD1，A1C1，
∵FG∥BC1，MN∥AD1，FG＝BC1，
MN＝AD1，BC1∥AD1，BC1＝AD1，
∴FG∥MN，FG＝MN，
同理可得EF∥MH，EF＝MH，GH∥NE，GH＝NE，
∴E，F，G，H，M，N共面，
∵AC∥EF，AC 平面EFGHMN，EF 平面EFGHMN，
∴AC∥平面EFGHMN，
同理可得BC1∥平面EFGHMN，
∵E为AB的中点，
∴点A到平面EFGHMN的距离与点B到平面EFGHMN的距离相等，
即平面EFGHMN为所求的平面α，故与正方体的交线为正六边形EFGHMN.
类型二　交线问题
考向1　多面体中的交线问题
例3 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，设过P，Q，R的截面与平面AD1以及平面AB1的交线分别为l，m，则l，m所成的角为(　　)
A.90° B.30°
C.45° D.60°
答案　D
解析　因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，取C1D1，DD1，BB1的中点分别为G，F，E，连接FG，FQ，QP，PE，ER，RG，根据正方体的特征，易知，若连接PG，EF，RQ，则这三条线必相交于正方体的中心，
又GR∥EF∥QP，所以P，Q，F，G，R，E六点必共面，即为过P，Q，R的截面；
所以EP即为直线m，FQ即为直线l；
连接AB1，AD1，B1D1，
因为EP∥AB1，FQ∥AD1，
所以∠B1AD1即为异面直线EP与FQ所成的角或其补角，
又因为正方体的各面对角线相等，
所以△AB1D1为等边三角形，
因此∠B1AD1＝60°，即l，m所成的角为60°.
考向2　与球有关的交线问题
例4 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝4，以CC1的中点M为球心，4为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为(　　)
A.2π B.3π
C.4π D.8π
答案　C
解析　取AB，AA1，A1B1，BB1的中点分别为F，E，H，G，N为四边形ABB1A1的中心，
连接MN，CF，MH，ME，MG，MF，HF，EG，
因为AB＝AA1＝4，故四边形ABB1A1为正方形，G，N，E三点共线，H，N，F三点共线，
MN⊥平面ABB1A1，
且GN＝EN＝NH＝NF＝2，
因为M为CC1的中点，
所以MN＝CF＝4sin 60°＝2，
由勾股定理得MH＝MG＝ME＝MF＝＝4，
所以题中所求交线轨迹为以N为圆心，2为半径的圆，球与侧面ABB1A1的交线轨迹如图所示，
故交线长l＝2×π×2＝4π.
规律方法　找交线的方法
(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点.
(2)面面交线法：各棱面与截平面的交线.
训练2 已知正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，2为半径的球面与此正三棱台的表面的交线长为________.
答案　2π
解析　由题意，得△ABC是边长为5的等边三角形，侧面均为全等的等腰梯形，
在四边形ABB1A1中，
AB＝5，A1B1＝2，AA1＝BB1＝3，
如图，在棱AB上取BF＝2，连接A1F，易知△AA1F为等边三角形，
即∠A1AB＝60°，则以下底面的一个顶点A为球心，2为半径的球面与此正三棱台的表面的交线为三段圆弧，，，
分别是与平面ABC，平面ABB1A1，平面ACC1A1的交线，
则所求交线长度为三段圆弧，，的长度之和，长度为×2×3＝2π.
【精准强化练】
一、单选题
1.过一个圆锥的侧面一点(不是母线的端点)作圆锥的截面，则截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分中的(　　)
A.①②③④ B.①③④
C.①② D.①②④
答案　A
解析　根据截面与圆锥的位置关系，所得的图形如图所示，
故截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分.
2.已知过BD1的平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1分别交于点M，N，则下列关于截面BMD1N的说法中，不正确的是(　　)
A.截面BMD1N可能是矩形 B.截面BMD1N可能是菱形
C.截面BMD1N可能是梯形 D.截面BMD1N不可能是正方形
答案　C
解析　如图①，当点M，N分别与顶点重合时，显然截面BMD1N是矩形；
如图②，当M，N为棱AA1，CC1的中点时，显然截面BMD1N是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知截面BMD1N不可能为正方形；
　
根据对称性，其他情况下截面BMD1N为平行四边形.故选C.
3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为(　　)
A. B.
C.9 D.18
答案　B
解析　连接BC1，AD1，D1F，如图所示，
因为E，F分别是BC，CC1的中点，所以EF∥BC1，
在正方体中AD1∥BC1，所以EF∥AD1，
所以A，D1，F，E在同一平面内，所以平面AEF截该正方体所得的截面为平面EFD1A，
因为正方体的棱长为2，所以EF＝，AD1＝2，D1F＝AE＝＝，
则E到AD1的距离为等腰梯形EFD1A的高为＝，
所以截面面积为S＝(2＋)×＝.
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(　　)
A.等腰梯形 B.三角形
C.正方形 D.矩形
答案　A
解析　取BC的中点为H，如图连接AH，GH，D1G，AD1，
由题意得GH∥EF，AH∥A1F，
∵GH 平面A1EF，EF 平面A1EF，
∴GH∥平面A1EF，
∵AH 平面A1EF，A1F 平面A1EF，
∴AH∥平面A1EF，
∵GH∩AH＝H，GH，AH 平面AHGD1，
∴平面AHGD1∥平面A1EF，
过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为等腰梯形AHGD1.
5.(2024·南京质检)已知三棱锥P－ABC的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为，若该三棱锥的外接球O的半径为，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为(　　)
A.6π B.12π
C.2π D.4π
答案　D
解析　依题意得，设底面等腰Rt△ABC的直角边长为x(x>0)，
∴三棱锥P－ABC的体积
V＝××x2×4＝，解得x＝2.
∴△ABC的外接圆半径为r1＝××2＝2，
∴球心O到底面ABC的距离为d1＝＝＝3，
又∵顶点P到底面ABC的距离为4，
∴顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周.
当球心在底面ABC和截面圆之间时，
球心O到该截面圆的距离为d2＝4－3＝1，
∵截面圆的半径为r2＝＝＝2，
∴顶点P的轨迹长度为2πr2＝4π；
当球心在底面ABC和截面圆同一侧时，
球心O到该截面圆的距离为
d3＝3＋4＝7>R＝，故不成立.
综上，顶点P的轨迹长度为4π.
二、多选题
6.如图，一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆柱底面圆半径为r，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ，则下列对椭圆E的描述中正确的是(　　)
A.短轴长为2r，且与θ大小无关
B.离心率为cos θ，且与r大小无关
C.焦距为2rtan θ
D.面积为
答案　ACD
解析　由题意，椭圆短轴长2b＝2r；
而长轴长随θ变大而变长且2a＝，
所以c＝＝rtan θ，
故e＝＝sin θ，焦距为2c＝2rtan θ；
由椭圆在底面投影即为底面圆，则cos θ等于圆的面积与椭圆面积的比值，
所以椭圆面积为S＝.
综上，A，C，D正确，B错误.
7.(2024·茂名模拟)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，则(　　)
A.直线EF与BC1所成的角为60°
B.过空间中一点有且仅有两条直线与A1B1，A1D1所成的角都是60°
C.过A1，E，F三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为3＋2
D.过直线EF的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形
答案　ACD
解析　对于A，如图所示，连接AC，A1C1，A1B，
因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以EF∥AC，
又AC∥A1C1，
所以EF∥A1C1，
所以∠A1C1B或其补角即为EF与BC1所成的角，
因为△A1BC1是等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，所以EF与BC1所成的角为60°，故A正确；
对于B，因为直线A1B1，A1D1所成角是90°，且两条直线相交于A1，
所以过点A1与两直线所成角为60°的直线有4条，故B错误；
对于C，易知平面A1EFC1为过A1，E，F三点的截面，该截面为梯形，
显然A1C1＝2，A1E＝C1F＝＝，EF＝，
所以截面图形的周长为A1C1＋A1E＋EF＋C1F＝2＋＋＋＝3＋2，故C正确；
对于D，如图所示，分别取AA1，CC1的靠近A，C的三等分点G，H，
连接GD1，GE，HD1，HF，易知GE∥HD1，HF∥GD1，
故点D1，G，E，F，H共面，该截面图形为五边形，故D正确.
三、填空题
8.在圆台O1O2中，四边形ABCD是其轴截面，AD＝DC＝BC＝AB，过O1C与轴截面ABCD垂直的平面交下底面于EF，若点A到平面CEF的距离是，则圆台的体积等于________.
答案　
解析　因为AD＝DC＝BC＝AB，所以四边形ADCO1为平行四边形，所以O1C＝O1D＝O1A＝AD，则△AO1D为正三角形，所以∠DAB＝60°，由题意得平面CEF⊥平面ABCD，且平面CEF∩平面ABCD＝O1C，
所以点A到平面CEF的距离即为AD与O1C的距离，
在△AO1D中，过点O1作AD的垂线O1M，过点D作AO1的垂线DN，
则O1M＝，
所以AO1＝＝2，
则O1O2＝DN＝2sin 60°＝，
设圆台上、下底面半径分别为r，R，
则R＝AO1，r＝DO2＝AO1，
则圆台的体积V＝h(R2＋Rr＋r2)
＝×(4＋2＋1)＝.
9.已知三棱锥P－ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于________.
答案　
解析　由题设，将三棱锥P－ABC补全为棱长为2的正方体，O为底面中心，如图所示，
若AD＝AF＝2，则PD＝PF＝4，即D，F在以P为球心，4为半径的球面上，
又OA＝>2，OP＝3>4，
所以平面ABC与球面所成弧是以A为圆心，
2为半径的四分之一圆弧，故弧长为π；
平面PBC与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；
平面PBA，PCA与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为.
所以最长弧的弧长为.
10.(2024·武汉质检)在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，M为底面三角形斜边BC上一点，且·＝0，AC＝AA1＝1，P为线段BC1上一动点，则平面AMP截三棱柱所得截面面积的最大值为________.
答案　
解析　分如下三种情况，①如图1，延长MP交B1C1于点N，过点N作B1C1的垂线交A1C1于点S，连接AS，则四边形AMNS为所求截面；
②如图2，延长MP交B1C1于点N1，过点N1作B1C1的垂线交A1B1于点S1，连接AS1，则四边形AMN1S1为所求截面；
③如图3，延长MP交BB1于点N2，连接AN2，则三角形AMN2为所求截面.
显然①②中的截面面积均大于或等于③中的截面面积，故只需考虑①②中的情况，易知①②中的情况相同，故只需考虑情况①即可.
在①中，易知SN∥AM，AM⊥MN，
设C1N＝x，
则SN＝x，MN＝，
所以所求截面面积S＝×＝
＝，
由于y＝x4，y＝x＋均在上单调递增，
所以函数y＝x4＋x＋在上单调递增，
故S≤＝，故截面面积的最大值为.(共39张PPT)
板块四 立体几何与空间向量
提优点9　截面或交线问题
知识拓展
1.空间几何体截面的主要原理为两个基本事实及两个性质.
(1)两个基本事实
①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线；
②如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
(2)两个性质
①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；
②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.
2.立体几何中的截面类型
(1)平面截球：圆面.
(2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形.
(3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形.
(4)平面截圆锥曲面：椭圆、双曲线(单支)、抛物线.
精准强化练
类型一　截面问题
类型二　交线问题
类型突破
类型一　截面问题
考向1　多面体中的截面问题
例1
√
画出截面图形如图1，C，D分别是所在棱的中点，
(多选)在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为
A.等腰梯形 B.非矩形的平行四边形
C.正五边形 D.正六边形
√
√
四边形ABCD为等腰梯形，故A正确；
图1　　　　　　　　 图2
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图2所示)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于点E，F，G，H，根据平面平行的性质定理可得四边形EFGH中，EF∥HG，且EH∥FG，故四边形EFGH是平行四边形，但不一定是矩形，故B正确；
图3　　　　　　　　 图4
经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形(如图3所示)，但此时不可能是正五边形，故C错误；
六边形的顶点为正方体各棱的中点，六边形为正六边形(如图4所示)，故D正确.
考向2　球的截面问题
例2
因为AB2＋BC2＝AC2，故AB⊥BC，
又因为SA⊥平面ABC，
故三棱锥S－ABC的外接球球O的半径
取AC的中点D，连接BD，BD必过点G，如图所示，
作几何体截面的方法
(1)利用平行直线找截面；
(2)利用相交直线找截面.
规律方法
已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面α满足AC∥α，BC1∥α，若直线AC到平面α的距离与BC1到平面α的距离相等，平面α与此正方体的各个面都相交，则交线围成的图形为
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
训练1
√
如图，设E，F，G，H，M，N分别为AB，BC，CC1，C1D1，A1D1，AA1的中点，
连接EF，FG，GH，HM，MN，NE，A1B，CD1，AD1，A1C1，
∴FG∥MN，FG＝MN，
同理可得EF∥MH，EF＝MH，GH∥NE，GH＝NE，
∴E，F，G，H，M，N共面，
∵AC∥EF，AC 平面EFGHMN，EF 平面EFGHMN，
∴AC∥平面EFGHMN，
同理可得BC1∥平面EFGHMN，
∵E为AB的中点，
∴点A到平面EFGHMN的距离与点B到平面EFGHMN的距离相等，
即平面EFGHMN为所求的平面α，故与正方体的交线为正六边形EFGHMN.
类型二　交线问题
考向1　多面体中的交线问题
例3
√
因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，取C1D1，DD1，BB1的中点分别为G，F，E，连接FG，FQ，QP，PE，ER，RG，根据正方体的特征，易知，若连接PG，EF，RQ，则这三条线必相交于正方体的中心，
在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，设过P，Q，R的截面与平面AD1以及平面AB1的交线分别为l，m，则l，m所成的角为
A.90° B.30° C.45° D.60°
又GR∥EF∥QP，所以P，Q，F，G，R，E六点必共面，
即为过P，Q，R的截面；
所以EP即为直线m，FQ即为直线l；
连接AB1，AD1，B1D1，
因为EP∥AB1，FQ∥AD1，
所以∠B1AD1即为异面直线EP与FQ所成的角或其补角，
又因为正方体的各面对角线相等，
所以△AB1D1为等边三角形，
因此∠B1AD1＝60°，即l，m所成的角为60°.
考向2　与球有关的交线问题
√
取AB，AA1，A1B1，BB1的中点分别为F，E，H，G，N为四边形ABB1A1的中心，
例4
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝4，以CC1的中点M为球心，4为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为
A.2π B.3π C.4π D.8π
连接MN，CF，MH，ME，MG，MF，HF，EG，
因为AB＝AA1＝4，故四边形ABB1A1为正方形，G，N，E三点共线，H，N，F三点共线，
MN⊥平面ABB1A1，且GN＝EN＝NH＝NF＝2，
因为M为CC1的中点，
所以题中所求交线轨迹为以N为圆心，2为半径的圆，球与侧面ABB1A1的交线轨迹如图所示，
故交线长l＝2×π×2＝4π.
找交线的方法
(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点；
(2)面面交线法：各棱面与截平面的交线.
规律方法
已知正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，2为半径的球面与此正三棱台的表面的交线长为________.
训练2
由题意，得△ABC是边长为5的等边三角形，侧面均为全等的等腰梯形，
2π
在四边形ABB1A1中，
AB＝5，A1B1＝2，AA1＝BB1＝3，
如图，在棱AB上取BF＝2，连接A1F，
易知△AA1F为等边三角形，
分别是与平面ABC，平面ABB1A1，平面ACC1A1的交线，
即∠A1AB＝60°，则以下底面的一个顶点A为球心，
【精准强化练】
√
1.过一个圆锥的侧面一点(不是母线的端点)作圆锥的截面，则截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分中的
A.①②③④ B.①③④ C.①② D.①②④
根据截面与圆锥的位置关系，所得的图形如图所示，
故截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分.
√
2.已知过BD1的平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1分别交于点M，N，则下列关于截面BMD1N的说法中，不正确的是
如图①，当点M，N分别与顶点重合时，显然截面BMD1N是矩形；
A.截面BMD1N可能是矩形 B.截面BMD1N可能是菱形
C.截面BMD1N可能是梯形 D.截面BMD1N不可能是正方形
如图②，当M，N为棱AA1，CC1的中点时，显然截面BMD1N是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知截面BMD1N不可能为正方形；
根据对称性，其他情况下截面BMD1N为平行四边形.故选C.
√
3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为
连接BC1，AD1，D1F，如图所示，
因为E，F分别是BC，CC1的中点，所以EF∥BC1，
在正方体中AD1∥BC1，所以EF∥AD1，
所以A，D1，F，E在同一平面内，
以平面AEF截该正方体所得的截面为平面EFD1A，
√
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为
取BC的中点为H，
A.等腰梯形 B.三角形 C.正方形 D.矩形
如图连接AH，GH，D1G，AD1，
由题意得GH∥EF，AH∥A1F，
∵GH 平面A1EF，EF 平面A1EF，
∴GH∥平面A1EF，∵AH 平面A1EF，A1F 平面A1EF，
∴AH∥平面A1EF，∵GH∩AH＝H，GH，AH 平面AHGD1，
∴平面AHGD1∥平面A1EF，
过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为等腰梯形AHGD1.
√
√
√
√
7.(2024·茂名模拟)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，则
√
√
√
对于A，如图所示，连接AC，A1C1，A1B，
因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以EF∥AC，
又AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，
所以∠A1C1B或其补角即为EF与BC1所成的角，
因为△A1BC1是等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，
所以EF与BC1所成的角为60°，故A正确；
对于B，
因为直线A1B1，A1D1所成角是90°，且两条直线相交于A1，
所以过点A1与两直线所成角为60°的直线有4条，故B错误；
对于C，易知平面A1EFC1为过A1，E，F三点的截面，该截面为梯形，
对于D，
如图所示，分别取AA1，CC1的靠近A，C的三等分点G，H，
连接GD1，GE，HD1，HF，易知GE∥HD1，HF∥GD1，
故点D1，G，E，F，H共面，
该截面图形为五边形，故D正确.
所以O1C＝O1D＝O1A＝AD，则△AO1D为正三角形，
所以∠DAB＝60°，由题意得平面CEF⊥平面ABCD，
且平面CEF∩平面ABCD＝O1C，
所以点A到平面CEF的距离即为AD与O1C的距离，
在△AO1D中，过点O1作AD的垂线O1M，过点D作AO1的垂线DN，
设圆台上、下底面半径分别为r，R，
如图所示，
若AD＝AF＝2，则PD＝PF＝4，即D，F在以P为球心，4为半径的球面上，
所以平面ABC与球面所成弧是以A为圆心，
2为半径的四分之一圆弧，故弧长为π；
分如下三种情况，①如图1，延长MP交B1C1于点N，过点N作B1C1的垂线交A1C1于点S，连接AS，则四边形AMNS为所求截面；
②如图2，延长MP交B1C1于点N1，过点N1作B1C1的垂线交A1B1于点S1，连接AS1，则四边形AMN1S1为所求截面；
③如图3，延长MP交BB1于点N2，连接AN2，则三角形AMN2为所求截面.
显然①②中的截面面积均大于或等于③中的截面面积，故只需考虑①②中的情况，易知①②中的情况相同，故只需考虑情况①即可.
在①中，易知SN∥AM，AM⊥MN，

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