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苏州市2024-2025学年第一学期九年级数学期末模拟卷（1）
（范围：九年级上下册 考试时间：120分钟 满分：130分）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。
1．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
2．已知一组数据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等，则这组数据的平均数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．以下转盘分别被分成个、个、个、个面积相等的扇形，任意转动这个转盘各一次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
5．如图，下列条件仍无法保证与相似的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数的图象如图所示，下列说法：①；②；③若图象上有两点，，当时，；④（m为实数），正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，正方形的边长为，动点P，Q同时从点A出发，以的速度分别沿和的路径向点C运动，设运动时间为，四边形的面积为，则y与x之间函数关系可以用图象表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分。）
9．已知线段a、b、c，且．则＝_________；
10．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间t（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了_________．
11．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：
；；；；．
其中正确的是_________（填序号）
12．已知关于x的一元二次方程没有实数根．甲由于看错了某一项的符号，误求得两根为和4，则的值为_________．
13．已知一组数据的方差计算公式为，则这组数据的中位数是_________．
14．如图，飞镖游戏中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投次），任意投掷飞镖次，击中的小正方形的_________概率较大（填“黑色”或“白色”）．
15．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长约为5米，则车头与后视镜的水平距离约为_________米．（提示：黄金分割比）
16．如图，在矩形中，，与边，相切，现有一条过点B的直线与相切于点E，连接，恰为等边三角形，则的半径为_________．
三、解答题（11小题，共82分）
17．计算: .
18．解方程：
19．某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？
20．某中学开展知识竞赛活动，九（1）班、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题：
平均数 中位数 众数
九（1）班 85
九（2）班 85 100
(1)__________，_________，___________；
(2)小明同学已经算出了九（2）班复赛成绩的方差：．请你求出九（1）班复赛成绩的方差；
(3)根据（1）、（2）中的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好．
21．如图，有4张分别印有杭州亚运会吉祥物和会徽图案的卡片：A宸宸、B琮琮、C连连、D潮涌．现将这4张卡片（卡片的形状，大小，质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回，搅匀，再从中任意取出1张卡片．
(1)求第一次取出的卡片图案为“D潮涌”的概率．
(2)用列表或画树状图的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张卡片图案为“A宸宸”的概率．
22．如图，内接于，是直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径和的长．
23．为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图①），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图②），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
(1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号）
(2)通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端E离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，）
24．已知二次函数．
(1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点；
(2)若该函数图象的对称轴是直线，将该函数的图象向下平移h个单位长度与x轴只有一个交点，求h的值．
25．被誉为“中轴线上第一桥”的万宁桥（如图1），是北京中轴线15个遗产构成要素之一，是中轴线上最古老的桥梁，也是北京市目前唯一还在为社会交通服务的元代桥梁．据记载，元代初建时桥下的净空高度约为6米，其后由于湖底淤积逐渐增高，桥下的净空高度不断减小，遂给人难以通船的感觉．
(1)假设万宁桥拱截面为抛物线，以抛物线对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2），求该抛物线的解析式；
(2)现有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行（如图2）．水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
26．【阅读材料】克罗狄斯 托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理．定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立．即：四边形中，有，当A、B、C、D四点共圆时，有．
【尝试证明】（1）如图1，四边形内接于，求证：．
证明：在上取点E，连接，使．
∵，∴______，
∴，
∴①，
∵，
∴，即，
又∵，∴，
∴，
∴______②，得，
即______．
【直接应用】
（2）如图2，为的直径，，，，求的长；
【拓展应用】
（3）如图3，在四边形中，，，，，则的最大值为______；
【灵活运用】
（4）如图4，在等腰三角形中，，，点D在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接，则的长为______．
27. 如图1，抛物线C1：y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，连接AC，点D为AC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段DE的最大值；
（3）如图2，将抛物线C1沿y轴翻折得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点H（1，2）的直线（直线FH除外）与抛物线交于J，I两点，直线FJ，FI分别交x轴于点M，N，试探究GM GN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
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