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第七章 概率与统计（单元测试）
【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．一台机床加工零件，生产一批产品时，出现次品数的概率分布如下表：
次品数 0 1 2 3
P
则其次品数的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据随机变量分布列，结合数学期望公式即可求解.
【详解】由题意得.
故选：A.
2．已知退休的王大爷连续天户外运动的步数（单位：百步）分别为，，，，，则该组数据的均值与方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】根据数据求出样本均值和方差即可.
【详解】均值：，
方差：.
故选：A.
3．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，若从两个袋子里各取一个球，则不同的取法有（ ）
A．8种 B．种 C．6种 D．种
【答案】B
【分析】根据分步计数原理直接计算即可.
【详解】从放有6个球的袋子中取一个球有6种取法；
从放有8个球的袋子中取一个球有8种取法；
根据分步计数原理可知从以上两袋子里各取一个球．不同取法的种数为种.
故选：B.
4．学校给名学生采用分层抽样法进行结核检测，已知级计算机1班名同学中有人做了检测.则该校本次核酸检测的学生人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由级计算机1班名同学中有人做了检测计算出抽样比，由分层抽样中各层的个体数占总体的比例相等，计算可得出答案.
【详解】在级计算机1班35名同学中有人做了检测，
所以抽取比例为，
所以该校本次核酸检测的学生人数为.
故选：B.
5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在的同学有人,则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由频率直方图的几何意义计算即可得出结果.
【详解】由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为：
.
故选：A
6．随机变量的概率分布为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据离散型随机变量的均值公式，求出的值，再根据方差公式计算.
【详解】由题意可知，且，可得,
因此，.
故选：D.
7．口袋中装有大小、形状均相同的2个红球和2个白球，从中随机抽取2个球，至少有1个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，至少有1个红球的逆命题为全是白球，即可求解.
【详解】根据题意：基本事件总数，
取得的两个球全是白球的基本事件个数，
所以至少有一个红球的概率为.
故选：C.
8．某学校为了解学生对篮球、足球运动的喜爱程度，用分层抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高一年级的学生有人，则样本容量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分层抽样的定义及运算求解即可.
【详解】设抽取的样本容量为，
由题意可得，
解得，
所以样本容量为，
故选：．
9．“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，至少有1名女生的概率是（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【分析】先不考虑性别计算选择2人的方案数，再计算无女生参加的方案数，即可得到至少1名女生参加的方案数，即可求解.
【详解】小组有4名男生和2名女生，总共有人，
任选2名同学参加比赛的方案有种，
无女生的方案有种，所以至少有1名女生的方案有种，
故至少有1名女生的概率是,
故选：C.
10．现有质地相同的6个球，编号为，从中一次性随机取两个球，则两个球的号码之和大于7的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出满足条件的情况，再根据古典概型的概率求解即可.
【详解】现有质地相同的6个球，编号为，从中一次性随机取两个球，编号组合共有种，
两个球的号码之和大于7的可能有，共6种可能，
故两个球的号码之和大于7的概率是.
故选：A.
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．用一组样本数据8，，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差
【答案】
【分析】根据平均数公式，可以求出，再利用标准差公式求出标准差.
【详解】因为样本数据8，，10，11，9的平均数为10，所以，
因此样本的标准差为，由题意可知用样本来估计总体的标准差，所以.
【点睛】本题考查了用样本估计总体的标准差，考查了平均数公式、标准差公式，考查了数学运算能力.
12．已知一组数据 ，，，， 的平均数为 ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】根据平均数的定义列方程求解即可.
【详解】已知一组数据 ，，，， 的平均数为 ，
则，即，解得.
故答案为：.
13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别是和，假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 .
【答案】
【分析】利用两事件同时发生概率为两事件概率的乘积可求.
【详解】由题可知甲球落入盒子的概率，乙球落入盒子的概率，
则甲、乙两球都落入盒子的概率；
故答案为：.
14．甲 乙两人进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为0.5，乙投篮命中的概率为0.6，且两人投篮是否命中相互没有影响，则两人各投篮一次，至多一人命中的概率是 .
【答案】0.7/
【分析】根据独立事件概率公式以及对立事件的概率性质即可求解.
【详解】两人各投篮一次，两人均投中的概率为.
因此至多一人命中的概率是.
故答案为：0.7.
15．已知随机变量服从二项分布，则 ．
【答案】
【分析】根据二项分布的期望公式可求.
【详解】因为服从二项分布，
所以.
故答案为：3.
三、解答题（共6小题，共60分）
16．已知的展开式的二项式系数之和为256．求；
(1)n的值；
(2)求展开式中的常数项；
【答案】(1)
(2)
【分析】根据二项式系数之和为256，求出n的值，然后求出展开式的通项公式，令的次数为0，进行求解即可.
【详解】（1）因为展示式中二项式系数之和为256.
所以，解得.
（2）二项式的展开式的通项为，
令，得.
所以常数项为.
17．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查.调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图.

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次一共调查了多少名购买者？
(2)请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为 度.
(3)若该超市这一周内有名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
【答案】(1)
(2)图像见解析，
(3)
【分析】（1）根据条形统计图中，且占比，即可求出总人数.
（2）根据总数求出支付方式的人数与支付方式的人数，画出条形图，再求出支付方式的百分比即可求出圆心角的度数.
（3）根据的人数确定百分比，再估算即可.
【详解】（1）已知条形统计图中支付方式有人，且占比，
所以共有人，
所以本次一共调查了名购买者.
（2）支付方式共有人，
支付方式共有人，
则补全图形为，

则扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为.
（3）已知A种支付方式有人， 种支付方式有人，
所以人，
所以估计使用A和B两种支付方式的购买者共有名.
18．某校有10名电子商务专业的优秀实习生，其中男生6人，女生4人．现从中选3人参加某商品的网络促销活动．
(1)从中选出3人“全部是男生”的选法共有多少种？
(2)从中选出三人中“至少1男1女”的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由组合数结合题干条件求解即可.
（2）由分类加法计数原理结合组合数求出选出三人中“至少1男1女”的事件数，再由古典概型概率公式求解即可.
【详解】（1）某校有10名电子商务专业的优秀实习生，其中男生6人，女生4人．现从中选3人参加某商品的网络促销活动；
则从中选出3人“全部是男生”的选法共有种.
（2）某校有10名电子商务专业的优秀实习生，其中男生6人，女生4人．
现从中选3人参加某商品的网络促销活动，共有；
从中选出三人中“至少1男1女”分两种情况讨论：
选出三人中“1男2女”，有种，
选出三人中“2男1女”，有种，
则从中选出三人中“至少1男1女”的概率是.
19．用1，2，3，4，5，6这六个数字，可以组成多少个无重复数字的：
(1)四位偶数？
(2)数字1、3、5互不相邻的六位数？
(3)六位数，其中数字6、4、1按自左至右的顺序保持不变（如634512，562431）.
（注：所有结果均用数值表示）
【答案】(1)180
(2)144
(3)120
【分析】(1)利用排列数和组合数的计算公式求解即可，
(2)利用插空法求解即可;
(3)对6、4的位置进行分类讨论求解即可.
【详解】（1）要组成无重复数字的四位偶数，
则个位数字为2、4、6其中一个即可，
则可以组成个四位偶数.
（2）要组成数字1、3、5互不相邻的六位数，
则先将2、4、6先排列好，再将1、3、5插入到排列所形成的空位中，
则可以组成个数字1、3、5互不相邻的六位数.
（3）将六位数的数字从左到右分别记作第一位、第二位、...
将6、4分别安排在第一位和第二位，则有个
将6、4分别安排在第一位和第三位，则有个，
将6、4分别安排在第一位和第四位，则有个，
将6、4分别安排在第一位和第五位，则有个，
将6、4分别安排在第二位和第三位，则有个，
将6、4分别安排在第二位和第四位，则有个，
将6、4分别安排在第二位和第五位，则有个，
将6、4分别安排在第三位和第四位，则有个,
将6、4分别安排在第三位和第五位，则有个，
将6、4分别安排在第四位和第五位，则有个，
综上所述，共有.
20．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率都是0.6，各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示甲学校的总得分，求X的分布列.
【答案】(1)0.648；
(2)分布列见解析
【分析】（1）分析甲学校获得冠军的比赛获胜情况，利用独立事件的概率公式即可得解；
（2）先分析得的可能取值，再利用独立事件的概率公式求得各取值的概率，从而得解.
【详解】（1）甲学校在三个项目中获胜的概率都是0.6，各项目的比赛结果相互独立，
甲学校获得冠军至少要贏得两场比赛，
甲学校获得冠军的概率为；
（2）依题意，的可能取值为0，2，4，6，
，，
，
则X的分布列如下：
X 0 2 4 6
P
21．要从4名男生和2名女生中选出3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．求：
(1)的概率分布；
(2)的数学期望和方差．
【答案】(1)答案见解析
(2)数学期望1，方差
【分析】（1）可能取得的值是0，1，2，结合变量对应的事件的概率，写出变量的分布列.
（2）由（1）可知概率分布，结合数学期望和方差公式即可求解.
【详解】（1）因为可能取得的值是0，1，2，
所以，
，
，
所以的概率分布如下．
0 1 2
P
（2）由（1）可知数学期望为 ，
方差为 .第七章 概率与统计（单元测试）
【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．一台机床加工零件，生产一批产品时，出现次品数的概率分布如下表：
次品数 0 1 2 3
P
则其次品数的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
2．已知退休的王大爷连续天户外运动的步数（单位：百步）分别为，，，，，则该组数据的均值与方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，若从两个袋子里各取一个球，则不同的取法有（ ）
A．8种 B．种 C．6种 D．种
4．学校给名学生采用分层抽样法进行结核检测，已知级计算机1班名同学中有人做了检测.则该校本次核酸检测的学生人数为（ ）
A． B． C． D．
5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在的同学有人,则的值为（ ）
A． B．
C． D．
6．随机变量的概率分布为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．口袋中装有大小、形状均相同的2个红球和2个白球，从中随机抽取2个球，至少有1个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．某学校为了解学生对篮球、足球运动的喜爱程度，用分层抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高一年级的学生有人，则样本容量为（　　）
A． B． C． D．
9．“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，至少有1名女生的概率是（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
10．现有质地相同的6个球，编号为，从中一次性随机取两个球，则两个球的号码之和大于7的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．用一组样本数据8，，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差
12．已知一组数据 ，，，， 的平均数为 ，则 的值是 ．
13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别是和，假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 .
14．甲 乙两人进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为0.5，乙投篮命中的概率为0.6，且两人投篮是否命中相互没有影响，则两人各投篮一次，至多一人命中的概率是 .
15．已知随机变量服从二项分布，则 ．
三、解答题（共6小题，共60分）
16．已知的展开式的二项式系数之和为256．求；
(1)n的值；
(2)求展开式中的常数项；
17．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查.调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图.

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次一共调查了多少名购买者？
(2)请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为 度.
(3)若该超市这一周内有名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
18．某校有10名电子商务专业的优秀实习生，其中男生6人，女生4人．现从中选3人参加某商品的网络促销活动．
(1)从中选出3人“全部是男生”的选法共有多少种？
(2)从中选出三人中“至少1男1女”的概率是多少？
19．用1，2，3，4，5，6这六个数字，可以组成多少个无重复数字的：
(1)四位偶数？
(2)数字1、3、5互不相邻的六位数？
(3)六位数，其中数字6、4、1按自左至右的顺序保持不变（如634512，562431）.
（注：所有结果均用数值表示）
20．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率都是0.6，各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示甲学校的总得分，求X的分布列.
21．要从4名男生和2名女生中选出3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．求：
(1)的概率分布；
(2)的数学期望和方差．

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