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(共35张PPT)
2025年广东中考数学一轮备考教材复习检测-
第27章　相似
【思维导图】
【思维导图】
【思维导图】
【范例研讨】
★考点一：比例的性质
例1.已知线段a＝2，b＝3，c＝4，若a，b，c，d四条线段成比例，
则d＝ .
例2.已知两数a＝4，b＝9，那么a，b两数的比例中项是 .
6　
±6　
例3.已知a∶b∶c＝2∶3∶4，且a＋3b－2c＝15.
(1)求a，b，c的值；
(1)解：设a＝2k，b＝3k，c＝4k.
∵a＋3b－2c＝15，
∴2k＋9k－8k＝15.
解得k＝5.
∴a＝10，b＝15，c＝20.
(1)解：设a＝2k，b＝3k，c＝4k.
∵a＋3b－2c＝15，
∴2k＋9k－8k＝15.
解得k＝5.
∴a＝10，b＝15，c＝20.
(2)求4a－3b＋c的值.
(2)解：∵a＝10，b＝15，c＝20，
∴4a－3b＋c
＝4×10－3×15＋20
＝15.
(2)解：∵a＝10，b＝15，c＝20，
∴4a－3b＋c
＝4×10－3×15＋20
＝15.
例4.已知 ＝ ＝ ≠0，则 ＝ 　 　.
★考点二：相似多边形
例5.下列命题中，正确命题的个数为 .
①所有的正方形都相似；
②所有的菱形都相似；
③边长相等的两个菱形都相似；
④对角线相等的两个矩形都相似.
　
1　
例6.把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的长、宽之比
是 .
★考点三：平行线分线段成比例
例7.如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，
C和点D，E，F. 若AB∶BC＝2∶3，EF＝9，则DE的长是(　C　)
A. 4 B. 7 C. 6 D. 12
∶1　
C
例8.如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，
C和点D，E，F. 若AB∶BC＝1∶2，DE＝4，则EF的长为 .
例7题图　　　　　　 例8题图
8　
★考点四：相似三角形的判定及性质
例9.如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点.
(1)试添加一个条件： ，使得△ADE与△ABC相似.(任意写
出一个满足条件的即可)
(2)若△ADE∽△ACB，且BC＝2DE.
①若AD＝3，则AC＝ ；
＝ 　
6　
②若C△ABC＝6，则C△ADE＝ ；
③若S四边形DECB＝6，则S△ABC＝ .
3　
8　
例10.如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F.
(1)求证：△AFE∽△ABC；
(1)证明：∵∠AFB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，
∴△AFB∽△AEC.
∴ ＝ .∴ ＝ .
又∵∠A＝∠A，
∴△AFE∽△ABC.
(1)证明：∵∠AFB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，
∴△AFB∽△AEC.
∴ ＝ .∴ ＝ .
又∵∠A＝∠A，
∴△AFE∽△ABC.
(2)解：∵△AFE∽△ABC，
∴ ＝()2＝ cos 2A＝ cos 260°＝ .
∴△AFE与△ABC的面积之比为 .
(2)解：∵△AFE∽△ABC，
∴ ＝()2＝ cos 2A＝ cos 260°＝ .
∴△AFE与△ABC的面积之比为 .
例10.如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F.
(2)若∠A＝60°，求△AFE与△ABC的面积之比.
例11.在正方形ABCD中，若AH⊥CH，垂足为H，点M在CH上，且
AH＝MH，连接AM，BH，探究CM与BH的数量关系，并说明理由.
解：BH＝ CM. 理由如下：
如图，连接AC. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°.
∵AH⊥CH，AH＝HM，
∴△AHM是等腰直角三角形.
∴∠HAM＝45°.∴∠HAB＝∠MAC.
∵ ＝ ＝ ，∴△AHB∽△AMC.
∴ ＝ ＝ ，即BH＝ CM.
★考点五：相似三角形的应用
例12.在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比.在某一时
刻，有人测得一高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，某一高楼的影长为60
m，那么这幢高楼的高度是(　D　)
D
A. 18 m B. 20 m C. 30 m D. 36 m
例13：如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在
点D处测得自己的影长DF＝3 m，沿BD方向到达点F处再测得自己的
影长FG＝4 m.若小明的身高为1.6 m，则路灯杆AB的高度为(　C　)
A. 5.4 m B. 6 m C. 6.4 m D. 6.8 m
C
★考点六：位似图形
例14.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心.已知OA∶OD＝
1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为(　C　)
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶5
C
例15.已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A(0，2)，B(3，
3)，C(2，1).以点O为位似中心画△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位
似，且相似比是3，则点C的对应顶点C1的坐标是 .
(6，3)或(－6，－3)　
(2)在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB，且点D与点C为对应点.
(2)解：如图，点E即为所求.
(2)解：如图，点E即为所求.
★考点七：相似三角形的综合问题
例16.尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法).如图，已知
△ABC，且AB＞AC.
(1)在AB边上求作点D，使DB＝DC；
(1)解：如图，点D即为所求.
(1)解：如图，点D即为所求.
例17.如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形.
(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由；
(1)解：相似.理由如下：
设正方形的边长为a，AC＝ ＝ a.
∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ .
∵∠ACF＝∠GCA，∴△ACF∽△GCA.
(2)求∠1＋∠2的度数.
(1)解：相似.理由如下：
设正方形的边长为a，AC＝ ＝ a.
∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ .
∵∠ACF＝∠GCA，∴△ACF∽△GCA.
(2)解：∵△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAF.
∵∠CAF＋∠2＝45°，∴∠1＋∠2＝45°.
(2)解：∵△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAF.
∵∠CAF＋∠2＝45°，∴∠1＋∠2＝45°.
例18.(2024·临夏中考)如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点
重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且
∠ABE＝∠DAF.
【模型建立】(1)求证：AF⊥BE；
图1　 图2
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°.
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
∵∠ABE＝∠DAF，∴∠DAF＋∠AEB＝90°.
∴∠AOE＝90°.∴AF⊥BE.
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°.
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
∵∠ABE＝∠DAF，∴∠DAF＋∠AEB＝90°.
∴∠AOE＝90°.∴AF⊥BE.
例18.(2024·临夏中考)如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点
重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且
∠ABE＝∠DAF.
【模型应用】(2)若AB＝2，AD＝3，DF＝ BF，求DE的长；
图1　 图2
(2)解：如图1，延长AF交CD于点G.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD＝∠ADG＝90°.
∴△AFB∽∠GFD. ∴ ＝ ＝ .
∴DG＝ AB＝ ×2＝1.
∵∠BAD＝∠ADG＝90°，∠ABE＝∠DAF，
∴△ABE∽△DAG. ∴ ＝ ＝ .
∴AE＝ DG＝ ×1＝ .
∴DE＝AD－AE＝3－ ＝ .
图1　　　 图2
∴DE＝AD－AE＝3－ ＝ .
图1　　　
例18.(2024·临夏中考)如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点
重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且
∠ABE＝∠DAF.
【模型应用】(2)若AB＝2，AD＝3，DF＝ BF，求DE的长；
【模型迁移】(3)如图2，若矩形ABCD是正方形，DF＝ BF，求
的值.
图1　 图2
(3)解：如图2，延长AF交CD于点G.
设正方形ABCD的边长为a，则AB＝AD＝a.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADG＝90°，AB∥CD.
∴△AFB∽∠GFD. ∴ ＝ ＝ ＝ .
∴DG＝ AB＝ a，FG＝ AF.
∴AG＝ ＝ a.
∵FG＝ AF，∴AF＝ AG＝ a.
∴ ＝ ＝ .
(3)解：如图2，延长AF交CD于点G.
设正方形ABCD的边长为a，则AB＝AD＝a.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADG＝90°，AB∥CD.
∴△AFB∽∠GFD. ∴ ＝ ＝ ＝ .
∴DG＝ AB＝ a，FG＝ AF.
∴AG＝ ＝ a.
∵FG＝ AF，∴AF＝ AG＝ a.
∴ ＝ ＝ .
　 图2
1. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的
长度之比是 ，著名的“断臂维纳斯”便是如此.若某人满足上述黄金
分割比例，且身高为178 cm，则其肚脐至足底的长度可能是
cm.
(89 －89)　
3. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB边上一点.若AE∶AB＝
1∶3，则S△AEF∶S△ADC＝(　A　)
A. 1∶12 B. 1∶9 C. 1∶6 D. 1∶3
第2题图　　　　　第3题图
A
2. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论不正
确的是(　C　)
A. BC＝2DE B. △ADE∽△ABC
C. ＝ D. S△ABC＝4S△ADE
C
4. 如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个
顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是 mm.
第4题图　　　
48　
5. 如图，点B1在直线l：y＝ x上，点B1的横坐标为2，过点B1作
B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长
B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2
交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴
于点A4；……；按照这个规律进行下去，则第n个正方形AnBnBn＋1Cn的
边长为 (结果用含正整数n
的代数式表示).
　　
×()n－1　
第5题图
6. 如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且
AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF.
(1)求证：△ABF≌△EAD；
图1　　 　图2　　 　图3
(1)证明：如图1，∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠DCE.
∵DE∥AB，∴∠ABE＝∠DEC，∠1＝∠2.
∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABE＝∠AEB，∠DCE＝∠DEC.
∴AB＝AE，DE＝DC.
∵AF∥CD，AD∥CF，∴四边形AFCD是平行四边形.
∴AF＝CD. ∴AF＝DE.
(1)证明：如图1，∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠DCE.
∵DE∥AB，∴∠ABE＝∠DEC，∠1＝∠2.
∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABE＝∠AEB，∠DCE＝∠DEC.
∴AB＝AE，DE＝DC.
∵AF∥CD，AD∥CF，∴四边形AFCD是平行四边形.
∴AF＝CD. ∴AF＝DE.
在△ABF和△EAD中，
∴△ABF≌△EAD(SAS).
(2)如图2，若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；
6. 如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且
AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF.
图1　　 　图2　　 　图3
(2)解：由(1)知，△ABF≌△EAD，∴BF＝AD.
在平行四边形AFCD中，AD＝CF，
∴BF＝CF. ∴∠FBC＝∠FCB.
又∵∠FCB＝∠2，∠2＝∠1，∴∠FBC＝∠1.
在△EBF和△EAB中，
∴△EBF∽△EAB. ∴ ＝ .
∵AB＝9，∴AE＝9.
∵CD＝5，∴AF＝5.∴EF＝4.
∴ ＝ .∴BE＝6或－6(舍去).
(2)解：由(1)知，△ABF≌△EAD，∴BF＝AD.
在平行四边形AFCD中，AD＝CF，
∴BF＝CF. ∴∠FBC＝∠FCB.
又∵∠FCB＝∠2，∠2＝∠1，∴∠FBC＝∠1.
在△EBF和△EAB中，
∴△EBF∽△EAB. ∴ ＝ .
∵AB＝9，∴AE＝9.
∵CD＝5，∴AF＝5.∴EF＝4.
∴ ＝ .∴BE＝6或－6(舍去).
图1
6. 如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且
AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF.
图1　　 　图2　　 　图3
(3)如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求 的值.
(3)解：如图2，延长BM，ED交于点G.
图2
∵△ABE与△DCE均为等腰三角形，
∠ABC＝∠DCE，∴△ABE∽△DCE.
∴ ＝ ＝ .设 ＝x，DC＝DE＝a.
则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a.
∴EF＝a(x－1).
(3)解：如图2，延长BM，ED交于点G.
图2
∵△ABE与△DCE均为等腰三角形，
∠ABC＝∠DCE，∴△ABE∽△DCE.
∴ ＝ ＝ .设 ＝x，DC＝DE＝a.
则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a.
∴EF＝a(x－1).
∵AB∥DG，∴∠3＝∠G.
∵M是AD的中点，∴MA＝MD.
在△MAB和△MDG中，
∴△MAB≌△MDG(AAS).
∴DG＝AB＝ax.∴EG＝a(x＋1).
∵AB∥EG，∴△FAB∽△FEG.
∴ ＝ .∴ ＝ .
∴x＋1＝x(x－1).∴x2－2x－1＝0.
∴(x－1)2＝2.∴x＝1± .
∴x1＝1－ (舍去)，x2＝1＋ .
∴ ＝1＋ .(共35张PPT)
2025年广东中考数学一轮备考教材复习检测-
第26章　反比例函数
【思维导图】
【思维导图】
【思维导图】
【范例研讨】
★考点一：反比例函数的概念
例1.下列关系式：①y＝－2x；②y＝ ；③y＝ ；④y＝ (k＞0).其
中y是x的反比例函数的有(　C　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
★考点二：求反比例函数的关系式
例2.已知反比例函数y＝－ 和一次函数y＝－kx－1的图象都经过点
P(m，－3m)，求点P的坐标以及反比例函数和一次函数的关系式.
解：∵点P(m，－3m)是反比例函数y＝－ 图象上的点，
∴－3m＝－ .解得m＝1.
∴点P(1，－3)，反比例函数的关系式为y＝－ .
把点P(1，－3)代入y＝－kx－1，得－3＝－k－1.
解：∵点P(m，－3m)是反比例函数y＝－ 图象上的点，
∴－3m＝－ .解得m＝1.
∴点P(1，－3)，反比例函数的关系式为y＝－ .
把点P(1，－3)代入y＝－kx－1，得－3＝－k－1.
解得k＝2.
∴一次函数的关系式为y＝－2x－1.
∴点P的坐标为(1，－3)，反比例函数的关系式为y＝－ ，一次函数的
关系式为y＝－2x－1.
解得k＝2.
∴一次函数的关系式为y＝－2x－1.
∴点P的坐标为(1，－3)，反比例函数的关系式为y＝－ ，一次函数的
关系式为y＝－2x－1.
例3.已知y与x－3成反比例，且当x＝4时，y＝5，求y与x之间的函数
关系式.
解：设y＝ .
将x＝4，y＝5代入关系式，得
5＝ .解得k＝5.
∴y与x之间的函数关系式为y＝ .
解：设y＝ .
将x＝4，y＝5代入关系式，得
5＝ .解得k＝5.
∴y与x之间的函数关系式为y＝ .
★考点三：反比例函数的图象及性质
例4.若反比例函数y＝ 的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围
是(　D　)
A. k＜－2 B. k＜2 C. k＞－2 D. k＞2
D
例5.已知反比例函数y＝ ，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的
取值范围是(　D　)
A. k＞1 B. k＞－1 C. k≤1 D. k＜1
D
例6.已知函数y＝ ，根据图象回答下列问题：
(1)当x＝－2时，y＝ ；
(2)当1≤x≤4时，y的取值范围是 ；
(3)若点A(x1，－6)，B(x2，－2)，C(x3，2)在反比例函数的图象上，则
x1，x2，x3的大小关系是 .
－6　
3≤y≤12　
x2＜x1＜x3　
例7.若点A(x1，－6)，B(x2，－2)，C(x3，2)在反比例函数y＝ (m
为常数)的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是(　B　)
A. x1＜x2＜x3 B. x2＜x1＜x3
C. x2＜x3＜x1 D. x3＜x2＜x1
B
★考点四：反比例函数与方程、不等式综合
例8.一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝ 的图象交于A(－3，2)，
B(1，n)两点.
(1)一次函数和反比例函数的关系式分别为 ；
y＝－2x－4和y＝－ 　
(2)写出方程kx＋b＝ 的解为 ；
(3)写出不等式kx＋b＞ 的解集为 ；
(4)△AOB的面积为 .
x＝－3或1　
x＜－3或0＜x＜1　
8　
例9.函数y1＝ax2＋bx＋c与y2＝ 的图象如图所示，直接写出y1≥y2的
解集为 .
－1≤x＜0或1≤x≤2　
★考点五：反比例函数中k的几何意义
例10.如图，平行于x轴的直线与函数y＝ (k1＞0，x＞0)，y＝ (k2＞
0，x＞0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上
的一个动点.若△ABC的面积为6，则k1－k2的值为 .
例11.如图，点A是反比例函数y＝ 图象上一点，过点A作AB⊥y轴于
点B，点C，D在x轴上，且BC∥AD. 若四边形ABCD的面积为4，则
k＝ .
12　
－4　
例10题图　　　　　例11题图　　　
例12.如图，矩形OACB的顶点C在反比例函数y＝ (x＞0，k1＞0)的图
象上，交反比例函数y＝ (x＞0，k2＞0)的图象于点D，E，EF⊥AO
于点F，连接DF. 若CB＝3CE，S四边形DCEF＝2，则k1＝ .
例12题图
9　
★考点六：反比例函数的实际应用
例13.如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气
储存室，则储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)的函数图
象大致是(　A　)
A. B.
C. D.
A
例14.某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为定值，单位：m3)的
圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：
m)是反比例函数关系，它的图象如图所示.
(1)求储存室的容积V的值；
(1)解：设底面积S与其深度d的反比例函数关系式为S＝ .
把点(20，500)代入关系式，得500＝ .
∴V＝10 000.
(1)解：设底面积S与其深度d的反比例函数关系式为S＝ .
把点(20，500)代入关系式，得500＝ .
∴V＝10 000.
(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底
面积S的取值范围.
(2)解：由(1)，得S＝ .
∵当d＞0时，S随d的增大而减小，
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625.
(2)解：由(1)，得S＝ .
∵当d＞0时，S随d的增大而减小，
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625.
例14.某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为定值，单位：m3)的
圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：
m)是反比例函数关系，它的图象如图所示.
1. 关于反比例函数y＝ ，下列说法错误的是(　D　)
A. 函数图象分别位于第一、三象限
B. 当x＞0时，y随x的增大而减小
C. 函数图象关于直线y＝x轴对称
D. 若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2
D
2. 某高铁站建设初期需要运送大量土石方，某运输公司承担了运送总量
为106 m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v(单位：m3/
天)与完成运送任务所需时间t(单位：天)之间的函数关系式是(　A　)
A. v＝ B. v＝106t
C. v＝ t2 D. v＝106t2
A
3. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx＋1与y＝ (k≠0)的图象可能
是(　A　)
A B C D
A
4. 如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝ (k＞0)的图象交于点
A(1，2)，B(－2，－1)，则关于x的不等式ax＋b＞ 的解集是(　C　)
A. x＜－2或0＜x＜1
B. x＜－1或0＜x＜2
C. －2＜x＜0或x＞1
D. －1＜x＜0或x＞2
第4题图　　　
C
5. 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是双曲线y＝－ (m为常数)
上的三点，已知x3＞x2＞0＞x1.若y2＞y3＞y1，则m的取值范围是
.
m
＞ 　
6. (2024·湖南中考)在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比
例关系，即f＝ (k为常数，k≠0).若某乐器的弦长l为0.9 m，振动频率
f为200 Hz，则k的值为 .
180　
7. (2024·威海中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax＋b(a≠0)
与双曲线y2＝ (k≠0)交于点A(－1，m)，B(2，－1)，则满足y1≤y2的x
的取值范围为 .
　　
第7题图
－1≤x＜0或x≥2　
8. 点A是反比例函数y＝ (x＞0)上的点，过点A作AB⊥x轴，垂足为
B. 若△AOB的面积为8，则一元二次方程x2－4x＋k＝0的根的情况
为 .
无实数根或有两个不相等的实数根　
9. 如图，点A(3，n)在双曲线y＝ 上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C.
线段OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC的周长是(　D　)
A. 8 B. 6 C. 1＋2 D. 4
第9题图　　　
D
10. 如图，已知在Rt△ABO中，点B的坐标为(－1， )，将△ABO绕
点O旋转至△A'B'O的位置，使点A'落在边OB上，点B'落在反比例函数y
＝ 的图象上，则k的值为 　 　.
　　
第10题图
　
11. (2024·甘肃中考)如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向
上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax＋b的图象，与反比例函数y
＝ (x＞0)的图象交于点A(2，4).过点B(0，2)作x轴的平行线分别交y＝
ax＋b与y＝ (x＞0)的图象于C，D两点.
(1)求一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝ 的解析式；
(1)解：∵将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一
次函数y＝ax＋b的图象，
∴y＝ax＋b＝ax＋3.
把A(2，4)代入y＝ax＋3中，得2a＋3＝4，解得a＝ .
∴一次函数y＝ax＋b的解析式为y＝ x＋3.
把A(2，4)代入y＝ (x＞0)中，得4＝ (x＞0)，解得k＝8.
∴反比例函数y＝ (x＞0)的解析式为y＝ (x＞0).
(1)解：∵将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一
次函数y＝ax＋b的图象，
∴y＝ax＋b＝ax＋3.
把A(2，4)代入y＝ax＋3中，得2a＋3＝4，解得a＝ .
∴一次函数y＝ax＋b的解析式为y＝ x＋3.
把A(2，4)代入y＝ (x＞0)中，得4＝ (x＞0)，解得k＝8.
∴反比例函数y＝ (x＞0)的解析式为y＝ (x＞0).
11. (2024·甘肃中考)如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向
上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax＋b的图象，与反比例函数y
＝ (x＞0)的图象交于点A(2，4).过点B(0，2)作x轴的平行线分别交y＝
ax＋b与y＝ (x＞0)的图象于C，D两点.
(2)连接AD，求△ACD的面积.
(2)解：∵BC∥x轴，B(0，2)，
∴点C和点D的纵坐标都为2.
在y＝ x＋3中，当y＝ x＋3＝2时，x＝－2，即C(－2，2).
在y＝ (x＞0)中，当y＝ ＝2时，x＝4，即D(4，2).
∴CD＝4－(－2)＝6.
∵A(2，4)，∴S△ACD＝ CD·(yA－yC)＝ ×6×(4－2)＝6.
(2)解：∵BC∥x轴，B(0，2)，
∴点C和点D的纵坐标都为2.
在y＝ x＋3中，当y＝ x＋3＝2时，x＝－2，即C(－2，2).
在y＝ (x＞0)中，当y＝ ＝2时，x＝4，即D(4，2).
∴CD＝4－(－2)＝6.
∵A(2，4)，∴S△ACD＝ CD·(yA－yC)＝ ×6×(4－2)＝6.
12. (2024·广州中考)如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B在函
数y＝ (x＞0)的图象上，A(1，0)，C(0，2).将线段AB沿x轴正方向平
移得线段A'B'(点A平移后的对应点为A')，A'B'交函数y＝ (x＞0)的图象
于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k＝2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA'的面积；
③A'E的最小值是 ；
④∠B'BD＝∠BB'O.
其中正确的结论有 (填序号).
①②④　
13. (2024·深圳中考)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，
tan∠AOC＝ ，且点A落在反比例函数y＝ 的图象上，点B落在反比例
函数y＝ (k≠0)的图象上，求k值.
解：如图，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为D，E.
∵tan∠AOC＝ ，
∴ ＝ .设AD＝4a，则OD＝3a.
∴点A(3a，4a).∵点A在反比例函数y＝ 的图象上，
∴3a·4a＝3，解得a＝ (负值已舍).∴点A(，2).
∴AD＝2，OD＝ .
∴OA＝ ＝ .
∵四边形AOCB为菱形，
解：如图，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为D，E.
∵tan∠AOC＝ ，
∴ ＝ .设AD＝4a，则OD＝3a.
∴点A(3a，4a).∵点A在反比例函数y＝ 的图象上，
∴3a·4a＝3，解得a＝ (负值已舍).∴点A(，2).
∴AD＝2，OD＝ .
∴OA＝ ＝ .
∵四边形AOCB为菱形，
∴AB＝OA＝ ，AB∥CO. ∴点B(4，2).
∵点B落在反比例函数y＝ (k≠0)的图象上，
∴k＝4×2＝8.
∴AB＝OA＝ ，AB∥CO. ∴点B(4，2).
∵点B落在反比例函数y＝ (k≠0)的图象上，
∴k＝4×2＝8.(共34张PPT)
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第29章　投影与视图
【思维导图】
【思维导图】
【范例研讨】
★考点一：投影
例1.灯光形成的投影是 ，太阳光线形成的投影是 .
中心投影　
平行投影
例2.一位同学想利用树影测树高，已知在某一时刻直立于地面长1 m的竹
竿的影长为2 m，但当他准备测量树影时，发现树的影子有一部分落在墙
上(如图).经测量，留在墙上的影高CD＝1.2 m，落在地面部分的影长
BC＝5.6 m，则树高AB＝ m.
4　
★考点二：三视图的画法
①类型一：简单几何体的三视图
例3.如图所示的几何体，对其三视图叙述正确的是(　C　)
A. 左视图和俯视图相同
B. 三个视图都不相同
C. 主视图和左视图相同
D. 主视图和俯视图相同
C
例4.下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是(　B　)
A. B.
C. D.
B
②类型二：组合体的三视图
例5.如右图所示的几何体的左视图是(　D　)
A. B.
C. D.
D
例6.如图所示的几何体，是由几个相同的小正方体组合而成的，其俯视
图为(　B　)
A. B. C. D.
例6题图　　　　　 例7题图
B
例7.如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是(　A　)
A. B.
C. D.
A
例7题图
③类型三：由一种或两种视图，判断其他视图
例8.如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方
形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是
(　B　)
A. B. C. D.
例8题图　
B
★考点三：由三视图还原几何体
例9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为(　D　)
A. B. C. D.
D
例9题图
例10.如图是从不同方向看某个立体图形得到的平面图形，这个立体图形
的展开图可以是(　D　)
从正面看　　　 从左面看　　　 从上面看
A. B.
D
C. D.
★考点四：由三视图完成相关几何体的计算
例11.如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位： cm)，则这个几何体的
侧面积为(　B　)
A. 48π cm2 B. 24π cm2
C. 12π cm2 D. 9π cm2
B
例12.如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得该几何体
的侧面积为 .
例13.如图是由几个大小相同的小正方体组合而成的几何体，则下列视图
中面积最小的是(　C　)
A. 主视图 B. 俯视图
C. 左视图 D. 主视图和俯视图
例12题图　　　　　例13题图
2π　
C
1. 小强的身高和小明的身高一样，那么在同一路灯下(　D　)
A. 小明的影子比小强的影子长
B. 小明的影子比小强的影子短
C. 小明的影子和小强的影子一样长
D. 无法判断谁的影子长
D
2. 下列几何体中，左视图是矩形的有(　B　)
圆柱　　　圆锥　　　棱柱　　　长方体
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
B
4. 如图，该纸杯的主视图是(　A　)
A. B. C. D.
第3题图　　　　第4题图
A
3. 由4个棱长均为1的小正方体组成如图所示的几何体，这个几何体的表
面积为(　A　)
A. 18 B. 15 C. 12 D. 6
A
5. 古代中国诸多技艺均领先世界.榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两
个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫(或榫头)，
凹进部分叫卯(或榫眼、榫槽)，榫和卯咬合，起到连接作用，如图是某个
部件“榫”的实物图，它的主视图是(　A　)
A. B. C. D.
A
6. 如图是某几何体的三视图.
(1)写出这个几何体的名称；
解：(1)由此几何体的三视图，得该几何体是底面直径为4 cm，母线长为5
cm的圆锥.
(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积.
解：(2)此几何体的表面积为 ×4π×5＋π×22＝14π(cm2).
解：(1)由此几何体的三视图，得该几何体是底面直径为4 cm，母线长为5
cm的圆锥.
解：(2)此几何体的表面积为 ×4π×5＋π×22＝14π(cm2).
7. 一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的
全面积.
主视图　　　左视图　　　俯视图
解：根据三视图，得该几何体是一个三棱柱，2个底面都是边长
为4的等边三角形，3个侧面都是长为6、宽为4的长方形.
如图，AC⊥BC，∴AB＝4，BC＝2，则AC＝ ＝
2 .
　俯视图
∴底面积为 ×4×2 ＝4 ，侧面积为3×4×6＝72，
则该几何体的全面积为4 ×2＋72＝8 ＋72.
解：根据三视图，得该几何体是一个三棱柱，2个底面都是边长
为4的等边三角形，3个侧面都是长为6、宽为4的长方形.
如图，AC⊥BC，∴AB＝4，BC＝2，则AC＝ ＝2 .
俯视图
∴底面积为 ×4×2 ＝4 ，侧面积为3×4×6＝72，
则该几何体的全面积为4 ×2＋72＝8 ＋72.
8. 某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示.该浮漂
的俯视图是图2，那么它的主视图是(　D　)
图1　　 图2
A. B.
C. D.
D
9. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则
搭成该几何体的小正方体的个数最少是(　B　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
主视图　　 左视图
第9题图　　　　　
B
10. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视
图，则组成这个几何体的小正方体的个数不可能是(　D　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
　　
主视图　　左视图
第10题图
D
11. 如图是一个长方体的三视图，根据图中数据计算这个长方体的体积
是 .
24　
12. 如图由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视
图，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数.
主视图　　　　俯视图
(1)填空：x＝ ，y＝ ；
2　
3　
(2)利用上题结论，先化简再求值：2(3x2y－xy2)－(xy2＋4x2y)＋2xy2.
解：(2)原式＝6x2y－2xy2－xy2－4x2y＋2xy2
＝2x2y－xy2.
当x＝2，y＝3时，
原式＝2×22×3－2×32
＝2×4×3－2×9
＝24－18
＝6.
解：(2)原式＝6x2y－2xy2－xy2－4x2y＋2xy2
＝2x2y－xy2.
当x＝2，y＝3时，
原式＝2×22×3－2×32
＝2×4×3－2×9
＝24－18
＝6.
13. 某几何体是由完全相同的小正方体组合而成的，下图是这个几何体
的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是(　A　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
主视图　　左视图 俯视图　　　　　
A
14. 由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图
和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有(　C　)
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
　
主视图　　　左视图
第14题图
C
15. 为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两幢楼房间的距离至少
为40 m，中午12时不能挡光.如图，某旧楼的一楼窗台高1 m，要在此楼
正南方40 m处再建一幢新楼.已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照
射，并且光线与水平线的夹角最小为30°，在不违反规定的情况下，新
建楼房最高 m.(结果精确到1 m. ≈1.732， ≈1.414)
24　
16. 如图所示是一个几何体的三视图(单位：cm).
(1)写出这个几何体的名称；
解：(1)这个几何体是圆锥.
(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积；
解：(2)这个圆锥的底面半径为2，母线长为6，
∴S表＝S侧＋S底＝ π×4×6＋π×22＝16π(cm2).
∴这个几何体的表面积为16π cm2.
解：(1)这个几何体是圆锥.
解：(2)这个圆锥的底面半径为2，母线长为6，
∴S表＝S侧＋S底＝ π×4×6＋π×22＝16π(cm2).
∴这个几何体的表面积为16π cm2.
主视图　 左视图 俯视图　　　　
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面
爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程.
主视图　 左视图 俯视图　　　　
16. 如图所示是一个几何体的三视图(单位：cm).
解：(3)如图，将圆锥侧面沿AB展开，则图中线段BD'为所
求最短路程.
设∠BAB'的度数为n.
由 ＝2π×2＝4π，可得 ＝4π，解得n＝120°.
∵点C'为 的中点，∴∠BAC'＝60°.
又∵AB＝AC'，∴△ABC'是等边三角形.
又∵D'是AC'的中点，∴∠AD'B＝90°.
∴ sin ∠BAD'＝ ，∴BD'＝AB· sin 60°＝6× ＝3
(cm).
∴这条路线的最短路程是3 cm.(共34张PPT)
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第28章　锐角三角函数
【思维导图】
【思维导图】
【思维导图】
【范例研讨】
★考点一：锐角三角函数的定义
例1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则 sin B
＝ 　 　； cos B＝ 　 　；tan B＝ 　 　.
　
　
　
例2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕
点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则 sin
∠BB'C'的值为(　C　)
A. B. C. D.
C
例3.如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则 cos ∠ABC的值为
(　B　)
A. B.
例2题图　　　　 例3题图
B
C. D.
例4.如图，圆锥的底面半径为3，侧面积为18π，设圆锥的母线与高的夹
角为α，则tan α的值是 .
　
★考点二：特殊角的三角函数值
例5.计算：()－1－2 cos 45°＋｜－ ｜.
解：原式＝2－2× ＋ ＝2.
解：原式＝2－2× ＋ ＝2.
例6.在△ABC中，(2 cos A－ )2＋ ＝0，则△ABC一定是
(　D　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
D
★考点三：解直角三角形
例7.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形， sin ∠AOC＝
，且点A落在反比例函数y＝ 上，点B落在反比例函数y＝ (k≠0)
上，则k＝ .
32　
例8.如图，PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，过点A作
AB⊥OP，交☉O于点B.
(1)求证：PB是☉O的切线；
(1)证明：如图，连接OB.
∵PA是以AC为直径的☉O的切线，
∴∠PAO＝90°.
∵OA＝OB，AB⊥OP，∴∠POA＝∠POB.
又∵OP＝OP，∴△PAO≌△PBO(HL).
∴∠PBO＝∠PAO＝90°.
∴OB⊥PB，∵OB是☉O的半径，
∴PB是☉O的切线.
(1)证明：如图，连接OB.
∵PA是以AC为直径的☉O的切线，
∴∠PAO＝90°.
∵OA＝OB，AB⊥OP，∴∠POA＝∠POB.
又∵OP＝OP，∴△PAO≌△PBO(HL).
∴∠PBO＝∠PAO＝90°.
∴OB⊥PB，∵OB是☉O的半径，
∴PB是☉O的切线.
例8.如图，PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，过点A作
AB⊥OP，交☉O于点B.
(2)若AB＝6， cos ∠PAB＝ ，求PO的长.
(2)解：如图，设OP与AB交于点D.
∵AB⊥OP，AB＝6，∴DA＝DB＝3，
∠PDA＝∠PDB＝90°.
∵ cos ∠PAB＝ ＝ ＝ ，
∴PA＝5.∴PD＝ ＝ ＝4.
在Rt△APD和Rt△APO中，
∵ cos ∠APD＝ ， cos ∠APD＝ ，
∴ ＝ .∴PO＝ ＝ .
★考点四：解直角三角形的应用
①类型一：方位角问题
例9.一辆小汽车在某城市道路上自西向东行驶，某“玩转数学”活动小
组在距路边20 m的点C处放置了“检测仪器”，测得该车从北偏西60°
方向的点A行驶到东北方向的点B，所用时间为6 s，则AB的长为
m.
(20
＋20 )　
②类型二：坡度问题
例10.如图，某地修建一座高BC＝5 m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1∶ ，则斜坡AB的长度为(　A　)
A
A. 10 m B. 10 m C. 5 m D. 5 m
例10题图　　
③类型三：仰角、俯角问题
例11.如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，
45°，如果此时热气球C处的高度CD为100 m，A，D，B三点在同一
直线上，则A，B两点间的距离是 m.
例11题图
(100 ＋100)　
例12.如图，花城广场对岸有广州塔AB，小明同学站在花城广场的C处
看塔顶点A的仰角为32°，向塔前进360 m到达点D，在D处看塔顶点A
的仰角为45°.
(1)求广州塔AB的高度( sin 32°≈0.530， cos 32°≈0.848，tan
32°≈0.625)；
(1)解：设广州塔AB的高度为x m.
∵∠ADB＝45°，AB⊥BC，
∴∠DAB＝∠ADB＝45°.
∴BD＝AB＝x m.
∴BC＝CD＋BD＝(360＋x)m.
∵∠ACB＝32°，
∴在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ，即 ＝tan
32°≈0.625.
解得x≈600.
经检验，x≈600是所列分式方程的解，且符合题意.
∴广州塔AB的高度约为600 m.
(2)一架无人机从广州塔顶点A出发，沿水平方向AF飞行300 m到达A'
处，求此时从A'处看点D的俯角的正切值.
(2)解：如图，过点D作DH⊥AF于点H，
则四边形ABDH是正方形.
∴AH＝HD＝AB＝600 m，∠AHD＝90°.
∵AA'＝300 m，
∴A'H＝AH－AA'＝300 m.
∴在Rt△A'DH中，tan∠DA'H＝ ＝ ＝2.
∴从A'处看点D的俯角的正切值为2.
(2)解：如图，过点D作DH⊥AF于点H，
则四边形ABDH是正方形.
∴AH＝HD＝AB＝600 m，∠AHD＝90°.
∵AA'＝300 m，
∴A'H＝AH－AA'＝300 m.
∴在Rt△A'DH中，tan∠DA'H＝ ＝ ＝2.
∴从A'处看点D的俯角的正切值为2.
★考点五：解直角三角形综合
例13.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5， sin ∠CAB＝ ，D是斜
边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交直线BC于点F.
(1)当tan∠BCD＝ 时，求线段BF的长；
(1)解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，
sin ∠CAB＝ ，∴BC＝4，AC＝3.
∵AE⊥CD，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＋∠AFC＝90°，∠AFC＋∠CAF＝
90°.
∴∠CAF＝∠BCD.
∴tan∠CAF＝tan∠BCD＝ .
又∵∠ACB＝90°，AC＝3，
∴CF＝ .∴BF＝ .
(2)当点F在边BC上时，设AD＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式
及其自变量的取值范围；
★考点五：解直角三角形综合
例13.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5， sin ∠CAB＝ ，D是斜
边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交直线BC于点F.
(2)解：如图，过点B作BG∥AC，交CD的延长线于点G.
∴ ＝ ，即 ＝ ，①∠GBC＝∠ACB＝90°.
由(1)得tan∠CAF＝tan∠BCD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，②由①②得 ＝ .
y＝ ＝ － (≤x≤5).
(2)解：如图，过点B作BG∥AC，交CD的延长线于点G.
∴ ＝ ，即 ＝ ，①∠GBC＝∠ACB＝90°.
由(1)得tan∠CAF＝tan∠BCD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，②由①②得 ＝ .
y＝ ＝ － (≤x≤5).
(3)当BF＝ 时，求线段AD的长.
★考点五：解直角三角形综合
例13.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5， sin ∠CAB＝ ，D是斜
边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交直线BC于点F.
(3)解：①当点F在线段BC上时，
把y＝ 代入y＝ － ，解得x＝ .
②当点F在CB的延长线上时，过点B作BG∥AC，交CD的
延长线于点G.
设AD＝x，由(2)同理可得 ＝ .解得x＝ .
综上所述，当BF＝ 时，线段AD的长为 或 .
(3)解：①当点F在线段BC上时，
把y＝ 代入y＝ － ，解得x＝ .
②当点F在CB的延长线上时，过点B作BG∥AC，交CD的
延长线于点G.
设AD＝x，由(2)同理可得 ＝ .解得x＝ .
综上所述，当BF＝ 时，线段AD的长为 或 .
1. 在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对
边，则有(　C　)
A. b＝a·tan A B. b＝c· sin A
C. a＝c· cos B D. c＝a· sin A
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是(　A　)
A. tan A＝ B. sin 2A＋ cos 2A＝1
C. sin 2A＋ sin 2B＝1 D. tan A·tan B＝1
C
A
3. 如图，在点F处看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15 m到达点
E，即EF＝15 m，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函
数表示为(　C　)
A. 15 sin 32° m B. 15tan 64° m
C. 15 sin 64° m D. 15tan 32° m
C
4. 河堤横断面迎水坡AB的坡比为1∶3，堤高BC＝6 m，则坡面AB的长
度是(　D　)
A. 8 m B. 18 m C. 2 m D. 6 m
D
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别在BC，AB上.
若AC＝8，CD＝2，DE⊥AB， sin B＝ ，则ED的长度为(　A　)
A. 3.2 B. 4 C. 4.5 D. 4.8
A
6. 如图，AB是☉O的直径，CD为☉O的弦，AB与CD交于点E，且
∠CEB＝60°，且OE＝3，AE＝1.则CD的长为(　D　)
A. 5 B. 6 C. D.
第5题图　　　　第6 题图
D
7. (1)如图1，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点
上，则∠AOB的正弦值是 ；
(2)如图2，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的每个顶点都在
格点上，则∠BAC的余弦值是 .
图1　　　　图2
　
　
8. 如图，海平面上灯塔O方圆100 km范围内有暗礁.一艘轮船自西向东
方向航行，在点A处测得灯塔O在北偏东60°方向，继续航行100 km
后，在点B处测得灯塔O在北偏东37°方向.请你作出判断，为了避免触
礁，这艘轮船是否要改变航向？ .(填“是”或“否”，参考数
据： sin 37°≈0.601 8， cos 37°≈0.798 6，tan 37°≈0.753 6，
≈1.732)
否　
9. 在△ABF中，C为AF上一点且AB＝AC.
(1)尺规作图：作出以AB为直径的☉O，☉O分别交AC，BC于点D，
E，在图上标出点D，E(保留作图痕迹，不写作法)；
解：(1)如图所示.
解：(1)如图所示.
(2)若∠BAF＝2∠CBF，求证：直线BF是☉O的切线；
解：(2)证明：如图，连接AE.
∵AB是☉O的直径，∴∠AEB＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°.
∵AB＝AC，∴∠1＝ ∠CAB.
∵∠BAF＝2∠CBF，∴∠CBF＝ ∠CAB.
∴∠1＝∠CBF. ∴∠CBF＋∠2＝90°.
∴∠ABF＝90°.
∵AB是☉O的直径，∴直线BF是☉O的切线.
解：(2)证明：如图，连接AE.
∵AB是☉O的直径，∴∠AEB＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°.
∵AB＝AC，∴∠1＝ ∠CAB.
∵∠BAF＝2∠CBF，∴∠CBF＝ ∠CAB.
∴∠1＝∠CBF. ∴∠CBF＋∠2＝90°.
∴∠ABF＝90°.
∵AB是☉O的直径，∴直线BF是☉O的切线.
9. 在△ABF中，C为AF上一点且AB＝AC.
(3)在(2)中，若AB＝5， sin ∠CBF＝ ，求BC和BF的长.
解：(3)解：如图，过点C作CG⊥AB于点G.
∵ sin ∠CBF＝ ，∠1＝∠CBF，∴ sin ∠1＝ .
∵∠AEB＝90°，AB＝5，∴BE＝AB· sin ∠1＝ .
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2 .
在Rt△ABE中，AE＝ ＝2 ，
∴ sin ∠2＝ ， cos ∠2＝ .
在Rt△CBG中，
解：(3)解：如图，过点C作CG⊥AB于点G.
∵ sin ∠CBF＝ ，∠1＝∠CBF，∴ sin ∠1＝ .
∵∠AEB＝90°，AB＝5，∴BE＝AB· sin ∠1＝ .
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2 .
在Rt△ABE中，AE＝ ＝2 ，
∴ sin ∠2＝ ， cos ∠2＝ .
在Rt△CBG中，
GC＝BC· sin ∠2＝2 × ＝4，
GB＝BC· cos ∠2＝2.∴AG＝3.
∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF.
∴ ＝ .∴BF＝ ＝ .
GC＝BC· sin ∠2＝2 × ＝4，
GB＝BC· cos ∠2＝2.∴AG＝3.
∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF.
∴ ＝ .∴BF＝ ＝ .(共34张PPT)
2025年广东中考数学一轮备考教材复习检测-
第25章　概率初步
【思维导图】
【思维导图】
【思维导图】
【思维导图】
【范例研讨】
★考点一：事件的分类
例1.下列各事件是必然事件的是(　D　)
A. 掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3
B. 某同学投篮球，一定投不中
C. 经过红绿灯路口时，一定是红灯
D. 画一个三角形，其内角和为180°
D
例2.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是(　D　)
A. 水落石出 B. 水涨船高
C. 水滴石穿 D. 水中捞月
D
★考点二：概率
例3.在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同
外，其余均相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是 ，则黄球的个
数为 .
3　
例4.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成四个扇形，标号分别为
Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个数字.指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的
某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作
指向右边的扇形区域).指针指向扇形Ⅰ的概率是 .
　
★考点三：列举法求概率
例5.甲城市有2个景点A，B，乙城市有3个景点C，D，E. 从中随机选
取景点游览，求下列事件的概率.
(1)选取1个景点，恰好在甲城市；
(1)解：选取1个景点，恰好在甲城市的概率为 .
(2)选取2个景点，恰好在同一个城市.
(1)解：选取1个景点，恰好在甲城市的概率为 .
(2)解：列表如下：
　　景点1 景点2　　 A B C D E
A － (B，A) (C，A) (D，A) (E，A)
B (A，B) － (C，B) (D，B) (E，B)
C (A，C) (B，C) － (D，C) (E，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) － (E，D)
E (A，E) (B，E) (C，E) (D，E) －
(2)解：列表如下：
由表可知，共有20种等可能结果，其中选取2个景点，恰好在同一个城市
的结果有8种，
所以选取2个景点，恰好在同一个城市的概率为 ＝ .
由表可知，共有20种等可能结果，其中选取2个景点，恰好在同一个城市
的结果有8种，
所以选取2个景点，恰好在同一个城市的概率为 ＝ .
★考点四：频率估计概率
例6.在一个不透明口袋中装有10个白球，若干个黑球，除颜色外其他完
全相同，经过大量试验发现摸白球的频率稳定在0.2附近，则黑球大约
有 个.
40　
(1)完成表格；
(2)估计该运动员投篮命中的概率为 (精确到0.1)；
(3)估计该运动员2分投篮18次的得分数.
(3)解：这个运动员2分投篮18次大约命中18×0.5＝9(次)，
∴这个运动员2分投篮18次的得分大约为2×9＝18(分).
0.5　
(3)解：这个运动员2分投篮18次大约命中18×0.5＝9(次)，
∴这个运动员2分投篮18次的得分大约为2×9＝18(分).
投篮次数m 20 50 100 150 200
命中次数n 9 25 52 75 98
命中率 0.45 0.5 0.52 0.5 0.49
0.52
0.5
0.49
例7.某校组织篮球队，在一次定点2分投篮训练中，教练记录了一个队员
的情况，制成表格如下：
★考点五：游戏的公平性
例8.为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静
和小丽想合唱一首歌.小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故
乡》.她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一
个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的
几个扇形.同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合
唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线
上，则需要重新转动转盘.请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否
公平.
A转盘　　　　B转盘
解：不公平.理由如下：
根据题意，画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中数字之积小
于4的结果有5种，
∴合唱《大海啊，故乡》的概率是 .
∴合唱《红旗飘飘》的概率是 .
∵ ＜ ，∴游戏不公平.
解：不公平.理由如下：
根据题意，画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中数字之积小
于4的结果有5种，
∴合唱《大海啊，故乡》的概率是 .
∴合唱《红旗飘飘》的概率是 .
∵ ＜ ，∴游戏不公平.
1. 下列事件中，是必然事件的是(　A　)
A. 在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月
B. 买一张电影票，座位号是偶数号
C. 晓丽乘12路公交车去上学，到达公共汽车站时，12路公交车正在驶来
D. 在标准大气压下，温度低于0 ℃时冰融化
A
2. 下列说法正确的是(　C　)
A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，连续抛此硬币2次必有
1次正面朝上
C
3. 如图所示的电路中，当随机闭合开关S1，S2，S3中的两个时，灯泡能
发光的概率为(　A　)
A. B. C. D.
A
4. 一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中
的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断
重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中
红球的个数约为 .
5. 围棋起源于中国，棋子分黑、白两色.一个不透明的盒子中装有3个黑
色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋
子，摸到黑色棋子的概率是 ，则盒中棋子的总个数是 .
8　
12　
6. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，
在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随
机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为(　B　)
A. B. C. D.
B
7. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜
想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.
在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率有
(　B　)
A. B. C. D.
B
8. (2024·增城二模)为培养学生的阅读兴趣，某校提供了四类适合学生阅
读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类.为了解学生的阅读
兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查(每位学生仅选一类)，根据收集
到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
书籍类别 A文学类 B科幻类 C漫画类 D数理类
学生人数 24 m 16 8
(1)本次抽查的学生总人数是 ，统计表中的m＝ ；
(2)在扇形统计图中，求“C漫画类”对应扇形的圆心角度数；
80　
32　
(2)解：在扇形统计图中，“C漫画类”对应扇形的圆心角的度
数是360°× ×100％＝72°.
(
3
)
解
：
画
树
状
图
如
下
：
从
树
状
图
可
知
共
有
1
6
种
等
可
能
的
结
果
，
小
文
、
小
明
选
择
同
一
社
团
的
结
果
共
有
4
种
，
∴
P
(
小
文
、
小
明
选
择
同
一
社
团
)
＝
＝
.
(2)解：在扇形统计图中，“C漫画类”对应扇形的圆心角的度
数是360°× ×100％＝72°.
8. (2024·增城二模)为培养学生的阅读兴趣，某校提供了四类适合学生阅
读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类.为了解学生的阅读
兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查(每位学生仅选一类)，根据收集
到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
书籍类别 A文学类 B科幻类 C漫画类 D数理类
学生人数 24 m 16 8
(3)学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团，小
文、小明同时报名了四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方
法，求小文、小明选择同一社团的概率.
9. (2024·南沙二模)为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班
建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书籍”的调查活动，学生
根据自己的爱好选择一类书籍(A科技类，B文学类，C政史类，D艺术
类，E其他类).张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调
查.根据收集到的数据，绘制了如下两幅不完整的统计图.
请回答下列问题：
(1)参与本次问卷调查活动的学生人数是 ；
(2)甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类
书籍中随机选择一种，请用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学选
择相同类别书籍的概率.
解：(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两
位同学选择相同类别书籍的结果有2
种，
∴P(甲、乙两位同学选择相同类别书
籍)＝ .
50　
解：(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两
位同学选择相同类别书籍的结果有2种，
∴P(甲、乙两位同学选择相同类别书
籍)＝ .
10. 从－ ，－1，1，2，－5中任取一个数作为a，则抛物线y＝ax2＋bx
＋c的开口向上的概率是 .
11. 如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，
能够让灯泡发光的概率为 .
　
　
12. 有五张背面相同的卡片，正面分别印有圆、矩形、等边三角形、菱
形、平行四边形，现将五张卡片正面朝下洗匀任意摆放，从中随机抽取
一张，抽到的卡片恰好是中心对称图形的概率为 .
　
13. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是AO的中点.过点C作
CE⊥AO交 于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为D. 在扇形内随机选
取一点P，则点P落在阴影部分的概率是(　B　)
A. B. C. D.
B
14. 为了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样
调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.
调查结果扇形统计图
调查结果条形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次接受调查的市民总人数是 ；扇形统计图中，“电视”所
对应的圆心角的度数是 ；
(2)现有两位同学，他们每人都通过电视、报纸、电脑上网、手机上网四
种途径中的一种来获取新闻.请用画树状图或列表的方法计算他们刚好通
过同一种途径获取新闻的概率.
1 000　
54°　
(2)解：将电视、报纸、电脑上网、手机上网四种
(2)解：将电视、报纸、电脑上网、手机上网四种
途径分别记为A，B，C，D，画树状图如下：
由图可知，两位同学获取新闻的途径共有16种
结果，其中他们刚好通过同一种途径获取新闻
的结果有4种，
则所求的概率为P＝ ＝ .
∴他们刚好通过同一种途径获取新闻的概率为 .
15. 数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡
片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是
猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”.
(1)若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名
词”的概率是 ；
(2)若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法
求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率.
　
(2)解：根据题意，
画树状图如下：
由图可知，共有12
种等可能的结果，
其中小军抽取的字
谜均是猜“数学家
人名”的结果有2
种，
∴小军抽取的字谜
均是猜“数学家人
名”的概率为 ＝
.
(2)解：根据题意，
画树状图如下：
由图可知，共有12
种等可能的结果，
其中小军抽取的字
谜均是猜“数学家
人名”的结果有2
种，
∴小军抽取的字谜
均是猜“数学家人
名”的概率为 ＝
.(共31张PPT)
2025年广东中考数学一轮备考教材复习检测-
综合卷(1)
数　学
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 下列各图中，是中心对称图形的是(　B　)
A B C D
2. 下列方程中，是一元二次方程的是(　A　)
A. x2＋2x＝0 B. 3＋2x＝0
C. x＝0 D. x＋2x＝0
B
A
3. 一元二次方程3x2－2x－1＝0的根的情况为(　A　)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
4. 下列事件中，为随机事件的是(　D　)
A. 太阳从东方升起
B. 任意画三角形，其内角和为90°
C. 通常加热到100 ℃，水沸腾
D. 射击队员射击一次，命中靶心
A
D
5. 在平面直角坐标系中，点P(－1，－2)关于原点对称的点的坐标是
(　C　)
A. (1，－2) B. (－1，2)
C. (1，2) D. (－2，－1)
6. 不透明的袋子中装有2个白球，3个红球和5个黑球，除颜色外无其他
差别，随机摸出一个球，恰好是白球的概率为(　C　)
A. B. C. D.
C
C
7. 如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，☉O的半径是1，则正六边形
ABCDEF的周长是(　B　)
A. 6 B. 6 C. 6 D. 12
8. 如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这
个圆锥的底面半径是(　B　)
A. 4 B. 2 C. 4π D. 2π
第7题图　　　　　　　第8题图　　　　　
B
B
9. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若｜ax2＋bx＋c｜
＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　A　)
A. k＞3 B. k＞－3 C. k＜3 D. k＜－3
10. 如图，四边形ABCD内接于☉O，E为BC延长线上一点，连接
OD，OB，若OD∥BC，且OD＝BC，则∠BOD的度数是(　D　)
A. 65° B. 115° C. 130° D. 120°
　　
第9题图　　　　　　　第10题图
A
D
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)
11. 设x1，x2是方程x2＋3x－4＝0的两个根，则x1＋x2＝ .
12. 将抛物线y＝(x－1)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位
长度所得到的抛物线的解析式为 .
－3　
y＝x2＋4x＋2　
13. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色.指针的
位置固定，转动的转盘停止后，指针恰好指向白色扇形的概率为 (指针
指向OA时，当作指向黑色扇形；指针指向OB时，当作指向白色扇形)，
则黑色扇形的圆心角∠AOB＝ .
第13题图　　　
45°　
14. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝3，将△ABC绕点A顺
时针旋转90°得到△AB'C'，则BB'＝ .
15. 如图，某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径OA＝10 m，地面宽AB
＝16 m，则高度CD为 .
　
第14题图　　　
6 　
4 m　
16. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，经过点(－1，3)和(1，0)
且与y轴交于负半轴.则下列结论：①a＋b＋c＝0；②abc＜0；③2a＋
b＜0；④a＋c＝ ；其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的
序号)
　
第15题图　　　　第16题图
①④　
三、解答题(本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤)
17. 解方程：2x2－8＝0.
解：2x2＝8，x2＝4，
∴x＝±2，
∴x1＝2，x2＝－2.
解：2x2＝8，x2＝4，
∴x＝±2，
∴x1＝2，x2＝－2.
18. 如图，在△ABC中，边BC与☉A相切于点D，∠BAD＝∠CAD. 求
证：AB＝AC.
∵BC与☉A相切于点D，
∴AD⊥BC. ∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD. ∴AB＝AC.
∵BC与☉A相切于点D，
∴AD⊥BC. ∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD. ∴AB＝AC.
19. 已知关于x的一元二次方程x2－(m－1)x＋m－2＝0.
(1)若该方程有一个实数根为3，求m的值；
(1)解：∵关于x的一元二次方程x2－(m－1)x＋m－2＝0有一个实数根为
3，∴9－3(m－1)＋m－2＝0.∴m＝5.
(2)求证：该方程总有两个实数根.
(2)证明：∵一元二次方程x2－(m－1)x＋m－2＝0，
∴Δ＝[－(m－1)]2－4(m－2)
＝m2－2m＋1－4m＋8
＝(m－3)2.
∵(m－3)2≥0，∴Δ≥0.∴该方程总有两个实数根.
(1)解：∵关于x的一元二次方程x2－(m－1)x＋m－2＝0有一个实数根为
3，∴9－3(m－1)＋m－2＝0.∴m＝5.
(2)证明：∵一元二次方程x2－(m－1)x＋m－2＝0，
∴Δ＝[－(m－1)]2－4(m－2)
＝m2－2m＋1－4m＋8
＝(m－3)2.
∵(m－3)2≥0，∴Δ≥0.∴该方程总有两个实数根.
20. 如图，四边形的对角线AC，BD互相垂直，AC＋BD＝10.当AC，
BD的长是多少时，四边形ABCD面积最大？
解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝10－x.
S＝ x(10－x)＝－ x2＋5x
∵－ ＜0，∴抛物线开口向下.
当x＝－ ＝5时，S最大＝－ ×52＋5×5＝ ，
即当AC＝5，BD＝5时，四边形ABCD面积最大，最大值为 .
解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝10－x.
S＝ x(10－x)＝－ x2＋5x
∵－ ＜0，∴抛物线开口向下.
当x＝－ ＝5时，S最大＝－ ×52＋5×5＝ ，
即当AC＝5，BD＝5时，四边形ABCD面积最大，最大值为 .
21. 学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组
织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动
课程有以下小组：A. 搭豇豆架；B. 斩草除根；C. 趣挖番薯；D. 开垦
播种，学校要求每人只能参加一个小组，且必须参加一个小组.
(1)甲选择“趣挖番薯”小组的概率是 ；
(1)解： .
(2)求甲、乙两人选择同一个小组概率.
　
(1)解： .
(2)解：画树状图如图.
共有16种等可能结果，其中甲、乙两人选择同
一个小组有4种，
∴甲、乙两人选择同一个小组的概率 ＝ .
22. 如图，AB是☉O直径，C为☉O上一点.
(1)尺规作图：求作一点B'，使得B'与B关于直线AC对称；
(1)解：如图1所示，连接BC并延长，以点C为圆心，BC的长度为半径
画弧，与BC的延长线交点即为点B'.
(2)在(1)的条件下，在直线AB'上取一点D，连接CD，若CD⊥AB'，求
证：CD是圆O的切线.
(1)解：如图1所示，连接BC并延长，以点C为圆心，BC的长度为半径
画弧，与BC的延长线交点即为点B'.
(2)解：由(1)，知：AB'＝AB，OC＝OB，
∴∠B'＝∠ABC，∠ABC＝∠BCO.
∴∠B'＝∠BCO. ∴CO∥AD.
∵CD⊥AB'，∴CD⊥OC.
∵OC是☉O的半径，
∴CD是☉O的切线. 图1　　 图2
(2)解：由(1)，知：AB'＝AB，OC＝OB，
∴∠B'＝∠ABC，∠ABC＝∠BCO.
∴∠B'＝∠BCO. ∴CO∥AD.
∵CD⊥AB'，∴CD⊥OC.
∵OC是☉O的半径，
∴CD是☉O的切线.
图1　　 图2
23. 为改善村容村貌，建设美丽乡村，某村计划将一块长18 m、宽10 m
的矩形场地建成绿化广场.如图，广场内部修建同样宽的三条小路，其中
一条路与广场的长边平行，另两条路与广场的短边平行，其余区域进行
绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80％，小路的宽应为多少米？
解：设小路的宽为x m.由题意，得(18－2x)(10－x)＝18×10×80％，
解得x1＝1，x2＝18(不合题意，舍去).
答：使绿化区域的面积为广场总面积的80％，小路的宽为1 m.
解：设小路的宽为x m.由题意，得(18－2x)(10－x)＝18×10×80％，
解得x1＝1，x2＝18(不合题意，舍去).
答：使绿化区域的面积为广场总面积的80％，小路的宽为1 m.
24. 已知抛物线y1＝－x2＋bx＋c经过点A(－1，0)和B(3，0).
(1)求抛物线的解析式；
(1)解：∵抛物线y1＝－x2＋bx＋c经过点A(－1，0)和B(3，0).
得 解得
∴抛物线的解析式为y1＝－x2＋2x＋3.
(2)过点A的直线y2＝kx＋k与抛物线交于点P.
①当0≤x≤3时，若y1－y2的最小值为5，求k的值；
②抛物线的顶点为C，对称轴与x轴交于点D，当点P(不与点B重合)在
抛物线的对称轴右侧运动时，直线AP和直线BP分别与对称轴交于点
M，N，试探究△AMD的面积与△BND的面积之间满足的等量关系.
(1)解：∵抛物线y1＝－x2＋bx＋c经过点A(－1，0)和B(3，0).
得 解得
∴抛物线的解析式为y1＝－x2＋2x＋3.
(2)①解：由题，知y1－y2＝－x2＋2x＋3－kx－k
＝－x2＋(2－k)x＋3－k，∴对称轴是直线x＝ ＝ .
∵－1＜0，∴开口向下.当0＜ ＜3，即－4＜k＜2时，
∵当0≤x≤3时，若y1－y2的最小值为5，当x＝0时，
y1－y2的最小值为5，即3－k＝5，解得k＝－2.
当x＝3时，y1－y2的最小值为5，即－9＋3(2－k)＋3－k＝5，
(2)①解：由题，知y1－y2＝－x2＋2x＋3－kx－k
＝－x2＋(2－k)x＋3－k，∴对称轴是直线x＝ ＝ .
∵－1＜0，∴开口向下.当0＜ ＜3，即－4＜k＜2时，
∵当0≤x≤3时，若y1－y2的最小值为5，当x＝0时，
y1－y2的最小值为5，即3－k＝5，解得k＝－2.
当x＝3时，y1－y2的最小值为5，即－9＋3(2－k)＋3－k＝5，
解得k＝－ (不符合题意舍去).
当 ≤0即k≥2时，∵当0≤x≤3时，若y1－y2的最小值为5，
∴当x＝3时，y1－y2的最小值为5，
即－9＋3(2－k)＋3－k＝5，
解得k＝－ (不符合题意，舍去).
当 ≥3即k≤－4时，同理可得不符合题意.
综上所述，k＝－2.
解得k＝－ (不符合题意舍去).
当 ≤0即k≥2时，∵当0≤x≤3时，若y1－y2的最小值为5，
∴当x＝3时，y1－y2的最小值为5，
即－9＋3(2－k)＋3－k＝5，
解得k＝－ (不符合题意，舍去).
当 ≥3即k≤－4时，同理可得不符合题意.
综上所述，k＝－2.
②解：∵抛物线的解析式为y1＝－x2＋2x＋3，
整理为顶点式有y1＝－(x－1)2＋4，对称轴为直线x＝1.
∵抛物线的顶点为C，对称轴与x轴交于点D，
∴点C(1，4)，D(1，0).∵直线AP的解析式为y2＝kx＋k，
且直线AP与对称轴交于点M，∴点M(1，2k)，
即DM＝2k.
∵过点A的直线y2＝kx＋k与抛物线交于点P，
有－x2＋2x＋3＝kx＋k，
整理，得－x2＋(2－k)x＋3－k＝0，
②解：∵抛物线的解析式为y1＝－x2＋2x＋3，
整理为顶点式有y1＝－(x－1)2＋4，对称轴为直线x＝1.
∵抛物线的顶点为C，对称轴与x轴交于点D，
∴点C(1，4)，D(1，0).∵直线AP的解析式为y2＝kx＋k，
且直线AP与对称轴交于点M，∴点M(1，2k)，
即DM＝2k.
∵过点A的直线y2＝kx＋k与抛物线交于点P，
有－x2＋2x＋3＝kx＋k，
整理，得－x2＋(2－k)x＋3－k＝0，
解得x1＝－1，x2＝3－k.将x＝3－k代入y2＝kx＋k中，
有y2＝4k－k2，∴点P(3－k，4k－k2)，
设直线BP的解析式为y3＝mx＋n，
有 解得
∴直线BP得解析式为y3＝(－4＋k)x＋12－3k.
∵直线BP与对称轴交于点N，∴点N(1，8－2k)，
即DN＝8－2k.
当点P在第一象限时，
S△AMD＝ AD·DM＝ ×2·2k＝2k，
解得x1＝－1，x2＝3－k.将x＝3－k代入y2＝kx＋k中，
有y2＝4k－k2，∴点P(3－k，4k－k2)，
设直线BP的解析式为y3＝mx＋n，
有 解得
∴直线BP得解析式为y3＝(－4＋k)x＋12－3k.
∵直线BP与对称轴交于点N，∴点N(1，8－2k)，
即DN＝8－2k.
当点P在第一象限时，
S△AMD＝ AD·DM＝ ×2·2k＝2k，
S△BND＝ BD·DN＝ ×2·(8－2k)＝8－2k，
∴S△AMD＋S△BND＝2k＋8－2k＝8.
当点P在第四象限时，
S△AMD＝ AD·DM＝ ×2·(－2k)＝－2k，
S△BND＝ BD·DN＝ ×2·(8－2k)＝8－2k，
∴S△BND－S△AMD＝8－2k－(－2k)＝8.
综上所述，S△AMD＋S△BND＝8或S△BND－S△AMD＝8.
S△BND＝ BD·DN＝ ×2·(8－2k)＝8－2k，
∴S△AMD＋S△BND＝2k＋8－2k＝8.
当点P在第四象限时，
S△AMD＝ AD·DM＝ ×2·(－2k)＝－2k，
S△BND＝ BD·DN＝ ×2·(8－2k)＝8－2k，
∴S△BND－S△AMD＝8－2k－(－2k)＝8.
综上所述，S△AMD＋S△BND＝8或S△BND－S△AMD＝8.
25. 如图，E为正方形ABCD边BC上的一点，CG平分正方形的外角
∠DCF，将线段AE绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点H.
(1)当点H落在边CD上且CE＝CH时，求∠AEH的度数；
(1)解：如图1所示，
线段AE绕点E顺时针旋转当点H落在边CD上，
∴AE＝EH. ∵四边形ABCD边正方形，
∴CB＝CD＝AB＝AD，∠ABE＝∠ADH＝90°.
∵CE＝CH，∴CB－CE＝CD－CH. ∴BE＝DH.
(1)解：如图1所示，
线段AE绕点E顺时针旋转当点H落在边CD上，
∴AE＝EH. ∵四边形ABCD边正方形，
∴CB＝CD＝AB＝AD，∠ABE＝∠ADH＝90°.
∵CE＝CH，∴CB－CE＝CD－CH. ∴BE＝DH.
图1　　　
在△ABE和△ADH中，
∴△ABE≌△ADH(SAS).∴AH＝AE＝EH，
故△AEH为等边三角形，∴∠AEH＝60°.
25. 如图，E为正方形ABCD边BC上的一点，CG平分正方形的外角
∠DCF，将线段AE绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点H.
(2)当点H落在射线CG上时，求证：AE⊥EH；
(2)证明：如图2，在AB上取作BQ＝BE，
作HI垂直BF于点I，
∵线段AE绕点E顺时针旋转当点H落在边CG上，
∴AE＝EH. ∵AB＝AC，BQ＝BE，∴AQ＝CE.
∵CG平分∠DCF，∴CI＝HI. 设AQ＝CE＝a，
CI＝HI＝b，BQ＝BE＝x.
在Rt△ABE和Rt△EIH中，AE2＝AB2＋BE2，
EH2＝EI2＋IH2，∴AB2＋BE2＝EI2＋IH2，
即(a＋x)2＋x2＝(a＋b)2＋b2，整理，得2(x－b)(a＋b＋
x)＝0，
(2)证明：如图2，在AB上取作BQ＝BE，
作HI垂直BF于点I，
∵线段AE绕点E顺时针旋转当点H落在边CG上，
∴AE＝EH. ∵AB＝AC，BQ＝BE，∴AQ＝CE.
∵CG平分∠DCF，∴CI＝HI. 设AQ＝CE＝a，
CI＝HI＝b，BQ＝BE＝x.
在Rt△ABE和Rt△EIH中，AE2＝AB2＋BE2，
EH2＝EI2＋IH2，∴AB2＋BE2＝EI2＋IH2，
即(a＋x)2＋x2＝(a＋b)2＋b2，整理，得2(x－b)(a＋b＋
x)＝0，
图2　　　
∵a＋b＋x≠0，∴x－b＝0，解得x＝b.∴CI＝BE.
∵CG平分∠DCF，BQ＝BE，
∴∠GCF＝∠BQE＝45°.∴∠AQE＝∠ECH＝135°.
∵QE＝ BE，CH＝ CI，∴QE＝CH.
在△AQE和△ECG中，
∴△AOE≌△ECG(SAS).∴∠QAE＝∠CEG.
∵∠QAE＋∠AEB＝90°，∴∠CEG＋∠AEB＝90°，
∴∠AEG＝90°，故AE⊥EH.
∵a＋b＋x≠0，∴x－b＝0，解得x＝b.∴CI＝BE.
∵CG平分∠DCF，BQ＝BE，
∴∠GCF＝∠BQE＝45°.∴∠AQE＝∠ECH＝135°.
∵QE＝ BE，CH＝ CI，∴QE＝CH.
在△AQE和△ECG中，
∴△AOE≌△ECG(SAS).∴∠QAE＝∠CEG.
∵∠QAE＋∠AEB＝90°，∴∠CEG＋∠AEB＝90°，
∴∠AEG＝90°，故AE⊥EH.
(3)在(2)的条件下，连接AH并与CD交于点P，连接EP，探究AP2，EP2
与HP2之间的数量关系，并说明理由.
25. 如图，E为正方形ABCD边BC上的一点，CG平分正方形的外角
∠DCF，将线段AE绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点H.
(3)解：HP2＋AP2＝2EP2.理由如下：
如图3，过点P作PM⊥EH于点M，PN⊥AE于点N，
由(2)，可知AE⊥EH，∴∠EAH＝∠EHA＝45°，
∴△APN和△PHM为腰直角三角形，
即HP＝ PM，AP＝ PN，∴PH2＝2PM2，AP2＝
2PN2.
∵∠PNE＝∠AEH＝∠PME＝90°，
∴四边形PNEM为矩形.∴PM＝NE.
在Rt△PNE中，EP2＝NE2＋PN2＝PM2＋PN2，
∴HP2＋AP2＝2(PM2＋PN2)＝2EP2，
故HP2＋AP2＝2EP2.
(3)解：HP2＋AP2＝2EP2.理由如下：
如图3，过点P作PM⊥EH于点M，PN⊥AE于点N，
由(2)，可知AE⊥EH，∴∠EAH＝∠EHA＝45°，
∴△APN和△PHM为腰直角三角形，
即HP＝ PM，AP＝ PN，∴PH2＝2PM2，AP2＝
2PN2.
∵∠PNE＝∠AEH＝∠PME＝90°，
∴四边形PNEM为矩形.∴PM＝NE.
在Rt△PNE中，EP2＝NE2＋PN2＝PM2＋PN2，
∴HP2＋AP2＝2(PM2＋PN2)＝2EP2，
故HP2＋AP2＝2EP2.
图3(共36张PPT)
2025年广东中考数学一轮备考教材复习检测-
综合卷(3)
数　学
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项符合题目要求的)
1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是(　C　)
A. y＝3x－1 B. y＝ax2＋bx＋c
C. s＝2t2－2t＋1 D. y＝x2＋
2. 下列说法正确的是(　B　)
A. “平分弦的直径垂直于弦”是必然事件
B. “垂直于弦的直径平分弦”是必然事件
C. 可能性是0.1％的事件在一次试验中一定不会发生
D. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
C
B
3. 用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，经过配方，得到(　D　)
A. (x＋2)2＝5 B. (x－2)2＝5
C. (x－2)2＝3 D. (x＋2)2＝3
4. 如图，AB为☉O的直径，点C，D在☉O上，∠ABC＝38°，锐角
∠BDC的度数为(　B　)
A. 57° B. 52° C. 38° D. 26°
D
B
5. 某中学的九年级篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比
赛，共比赛21场.设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程
正确的是(　A　)
A. x(x－1)＝21 B. x(x＋1)＝21
C. x(x＋1)＝21 D. x(x－1)＝21
A
6. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得
到△DEC，点A，B的对应点分别为点D，E，延长BA交DE于点F，
下列结论一定正确的是(　D　)
A. ∠ACB＝∠ACD B. AC∥DE
C. AB＝EF D. BF⊥CE
　
第6题图　
D
7. 若关于x的一元二次方程(k－2)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实数
根，则实数k的取值范围是(　B　)
A. k＞1 B. k＞1且k≠2
C. k≤1 D. k≥1且k≠2
8. 半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，
b，c，则a，b，c的大小关系是(　A　)
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. a＜c＜b D. c＜b＜a
B
A
9. 如图，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点，将抛物线向上平
移m个单位长度后，点A，B在新抛物线上的对应点分别为点C，D. 若
图中阴影部分的面积为8，则平移后新抛物线的解析式为(　C　)
A. y＝x2－4x＋3 B. y＝x2－4x＋5
C. y＝x2－4x＋7 D. y＝x2－4x＋11
　　　
C
第9题图
10. 对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个
函数的不动点.如果二次函数y＝x2＋2x＋c有两个相异的不动点x1，
x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是(　C　)
A. c＜－3 B. c＜ C. c＜－2 D. c＜1
C
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)
11. 点P(3，－5)关于原点对称的点的坐标为 .
12.一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M，N分别在射线OA，OC上，则∠MON＝ 度.
13. 如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO为 .
第12题图　　　第13题图　
(－3，5)　
80　
4　
14. 已知☉O的半径为10 cm，AB，CD是☉O的两条弦，AB∥CD，
AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm.
2或14　
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AC＝4，BC＝3，则△ABC的
内切圆半径r＝ .
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋
转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM，若BC＝
2，∠BAC＝30°，则线段PM的最小值是 .
　　
第15题图　　　第16题图
1　
1　
三、解答题(本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤)
17. (本题满分4分)解方程：x2－2x－3＝0.
解：原方程可以变形为(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0，x＋1＝0.
∴x1＝3，x2＝－1.
解：原方程可以变形为(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0，x＋1＝0.
∴x1＝3，x2＝－1.
18. (本题满分4分)如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为
(3，－1)，(2，1).
(1)以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的
相似比为2)，画出△OB'C'；
(2)点B的对应点B'的坐标是 ；点C的对应点C'的坐标
是 .
(1)解：如图，△OB'C'即为所求.
(－6，2)　
(－4，－2)　
19. (本题满分6分)为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某
学校开设了四门校本课程供学生选择：A. 趣味数学；B. 博乐阅读；C.
快乐英语；D. 硬笔书法.某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本
年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生
进行测试，将他们的成绩(百分制)分成六组，绘制成频数分布直方图.
(1)已知70≤x＜80这组的数据为72，73，74，75，76，76，79.
则这组数据的中位数是 ；众数是 ；
(2)根据题中信息，估计该年级选择A课程学生
成绩在80≤x＜90的总人数；
75　
76　
(2)解：观察直方图，抽取的30名学生成绩在80≤x＜90范围内选取A课程
的有9人，所占比为 ，
那么估计该年级100名学生，学生成绩在80≤x＜90范围内，选取A课程
的总人数为100× ＝30.
(2)解：观察直方图，抽取的30名学生成绩在80≤x＜90范围内选取A课程
的有9人，所占比为 ，
那么估计该年级100名学生，学生成绩在80≤x＜90范围内，选取A课程
的总人数为100× ＝30.
(3)该年级学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率
是 ；
(4)该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，
若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率
是多少？请用列表或画树状图的方法加以说明.
　
(4)解：因该年级每名学生选两门不同的课程，第一
次都选了课程C，画树状图如下：
共有9种等可能结果，它们分别是(A，A)，(A，B)，
(A，D)，(B，A)，(B，B)，(B，D)，(D，A)，(D，
B)，(D，D)，
他俩第二次同时选择课程A或课程B的结果有2种，它
们分别是(A，A)，(B，B)，
所以他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是 .
(4)解：因该年级每名学生选两门不同的课程，第一
次都选了课程C，画树状图如下：
共有9种等可能结果，它们分别是(A，A)，(A，B)，
(A，D)，(B，A)，(B，B)，(B，D)，(D，A)，(D，
B)，(D，D)，
他俩第二次同时选择课程A或课程B的结果有2种，它
们分别是(A，A)，(B，B)，
所以他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是 .
20. (本题满分6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的☉O
交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E. 判断直线DE与☉O的位
置关系，并说明理由.
解：直线DE与☉O相切.理由如下：如图所示，连接OD.
∵AB为☉O的直径，∴AD⊥BC.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴BD＝DC.
又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线.∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
∵OD是☉O的半径，∴直线DE与☉O相切.
解：直线DE与☉O相切.理由如下：如图所示，连接OD.
∵AB为☉O的直径，∴AD⊥BC.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴BD＝DC.
又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线.∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
∵OD是☉O的半径，∴直线DE与☉O相切.
21. (本题满分8分)已知关于x的一元二次方程：k2x2＋(1－2k)x＋1＝0
有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
解：(1)∵关于x的一元二次方程k2x2＋(1－2k)x＋1＝0有两个不相等的
实数根，
∴Δ＝(1－2k)2－4k2＞0且k2≠0，解得k＜ 且k≠0，
∴k的取值范围是k＜ 且k≠0.
(2)若原方程的两个实数根为x1，x2，且满足｜x1｜＋｜x2｜＝2x1x2－
3，求k的值.
解：(1)∵关于x的一元二次方程k2x2＋(1－2k)x＋1＝0有两个不相等的
实数根，
∴Δ＝(1－2k)2－4k2＞0且k2≠0，解得k＜ 且k≠0，
∴k的取值范围是k＜ 且k≠0.
解：(2)∵原方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，而k＜ 且k≠0；
∴x1＋x2＝ ＜0，x1x2＝ ＞0，∴x1＜0，x2＜0.
∵｜x1｜＋｜x2｜＝2x1x2－3，∴－x1－x2＝2x1x2－3，
即－(x1＋x2)＝2x1x2－3.
∴－ ＝ －3，整理，得3k2－2k－1＝0，
解得k1＝1，k2＝－ .
又∵k＜ 且k≠0，∴k1＝1不合题意，舍去.
经检验，k2＝－ 是方程－ ＝ －3的解.∴k的值为－ .
解：(2)∵原方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，而k＜ 且k≠0；
∴x1＋x2＝ ＜0，x1x2＝ ＞0，∴x1＜0，x2＜0.
∵｜x1｜＋｜x2｜＝2x1x2－3，∴－x1－x2＝2x1x2－3，
即－(x1＋x2)＝2x1x2－3.
∴－ ＝ －3，整理，得3k2－2k－1＝0，
解得k1＝1，k2＝－ .
又∵k＜ 且k≠0，∴k1＝1不合题意，舍去.
经检验，k2＝－ 是方程－ ＝ －3的解.∴k的值为－ .
22. (本题满分10分)如图，某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地
ABCD，为美化环境，用总长为100 m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一
侧不用篱笆，篱笆的厚度不计).
(1)若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
解：(1)证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE.
∵四块矩形花圃的面积相等，则S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，∴AE＝3BE.
解：(1)证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE.
∵四块矩形花圃的面积相等，则S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，∴AE＝3BE.
(2)在(1)的条件下，设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2，
求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
解：(2)∵篱笆总长为100 m，∴2AB＋GH＋3BC＝100，
即2AB＋ AB＋3BC＝100，∴AB＝40－ BC.
设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2，
则y＝BC·AB＝x(40－ x)＝－ x2＋40x.
∵AB＝40－ BC，AB＝4BE，∴EB＝10－ x＞0，
解得x＜ ，∴y＝－ x2＋40x(0＜x＜ ).
解：(2)∵篱笆总长为100 m，∴2AB＋GH＋3BC＝100，
即2AB＋ AB＋3BC＝100，∴AB＝40－ BC.
设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2，
则y＝BC·AB＝x(40－ x)＝－ x2＋40x.
∵AB＝40－ BC，AB＝4BE，∴EB＝10－ x＞0，
解得x＜ ，∴y＝－ x2＋40x(0＜x＜ ).
23. (本题满分10分)某水果超市经销一种高档水果，售价每千克50元.
(1)若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下
降的百分率；
(1)解：设每次下降的百分率为x.根据题意，
得50(1－x)2＝32，解得x1＝0.2，x2＝1.8.
∵x＜1，∴x＝0.2＝20％.答：每次下降的百分率为20％.
(2)若按现售价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查
发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市
规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千
克.现该超市希望每天盈利6 000元，那么每千克应涨价多少元？
(1)解：设每次下降的百分率为x.根据题意，
得50(1－x)2＝32，解得x1＝0.2，x2＝1.8.
∵x＜1，∴x＝0.2＝20％.答：每次下降的百分率为20％.
(2)解：设每千克应涨价y元.根据题意，
得(10＋y)(500－20y)＝6 000，解得y1＝5，y2＝10.
∵y≤8，∴y＝5.
答：现该超市希望每天盈利6 000元，每千克应涨价5元.
(2)解：设每千克应涨价y元.根据题意，
得(10＋y)(500－20y)＝6 000，解得y1＝5，y2＝10.
∵y≤8，∴y＝5.
答：现该超市希望每天盈利6 000元，每千克应涨价5元.
23. (本题满分10分)某水果超市经销一种高档水果，售价每千克50元.
(3)为了迎接新学期，在(2)的基础上，超市决定每卖出1千克捐赠a元
(a≤2)给贫困山区学生，设每千克涨价x元.若要保证当0≤x≤8时，每天
盈利随着x的增加而增大，直接写出a的取值范围.
(3)解：1≤a≤2
(3)解：1≤a≤2
24. (本题满分12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)与x轴交于点
A(4，0)和B(－1，0)两点，与y轴交于点C，点P是直线AC下方的抛物
线上一动点.
(1)求抛物线的解析式；
(1)解：∵抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)经过A(4，0)和
B(－1，0)两点，
∴ 解得
∴该抛物线的解析式为y＝x2－3x－4.
(1)解：∵抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)经过A(4，0)和
B(－1，0)两点，
∴ 解得
∴该抛物线的解析式为y＝x2－3x－4.
24. (本题满分12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)与x轴交于点
A(4，0)和B(－1，0)两点，与y轴交于点C，点P是直线AC下方的抛物
线上一动点.
(2)过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，求线段PE的最大值及
此时点P的坐标；
(2)解：当x＝0时，y＝－4，∴点C(0，－
4)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋n，
则 解得
∴直线AC的解析式为y＝x－4.
设点P(t，t2－3t－4)，则点E(t，t－4)，
(2)解：当x＝0时，y＝－4，
∴点C(0，－ 4)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋n，
则 解得
∴直线AC的解析式为y＝x－4.
设点P(t，t2－3t－4)，则点E(t，t－4)，
∴PE＝t－4－(t2－3t－4)＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4，
∵－1＜0，∴当t＝2时，线段PE的最大值为4，
此时点P的坐标为(2，－6).
∴PE＝t－4－(t2－3t－4)＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4，
∵－1＜0，∴当t＝2时，线段PE的最大值为4，
此时点P的坐标为(2，－6).
(3)取(2)中PE最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点
A，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐
标，若不存在，请说明理由.
24. (本题满分12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)与x轴交于点
A(4，0)和B(－1，0)两点，与y轴交于点C，点P是直线AC下方的抛物
线上一动点.
(3)解：存在.
设点Q(x，y)，又点A(4，0)，C(0，－4)，
P(2，－6)，
当AC，PQ为平行四边形的对角线时，
AC与PQ的中点重合，
∴ 解得 ∴点
Q(2，2).
当AP，CQ为平行四边形的对角线时，AP
与CQ的中点重合，
(3)解：存在.
设点Q(x，y)，又点A(4，0)，C(0，－4)，
P(2，－6)，
当AC，PQ为平行四边形的对角线时，
AC与PQ的中点重合，
∴ 解得 ∴点
Q(2，2).
当AP，CQ为平行四边形的对角线时，AP
与CQ的中点重合，
∴ 解得 ∴点Q(6，－2).
当AQ，CP为平行四边形的对角线时，AQ与CP的中点重合，
∴ 解得 ，∴点Q(－2，－10).
综上所述，点Q的坐标为(2，2)或(6，－2)或(－2，－10).
∴ 解得 ∴点Q(6，－2).
当AQ，CP为平行四边形的对角线时，AQ与CP的中点重合，
∴ 解得 ，∴点Q(－2，－10).
综上所述，点Q的坐标为(2，2)或(6，－2)或(－2，－10).
25. (本题满分12分)如图1，直线y＝－ x＋3 分别与y轴、x轴交于
A，B两点，点C的坐标为(－3，0)，D为直线AB上一动点，连接CD交
y轴于点E.
(1)点B的坐标为 ，不等式－ x＋3 ＞0的解集为 ；
(3，0)　
x＜ 3
(2)若S△COE＝S△ADE，求点D的坐标；
(2)解：当x＝0时，y＝－ x＋3 ＝3 ，
∴点A的坐标为(0，3 ).
∵S△COE＝S△ADE，∴S△AOB＝S△CBD，
即 ×[3－(－3)]·yD＝ ×3×3 ，∴yD＝ .
当y＝ 时，有－ x＋3 ＝ ，解得x＝ .
∴点D的坐标为(， ).
25. (本题满分12分)如图1，直线y＝－ x＋3 分别与y轴、x轴交于
A，B两点，点C的坐标为(－3，0)，D为直线AB上一动点，连接CD交
y轴于点E.
(3)如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°.当点D运动时，
点G在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式.
图1　 图2
(3)解：如图，连接CF，连接AC. ∵∠CDF＝60°，
∴△CDF为等边三角形.
∵AB＝AC＝BC＝6，∴△ABC为等边三角形，
∴△CAF≌△CBD.
∴∠CAF＝∠ACB＝60°.∴AF∥x轴.
设点D(m，－ m＋3 ).过点D作DH⊥x轴于H.
∴BH＝3－m，DB＝6－2m＝AF. ∴点F(2m－6，
3 ).
∵点C(－3，0).设点G(x，y)，
∵四边形CDFG是菱形，∴ (x＋m)＝ (－3＋2m－
6)，
(3)解：如图，连接CF，连接AC. ∵∠CDF＝60°，
∴△CDF为等边三角形.
∵AB＝AC＝BC＝6，∴△ABC为等边三角形，
∴△CAF≌△CBD.
∴∠CAF＝∠ACB＝60°.∴AF∥x轴.
设点D(m，－ m＋3 ).过点D作DH⊥x轴于H.
∴BH＝3－m，DB＝6－2m＝AF. ∴点F(2m－6，3 ).
∵点C(－3，0).设点G(x，y)，
∵四边形CDFG是菱形，∴ (x＋m)＝ (－3＋2m－6)，
(y－ m＋3 )＝ (0＋3 ).∴x＝m－9，y＝m.
∴点G在直线y＝ x＋9 上.(共36张PPT)
2025年广东中考数学一轮备考教材复习-
第22章　二次函数
【思维导图】
【思维导图】
【思维导图】
【思维导图】
【范例研讨】
★考点一：二次函数的定义
例1.关于x的函数y＝(m＋1) 是二次函数，则m的值为 .
★考点二：二次函数的图象和性质
例2.已知二次函数y＝3(x－1)2＋5，下列结论正确的是(　D　)
A. 其图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线x＝－1
C. 函数的最大值为3 D. 当x＞1时，y随x的增大而增大
2　
D
例3.设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋2上的
三点，则y1，y2，y3的大小关系为(　A　)
A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2
C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2
A
例4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①ac
＞0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a＋b＝0；④b2－4ac＜
0；⑤4a－2b＋c＞0.其中正确的是 (填序号).
③⑤　
★考点三：二次函数图象的平移规律
例5.把抛物线y＝2x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长
度，得到的抛物线的关系式为 .
★考点四：二次函数的关系式
例6.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的横、纵坐标x，y的对应
值如表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 m …
y … －19 －12 －7 －4 －3 －4 －7 n －19 …
这个二次函数的关系式为 ，且表中m值为 ，
n值为 .
y＝2x2＋4x　
y＝－x2－2x－4　
3　
－12　
例7.掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1是
一名学生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水
平距离x(m)之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为 m，当水
平距离为3 m时，实心球行进至最高点3 m处.
(1)求y关于x的函数关系式；
(1)解：根据题意，设y关于x的函数关系式为
y＝a(x－3)2＋3.
把(0， )代入关系式，得 ＝a(0－3)2＋3.
解得a＝－ .
∴y关于x的函数关系式为y＝－ (x－3)2＋3.
(1)解：根据题意，设y关于x的函数关系式为
y＝a(x－3)2＋3.
把(0， )代入关系式，得 ＝a(0－3)2＋3.
解得a＝－ .
∴y关于x的函数关系式为y＝－ (x－3)2＋3.
图1　　　　图2
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准，投掷过程中，实心
球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70 m，此项考试得分为满分10
分.该生在此项考试中是否得满分，请说明理由.
例7.掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1是
一名学生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水
平距离x(m)之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为 m，当水
平距离为3 m时，实心球行进至最高点3 m处.
(2)解：该生在此项考试中得满分.理由如下：
令y＝0，则－ (x－3)2＋3＝0.
解得x1＝7.5，x2＝－1.5(舍去).
∵7.5＞6.70，
∴该生在此项考试中得满分.
(2)解：该生在此项考试中得满分.理由如下：
令y＝0，则－ (x－3)2＋3＝0.
解得x1＝7.5，x2＝－1.5(舍去).
∵7.5＞6.70，
∴该生在此项考试中得满分.
★考点五：二次函数与方程、不等式的关系
例8.如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点的坐标分别为
A(－2，4)，B(1，1)，则关于x的方程ax2－bx－c＝0的解为
.
例8题图　　　　　　
x1＝
－2，x2＝1　
例9.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m交于A(－3，
－1)，B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞kx＋m的解集
是 .
－3＜x＜0　
例9题图
★考点六：多个函数图象问题
例10.已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则y＝ax＋b和y＝ 的图
象为(　C　)
A. 　　B. 　　C. D. 　　
C
★考点七：二次函数的应用
例11.如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两
点.
(1)抛物线的关系式为 ；
(2)当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围 ；
(3)P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标.
y＝－x2＋2x＋3　
0＜y≤4　
(3)解：设点P(x，y).
∴△PAB的高为｜y｜.
∵点A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝4.
∴S△PAB＝ ×4× ＝10.
解得y＝±5.
当y＝5时，
5＝－x2＋2x＋3，此时方程无解；
当y＝－5时，－5＝－x2＋2x＋3.
解得x1＝4，x2＝－2.
∴点P(4，－5)或(－2，－5).
(3)解：设点P(x，y).
∴△PAB的高为｜y｜.
∵点A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝4.
∴S△PAB＝ ×4× ＝10.
解得y＝±5.
当y＝5时，
5＝－x2＋2x＋3，此时方程无解；
当y＝－5时，－5＝－x2＋2x＋3.
解得x1＝4，x2＝－2.
∴点P(4，－5)或(－2，－5).
例12.某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是30元，根据市场调查，
在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1
元，就会少售出10件玩具.
(1)设该种品牌玩具的销售单价为x元，请你分别用x的代数式来表示销售
量y件和销售该品牌玩具获利利润w元；
(1)解：依题意可列式为
y＝600－10(x－40)＝－10x＋1 000；
w＝(x－30)(－10x＋1 000)＝－10x2＋1 300x－30 000.
(1)解：依题意可列式为
y＝600－10(x－40)＝－10x＋1 000；
w＝(x－30)(－10x＋1 000)＝－10x2＋1 300x－30 000.
例12.某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是30元，根据市场调查，
在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1
元，就会少售出10件玩具.
(2)在(1)的条件下，若商场获利了10 000元销售利润，求该玩具的销售单
价x应定为多少元？
(2)解：由题意可得
－10x2＋1 300x－30 000＝10 000.
解得x＝50或80.
∴该玩具的销售单价x应定为50元或80元.
例12.某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是30元，根据市场调查，
在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1
元，就会少售出10件玩具.
(3)在(1)的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于45元，且商
场要完成不少于480件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获利的最大利
润是多少元？
(3)解：由题意可得
解得45≤x≤52.
w＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250.
∵－10＜0，∴当x≤65时，w随x的增大而增大.
又∵45≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为10 560元.
∴商场销售该品牌玩具获利的最大利润是10 560元.
(3)解：由题意可得
解得45≤x≤52.
w＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250.
∵－10＜0，∴当x≤65时，w随x的增大而增大.
又∵45≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为10 560元.
∴商场销售该品牌玩具获利的最大利润是10 560元.
★考点八：二次函数综合问题
例13.如图，二次函数y＝ x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与
y轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，－3)，连接
BC.
(1)求该二次函数的关系式；
(1)解：把点A(－1，0)和点C(0，－3)代入，得
解得
∴二次函数的关系式为y＝ x2－ x－3.
(1)解：把点A(－1，0)和点C(0，－3)代入，得
解得
∴二次函数的关系式为y＝ x2－ x－3.
★考点八：二次函数综合问题
例13.如图，二次函数y＝ x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与
y轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，－3)，连接
BC.
(2)P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，
求BC边上的高PN的值.
(2)解：令y＝0，则0＝ x2－ x－3.
解得x1＝－1，x2＝6.
∴点B的坐标为(6，0).
∴BC＝ ＝ ＝3 .
设直线BC的关系式为y＝mx＋n(m≠0).
把点B(6，0)和点C(0，－3)代入，得
解得
∴直线BC的关系式为y＝ x－3.
(2)解：令y＝0，则0＝ x2－ x－3.
解得x1＝－1，x2＝6.
∴点B的坐标为(6，0).
∴BC＝ ＝ ＝3 .
设直线BC的关系式为y＝mx＋n(m≠0).
把点B(6，0)和点C(0，－3)代入，得
解得
∴直线BC的关系式为y＝ x－3.
如图，过点P作PE⊥x轴交BC于点D，
设点P的坐标为(x， x2－ x－3)，则点D的坐标为(x， x－
3).
∴PD＝ x－3－( x2－ x－3)＝－ x2＋3x.
∴S△BCP＝ OB·PD＝ ×6×(－ x2＋3x)
＝－ (x－3)2＋ .
∴△BCP的最大面积为 .
∴PN＝ ＝ ＝ .
如图，过点P作PE⊥x轴交BC于点D，
设点P的坐标为(x， x2－ x－3)，
则点D的坐标为(x， x－3).
∴PD＝ x－3－( x2－ x－3)＝－ x2＋3x.
∴S△BCP＝ OB·PD＝ ×6×(－ x2＋3x)
＝－ (x－3)2＋ .
∴△BCP的最大面积为 .
∴PN＝ ＝ ＝ .
1. 下列函数中，y是x的二次函数的是(　A　)
A. y＝6x2＋1 B. y＝6x＋1
C. y＝ D. y＝ ＋1
2. 二次函数y＝－(x－2)2－3的图象的顶点坐标是(　B　)
A. (2，3) B. (2，－3)
C. (－2，3) D. (－2，－3)
A
B
3. 抛物线y＝ (x－1)2＋c经过(－2，y1)，(0，y2)，(，y3)三点，则y1，
y2，y3的大小关系正确的是(　D　)
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y3＞y1
C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y3＞y2
4. 对于二次函数y＝ x2＋x＋4，下列说法正确的是(　A　)
A. 当x＞0时，y随x的增大而增大
B. 图象的顶点坐标为(－2，－7)
C. 当x＝2时，y有最大值－3
D. 图象与x轴有两个交点
D
A
5. 将抛物线y＝(x－1)2＋5平移后，得到抛物线的关系式为y＝x2＋2x＋
3，则平移的方向和距离是(　D　)
A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
D
6. 函数y＝ax2＋bx－3满足下表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 －3 －4 －3 m …
(1)m的值为 ；
(2)写出抛物线与y轴的交点坐标 ；
(3)方程ax2＋bx－3＝0的解为 ；
(4)直接写出y＜0时，x的取值范围： .
0　
(0，－3)　
x1＝－1，x2＝3　
－1＜x＜3　
7. 若一抛物线开口方向和形状均与y＝－5x2＋2相同，顶点坐标为(4，
－2)，则其对应的函数关系式为 .
y＝－5(x－4)2－2　
8. 抛物线y＝(k－1)x2－x＋1与x轴有交点，则k的取值范围是
.
9. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽6 m，则水面下
降 m时，水面宽8 m.
k≤
且k≠1　
　
10. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一平面直角坐标系中的图
象可能是(　D　)
A. B.
C. D.
D
11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿边
AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2
cm/s的速度移动，设P，Q两点的运动时间为x秒.
(1)写出△PBQ的面积S关于出发时间x的函数关系式及x的取值范围；
(1)解：∵点P沿边AB以1 cm/s的速度移动，
点Q沿边BC以2 cm/s的速度移动，
∴AP＝x，BQ＝2x.∴PB＝6－x.
∵AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴0≤x≤6，0≤2x≤8，即0≤x≤4.
∴当0≤x＜4时，S＝ ×2x(6－x)＝－x2＋6x；
当4≤x≤6时，S＝ ×8(6－x)＝－4x＋24.
∴S＝
11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿边
AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2
cm/s的速度移动，设P，Q两点的运动时间为x秒.
(2)当x为何值时，△PBQ的面积最大.
(2)解：当0≤x＜4时，
S＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，
即当x＝3时，S有最大值为9.
当4≤x≤6时，S＝－4x＋24，∵－4＜0，
∴当x＝4时，S有最大值为－4×4＋24＝－16＋24＝8.
∵9＞8，
∴当x＝3时，△PBQ的面积最大.
(2)解：当0≤x＜4时，
S＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，
即当x＝3时，S有最大值为9.
当4≤x≤6时，S＝－4x＋24，∵－4＜0，
∴当x＝4时，S有最大值为－4×4＋24＝－16＋24＝8.
∵9＞8，
∴当x＝3时，△PBQ的面积最大.
12. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线
x＝－1，则下列结论中：
① ＞0；
②am2＋bm≤a－b(m为任意实数)；
③3a＋c＜1；
④若M(x1，y)，N(x2，y)是抛物线上不同的两个点，
则x1＋x2≤－3.其中正确的结论有(　B　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B(共34张PPT)
2025年广东中考数学一轮备考教材复习检测-
第24章　圆
【思维导图】
【思维导图】
【思维导图】
【范例研讨】
★考点一：圆的有关概念
例1.下列说法：①经过圆心的线段是直径；②长度相等的两条弧是等
弧；③半圆是弧；④圆是轴对称图形，任意一条直径都是它的对称轴；
⑤直径是圆中最长的弦；⑥连接圆上任意两点间的线段叫弦.其中正确的
是 (填序号).
★考点二：垂直于弦的直径
例2.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，
则☉O的半径OC＝ .
③⑤⑥　
　
例3.如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最
高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心.若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱
门所在圆的半径为(　B　)
　　
A. 1.25 m B. 1.3 m C. 1.4 m D. 1.45 m
B
★考点三：弧、弦、圆心角
例4.如图，在☉O中， ＝ ，则下列结论中：①AB＝CD；②AC
＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④ ＝ .其中正确的是 (填序号).
例4题图　　　
①②③④
★考点四：圆周角
例5.如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的
圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4
＝ °.
例5题图　　　
90　
例6.如图，AB为☉O的直径，C，D两点在圆上.若∠CAB＝20°，则
∠ADC的度数为 .
例6题图
110°　
★考点五：点和圆的位置关系
例7.已知☉O与点P在同一平面内，若☉O的直径为6，线段OP的长为
4，则下列说法正确的是(　C　)
A. 点P在☉O上 B. 点P在☉O内
C. 点P在☉O外 D. 无法判断点P与☉O的位置关系
C
★考点六：反证法
例8.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位
置关系是(　C　)
A. 点在圆内 B. 点在圆上
C. 点在圆内或圆上 D. 无法判断点与圆的位置关系
C
★考点七：直线和圆的位置关系
例9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以
点C为圆心、2 cm的长为半径作圆，则☉C与AB的位置关系是 .
例9题图　　　　
相离　
例10.如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，AC是☉O的直径，
∠BAC＝20°，则∠P的度数为(　D　)
A. 50° B. 70° C. 110° D. 40°
例10题图
D
★考点八：切线的性质和判定
例11.如图，AB为☉O的直径，C，D是☉O上的点，P是☉O外一点，
AC⊥PD于点E，AD平分∠BAC.
(1)求证：PD是☉O的切线；
(1)证明：如图，连接OD.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAE.
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.
∴∠ODA＝∠DAE. ∴OD∥AE.
∵AC⊥PD，∴OD⊥PD.
∵OD是☉O的半径，∴PD是☉O的切线.
(1)证明：如图，连接OD.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAE.
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.
∴∠ODA＝∠DAE. ∴OD∥AE.
∵AC⊥PD，∴OD⊥PD.
∵OD是☉O的半径，∴PD是☉O的切线.
例11.如图，AB为☉O的直径，C，D是☉O上的点，P是☉O外一点，
AC⊥PD于点E，AD平分∠BAC.
(2)若DE＝2，∠BAC＝60°，求☉O的半径.
(2)解：如图，连接BD.
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE＝30°.
∵AC⊥PE，DE＝2，∴AD＝2DE＝4.
∵AB为☉O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴AB＝2BD. 设BD＝x，则AB＝2x.
∵BD2＋AD2＝AB2，∴x2＋42＝(2x)2.
∴x＝ (负值已舍去).
∴BD＝ ，AB＝ .
∴AO＝ ，即☉O的半径为 .
★考点九：切线长定理
例12.如图，△ABC的内切圆☉O与BC，CA，AB分别相切于点D，
E，F. 已知△ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，则AF的长为
(　A　)
A. 4 B. 5 C. 9 D. 13
例12题图　
A
★考点十：三角形的内心与外心
例13.如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝74°，点O是
△ABC的内心，则∠BOC等于(　B　)
A. 124° B. 118° C. 112° D. 62°
例13题图
B
★考点十一：正多边形和圆
例14.若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别
为(　A　)
A. 6，3 B. 3 ，3
C. 6，3 D. 6 ，3
A
★考点十二：圆的有关计算
例15.小慧同学制作了一把扇形纸扇.如图，OA＝20 cm，OB＝5 cm，
纸扇完全打开后，外侧两竹条(竹条宽度忽略不计)的夹角∠AOC＝
120°，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为
(　C　)
C
A. π B. 75π
例15题图　　　
C. 125π D. 150π
例16.已知圆锥的底面半径为2 cm，侧面积为10π cm2，则该圆锥的母线
长为 cm.
例17.圆锥的底面半径为5 cm，侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的
高是 cm.
5　
5 　
★考点十三：圆的综合问题
例18.如图，☉O的直径CD为6 cm，OA，OB都是☉O的半径，∠AOD
＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，
则AP＋BP的最小值为 cm.
3 　
例18题图
例19.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过点A作直线MN，使
∠MAC＝∠ABC.
(1)求证：MN是半圆的切线；
(1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠ABC＋∠BAC＝90°.
∵∠MAC＝∠ABC，
∴∠MAC＋∠BAC＝90°，即∠MAB＝90°.
∴MA⊥AB.
∵OA是半圆的半径，∴MN是半圆的切线.
(1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠ABC＋∠BAC＝90°.
∵∠MAC＝∠ABC，
∴∠MAC＋∠BAC＝90°，即∠MAB＝90°.
∴MA⊥AB.
∵OA是半圆的半径，∴MN是半圆的切线.
例19.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过点A作直线MN，使
∠MAC＝∠ABC.
(2)作 的中点D，连接BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，
交AC于点F(尺规作图，并保留作图痕迹)，并求证：FD＝FG；
(2)解：尺规作图如图所示.
证明：∵D为 的中点，∴∠DBC＝∠DBA.
∵AB是直径，DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.
∴∠BDE＝∠BGC.
∵∠BGC＝∠FGD，∴∠FDB＝∠FGD.
∴FD＝FG.
(2)解：尺规作图如图所示.
证明：∵D为 的中点，∴∠DBC＝∠DBA.
∵AB是直径，DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.
∴∠BDE＝∠BGC.
∵∠BGC＝∠FGD，∴∠FDB＝∠FGD.
∴FD＝FG.
(3)若BC＝4，AB＝6，求AE的长.
例19.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过点A作直线MN，使
∠MAC＝∠ABC.
(3)解：如图，连接OD交AC于点P.
∵D为 的中点，
∴OD⊥AC，AP＝CP.
∴OP＝ BC＝2.
在△OAP和△ODE中，
∴△OAP≌△ODE(AAS).
∴OP＝OE＝2.
∴AE＝OA－OE＝3－2＝1.
1. 如图，AB是☉O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是☉O的弦，
且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，则∠AOC＝ .
2. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小
明的解决方案如下：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的
垂直平分线CD交AB于点D，交 于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10
cm，则圆形工件的半径为(　C　)
A. 50 cm B. 35 cm
36°　
C
第1题图　　 第2题图　　
C. 25 cm D. 20 cm
3. 如图，在☉O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的度数为
(　B　)
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
4. 如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形.若四边形ABCO为菱形，则
∠ADC的大小为 .
　
第3题图 第4题图　　　　
B
60°　
5. 如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，A为切点，BC与☉O交
于点D，连接OD. 若∠C＝50°，则∠AOD的度数为(　D　)
A. 40° B. 50° C. 70° D. 80°
　　
第5题图
D
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕直角边所
在直线旋转一周，得到的几何体侧面积是(　D　)
A. 15π B. 12π C. 20π D. 15π或20π
D
7. 如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，以AB为直径作☉O交BC于
点D，过点D作DF⊥AC于点E，交BA的延长线于点F.
(1)求证：DF是☉O的切线；
(1)证明：如图，连接OD.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB.
∴∠ODB＝∠C. ∴AC∥OD.
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF.
∵OD是☉O的半径，∴DF是☉O的切线.
(2)若CE＝ ，CD＝2，求图中阴影部分的面积(结果用π表示).
(1)证明：如图，连接OD.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB.
∴∠ODB＝∠C. ∴AC∥OD.
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF.
∵OD是☉O的半径，∴DF是☉O的切线.
(2)解：如图，连接AD. 设☉O的半径为r.
在Rt△CED中，CE＝ ，CD＝2，
∴ED2＝CD2－CE2＝4－3＝1.∴ED＝1.
∵ cos C＝ ＝ ，∴∠C＝30°.∴∠B＝30°.
∴∠AOD＝2∠B＝60°.
∵AC∥OD，O为AB的中点，∴OD是△ABC的中位
线.
∴D是BC中点.∴CD＝BD＝2.
∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°.
(2)解：如图，连接AD. 设☉O的半径为r.
在Rt△CED中，CE＝ ，CD＝2，
∴ED2＝CD2－CE2＝4－3＝1.∴ED＝1.
∵ cos C＝ ＝ ，∴∠C＝30°.∴∠B＝30°.
∴∠AOD＝2∠B＝60°.
∵AC∥OD，O为AB的中点，∴OD是△ABC的中位线.
∴D是BC中点.∴CD＝BD＝2.
∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴AD＝ AB＝r.∴BD＝ AD＝ r＝2.∴r＝ .
∴AB＝2r＝ .
∴AE＝AC－CE＝AB－CE＝ － ＝ .
∴S阴影＝S梯形AODE－S扇形AOD
＝ (＋ )×1－ π×()2＝ － .
∴AD＝ AB＝r.∴BD＝ AD＝ r＝2.∴r＝ .
∴AB＝2r＝ .
∴AE＝AC－CE＝AB－CE＝ － ＝ .
∴S阴影＝S梯形AODE－S扇形AOD
＝ (＋ )×1－ π×()2＝ － .
8. 若☉O的弦AB所对的圆心角为80°，则弦AB所对的圆周角的度数
是 .
9. 如图，在☉O中，弦AB的长为4 ，点C在☉O上，OC⊥AB，
∠ABC＝30°，☉O所在的平面内有一点P. 若OP＝5，则点P与☉O的
位置关系是(　C　)
A. 点P在☉O上 B. 点P在☉O内
C. 点P在☉O外 D. 无法确定
40°或140°　
C
第9题图　　　　
10. 如图，☉O的直径AB＝2 ，AM，BN分别是它的两条切线，DE
与☉O相切于点E，并与AM，BN分别交于D，C两点.若AD＝x，BC
＝y，则y关于x的函数关系式为 .
　　
第10题图
y＝ 　
11. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC ＝
60°，∠BCO ＝ 90°， 将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'
在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为 cm2.(结果保
留π)
第11题图　　　
　
12. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于
点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若
∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若G为BC的中点，则∠BGD＝
90°；④BD＝DE. 其中一定正确的个数是(　D　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
　
第12题图
D(共36张PPT)
2025年广东中考数学一轮备考教材复习检测-
综合卷(2)
数　学
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 下列汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
(　A　)
A B C D
A
2. 已知☉O半径为10 cm，圆心O到点A的距离为10 cm，则点A与☉O
的位置关系是(　C　)
A. 相切 B. 圆外 C. 圆上 D. 圆内
3. 下列事件属于必然事件的是(　B　)
A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
B. 任意画一个三角形，其内角和是180°
C. 掷一次骰子，向上一面的点数是6
D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C
B
4. 如图，在☉O中，弦AB，CD相交于点P. 若∠A＝60°，∠APD＝
80°，则∠B等于(　C　)
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
第4题图　　　　
C
5. 如图，AB，AC分别切☉O于B，C两点，若∠OBC＝26°，则∠A
的度数为(　B　)
A. 32° B. 52° C. 64° D. 72°
　
第5题图　　
B
6. 将抛物线y＝3x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得
到的抛物线的解析式为(　A　)
A. y＝3(x－1)2＋2 B. y＝3(x＋1)2－2
C. y＝(x－1)2＋2 D. y＝3(x＋1)2＋2
A
7. 设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则 ＋ ＝(　D　)
A. 2 B. －2 C. －1 D. 10
D
8. 对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b
两数中较小的数，例如min{2，－4}＝－4，则方程min{x，－x}＝3x＋4
的解为(　B　)
A. x＝－1 B. x＝－2
C. x＝－1或x＝－2 D. x＝1或x＝2
B
9. 如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2 023次，点P
依次落在点P1，P2，P3，……，P2 023的位置，则点P2 023的横坐标x2 023
为(　B　)
A. 2 021 B. 2 022 C. 2 023 D. 不能确定
　
第9题图　　
B
10. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－
1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称
轴为直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③4ac－b2＜
8a；④ ＜a＜ ；⑤b＞c.其中含所有正确结论的选项是(　C　)
A. ①③ B. ①③④
C. ①③④⑤ D. ②④⑤
　　
C
第10题图
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)
11. 点P(2，－3)关于原点对称点P1的坐标为 .
12. 一元二次方程x2＋6x＝3x＋2化成一般式为 .
13. 不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别.每次把球充分搅
匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验，发现摸
到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是 .
(－2，3)　
x2＋3x－2＝0　
2　
14. 已知一个圆锥的底面半径是5 cm，高是12 cm，则该圆锥的侧面积
是 .(结果保留π)
15. 在同一平面内，☉O外有一点P到圆上的最大距离是8 cm，最小距离
为2 cm，则☉O的半径为 .
16. 如图，正方形ABCD的边长为4，动点E，F分别从点A，C同时出
发，以相同的速度分别沿AB，CD向终点B，D移动，当点E到达点B
时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为G，连接AG，则
AG长的最小值为 .
65π cm2　
3 cm　
－ 　
三、解答题(本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤)
17. (本题满分4分)解方程：x2－4x＝5.
解：在x2－4x－5＝0中，a＝1，b＝－4，c＝－5，
∴Δ＝(－4)2－4×1×(－5)＝36.
∴x＝ ＝2±3.
∴x1＝5，x2＝－1.
解：在x2－4x－5＝0中，a＝1，b＝－4，c＝－5，
∴Δ＝(－4)2－4×1×(－5)＝36.
∴x＝ ＝2±3.
∴x1＝5，x2＝－1.
18. (本题满分4分)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.
若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB＝20°，求∠CAE及∠B的
度数.
解：根据旋转的性质可知，CA＝CE，且∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形.∴∠CAE＝45°.
根据旋转的性质可得∠BCD＝90°.
∵∠ACB＝20°，∴∠ACD＝90°－20°＝70°.
∴∠EDC＝45°＋70°＝115°.∴∠B＝∠EDC＝115°.
解：根据旋转的性质可知，CA＝CE，且∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形.∴∠CAE＝45°.
根据旋转的性质可得∠BCD＝90°.
∵∠ACB＝20°，∴∠ACD＝90°－20°＝70°.
∴∠EDC＝45°＋70°＝115°.∴∠B＝∠EDC＝115°.
19. (本题满分6分)随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方
式更加多样、便捷，现有“微信”“支付宝”“银行卡”和“现金”四
种支付方式.
(1)若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 ；
　
(2)在一次购物中，小明和小刚都想从“微信”“支付宝”和“银行卡”
三种支付方式中选一种方式进行支付，请用列表或画树状图的方法求出
两人恰好选择同一种支付方式的概率.
解：分别用A，B，C表示“微信”“支付宝”和“银行卡”三种支付
方式，则所有可能出现的结果列表如下：
A B C
A (A，A) (A，B) (A，C)
B (B，A) (B，B) (B，C)
C (C，A) (C，B) (C，C)
解：分别用A，B，C表示“微信”“支付宝”和“银行卡”三种支付
方式，则所有可能出现的结果列表如下：
由表可知共有9种等可能的结果，其中选择方式相同的结果有3种，分别
是(A，A)(B，B)(C，C)，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为 ＝ .
由表可知共有9种等可能的结果，其中选择方式相同的结果有3种，分别
是(A，A)(B，B)(C，C)，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为 ＝ .
20. (本题满分6分)如图，△AOB的三个顶点都在网格的格点上，每个小
正方形的边长均为1个单位长度.
(1)在网格中画出△AOB绕点O逆时针旋转90°后的△A1OB1的图形；
(1)解：如图，△A1OB1为所作.
(2)求旋转过程中边OB扫过的面积.(结果保留π)
(2)OB＝ ＝3 ，
∴旋转过程中边OB扫过的面积＝ ＝ π.
20. (本题满分6分)如图，△AOB的三个顶点都在网格的格点上，每个小
正方形的边长均为1个单位长度.
21. (本题满分8分)对于抛物线y＝x2－4x＋3.
(1)与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为
，顶点坐标为 ；
(1，0)(3，0)　
(0，
3)　
(2，－1)　
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 －1 0 3 …
(3)结合图象直接回答：当0＜x＜3时，则y的取值范围是 .
解：列表、描点、连线、如图
0
1
2
3
4
3
0
－1
0
3
－1≤y＜ 3
解：列表、描点、连线、如图
22. (本题满分10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的
一点，连接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的☉O
经过点D.
(1)求证：AC是☉O的切线；
(1)解：证明：连接OD. ∵OD＝OB，
∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1.∵∠A＝2∠1，
∴∠DOC＝∠A.
∵∠A＋∠C＝90°，∴∠DOC＋∠C＝90°.∴OD⊥DC.
∵OD是☉O的半径，∴AC是☉O的切线.
(1)解：证明：连接OD. ∵OD＝OB，
∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1.∵∠A＝2∠1，
∴∠DOC＝∠A.
∵∠A＋∠C＝90°，∴∠DOC＋∠C＝90°.
∴OD⊥DC. ∵OD是☉O的半径，∴AC是☉O的切线.
(2)若∠A＝60°，☉O的半径为2，求阴影部分的面积.(结果保留根号
和π)
(2)解：∵∠A＝60°，∴∠C＝30°，∠DOC＝60°.
在Rt△DOC中，OD＝2，∴CD＝ OD＝2 .
∴阴影部分的面积＝S△COD－S扇形DOE
＝ ×2×2 － ＝2 － .
23. (本题满分10分)疫情期间口罩的需求量增大，口罩价格也急剧上升.
经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元.
(1)求出这两次价格上调的平均增长率；
(1)解：设这两次价格上调的平均增长率为x.
依题意，得10(1＋x)2＝16.9.解得x1＝0.3＝30％，x2＝－2.3(不符合题
意，舍去).
∴这两次价格上调的平均增长率为30％.
(1)解：设这两次价格上调的平均增长率为x.
依题意，得10(1＋x)2＝16.9.解得x1＝0.3＝30％，
x2＝－2.3(不符合题意，舍去).
∴这两次价格上调的平均增长率为30％.
23. (本题满分10分)疫情期间口罩的需求量增大，口罩价格也急剧上升.
经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元.
(2)在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发
现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5
包.当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
(2)解：设每包应该降价m元，则每包的售价为(10－m)元，每天可售出
(30＋5m)包.
依题意，得(10－m)(30＋5m)＝315.整理，得m2－4m＋3＝0.解得m1＝
1，m2＝3.
又∵要让顾客获得更大的优惠，∴m的值为3.∴每包应该降价3元.
(2)解：设每包应该降价m元，则每包的售价为(10－m)元，
每天可售出(30＋5m)包.
依题意，得(10－m)(30＋5m)＝315.整理，得m2－4m＋3＝0.
解得m1＝ 1，m2＝3.
又∵要让顾客获得更大的优惠，∴m的值为3.∴每包应该降价3元.
24. (本题满分12分)如图，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点B，C，
经过B，C两点的抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴的另一个交点为A，顶
点为P.
(1)求3m＋n的值；
(1)解：直线y＝x－3，令y＝0，则x＝3.令x＝0，则y
＝－3.∴故点B，C的坐标分别为(3，0)，(0，－3).
将点B，C的坐标分别代入抛物线解析式，
得 解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3，∴点A的坐标为
(1，0)，顶点P的坐标为(2，1)，3m＋n＝12－3＝9.
(1)解：直线y＝x－3，令y＝0，则x＝3.令x＝0，则y
＝－3.∴故点B，C的坐标分别为(3，0)，(0，－3).
将点B，C的坐标分别代入抛物线解析式，
得 解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3，∴点A的坐标为
(1，0)，顶点P的坐标为(2，1)，3m＋n＝12－3＝9.
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以点C，P，Q为顶点的三
角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存
在，请说明理由；
24. (本题满分12分)如图，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点B，C，
经过B，C两点的抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴的另一个交点为A，顶
点为P.
(2)解：①当CP＝CQ时，点C的纵坐标与PQ中点的纵
坐标相同，故此时点Q的坐标为(2，－7)；
②当CP＝PQ时，同理可得点Q的坐标为(2，1－2 )
或(2，1＋2 )；
③当CQ＝PQ时，同理可得过CP中点与CP垂直的直线
方程
为y＝－ x－ .
(2)解：①当CP＝CQ时，点C的纵坐标与PQ中点的纵
坐标相同，故此时点Q的坐标为(2，－7)；
②当CP＝PQ时，同理可得点Q的坐标为(2，1－2 )
或(2，1＋2 )；
③当CQ＝PQ时，同理可得过CP中点与CP垂直的直线
方程
为y＝－ x－ .
当x＝2时，y＝－ ，即点Q的坐标为(2，－ ).∴点Q
的坐标为(2，1－2 )或(2，1＋2 )或(2，－ )或(2，
－7).
当x＝2时，y＝－ ，即点Q的坐标为(2，－ ).∴点Q
的坐标为(2，1－2 )或(2，1＋2 )或(2，－ )或(2，－7).
(3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不
变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图
象，若直线y＝x＋b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求
b的值.
24. (本题满分12分)如图，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点B，C，
经过B，C两点的抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴的另一个交点为A，顶
点为P.
(3)解：图象翻折后的点P对应点P'的坐标为(2，－1).
①在如图所示的位置时，直线y＝x＋b与该“M”形状
的图象部分恰好有三个公共点，
此时C，P'，B三点共线，b＝－3；
②当直线y＝x＋b与翻折后的图象相切时，
此时，直线y＝x＋b与该“M”形状的图象部分恰好有
三个公共点，
即x2－4x＋3＝x＋b，Δ＝52－4(3－b)＝0，解得b＝
－ .∴b＝－3或－ .
(3)解：图象翻折后的点P对应点P'的坐标为(2，－1).
①在如图所示的位置时，直线y＝x＋b与该“M”形状
的图象部分恰好有三个公共点，
此时C，P'，B三点共线，b＝－3；
②当直线y＝x＋b与翻折后的图象相切时，
此时，直线y＝x＋b与该“M”形状的图象部分恰好有
三个公共点，
即x2－4x＋3＝x＋b，Δ＝52－4(3－b)＝0，解得b＝
－ .∴b＝－3或－ .
25. (本题满分12分)如图，P是正方形ABCD中一动点，连接PA，PB，
PC.
(1)如图1，若BC＝PB，∠CBP＝30°，求∠APC的度数；
(1)解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.
∴∠ABP＝∠ABC－∠CBP＝90°－30°＝60°.
∵AB＝BC，BC＝PB，∴AB＝PB，
∠BPC＝ ＝ ＝75°.
∴∠APB＝ ＝ ＝60°.
∴∠APC＝∠APB＋∠BPC＝60°＋75°＝135°.
图1　　 图2　　 图3
(1)解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.
∴∠ABP＝∠ABC－∠CBP＝90°－30°＝60°.
∵AB＝BC，BC＝PB，∴AB＝PB，
∠BPC＝ ＝ ＝75°.
∴∠APB＝ ＝ ＝60°.
∴∠APC＝∠APB＋∠BPC＝60°＋75°＝135°.
25. (本题满分12分)如图，P是正方形ABCD中一动点，连接PA，PB，
PC.
(1)解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.
∴∠ABP＝∠ABC－∠CBP＝90°－30°＝60°.
∵AB＝BC，BC＝PB，∴AB＝PB，
∠BPC＝ ＝ ＝75°.
∴∠APB＝ ＝ ＝60°.
∴∠APC＝∠APB＋∠BPC＝60°＋75°＝135°.
图1　　 图2　　 图3
(2)如图2，当∠APC＝135°时，求证：CD＝PB；
(2)证明：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，
得到△CBE，则AB＝BC，BP＝BE，AP＝CE，
∠ABP＝∠CBE，∠BAP＝∠BCE.
∵∠ABC＝90°，∠APC＝135°，
∴∠BAP＋∠BCP＝360°－∠ABC－∠APC＝135°.
∴∠BCE＋∠BCP＝135°，即∠ECP＝135°.
∴∠APC＝∠ECP.
又∵AP＝CE，CP＝PC，
∴△APC≌△ECP(SAS).∴AC＝PE.
(2)证明：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，
得到△CBE，则AB＝BC，BP＝BE，AP＝CE，
∠ABP＝∠CBE，∠BAP＝∠BCE.
∵∠ABC＝90°，∠APC＝135°，
∴∠BAP＋∠BCP＝360°－∠ABC－∠APC＝135°.
∴∠BCE＋∠BCP＝135°，即∠ECP＝135°.
∴∠APC＝∠ECP.
又∵AP＝CE，CP＝PC，
∴△APC≌△ECP(SAS).∴AC＝PE.
∵∠PBE＝∠PBC＋∠CBE＝∠PBC＋∠ABP＝∠ABC＝
90°，AB＝BC，BP＝BE，
∴△ABC与△PBE都是等腰直角三角形.
∴AB＝PB. 又∵AB＝CD，∴CD＝PB.
∵∠PBE＝∠PBC＋∠CBE＝∠PBC＋∠ABP＝∠ABC＝ 90°，
AB＝BC，BP＝BE，
∴△ABC与△PBE都是等腰直角三角形.
∴AB＝PB. 又∵AB＝CD，∴CD＝PB.
(3)如图3，在(2)的条件下，若正方形ABCD的边长为8，Q为BC上一
点，CQ＝2，连接AQ，PQ，求△APQ面积的最大值.
25. (本题满分12分)如图，P是正方形ABCD中一动点，连接PA，PB，
PC.
(1)解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.
∴∠ABP＝∠ABC－∠CBP＝90°－30°＝60°.
∵AB＝BC，BC＝PB，∴AB＝PB，
∠BPC＝ ＝ ＝75°.
∴∠APB＝ ＝ ＝60°.
∴∠APC＝∠APB＋∠BPC＝60°＋75°＝135°.
图1　　 图2　　 图3
(3)解：由(2)得BA＝BP＝BC.
如图，以点B为圆心、BC长为半径作圆，则点P在
上，
过点B作BN⊥AQ，交AQ于点M，交☉B于点N，
连接AN，NQ，
则当点P与点N重合时，△APQ的面积最大.
∵BQ＝BC－CQ＝8－2＝6，AB＝8，
∴AQ＝ ＝ ＝10.
∵S△ABQ＝ AB·BQ＝ AQ·BM，即 ×8×6＝
×10×BM，
∴BM＝ .∴MN＝BN－BM＝8－ ＝ .
(3)解：由(2)得BA＝BP＝BC.
如图，以点B为圆心、BC长为半径作圆，
则点P在 上，
过点B作BN⊥AQ，交AQ于点M，交☉B于点N，
连接AN，NQ，
则当点P与点N重合时，△APQ的面积最大.
∵BQ＝BC－CQ＝8－2＝6，AB＝8，
∴AQ＝ ＝ ＝10.
∵S△ABQ＝ AB·BQ＝ AQ·BM，即 ×8×6＝
×10×BM，
∴BM＝ .∴MN＝BN－BM＝8－ ＝ .
∴△ANQ的面积为 AQ·MN＝ ×10× ＝16，
即△APQ面积的最大值为16.
∴△ANQ的面积为 AQ·MN＝ ×10× ＝16，
即△APQ面积的最大值为16.(共30张PPT)
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第23章　旋转
【思维导图】
【思维导图】
【思维导图】
【范例研讨】
★考点一：中心对称图形
例1.下列既是轴对称又是中心对称图形的是(　A　)
A. B.
C. D.
A
★考点二：旋转的性质
例2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转
90°后得到的△AB'C'(点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C')，连
接CC'.若∠CC'B'＝22°，则∠B的大小是(　B　)
A. 63° B. 67° C. 68° D. 77°
B
例3.如图，E是正方形ABCD中CD边上的中点，AB＝4，把△ADE绕
点A顺时针旋转90°得到△ABF. 若连接EF，则EF＝ .
例4.如图，ABCDE是正五边形，该图形绕它的中心至少旋转(　D　)可
以跟自身重合.
A. 60° B. 120° C. 75° D. 72°
例3题图　　　例4题图　　
2 　
D
★考点三：直角坐标系与旋转
例5.如图，将点A(2，1)绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标
是(　A　)
A. (－1，2) B. (2，－1)
C. (1，－2) D. (－2，1)
A
　例5题图
例6.若点M(3，a－2)，N(b，a)关于原点对称，则a＋b＝ .
－2　
例7.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到
△AB1C1位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将
△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2位置，点C2在x轴上，将
△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2位置，点A2在x轴上，依次这样
下去.若点A(，0)，B(0，4)，则点B2 020的横坐标为 .
10 100　
★考点四：旋转作图
例8.在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图的平面直角坐标系
xOy.已知△ABC的顶点坐标分别为A(－3，5)，B(－2，1)，C(－1，
3)，请解答下列问题：
(1)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，
C1的坐标；
(1)解：如图，△A1B1C1即为所求.
由图可知，点A1(3，－5)，B1(2，－1)，C1(1，－3).
(1)解：如图，△A1B1C1即为所求.
由图可知，点A1(3，－5)，
B1(2，－1)，C1(1，－3).
(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°的图形△A2B2C2.
(2)解：如图，△A2B2C2即为所求.
(2)解：如图，△A2B2C2即为所求.
★考点四：旋转作图
例8.在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图的平面直角坐标系
xOy.已知△ABC的顶点坐标分别为A(－3，5)，B(－2，1)，C(－1，
3)，请解答下列问题：
★考点五：图形设计
例9.如图，在4×4网格中，将5个完全相同的小正方形涂上阴影，现移动
其中的一个阴影小正方形，请在图1、图2和图3中分别画出满足以下要求
的图形.(用阴影表示)
(1)使得图1中的阴影部分既是轴对称图形，又是中心对称图形；
(1)解：如图所示：
(1)解：如图所示：
　 图1　 图2　 图3
★考点五：图形设计
例9.如图，在4×4网格中，将5个完全相同的小正方形涂上阴影，现移动
其中的一个阴影小正方形，请在图1、图2和图3中分别画出满足以下要求
的图形.(用阴影表示)
(2)使得图2中的阴影部分为轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)解：答案不唯一，画出一种即可，如图所示：
(2)解：答案不唯一，画出一种即可，如图所示：
(3)使得图3中的阴影部分为中心对称图形，但不是轴对称图形.
(3)解：如图所示：
　　
★考点六：旋转综合题
例10.如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，满足
∠DBE＝ ∠ABC. 以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得
△ABF，连接DF.
　图1　　　 　图2
(1)求证：DF＝DE；
(1)证明：∵∠DBE＝ ∠ABC，
∴∠ABD＋∠CBE＝∠DBE＝ ∠ABC.
∵△ABF由△CBE旋转而成，
∴BE＝BF，∠ABF＝∠CBE.
∴∠DBF＝∠DBE.
在△DBE和△DBF中，
∴△DBE≌△DBF(SAS).∴DF＝DE.
★考点六：旋转综合题
例10.如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，满足
∠DBE＝ ∠ABC. 以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得
△ABF，连接DF.
　图1　　　 　图2
(2)如图2，若AB⊥BC，其他条件不变.求证：DE2＝AD2＋EC2.
(2)证明：∵将△CBE按逆时针旋转得到△ABF，
∴BDF2＝AF2＋AD2.
(2)证明：∵将△CBE按逆时针旋转得到△ABF，
∴BA＝BC.
又∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE＝45°.
∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AF重合.
∴AF＝EC.
∴∠FAB＝∠BCE＝45°.
∴∠DAF＝90°.
在Rt△ADF中，DF2＝AF2＋AD2.
∵AF＝EC，
∴DF2＝AD2＋EC2.
同(1)可得DE＝DF.
∴DE2＝AD2＋EC2.
1. 下列图形中，是中心对称图形的是(　B　)
A. B.
C. D.
2. 在平面直角坐标系中，点(2，－3)关于原点的对称点的坐标是(　C　)
A. (2，3) B. (－2，－3)
C. (－2，3) D. (－3，2)
B
C
3. 如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时
针旋转得到△AB'C'.当AB'落在AC上时，∠BAC'的度数为(　B　)
A. 65° B. 70° C. 80° D. 85°
第3题图　
B
4. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为(6，0)，将
△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是(　B　)
A. (3 ，3) B. (3，3 )
C. (6，3) D. (3，6)
　　
第4题图　　
B
5. 如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的
图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系.在
这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为(x，y)，那么它的对应
点N的坐标为 .
第5题图
(－x，－y)　
6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，
3)，B(4，2)，C(3，4).
(1)将△ABC沿水平方向向左平移4个单位长度得△A1B1C1，请画出
△A1B1C1；
(1)解：如图，△A1B1C1即为所求.
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
(1)解：如图，△A1B1C1即为所求.
(3)若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成
中心对称，则点P的坐标是 .
(－2，0)　
(2)解：如图，△A2B2C2即为所求.
7. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a(a＞0)个单位，
再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的ρ(a，θ)
变换.如：点A(2，0)按照ρ(1，90°)变换后得到点A'的坐标为(－1，2)，
则点B(，－1)按照ρ(2，105°)变换后得到点B'的坐标为 　(－ .
(－ ， )　
8. 如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，
将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD∥BC时，∠BAE的度数
是 .
30°或150°　
9. 在平面直角坐标系中，已知3个点的坐标分别为A1(1，1)，A2(0，2)，
A3(－1，1).一只电子蛙位于坐标原点处，第1次电子蛙由原点跳到以A1
为对称中心的对称点P1，第2次电子蛙由点P1跳到以A2为对称中心的对
称点P2，第3次电子蛙由点P2跳到以A3为对称中心的对称点P3，……，
按此规律，电子蛙分别以点A1，A2，A3为对称中心继续跳下去.当电子
蛙跳了2 025次后，电子蛙落点P2 025的坐标是 .
(0，0)　
10. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，
点A的坐标为(－6，4)；在Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4 ，
∠D＝30°，连接BC，M是BC中点，连接AM. 将Rt△COD以点O为
旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是
(　A　)
A. 3 B. 6 －4 C. 2 －2 D. 2
A
11. 如图，O是等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将
线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①
△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与点O'的距离
为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO'＝6＋3 ；⑤S△AOC＋S△AOB＝6
＋ .其中正确的结论是(　A　)
A. ①②③⑤ B. ①②③④
C. ①②③④⑤ D. ①②③
A
12. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F
分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，试探究BE，FD，
EF之间的数量关系，请说明理由.
解：结论EF＝BE＋FD. 理由如下：
如图，延长CB至点M，使BM＝DF，连接AM.
∵∠ABC＋∠D＝180°，∠1＋∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠D.
在△ABM和△ADF中，
∴△ABM≌△ADF(SAS).
∴AF＝AM，∠2＝∠3.
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠2＋∠4＝ ∠BAD＝∠EAF.
∴∠3＋∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF.
在△AME和△AFE中，
∴△AME≌△AFE(SAS).
∴EF＝ME，即EF＝BE＋BM.
∴EF＝BE＋DF.(共30张PPT)
2025年广东中考数学一轮备考教材复习-
第21章　一元二次方程
【思维导图】
【思维导图】
【思维导图】
【范例研讨】
★考点一：一元二次方程的概念
例1.下列关于x的方程是一元二次方程的是(　D　)
A. x＋ ＝1 B. (x＋1)(x－1)＝x2＋x＋1
C. ax2＋bx＋c＝0 D. x2＋1＝0
D
例2.把方程x(x＋1)＝3(x－2)化成一般式ax2＋bx＋c＝0的形式，则a，
b，c的值分别是(　D　)
A. a＝1，b＝－2，c＝－3 B. a＝1，b＝－2，c＝－6
C. a＝1，b＝－2，c＝3 D. a＝1，b＝－2，c＝6
D
例3.已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式2a3＋b2＋3a2－
11a－b＋5的值为 .
★考点二：一元二次方程的解法
例4.用适当的方法解下列方程：
(1)3(x－1)2－6＝0；
(1)解：3(x－1)2＝6，
(x－1)2＝2，
x－1＝± ，
∴x1＝ ＋1，x2＝－ ＋1.
23　
(1)解：3(x－1)2＝6，
(x－1)2＝2，
x－1＝± ，
∴x1＝ ＋1，x2＝－ ＋1.
(2)x2－8x－20＝0；
(2)解：x2－8x＝20，
x2－8x＋42＝20＋42，
(x－4)2＝36，
x－4＝±6，
∴x1＝10，x2＝－2.
(2)解：x2－8x＝20，
x2－8x＋42＝20＋42，
(x－4)2＝36，
x－4＝±6，
∴x1＝10，x2＝－2.
(3)3x2－6x＋4＝0；
(3)解：∵a＝3，b＝－6，c＝4，
∴Δ＝(－6)2－4×3×4＝36－48＝－12＜0.
∴方程无实数根.
(3)解：∵a＝3，b＝－6，c＝4，
∴Δ＝(－6)2－4×3×4＝36－48
＝－12＜0.
∴方程无实数根.
(4)3(x－2)2＝4－2x.
(4)解：3(x－2)2＝2(2－x)，
3(x－2)2＋2(x－2)＝0，
[3(x－2)＋2](x－2)＝0，
(3x－4)(x－2)＝0，
∴3x－4＝0或x－2＝0，
∴x1＝ ，x2＝2.
(4)解：3(x－2)2＝2(2－x)，
3(x－2)2＋2(x－2)＝0，
[3(x－2)＋2](x－2)＝0，
(3x－4)(x－2)＝0，
∴3x－4＝0或x－2＝0，
∴x1＝ ，x2＝2.
★考点三：一元二次方程根的判别式
例5.已知关于x的一元二次方程x2－mx＋(m－2)＝0(m为常数).
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(1)证明：∵a＝1，b＝－m，c＝m－2，
∴Δ＝b2－4ac
＝(－m)2－4×1×(m－2)
＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4.
∵(m－2)2≥0，
∴(m－2)2＋4＞0.∴Δ＞0.
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
(1)证明：∵a＝1，b＝－m，c＝m－2，
∴Δ＝b2－4ac
＝(－m)2－4×1×(m－2)
＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4.
∵(m－2)2≥0，
∴(m－2)2＋4＞0.∴Δ＞0.
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
★考点三：一元二次方程根的判别式
例5.已知关于x的一元二次方程x2－mx＋(m－2)＝0(m为常数).
(2)若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根.
(2)解：设方程的另一个根为t.
根据根与系数的关系，得2＋t＝m，2t＝m－2.
∴2＋t－2＝2t.解得t＝0.∴m＝2.
∴m的值为2，方程的另一个根为0.
(2)解：设方程的另一个根为t.
根据根与系数的关系，得2＋t＝m，2t＝m－2.
∴2＋t－2＝2t.解得t＝0.∴m＝2.
∴m的值为2，方程的另一个根为0.
★考点四：一元二次方程根与系数的关系
例6.若x1，x2是一元二次方程2x2－x－2＝0的两个实数根.
(1)x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ；
(2)分别求 ＋ 和 ＋ 的值.
(2)解： ＋ ＝ ＝ ＝－ ；
＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝()2－2×(－1)＝ .
　
－1　
(2)解： ＋ ＝ ＝ ＝－ ；
＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝()2－2×(－1)＝ .
例7.已知m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0且mn≠1，求 的值.
解：∵mn≠1，∴m≠ .
由n2＋2n－1＝0，得n≠0.∴()2－2· －1＝0.
又∵m2－2m－1＝0，∴m， 是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根.
由根与系数的关系，得m＋ ＝2.∴ ＝m＋1＋ ＝1＋2＝3.
解：∵mn≠1，∴m≠ .
由n2＋2n－1＝0，得n≠0.∴()2－2· －1＝0.
又∵m2－2m－1＝0，∴m， 是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根.
由根与系数的关系，得m＋ ＝2.∴ ＝m＋1＋ ＝1＋2＝3.
★考点五：实际问题与一元二次方程
例8.某企业生产总值从某月份的300万元，连续两个月降至260万元.设平
均降低率为x，则可列方程(　D　)
A. 300(1＋x)2＝260 B. 300(1－x2)＝260
C. 300(1－2x)＝260 D. 300(1－x)2＝260
D
例9.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场
地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应
邀请x个队参赛，则x满足的关系式为(　B　)
A. x(x＋1)＝4×7 B. x(x－1)＝4×7
C. x(x＋1)＝28 D. x(x－1)＝28
B
例10.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长18 m)，墙
对面有一个2 m宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长33 m.
(1)若养鸡场的面积为150 m2，求养鸡场的长和宽各为多少米？
(1)解：设养鸡场的宽为x m，
则养鸡场的长为(33－2x＋2)m.
根据题意，得x(33－2x＋2)＝150.
解得x1＝10，x2＝7.5.
当x＝10时，33－2x＋2＝15＜18.
当x＝7.5时，33－2x＋2＝20＞18(舍去).
答：养鸡场的长为15 m，宽为10 m.
(1)解：设养鸡场的宽为x m，
则养鸡场的长为(33－2x＋2)m.
根据题意，得x(33－2x＋2)＝150.
解得x1＝10，x2＝7.5.
当x＝10时，33－2x＋2＝15＜18.
当x＝7.5时，33－2x＋2＝20＞18(舍去).
答：养鸡场的长为15 m，宽为10 m.
(2)养鸡场的面积能达到200 m2吗？如果能，请给出设计方案；如果不
能，请说明理由.
(2)解：不能.理由如下：
设养鸡场的宽为a m，则养鸡场的长为(33－2a＋2)m.
根据题意，得a(33－2a＋2)＝200.
整理，得2a2－35a＋200＝0.
∵Δ＝(－35)2－4×2×200＝－375＜0，
∴方程没有实数根，
∴围成养鸡场的面积不能达到200 m2.
(2)解：不能.理由如下：
设养鸡场的宽为a m，则养鸡场的长为(33－2a＋2)m.
根据题意，得a(33－2a＋2)＝200.
整理，得2a2－35a＋200＝0.
∵Δ＝(－35)2－4×2×200＝－375＜0，
∴方程没有实数根，
∴围成养鸡场的面积不能达到200 m2.
例10.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长18 m)，墙
对面有一个2 m宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长33 m.
1. 若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，
则a的值为(　A　)
A. 2 B. －2 C. 2或－2 D.
2. 若关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含
一次项，则m的值为(　D　)
A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3
3. 将方程x2＋6x＋1＝0配方后，原方程可变形为(　D　)
A. (x＋3)2＝－10 B. (x－3)2＝－10
C. (x－3)2＝8 D. (x＋3)2＝8
A
D
D
4. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床主要
表现为发热、乏力、干咳.在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病
毒”，若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病
毒”.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出的方程是
(　C　)
A. x＋x(1＋x)＝225 B. 1＋x＋x2＝225
C. 1＋x＋x(1＋x)＝225 D. x(1＋x)＝225
C
5. 若关于x的方程 x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值
为 .
6. 解方程：(1)2x2－8＝0；
(1)解：2x2＝8.
x2＝4.
∴x1＝2，x2＝－2.
　
(1)解：2x2＝8.
x2＝4.
∴x1＝2，x2＝－2.
(2)x2＋2x－5＝0；
(2)解：x2＋2x＝5.
x2＋2x＋1＝5＋1.
(x＋1)2＝6.
x＋1＝± .
∴x1＝ －1，x2＝－ －1.
(2)解：x2＋2x＝5.
x2＋2x＋1＝5＋1.
(x＋1)2＝6.
x＋1＝± .
∴x1＝ －1，x2＝－ －1.
(3)x2＋x＝0；
(3)解：x(x＋1)＝0.
∴x＝0或x＋1＝0.
∴x1＝0，x2＝－1.
(3)解：x(x＋1)＝0.
∴x＝0或x＋1＝0.
∴x1＝0，x2＝－1.
(4)(2x－1)2＝(2－3x)2.
(4)解：(2x－1)2－(2－3x)2＝0.
[(2x－1)＋(2－3x)][(2x－1)－(2－3x)]＝0.
(1－x)(5x－3)＝0.
∴1－x＝0或5x－3＝0.
∴x1＝1，x2＝ .
(4)解：(2x－1)2－(2－3x)2＝0.
[(2x－1)＋(2－3x)][(2x－1)－(2－3x)]＝0.
(1－x)(5x－3)＝0.
∴1－x＝0或5x－3＝0.
∴x1＝1，x2＝ .
7. 定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7，
则方程1☆x＝0的根的情况为(　A　)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
8. 若a是关于x的一元二次方程3x2－x－2 023＝0的一个实数根，则2
023＋2a－6a2的值是(　C　)
A. 4 046 B. －4 046 C. －2 023 D. 0
A
C
9. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出
若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小
分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是(　C　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10. 学校要举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为20 cm和15 cm的矩
形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的 时较
美观.若所镶彩纸的宽为x cm，根据题意，可列方程为
.
C
(20＋2x)(15＋
2x)－20×15＝ ×20×15　
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(1)解：设y与x之间的函数关系式为
y＝kx＋b(k≠0).
将(45，55)，(55，45)代入y＝kx＋b，得
解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋100.
(1)解：设y与x之间的函数关系式为
y＝kx＋b(k≠0).
将(45，55)，(55，45)代入y＝kx＋b，得
解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋100.
11. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价
x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(2)该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件售价；如果不
能，请说明理由.
(2)解：该商品日销售额不能达到2 600元.
理由如下：
若该商品日销售额能达到2 600元，
则x(－x＋100)＝2 600.
整理，得x2－100x＋2 600＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝(－100)2－4×1×2 600＝－400＜0.
∴方程没有实数根.
∴该商品日销售额不能达到2 600元.
(2)解：该商品日销售额不能达到2 600元.
理由如下：
若该商品日销售额能达到2 600元，
则x(－x＋100)＝2 600.
整理，得x2－100x＋2 600＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝(－100)2－4×1×2 600＝－400＜0.
∴方程没有实数根.
∴该商品日销售额不能达到2 600元.
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
11. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价
x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
12. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(1)证明：∵Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
(1)证明：∵Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数.
(2)解：由求根公式，得x＝ .
∴x1＝ ＝ ，x2＝ ＝1.
∵m为整数，且方程的两个根都为正整数，
∴x1＝ ＝1＋ ，必为正整数.
∴m－1＝1或m－1＝2.
∴m＝2或3.
13. 关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数
根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；
(1)解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0.
解得k＞ .
(1)解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0.
解得k＞ .
(2)解：∵k＞ ，∴x1＋x2＝－(2k＋1)＜0.
又∵x1x2＝k2＋1＞0，∴x1＜0，x2＜0.
∴｜x1｜＋｜x2｜＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝2k＋1.
∵｜x1｜＋｜x2｜＝x1x2，∴2k＋1＝k2＋1.
∴k1＝0，k2＝2.
又∵k＞ ，∴k＝2.
13. 关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数
根x1，x2.
(2)若方程的两实数根x1，x2满足｜x1｜＋｜x2｜＝x1x2，求k的值.
(2)解：∵k＞ ，∴x1＋x2＝－(2k＋1)＜0.
又∵x1x2＝k2＋1＞0，∴x1＜0，x2＜0.
∴｜x1｜＋｜x2｜＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝2k＋1.
∵｜x1｜＋｜x2｜＝x1x2，∴2k＋1＝k2＋1.
∴k1＝0，k2＝2.
又∵k＞ ，∴k＝2.
14. 阅读材料：材料1.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为
x1，x2，则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
材料2.已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，
求 ＋ 的值.
解：由题可知m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根.
根据材料1，得m＋n＝1，mn＝－1.
∴ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝－3.
解决问题：
(1)已知实数m，n满足2m2－2m－1＝0，2n2－2n－1＝0，且m≠n，
求m2n＋mn2的值；
(1)解：∵m，n满足2m2－2m－1＝0，2n2－2n－1＝0，且m≠n，
∴m，n可看作方程2x2－2x－1＝0的两个不相等的实数根.
∴m＋n＝1，mn＝－ .
∴m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－ ×1＝－ .
(1)解：∵m，n满足2m2－2m－1＝0，2n2－2n－1＝0，且m≠n，
∴m，n可看作方程2x2－2x－1＝0的两个不相等的实数根.
∴m＋n＝1，mn＝－ .
∴m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－ ×1＝－ .
(2)已知实数p，q满足p2＝3p＋2，2q2＝3q＋1，且p≠2q，求p2＋4q2
的值.
(2)解：设t＝2q，代入2q2＝3q＋1化简为t2＝3t＋2，
则p与t(即2q)为方程x2－3x－2＝0的两个不相等的实数根.
∴p＋2q＝3，p·2q＝－2.
∴p2＋4q2＝(p＋2q)2－2p·2q＝32－2×(－2)＝13.
(2)解：设t＝2q，代入2q2＝3q＋1化简为t2＝3t＋2，
则p与t(即2q)为方程x2－3x－2＝0的两个不相等的实数根.
∴p＋2q＝3，p·2q＝－2.
∴p2＋4q2＝(p＋2q)2－2p·2q＝32－2×(－2)＝13.

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