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(共50张PPT)
7.3 一元一次不等式组
第七章 一元一次不等式与不等式组
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
一元一次不等式组的定义
一元一次不等式组的解集
解一元一次不等式组
一元一次不等式组的应用
知1－讲
感悟新知
知识点
一元一次不等式组的定义
1
1. 定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫作一元一次不等式组 .
感悟新知
知1－讲
特别解读
1. 一元一次不等式组中包含的一元一次不等式可以是两个，也可以是多个 .
2. 未知数的个数必须唯一 .
感悟新知
2. 表示方式
不等式组可以用形如的方式表示， 也可以用形如a2x+b2知1－讲
知1－练
感悟新知
下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是
_________.(填序号)
①② ③
④ －4x ≤ x<5；⑤ ⑥
例1
③④⑤
知1－练
感悟新知
解：①中含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
②中未知数的最高次数是 2，不是一元一次不等式组；
③中含有两个一元一次不等式，且只含有一个未知数，
是一元一次不等式组；
解题秘方：紧扣一元一次不等式组的定义识别 .
知1－练
感悟新知
④可以写成 是一元一次不等式组；
⑤中含有三个一元一次不等式，且只含有一个未知数，是一元一次不等式组；
⑥中的不是整式，不是一元一次不等式组 .
含有同一未知数的几个一次整式连续
不等的式子也是一元一次不等式组 .
知1－练
感悟新知
特别提醒
组成不等式组的每个不等式必须是一元一次不等式 . 这句话包含如下两层意思：
1. 每个不等式的左右两边必须是整式；
2. 每个不等式化简后，未知数的次数是 1，且系数不为零 .
感悟新知
知2－讲
知识点
一元一次不等式组的解集
2
1. 定义 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由这几个不等式组成的一元一次不等式组的解集.
感悟新知
知2－讲
2. 一元一次不等式组解集的四种情况
不等式组
( a ＞ b)
不等式组
的解集 x>a x不等式组的解集在数轴上的表示
知2－讲
感悟新知
特别解读
1.“公共部分” 是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的部分 . 如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解 .
2.不等式组的解集中的每一个解满足不等式组中的每一个不等式 .
感悟新知
知2－练
[母题 教材P42练习T1]利用数轴求下列不等式组的解集 .
(1) (2) (3) (4)
例2
解题秘方：解题时先在同一数轴上表示出不等式组中两个不等式的解集，再找出两个不等式解集的公共部分 .
知2－练
感悟新知
解：(1)两个不等式的解集在数轴上的表示如图 7.3-1 所示 .
所以这个不等式组的解集为x ≥ 2.
(2)两个不等式的解集在数轴上的表示如图7.3 -2所示.
所以这个不等式组的解集为 x<－1.
知2－练
感悟新知
(3)两个不等式的解集在数轴上的表示如图 7.3 -3 所示 .
所以这个不等式组无解 .
(4)两个不等式的解集在数轴上的表示如图 7.3-4 所示 .
所以这个不等式组的解集为 －1知2－练
感悟新知
方法点拨
确定一元一 次不等式组解集的常用方法：
数轴法：就是将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们解集的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集，如果没有公共部分，那么这个不等式组无解 .
2. 口诀法：“同大取大”“ 同小取小” “大小小大中间找”“大大小小无处找”.
数轴法找解集直观，口诀法找解集便于记忆 .
感悟新知
知2－练
关于 x 的不等式组 的解集是 x>－1，则m= _______.
例3
－3
解题秘方：根据不等式组解集的确定方法得出两个不等式解集端点值之间的数量关系 .
知2－练
感悟新知
解：因为 2>－1，所以 m+2>m－1.
根据“同大取大”可知，关于 x 的不等式组 的解集是 x>m+2，而题中给出其解集为 x>－1，所以 m+2=－1，所以 m=－3.
知2－练
感悟新知
方法点拨
解答这类题，一般先将字母视为常数， 再逆用不等式组解集的意义，由不等式组的解集反推得出含字母的方程，最后求出字母的值 .
感悟新知
知3－讲
知识点
解一元一次不等式组
3
1.解不等式组 求不等式组解集的过程叫作解不等式组 .
感悟新知
知3－讲
2. 解一元一次不等式组的一般步骤
(1)分别解每一个不等式；
(2)利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集；
(3)写出不等式组的解集 .
知3－讲
感悟新知
特别提醒
解一元一次不等式组的实质就是寻找不等式组中所有不等式解集的公共部分 .
知3－练
感悟新知
[母题 教材P43练习T1]解下列不等式组：
(1)(2) － 1< ≤ 5.
例4
知3－练
感悟新知
解题秘方：紧扣解一元一次不等式组的一般步骤求解 .
解法提醒
解不等式组的关键是要正确地求出每个不等式的解集，再利用数轴正确地表示出每个不等式的解集，从而找出不等式组的解集；熟练后，可不画数轴，直接利用“口诀法”写出不等式组的解集 .
知3－练
感悟新知
解：解不等式①，得 x> .解不等式②，得 x ≤ 4.
在数轴上表示不等式①和②的解集，如图 7.3 -5.
由数轴可知这两个不等式解集的公共部分是 所以原不等式组的解集是(1)
知3－练
感悟新知
解： －1< ≤ 5 可转化为不等式组解不等式①，得 x>－ .
解不等式②，得 x ≤ .
(2) － 1< ≤ 5.
另解
－2<3x－1 ≤ 10，
－1<3x ≤ 11，
－ 知3－练
感悟新知
在数轴上表示不等式①和②的解集，如图 7.3 -6.
由数轴可知这两个不等式解集的公共部分是－ 所以原不等式组的解集为 － 知3－练
感悟新知
[母题 教材P48复习题B组T3]解不等式组并求出该不等式组的整数解 .
例5
知3－练
感悟新知
解题秘方：先求出不等式组的解集，然后在解集中取特殊解 .
解法提醒
利用数轴找不等式组整数解的步骤：
1. 解不等式组；
2. 将不等式组的解集在数轴上表示出来；
3. 观察解集在数轴上的区间范围；
4. 确定其整数解 .
知3－练
感悟新知
解：解不等式①，得 x<3.
解不等式②，得 x ≥ －1.
不等式①和②的解集在数轴上的表示如图 7.3 -7 所示 .
所以该不等式组的解集为 －1 ≤ x<3.
所以该不等式组的整数解为 －1，0，1，2.
知3－练
感悟新知
已知不等式组 的解集为－ 3求( a+b) 2 026的值 .
例6
知3－练
感悟新知
解题秘方：先解关于 x 的不等式组得到其解集，然后根据不等式组解集的意义，结合已知条件，得到关于 a， b 的二元一次方程组，求得 a， b 的值 .
知3－练
感悟新知
解：解不等式， 得 x>2+a.
解不等式， 得 x因为不等式组的解集为 － 3所以 解得
所以( a+b) 2 026=( － 5+4) 2 026=(－ 1) 2 026=1.
知3－练
感悟新知
详解
因为 有解集，
所以2+a又因为 －3所以
知3－练
感悟新知
若不等式组 有解， 则 a 的取值范围是________ .
例7
a> － 1
知3－练
感悟新知
方法点拨
根据不等式组的解的情况求字母的取值范围的方法：
先求出不等式组中每个不等式的解集，然后结合已知条件，利用数轴得到关于未知字母的关系式，即可解决问题 .
知3－练
感悟新知
解题秘方：先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组有解确定字母的取值范围 .
解：解不等式，得 x ≥ － a.
解不等式，得 x<1.
因为不等式组 有解，
所以由“大小小大中间找”得 － a<1. 所以 a> － 1.
感悟新知
知4－讲
知识点
一元一次不等式组的应用
4
基本步骤： 审→设→列→解→验→答(与列一元一次不等
式相同) .
感悟新知
知4－讲
(1)审： 认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的不等关系；
(2)设： 恰当地设未知数；
(3)列： 依据题中的不等关系列出不等式组；
(4)解： 解不等式组，求出解集；
(5)验： 检验所求得的解集是否符合题意和实际意义；
(6)答： 写出答案 .
感悟新知
知4－练
在保护地球爱护家园的活动中，校团委把一批树苗
分给八(1)班同学去栽种 . 如果每人分 2 棵，还剩 42 棵；如果前面每人分 3 棵，那么最后 1 人得到的树苗少于 5 棵(但至少分得 1 棵) .
例8
等量关系
2× 八(1)班的人
数 +42= 树苗棵数 .
不等关系
1 ≤最后 1 人分
得的树苗棵数 <5.
知4－练
感悟新知
解题秘方：用式子表示最后 1 人得到的树苗棵数并根据最后 1 人得到的树苗棵数的范围列不等式组 .
知4－练
感悟新知
解法提醒
1. 寻找等量关系与不等关系,其中不等关系的常见词语，如“不超过”“不少于”或某一范围等；
2.建立不等式的模型；
3. 求出解集；
4. 利用未知数的实际意义确定其特殊解.
感悟新知
知4－练
(1)设八(1)班有 x 名同学，则这批树苗有多少棵？ (用含 x 的式子表示)
解：这批树苗有(2x+42)棵 .
感悟新知
知4－练
(2) 八(1)班至少有多少名同学？最多有多少名同学？
解：根据题意，得 1 ≤ 2x+42－3(x－1) <5.
解这个不等式组，得 40答：八(1)班至少有 41 名同学，最多有 44 名同学 .
感悟新知
知4－练
某房地产开发公司计划建 A、 B 两种户型的住房共 80套 . 该公司所筹资金不少于 2 090 万元，但不超过 2 096 万元，且所筹资金全部用于建房 . 两种户型的建房成本和售价如下表：
例9
A 型 B 型
成本 /(万元 / 套) 25 28
售价 /(万元 / 套) 30 34
知4－练
感悟新知
解题秘方：根据题中揭示的不等关系列出不等式组， 在解集中找出其特殊解 .
知4－练
感悟新知
解法提醒
求实际问题中方案的种类或最大值(最小值)问题的方法：
常通过求不等式组的解集，分类讨论找出答案，即先根据题意，设出未知数，列出不等式组，求出相应的取值范围，再根据题目的条件分类讨论，写出答案 .
感悟新知
知4－练
(1)该公司有哪几种建房方案？
解：设建 A 型住房 x 套，则建 B 型住房(80－x)套 .
根据题意，得 解得 48 ≤ x ≤ 50.
因为 x 为整数，所以 x=48 或 49 或 50.
所以有三种建房方案：方案一： A 型 48 套， B 型 32 套；
方案二： A 型 49 套， B 型 31 套；
方案三： A 型 50 套， B 型 30 套 .
感悟新知
知4－练
(2)该公司如何建房可获得最大利润？
解：第一种方案获利：
48×(30 － 25) +32×(34 － 28) =432(万元)；第二种方案获利：49×(30 － 25) +31×(34 － 28) =431(万元)；
第三种方案获利：50×(30 － 25)+30×(34 － 28) =
430(万元) .
所以该公司按方案一建房可获得最大利润 .
一元一次
不等式组
解法
应用
一元一次
不等式组
定义
解集(共36张PPT)
7.1 不等式及其基本性质
第七章 一元一次不等式与不等式组
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
不等式
不等式的解与解集
不等式的解集的表示方法
不等式的基本性质
知1－讲
感悟新知
知识点
不等式
1
1. 定义 用不等号( >， ≥， <， ≤ 或≠)表示不等关系的式子叫作不等式 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号；
2. 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子)不能随意交换 .
感悟新知
2. 基本的表达形式 (1) 常见的不等号：
知1－讲
符号 名称 实际意义 读法 举例
＜ 小于号 小于、不足 小于 3+2 ＜ 6
＞ 大于号 大于、高出 大于 3+3 ＞ 5
≤ 小于或等于号 不大于、不超过、至多 小于或等于 x ≤ 8
≥ 大于或等于号 不小于、不低于、至少 大于或等于 x ≥ 5
≠ 不等于号 不相等 不等于 4 ≠ 5
感悟新知
(2) 常见的不等式基本语言与符号表示：
① a 是正数表示为 a>0， a 是负数表示为 a<0；
② a 是非负数表示为 a ≥ 0， a 是非正数表示为 a ≤ 0；
③ a， b 同号表示为 ab>0， a， b 异号表示为 ab<0.
知1－讲
知1－练
感悟新知
判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既
不是等式也不是不等式 .
(1) x+y；(2)3x>7； (3) 5=2x+3； (4) x2>0；
(5) 2x－3y=1；(6)5÷ 2；(7)2>3.
例1
知1－练
感悟新知
解题秘方：紧扣等式、不等式的定义进行识别，关键是看式子是否含有等号或不等号 .
特别警示
判断一个式子是否为不等式与不等式是否成立没有关系 .
例如，例题中的“2>3”，虽然这个式子不成立，但它是不等式 .
知1－练
感悟新知
解：等式是(3)(5)，不等式是(2)(4)(7)，既不是等式也不是不等式的是(1)(6) .
知1－练
感悟新知
[母题 教材P32习题T1]用不等式表示：
(1) a 的一半与 3 的和大于 5；
(2) x 的 3 倍与 1 的差小于 2；
(3) a 的 与 1 的差是正数；
(4) m 与 2 的差是负数 .
例2
知1－练
感悟新知
解题秘方：紧扣不等关系中的关键词语列出不等式 .
解法提醒
用不等式表示不等关系时，一定要抓住关键词语，弄清不等关系，把用文字语言描述的不等关系转化为用数学符号表示的不等式 .
知1－练
感悟新知
解：(1) a+3>5. (2)3x－1<2.
(3) a－1>0. (4) m－2<0.
感悟新知
知2－讲
知识点
不等式的解与解集
2
1. 不等式的解 一般地，能够使不等式成立的未知数的 值，叫作这个不等式的解 .
判断一个数是否为不等式的解，就是将这个数代替不
等式中的未知数，看不等式是否成立 . 若成立，则该数就是不等式的一个解；若不成立，则该数就不是不等式的解 .
感悟新知
知2－讲
2. 不等式的解集 所有不等式的解的全体称为这个不等式的解集 .
特别提醒： 不等式的解集必须符合两个条件：
(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；
(2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 .
知2－讲
感悟新知
特别解读
不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
区别：不等式的解集是能使不等式成立的未知数的所有取值，是所有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知数的值 .
联系：解集包括所有的解，所有的解组成了解集 .
感悟新知
知2－练
下列四种说法中正确的有( )
① x=1 是不等式 4x－5>0 的一个解；
② x=2 是不等式 4x－5>0 的一个解；
③ x>1 是不等式 4x－5>0 的解集；
④ x>2 是不等式 4x－5>0 的解集 .
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
例3
知2－练
感悟新知
解题秘方：紧扣不等式的解及解集的定义，以及它们的区别与联系进行辨析 .
知2－练
感悟新知
解：①将 x=1 代入不等式左边，得左边等于 －1，
不等式不成立，
所以 x=1 不是这个不等式的解；
②将 x=2 代入不等式左边，得左边等于 3，3>0，
所以 x=2 是这个不等式的一个解；
③ x=1.1 满足 x>1，但 当 x=1.1 时，4x－5=－0.6<0，不等式不成立，
所以 x>1 不是不等式 4x－5>0 的解集；
④尽管 x>2 中的任何一个数都可以使不等式 4x－5>0 成立，但这个范围并不包含这个不等式所有的解，
所以 x>2 不是该不等式的解集 .
答案：A
知2－练
感悟新知
方法点拨
识别不等式的解与解集的方法：
代入不等式，能使不等式成立的未知数的值就是不等式的解；所有不等式的解的集合为不等式的解集 .
注意如果一个范围不包括不等式所有的解或包括有使不等式不成立的数，那么这个范围就不是不等式的解集 .
感悟新知
知3－讲
知识点
不等式的解集的表示方法
3
在数轴上表 示不等式的解 集 不等式的解集表示的是未知数
的取值范围， 所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出
来 .一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况
(设 a>0)：
感悟新知
知3－讲
不等式的解集 x > a x ≥ a x < a x ≤ a
数轴表示
知3－讲
感悟新知
特别提醒
用数轴表示解集的一般方法：
1. 画数轴；
2. 定界点，注意界点是实 心点，还是 空心圆圈；
3. 定方向，原则是“小于向左，大于向右”.
知3－练
感悟新知
在数轴上表示下列不等式的解集：
(1) x>－1； (2) x ≤ 1.
例4
解题秘方：根据在数轴上表 示 解 集的方 法，确定界点以及方向 .
解：(1)如图 7.1-1.
(2)如图 7.1-2.
知3－练
感悟新知
特别提醒
因为 x>－1无等号，所以把表示 －1 的点画成空心圆圈 .
因为x≤1有等号，所以把表示1的点画成实心点 .
感悟新知
知4－讲
知识点
不等式的基本性质
4
1. 性质 1 不等式的两边都加上(或减去) 同一个数(或式子)，不等号的方向不变 . 即如果 a>b，那么 a ＋ c>b ＋ c，a － c>b － c.
感悟新知
知4－讲
2. 性质 2 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 . 即如果 a>b， c>0，那么 ac>bc， > .
感悟新知
知4－讲
3. 性质 3 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 . 即如果 a>b， c<0，那么 ac4. 性质 4 如果 a>b，那么 b5. 性质 5 如果 a>b， b>c，那么 a>c.
感悟新知
知4－讲
6. 不等式的基本性质与等式的基本性质的关系
不同点 相同点
不等式的基本性质 两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变 两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等式和等式仍成立；
(2) 两边乘以(或除以)同一个正数，不等式和等式都仍成立
等式的基本性质 两边乘以(或除以)同一个负数，等式仍然成立
知4－讲
感悟新知
特别解读
1. 不等式的五条基本性质是不等式变形的依据，运用不等式的基本性质时，不等式的两边要同时进行相同的变形 .
2. 利用不等式的基本性质时，要注意判断利用的是不等式的哪条基本性质，不等号的方向是否要改变 .
感悟新知
知4－练
[母题 教材P32练习T2]若 x>y，则下列式子中错误的是( )
A. x－3>y－3
B. >
C. x+3>y+3
D. －3x>－3y
例5
解题秘方：认清每个选项变形的方式，紧扣不等式的基本性质进行解答 .
知4－练
感悟新知
解：分析如下表：
答案： D
将 x>y 变形 依据 结论
两边同时减 3，得 x－3>y－3 不等式的基本性质 1 A 正确
两边同时除以 3，得 > 不等式的基本性质 2 B 正确
两边同时加 3，得 x+3>y+3 不等式的基本性质 1 C 正确
两边同时乘以 －3，得 －3x<－3y 不等式的基本性质 3 D 错误
知4－练
感悟新知
方法点拨
辨析由一个不等式变形到另一个不等式的方法：
先判断出第二个不等式是由第一个不等式经过怎样的变形得到的，再确定出每一步变形的依据，最后确定不等号是否改变方向 .
感悟新知
知4－练
[母题 教材P49复习题C组T1]若关于 x 的不等式( m－2) x>m－2 化简为 x<1，求m 的取值范围 .
例6
知4－练
感悟新知
解题秘方：根据运用不等式的基本性质得到的结果，识别变形的条件 .
解：因为关于 x 的不等式( m－2) x>m－2 化简为 x<1，
所以 m－2<0，即 m<2.
知4－练
感悟新知
方法点拨
判断不等式两边乘以（或除以）的同一个数的符号时，只需看不等号的方向是否改变，若不变，则这个数为正数；若改变，则这个数为负数 .
不等式及其基本性质
不等式
解不
等式
不等式的
基本性质
性质1
性质3
性质2
作用
性质5
性质4
内容(共35张PPT)
7.2 一元一次不等式
第七章 一元一次不等式与不等式组
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
一元一次不等式
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的实际应用
知1－讲
感悟新知
知识点
一元一次不等式
1
1. 定义 含有一个未知数，未知数的次数是 1且不等号两边都是整式的不等式叫作一元一次不等式 .
一元一次不等式的“三要素”：
(1)不等号的两边都是整式；
(2)只含一个未知数；
(3)未知数的次数是 1.
感悟新知
知1－讲
特别警示
1.判断一个不等式是否为一元一次不等式，有时需要化简整理后再判断 .
2.只含有一个未知数，隐含着未知数的系数不为零，即化成最简形式ax>b(ax ≥ b)，或ax感悟新知
2. 一元一次不等式与一元一次方程的相同点与不同点
知1－讲
一元一次方程 一元一次不等式
相同点 未知数个数 1 1
未知数次数 1 1
式子特点 等号两边均为整式 不等号两边均为整式
不同点 表示关系 相等 不等
知1－练
感悟新知
下列不等式中，是一元一次不等式的有( )
(1) x 2+1>2 x；(2) +2>0；(3) x>y；(4) ≤ 1.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
例1
知1－练
感悟新知
解：(1)中未知数的最高次数是 2，故不是一元一次不等式；
(2)中左边不是整式，故不是一元一次不等式；
(3)中有两个未知数，故不是一元一次不等式；
(4)是一元一次不等式 .
解题秘方：紧扣一元一次不等式的“三要素”去识别 .
答案：A
知1－练
感悟新知
方法点拨
判断一个不等式是否为一元一次不等式的方法：
先对所给不等式进行化简整理，再看是否满足一元一次不等式的 “三要素”，同时要注意：化简后未知数的次数是1 且系数不为 0.
感悟新知
知2－讲
知识点
一元一次不等式的解法
2
1. 解不等式 求不等式的解集的过程叫作解不等式 .
2.解一元一次不等式，要根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为 xa( x ≥ a)的形式 . 解一元一次不等式的步骤如下：
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1.
知2－讲
感悟新知
特别提醒
解一元一次不等式时，五个步骤不一定都要用到，并且不一定都要按照这个顺序求解，应根据不等式的特点灵活求解 .
感悟新知
知2－讲
3. 解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系
一元一次方程 一元一次不等式
解法 步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为 1.(解不等式时，去分母、系数化为 1 时，若两边同时乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变) 依据 等式的基本性质 不等式的基本性质
解的个数 只有一个解 有无数个解
解(集)的 形式 x=a xa(x ≥ a)
感悟新知
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解不等式： x－ +1 ≥ ，并把解集在数轴上表示出来 .
例2
解题秘方：先根据解一元一次不等式的步骤求出解集，然后在数轴上表示出解集 .
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解：去分母，得 14x－7(3x－8) +14 ≥ 4(10－x) .
去括号，得 14x－21x+56+14 ≥ 40－4x.
移项，得 14x－21x+4x ≥ 40－56－14.
合并同类项，得 －3x ≥ －30.
系数化为 1， 得 x ≤ 10.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图 7.2-1 所示 .
注意改变不等号方向 .
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方法点拨
解一元一次不等式时，有两步可能会改变不等号的方向：
其一，去分母；其二，系数化为1.
为了使问题更加简便，可以在“去分母”这一步里，两边同乘一个正数，这样，使“改变不等号方向” 的问题落到“系数化为 1”这一步，由于要注意的只有这一步，因此就不容易出错了 .
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已知不等式 ( x－m) >3－m 的解集为 x>1，则 m的值为 _________.
例3
解题秘方：先用含 m 的式子表示出不等式的解集，再根据已知条件列出关于 m 的方程，求解即可 .
4
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解： ( x－m) >3－m，去分母，得 x－m>3(3－m)，
去括号，得 x－m>9－3m.
移项、合并同类项，得 x>9－2m.
因为不等式的解集为 x>1，
所以 9－2m=1，解得 m=4.
详解
因为 x>9－2m 与x>1 表示同一个不等式的解集，所以9－2m=1.
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当 x 取何正整数时，式子的值不大于的值？
例4
解题秘方：先根据题意列出不等式，再解不等式 .
方法点拨
求满足不等关系式子成立时的字母的值或取值范围时，其关键是列出正确的不等式 .
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解：根据题意，得 ≤ .
去分母，得 3(x － 2)≤ 2(7 － x) .
去括号，得 3x － 6 ≤ 14 － 2x.
移项、合并同类项，得 5x ≤ 20.
系数化为 1，得 x ≤ 4，则不等式的正整数解为 1，2，3，4.
所以当 x 取 1，2，3，4 时，式子的值不大于的值 .
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知识点
一元一次不等式的实际应用
3
有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的
关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式
得到实际问题的解 .
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列不等式解决实际问题的步骤
(1) 审： 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系；
(2) 设： 设出适当的未知数；
(3) 列： 根据题中的不等关系列出不等式；
(4) 解： 解不等式，求出其解集；
(5) 验： 检验所求出的不等式的解集是否符合题意；
(6)答： 写出答案 .
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警示误区
1. 设未知数时，表示不等关系的文字(如至少或最多)不能写；
2.检验时，要注意实际问题中的隐含条件，结果必须是不等式的解，且要符合实际意义 .
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[模拟·六安 ]为提升学生身体素质，某校组织了“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共 16 个班级参加．投篮得分规则：在三分线外投篮，投中一球可得 3 分，在三分线内(含三分线) 投 篮投中一球可得 2 分，某班级 在其中一场比赛中，共投中 26个球(只有 2 分球 和 3 分球)．所得总分不少于 56 分，该班级这场比赛中至少投中了多少个 3 分球？
例5
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解题秘方：分析题中的不等关系列出不等式解决问题 .
特别提醒
隐含的不等关系：
3 分球的得分与 2分球的得分的和不小于56 分.
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解：设该班级这场比赛中投中了 x 个 3 分球，
根据题意，得 3x+2(26－x)≥ 56，
解得 x ≥ 4.
答： 该班级这场比赛中至少投中了 4 个 3 分球 .
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创建文明城市，构建美好家园 . 为提高居民垃圾分类
意识，幸福社区决定采购 A， B 两种型号的新型垃圾 桶 . 若购买 3 个 A 型垃圾 桶和 4 个 B 型垃圾 桶共需要 580 元，购买 6个 A 型垃圾桶和 5 个 B 型垃圾桶共需要 860 元 .
(1)求两种型号垃圾桶的单价；
(2)若需购买 A， B 两种型号的垃圾桶共 200 个，总费用不超过 15 000 元，至少需购买 A 型垃圾桶多少个？
例6
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解题秘方：先根据题中的等量关系列出方程组，求出题目中关键的未知量，再根据不等关系列出不等式解决问题 .
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(1)求两种型号垃圾桶的单价；
解：设A，B两种型号垃圾桶的单价分别为x元和y元，
由题意，得 解得
答： A， B 两种型号垃圾桶的单价分别为 60 元和 100 元 .
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(2) 若需购买 A， B 两种型号的垃圾桶共 200 个，总费用不超过 15 000 元，至少需购买 A 型垃圾桶多少个？
解：设购买 A 型垃圾桶 a 个，则购买 B 型垃圾桶(200－a)个，
由题意，得 60a+100(200－a) ≤ 15 000，
解得 a ≥ 125.
答：至少需购买 A 型垃圾桶 125 个 .
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方法点拨
运用方程组或不等式解决实际问题时，从实际问题中发现相等关系或不等关系，通过方程组模型或不等式模型解决实际问题 . 列不等式解应用题时，首先要审题，找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为未知数，然后用含未知数的式子表示相关的量，找出不等关系列不等式、求解、作答，即审、设、列、解、验、答 .
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某校组织学生参加周末郊游活动 . 甲旅行社说：“只要一名学生买全票，那么其余学生可享受半价优惠 .”乙旅行社说：“全体学生都可按 6 折优惠 .”已知每张全票价为 240 元 .
(1)设学生数为 x 人，甲旅行社收费为 y 甲元，乙旅行社收费为 y 乙元，用含 x 的式子表示出 y 甲与 y 乙；
(2)讨论哪一家旅行社更优惠 .
例7
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(1)设学生数为 x 人，甲旅行社收费为 y 甲元，乙旅行社收费为 y 乙元，用含 x 的式子表示出 y 甲与 y 乙；
解：y 甲=240+240×0.5( x－1) =120x+120，
y 乙=240×0.6x=144x.
解题秘方：根据题意直接列式、 化简即可；
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(2)讨论哪一家旅行社更优惠 .
解题秘方：分三种情况讨论： y 甲>y 乙， y 甲=y 乙， y 甲知3－练
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解法提醒
当一个问题有多种可能的情况时，需要分情况讨论出所有可能的结果，体现了分类讨论思想 .
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解：当 y 甲>y 乙时，120x+120>144x，解得 x<5.
所以当学生数少于 5 人时，乙旅行社更优惠 .
当 y 甲=y 乙时，120x+120=144x，解得 x=5.
所以当学生数正好为 5 人时，两家旅行社一样优惠 .
当 y 甲5.
所以当学生数超过 5 人时，甲旅行社更优惠 .
一元一次不等式
解法
解集
一元一次
不等式
定义
应用
解决问题

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