资源简介

(共17张PPT)
专题训练2 新课标·新教材·新动向
小明的《实数》学习日志
专题训练2
主题情境
在学习了《实数》这章内容后，小明对课本第
页的内容产生了浓厚的兴趣，于是上网查阅资料，并整理了
相应的学习日志，用作自我提升.
将无限循环小数化为分数
1. 先阅读下面材料，再完成任务：
【阅读理解】你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？
下面的解答过程会告诉你方法.
例题：利用一元一次方程将 化为分数.
解：设，则 ，
而 ，
所以 ，
化简得，解得 .
所以 .
【问题探究】
(1)仿照上述方法把 化成分数为__；
(2)请类比上述方法，把循环小数 化为分数，写出解题过
程；
解：设，则 .
而，所以 ，
解得 .
所以 .
【拓展延伸】
(3)把 化成分数为____.
方法归纳
①纯循环小数的循环节有几位，就在分母上写几个9，以循
环节作分子；②混循环小数的循环节有几位，就在分母上写
几个9，循环节之前有几位，就在后面再补几个0作分母，用
从小数点后面第一位开始到第一个循环节结束时的数字组成
的数减去第一个循环节前面的数字组成的数作分子.
求 的近似值
2.(1)我们知道，若一个面积为2的正方形的边长为，那么
是一个无理数，我们用“逼近法”可以逐步求出 的取值范围
是 .类似地，若一个面积为5的正方形的边长
为，请你逐步探求出的取值范围(精确到 ).
解：由题意可知， .
因为，，所以 .
因为， ，
所以 .
因为， ，
所以 .
(2)阅读材料：
①因为，即 ，
所以.所以的小数部分为 .
②因为，即 ，
所以.所以 的整数部分为1，小数部分
为 .
请利用材料中的方法，求 的小数部分.
解：因为，即 .
所以的整数部分为9，所以的小数部分为 .
(3)除上述方法外，小明还搜集到了以下方法，请补充完整：
①我们知道面积是2的正方形的边长是 ，且
，设 ，画出如下示意图：
由图形面积可得______ .
因为的值很小，所以更小，略去 ，
得方程________________，
解得 _______(精确到 )，
即 _______.
2.
②请仿照上述探究过程探究 的大小.
已知： ，在下图中画出示意图，并标出相关数据.
结论：_______.(精确到 )
如图.
用反证法证明 不是有理数
3.请阅读下面运用反证法证明 不是有理数的过程，并解决
问题.
【阅读与思考】
假设是有理数，那么存在两个互素的正整数和 ，使得
，两边平方得 ，
即 .①
因为 是偶数，
所以 是偶数.
因为只有偶数的平方才是偶数，
所以也是偶数.设取整数，代入①得， ，
即 .
由是偶数，可得 是偶数，
所以也是偶数，则和都是偶数，不互素.这与假设和 互
素矛盾.
这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即 不是有理数.
【运用并解决】
类比上述的阅读与思考，推理说明 不是有理数.
解：假设是有理数，那么存在两个互素的正整数和 ，
使得，两边立方得，即 .①
故是偶数.因为只有偶数的立方才是偶数，所以 也是偶数.
设取整数，代入①得，，即 .所
以也是偶数，则和都是偶数，不互素.这与假设和 互素
矛盾.这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即 不是有
理数.(共9张PPT)
专题训练1 方法整合
实数的大小比较方法
专题训练1
用数轴比较实数的大小
方法指导
数轴上右边的点所表示的数总是大于左边的点所表示的数.
1.在如图所示的数轴上表示下列各数：,,, ,
， 并按从小到大的顺序排列，用“ ”连接.
解：在数轴上表示如图.
.
用估算(或取近似值)比较实数的大小
方法指导
如果有计算器，可以先用计算器求出它们的近似值
(近似值的精确度要相同)，再比较大小.
2.比较、 、 的大小，正确的是( )
C
A. B.
C. D.
3.[2024·合肥期中] 比较大小(填“ ”“ ”或“”)___ .
用平方法或立方法比较实数的大小
方法指导
；.
4.比较大小(填“ ”“ ”或“”)
(1) ___8；
(2)___ ；
(3)___ .
5.比较4.7与 的大小.
解：因为，， ，
所以 .
6.比较3，4， 的大小.
解：因为，，， ，
所以 .
用作差法比较实数的大小
方法指导
；；
.
7.比较与 的大小.
解：因为 ,
所以 .
8.比较与 的大小.
解：因为 ,
所以 .(共21张PPT)
第6章 实数
6.1 平方根、立方根
2. 立方根
核心必知
1.正数的立方根是一个______,负数的立方根是一个______,0
的立方根是___.
2.开立方时，若被开方数是负数,则负号可以移到根号外,用式
子表示是 .
正数
负数
0
1星题 基础练
立方根
1.［知识初练］因为 ，所以___是27的立方根，记作
___.
3
3
2. 的立方根是( )
C
A. B.2 C. D.不存在
【变式题】 若一个数的立方根为5，则这个数是( )
B
A. B.125 C. D.
3.下列计算不正确的是( )
C
A. B.
C. D.
4.若一个数的立方根就是它本身，则这个数是__________.
1或或0
【补充设问】 若一个数的算术平方根和立方根都等于它本
身，则这个数是______.
0或1
5.求下列各数的立方根：
(1)0.008；
解： .
(2) ；
.
(3) .
.
用计算器求一个数的立方根或它的近似值
6.用计算器计算 的按键顺序是( )
B
A. B.
C. D.
7.用计算器计算(结果精确到 )：
(1) _______;
(2) _______.
立方根的应用
8. 魔方是匈牙利建筑师鲁比克发明的一
种智力玩具.如图，一个二阶魔方由8个完全相同的
小正方体组成，体积为 ，那么该魔方的棱
长为______.
9.将一个长、宽、高分别为、、 的长方体
铁块锻造成一个正方体铁块，则锻造成的正方体铁块的棱长
是( )
A
A. B. C. D.
10.如图的零件是由两个正方体焊接而成的，已知
大正方体和小正方体的体积分别为 和
，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么
所刷油漆的面积是( )
B
A. B. C. D.
2星题 中档练
11. 的算术平方根是( )
C
A.2 B. C. D.
因为，所以的算术平方根是 ,故选C.
12.已知， ，则
( )
A
A. B.28.72 C.2.872 D.
【补充设问】 若，则 ____________.
13.已知一个数的两个不同的平方根分别是和
则数 的立方根是( )
A
A.4 B. C.8 D.
14. ［分类讨论思想］已知， 满足
，则 的值为_______.
0或
15. ［立德树人·传统文化］ 每年农历八月十五日是
我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为
中秋.自古便有中秋赏月、品月饼的习俗.某商店的李师傅制
作的正方体月饼礼盒的体积为 ，而康师傅制作的正
方体月饼礼盒的体积比李师傅制作的大 ，则康师傅
制作的正方体月饼礼盒的表面积为_____ .
294
16. ［整体思想］解方程：
.
解：将方程变形，得 ，
开立方，得，解得 .
17.[2024·六安月考] 已知正数的平方根是 ，
的立方根是2.
(1)求和 的值；
解：因为正数的平方根是， 的立方根
是2，所以解得
(2)求 的立方根.
由(1)知，，所以 ，
所以 的立方根是4.
3星题 提升练
18. ［推理能力］观察下列等式：
；
；
；
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
【观察与发现】
(1)根据以上等式反映的规律，请再写出一个类似的等式：
__________________________________________.
(答案不唯一)
【分析与归纳】
(2)根据等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的真
命题：对于任意两个有理数， ，若____________________
_________，则 ；反之也成立.
(或，互为相反数)
【拓展与应用】
(3)根据(2)中归纳的真命题，解答下列问题：若 与
的值互为相反数，且，则
的值是___.
9(共14张PPT)
第6章 实数
6.2 无理数和实数
第1课时 实数及其分类
核心必知
1.无理数：无限不循环小数叫作无理数.常见类型：①开方开
不尽的数，如；②化简后含有 的数，如 ；③特定结
构的无限不循环小数，如 (两个3之间依
次多一个0).
2.实数的分类：
1星题 基础练
无理数
1.下列是无理数的是( )
C
A. B.3.14 C. D.
2.[2024·芜湖月考] 下列说法正确的是( )
D
A.无限小数都是无理数
B.带根号的数都是无理数
C.无理数是开方开不尽的数
D.无限不循环小数是无理数
无理数的估算
3.[2024·天津中考] 估算 的值在( )
C
A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间
4.请写出一个大于2且小于3的无理数：________________.
(答案不唯一)
实数及其分类
5.[2024·六安期末] 不是( )
C
A.负数 B.无理数 C.有理数 D.实数
6.把下列各数填入相应的大括号内：,,,, ,
，， .
(1)有理数：_ ____________________ ；
(2)无理数：_ _____________________________________ ；
7.5，，，
， ，,
(3)正实数：_ __________________________________ ；
(4)负实数：_ _________________ .
7.5,,,,
, ，
2星题 中档练
7.下列说法中错误的有______.(填序号)
①实数可以分为有理数和无理数，也可以分为正实数和负实
数；② 不是分数；③无限小数必是无理数.
8.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的 为64时，输
出的 是____.
9. 请阅读下列材料，并完成相应的任务.
对于实数， ，我们规定一种新的运算法则
例如， .现在
有这样一个问题：已知， ，且
，是两个相邻的整数，求 的值.下面是小明同学的
部分解答过程：
解：因为， ，
所以
任务：
(1)完成材料中解答过程的剩余部分.
解：因为,是两个相邻的整数，所以 ，
，所以 .
(2)在；；； 中，是无理数的是
________(填序号).(共20张PPT)
第6章 实数
大单元整合复习
大单元整合复方根、算术平方根、立方根
1.[2024·宣城期中] 下列各式正确的为( )
D
A. B.
C. D.
2.9的算术平方根是( )
A
A.3 B. C. D.
3.121的平方根为_____， 的立方根为____.
4.[2024·安庆期末] 已知，则 的值
是______.
5.[2024·宿州月考] 已知为4的算术平方根，2为
的立方根.
(1)求， 的值；
解：因为为4的算术平方根，2为 的立方根，所
以，，解得， .
(2)求 的平方根.
因为，，所以 ，所
以的平方根是 .
实数的相关概念及分类
6.[2024·烟台中考] 下列实数中的无理数是( )
C
A. B.3.14 C. D.
7.的绝对值是________， 的相反数是_________，
的倒数是______.
8.把下列各数分别填入相应的横线上：
，，，，0，，， .
有理数：____________________________；
负无理数：____________；
正实数：_______________.
，，0， ，
，
，，
9.若与互为相反数，求 的值.
解：因为与互为相反数，所以 与
互为相反数，所以 ,
所以.又,所以 .
实数与数轴上点的对应关系
10.若将，， 表示在如图所示的数轴上，则其中
能被墨迹覆盖的数是( )
A
A. B. C. D.都不可能
11.如图，数轴上表示的点为点，若点 为在数轴上到点
的距离为1个单位长度的点，则点 所表示的数是( )
D
A. B.
C.或 D.或
实数的估算及大小比较
12.下列四个实数中最小的是( )
A
A. B.0 C. D.
13.估计 的值应在( )
C
A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间
14.设，， ，则( )
A
A. B. C. D.
15.比较大小：___(填“ ”“ ”或“ ”).
16.[2024·宣城期中] 满足的整数 有___个.
4
17. 估算法的步骤
问题：求与 最接近的整数.
与 最接近的整数是___.
6
实数的相关计算
18. 的值为( )
C
A.5 B. C.1 D.
19.计算：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
数学思想
20. ［转化思想］如图是 的正方形网格，
每个小正方形的边长都为1，阴影部分是正方
形，且顶点在格点上，求该阴影正方形的边长.
解：因为阴影正方形的面积为 ，
所以该阴影正方形的边长为 .
21. ［分类讨论思想］比较,， 的大小.
解：由题易得.当时， ;
当时，;当时， .
易错题
22. 的平方根是_______.
或4
易忽略原式化简而致错.
23.若与是某一个正数的平方根，则 的值是
_____.
2或
题中未指出两平方根相同或互为相反数，需分类
讨论.
聚焦安徽中考
24.[2022·安徽中考] 下列为负数的是( )
D
A. B. C.0 D.
25.[2023·安徽中考] 计算： ___.
3
26.[2024·安徽中考] 我国古代数学家张衡将圆周率取值为
，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为 .比较
大小：___(填“ ”或“ ”).(共27张PPT)
第6章 实数
6.1 平方根、立方根
1. 平方根
核心必知
正数 0 负数
平方根 有____个，分别是 ______，它们互为 ________ 0 没有
算术平方根 0 没有
两
相反数
1星题 基础练
平方根和算术平方根
1.［知识初练］因为， ，所以25的平方
根是____.其中正的平方根是___，即25的算术平方根是___.
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【补充设问1】 有关16的平方根表示正确的是( )
D
A. B.
C. D.
【补充设问2】 16的算术平方根是___.
4
2.[2024·内江中考] 16的平方根是( )
D
A. B.4 C.2 D.
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3.下列各数中，没有平方根的是( )
C
A.0 B. C. D.
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4. 的算术平方根是( )
C
A.9 B. C.3 D.
易忽略原式化简导致出错.
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5. 下图是小佳的练习册，她答对的题目数量是
( )
判断题：
一定没有平方根.(√)
2.的平方根是 .(×)
3.1的平方根是1.(×)
4.6是36的一个平方根.(√)
C
A.1道 B.2道 C.3道 D.4道
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6.求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)64；
解：因为，所以64的平方根是 ，
即 ；64的算术平方根是8.
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(2) ；
因为，所以的平方根是 ，
即；的算术平方根是 .
(3)0.49；
因为，所以0.49的平方根是 ，
即 ；0.49的算术平方根是0.7.
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(4) .
因为，所以的平方根是 ，
即； 的算术平方根是10.
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用计算器求一个正数的算术平方根或它的近
似值
7.大多数计算器都有“ ”键，用它可以求出一个正有理数
的算术平方根(或其近似值).用计算器依次按键 ，
最终显示的结果是( )
A
A.12 B.122 C. D.
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8.用计算器求下列各式的值(结果精确到 )：
(1) ______；
(2) _______.
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算术平方根的应用
9. 某地举办了“绘少年力量，画
无烟未来”青少年控烟绘画大赛.小宇想
裁出一块面积为 的正方形画布，
9
画上自己的作品参加比赛，则这块正方形画布的边长为___
.
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10.[2024·广东中考] 完全相同的4个正方形面积之和是100，
则正方形的边长是( )
B
A.2 B.5 C.10 D.20
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2星题 中档练
11. ［分类讨论思想］若是4的一个平方根，则
的值为( )
B
A. B.或 C. D.
易因忽视一个正数的平方根有两个而致错.
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12.下列关于算术平方根的说法正确的是( )
D
A.负数一定有算术平方根 B.只有正数才有算术平方根
C.正数有两个算术平方根 D.算术平方根是非负数
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13.一个正偶数的算术平方根是 ，那么与这个正偶数相邻的
下一个正偶数的算术平方根是( )
C
A. B. C. D.
由题意得这个正偶数是 ，则与这个正偶数相邻的下
一个正偶数是 ，所以与这个正偶数相邻的下一个正偶
数的算术平方根是 ，故选C.
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14. [2024·上海闵行区期末] 伞兵在高空跳离飞
机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度 与下降的
时间的关系可以近似地表示为 (不计空气阻力)，
一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了 ，这段
时间大约有____(精确到 ).
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15.[2024·合肥月考] 一个正数 的两个不同的平方根分别是
和 .
(1)求和 的值；
解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，
所以，解得 ，
所以 .
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(2)求 的平方根.
因为 ，
所以的平方根为 .
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16. 在学方根这一课时后，老师提
出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为 ，平方
根为 ，求这个数.小明的解答过程如下：
解：因为一个数的算术平方根为，平方根为 ，
所以或 .
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①当时，解得 ，
所以 ，所以这个数为16；
②当时，解得 ，
所以 ，所以这个数为4.
综上所述，这个数为16或4.
数学老师看后说小明的答案是错误的.你知道小明错在哪里了
吗？请予以改正.
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解：小明在计算第②种情况，当 时，解得
，这个数的算术平方根 ，需要舍去.正
确的过程如下：
因为一个数的算术平方根为，平方根为 ，
所以或 .
①当时，解得 ，
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所以 ，所以这个数为16；
②当时，解得，所以 ，
因为算术平方根不能为负数，所以把 舍去.综上所述，
这个数为16.
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3星题 提升练
17. ［推理能力］数学探究活动.
【自主探究】完成表格内容.
… …
… ______ _____ ____ 250 …
【发现规律】由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个
规律：______________________________________________
______________________________________；
25
被开方数的小数点向左(或右)每移动两位，其算术平方根的小数点相应地向相同方向移动一位
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【应用迁移】根据你发现的规律填空：已知 ，
则____， _____.
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17(共20张PPT)
第6章 实数
6.2 无理数和实数
第2课时 实数的运算与大小比较
核心必知
1.实数和数轴上的点__________，即每一个实数都可以用数
轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一
个实数.
2.正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个正数，绝对
值大的数较____.两个负数，绝对值大的数反而____.
一一对应
大
小
1星题 基础练
实数与数轴上的点的关系
1.如图，数轴上表示实数 的点可能是( )
B
A.点 B.点 C.点 D.点
2.[2024·合肥期中] 如图，面积
为3的正方形的顶点 在数
轴上，以点为圆心， 的长为
半径画弧交数轴于点，若点
D
A. B. C. D.
表示的数为2，则点 表示的数是 ( )
实数的相反数、倒数、绝对值
3. 的倒数是( )
A
A. B. C. D.
4.[2024·杭州月考] 填空：
(1) 的相反数是______，绝对值是____；
(2) 的相反数是________，绝对值是________；
(3)若，则 ______；
(4)的倒数是_ _， ________.
实数的运算
5.计算 的结果是( )
B
A. B. C.1 D.5
6.估计 的值应在( )
A
A.3和4之间 B.2和3之间 C.4和5之间 D.1和2之间
7.近似计算(精确到 )：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
原式 .
8.计算： .
解：原式 .
实数的大小比较
9.[2024·自贡中考] 在0，，， 四个数中，最大的数
是( )
C
A. B.0 C. D.
10.[2024·深圳中考] 如图，实数，，， 在数轴上表示如
下，则最小的实数为( )
A
A. B. C. D.
11.比较大小：___4.(填“ ”“ ”或“ ”)
12.[2024·合肥月考] 现给出下列各数：，，，，
，在数轴上作出表示这些数的点，比较它们的大小，并
用“ ”连接.
解：在数轴上表示如答图所示.
.
2星题 中档练
13.下列各组数中互为相反数的一组是( )
C
A.与 B.与
C.与 D.与
14. 对于两个不相等的实数， ，定义一种
新的运算：，如 ，
那么 ( )
A
A.1 B. C. D.2
由题意得 .
15.[2024·合肥二模] 如图，直径为1的圆上有一点，且点
与数轴上表示 的点重合，将这个圆在数轴上无滑动滚动，
当点 再次与数轴上的某个点重合时，这个点的位置可能是
( )
D
A.3与4之间 B.6与7之间
C.与之间 D.与 之间
16.的整数部分是___， 的小数部分是_________，
的小数部分是________.
2
17.如图,数轴上表示1,的点分别为,,点到点 的距离与
点到原点的距离相等,设点表示的数为 .
(1)求 的值;
解：因为点，表示的数分别为1， ,
所以,所以 .
(2)求 的值.
解：因为 ,
所以 .
3星题 提升练
18.［运算能力］
(1)用“ ”“ ”或“ ”填空：
_________ ；
(2)由(1)可知：
① ________，
② _________，
③ ________；
(3)计算：
.
解：原式 .

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