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4.2.2　等差数列的前n项和公式（第二课时）（同步训练）
一、选择题
1.已知{an}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列前8项和为(　　)
A.36 B.24
C.16 D.12
2.在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　)
A.9 B.10
C.11 D.12
3.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)
A.－2 B.－1
C.0 D.1
4.一个等差数列共有10项，其奇数项之和是，偶数项之和是15，则它的首项与公差分别是(　　)
A.， B.，1
C.1， D.，2
5.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学著作，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其大意为：有个女子不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，则三十天共织布(　　)
A.30尺 B.90尺
C.150尺 D.180尺
6.已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为(　　)
A.30 B.29
C.28 D.27
7.(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，公差为d，a8＋a9＞0，a9＜0，则(　　)
A.d＜0 B.当n＝8时，Sn取得最大值
C.a4＋a5＋a18＜0 D.使得Sn＞0成立的最大自然数n是15
8.(多选)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn＝S13－n(n∈N*且n＜13)，有以下结论，则正确的结论为(　　)
A.S13＝0 B.a7＝0
C.{an}为递增数列 D.a13＝0
二、填空题
9.已知等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝10，a13＋a14＋a15＋a16＝70，则数列{an}的前16项和等于________
10.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为________
11.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________
12.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则每层有________环，三层共有扇面形石板(不含天心石)________块．
三、解答题
13.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围．
(2)数列前几项的和最大？并说明理由．
14.已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求Sn的最小值及对应的n值．
15.在数列{an}中，有a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2＋2n(n∈N*)．
(1)证明：数列{an}为等差数列，并求其通项公式；
(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
参考答案及解析：
一、选择题
1.D　解析：由等差数列性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6，
所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝＝＝12．故选D．
2.B　解析：∵＝，∴＝．∴n＝10．故选B．
3.B 解析：因为Sn＝(n＋1)2＋λ＝n2＋2n＋1＋λ，等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝a＋bn，∴λ＝－1．故选B．
4.A 解析：设等差数列为{an}，首项为a1，公差为d，由S偶－S奇＝5d＝15－＝，得d＝.再由S10＝10a1＋×＝15＋，得a1＝.
5.B 解析：由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1，
∴S30＝＝90，即共织布90(尺)．故选B．
6.B 解析：奇数项共有(n＋1)项，其和为·(n＋1)＝·(n＋1)＝290，
∴(n＋1)an＋1＝290．偶数项共有n项，其和为·n＝·n＝nan＋1＝261，∴an＋1＝290－261＝29．故选B．
7.ABC 解析：因为a8＋a9＞0，a9＜0，所以a8＞0，则d＜0，当n＝8时，Sn取得最大值，a4＋a5＋a18＝3a1＋24d＝3a9＜0，因为S15＝15a8＞0，S16＝8(a8＋a9)＞0，S17＝17a9＜0，所以使得Sn＞0成立的最大自然数n是16．故选ABC．
8.AB　解析：对B，由题意，Sn＝S13－n，令n＝7有S7＝S6 S7－S6＝0 a7＝0，故B正确．对A，S13＝＝13a7＝0．故A正确．对C，当an＝0时满足Sn＝S13－n＝0，故{an}为递增数列不一定正确．故C错误．对D，由A，B项，可设当an＝7－n时满足Sn＝S13－n，但a13＝－6．故D错误．故AB正确．
二、填空题
9.答案：160
解析：根据等差数列的性质，可知a1＋a2＋a3＋a4，a5＋a6＋a7＋a8，a9＋a10＋a11＋a12，a13＋a14＋a15＋a16构成等差数列，则a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝a1＋a2＋a3＋a4＋a13＋a14＋a15＋a16＝80，所以数列{an}的前16项和等于160.
10.答案：5　
解析：根据题意知，偶数项的和比奇数项的和多，其值为6d，
则d＝[354×(32－27)÷(32＋27)]÷6＝5．
11.答案：
解析：因为{an}，{bn}为等差数列，所以＋＝＋＝＝．因为＝＝＝＝，所以＝．
12.答案：9，3 402
解析：设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，解得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3 402(块)．
三、解答题
13.解：(1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d．
∵S12＞0，S13＜0，∴即∴－＜d＜－3．
(2)∵S12＞0，S13＜0，
∴∴∴a6＞0．
又由(1)知d＜0，∴数列前6项为正，从第7项起为负．
∴数列前6项和最大．
14.解：(1)∵Sn＝2n2－30n，
∴当n＝1时，a1＝S1＝－28.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
又a1＝－28满足此式，
∴an＝4n－32，n∈N*.
(2)∵an＝4n－32，∴a1＜a2＜…＜a7＜0，a8＝0，
当n≥9时，an＞0，
∴当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112.
15.(1)证明：∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2＋2n(n∈N*)，
∴当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝(n－1)2＋2(n－1)，
上述两式相减并整理，得an＝2n＋1(n≥2)．
又∵当n＝1时，a1＝12＋2×1＝3，符合上式，
∴an＝2n＋1(n∈N*)．从而得到an－1＝2n－1，
∴an－an－1＝2，
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，且其通项公式为an＝2n＋1(n∈N*)．
(2)解：由(1)可知，
bn＝＝＝，n∈N*，
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝＝＝4.2.2　等差数列的前n项和公式（第一课时）（同步训练）
一、选择题
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝9，S6＝21，则数列{an}的公差是(　　)
A.－1　 B.2
C.1　 D.－2
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2＋a5＝a6＋a3，则S7＝(　　)
A.28　　 B.14
C.7　　 D.2
3.在等差数列{an}中，a3＝5，a10＝－9，则前n项和的最大值为(　　)
A.15 B.20
C.25 D.30
4.已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10等于(　　)
A.138　　 　B.135　 　　
C.95　　 　 D.23
5.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)
A.765 B.665
C.763 D.663
6.现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　　)
A.9 B.10
C.19 D.29
7.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，d为{an}的公差．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A.a2＋a3＝0　 B.an＝2n－5
C.d＝－2　 D.Sn＝n(n－4)
8.(多选)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的是(　　)
A.a8　 B.a12
C.S15　 D.S16
二、填空题
9.已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n＞3)，Sn＝100，则公差d＝________．
10.有一个凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差是10°，最小角为100°，则边数n＝______
11.已知等差数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝2n－1，bn＝3n－2，将数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，则{cn}的前n项和为________
12.若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________
三、解答题
13.已知在等差数列{an}中，a3＝2，3a2＋2a7＝0，其前n项和为Sn．
(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)求S10．
14.已知一次函数f(x)＝x＋8－2n．
(1)设函数y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}是等差数列；
(2)设函数y＝f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn．
15.已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*．
(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；
(2)若a＋a＋a＋…＋a＝S，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式．
参考答案及解析：
一、选择题
1.C 解析：设{an}的公差为d，由已知条件a3＋a6＝9，S6＝21，可得解得a1＝1，d＝1，∴数列{an}的公差是1．
2.B 解析：由2＋a5＝a6＋a3，得(a6－a5)＋a3＝2，即d＋a3＝2，a4＝2，则S7＝7a4＝7×2＝14．
3.C 解析：由解得a1＝9，d＝－2，所以Sn＝na1＋
d＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，当n＝5时，Sn取得最大值25
4.C 解析：∵a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，∴(a5－a4)＋(a3－a2)＝2d＝6．∴d＝3．又a2＋a4＝2a1＋4d＝4，∴a1＝－4．∴S10＝10a1＋d＝－40＋45×3＝95．故选C．
5.B　解析：由题意得，所有被7除余2的数构成以2为首项，公差为7的等差数列，∴2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665．
6.B　解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝．当n＝19时，S19＝190．当n＝20时，S20＝210>200．∴n＝19时，剩余钢管根数最少， 为10根．
7.ABD 解析：S4＝＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；解得∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，C错误；Sn＝－3n＋×2＝n2－4n，D正确．
8.AC 解析：a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值，S15＝＝15a8为定值，S16＝＝8(a8＋a9)不是定值．故选AC．
二、填空题
9.答案：2
解析：{an}为等差数列，故由Sn－Sn－3＝51(n＞3)可得an－2＋an－1＋an＝51，即3an－1＝51，解得an－1＝17，所以a1＋an＝a2＋an－1＝20，所以Sn＝＝10n＝100，解得n＝10，所以解得d＝2．
10.答案：8
解析：n×100°＋×10°＝(n－2)×180°，解得n＝8或n＝9．又an＝100°＋(n－1)×10°＜180°，∴n＝8．
11.答案：3n2－2n
解析：因为数列{2n－1}是以1为首项，2为公差的等差数列，数列{3n－2}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{cn}是以1为首项，6为公差的等差数列，所以{cn}的前n项和为n·1＋·6＝3n2－2n．
12.答案：66
解析：当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋2＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋2－[(n－1)2－4(n－1)＋2]＝2n－5，所以a2＝－1．所以前两项是负数．故|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝S10＋2(|a1|＋|a2|)＝102－4×10＋2＋2×(1＋1)＝66．
三、解答题
13.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
依题意，a1＋2d＝2，5a1＋15d＝0，
解得a1＝6，d＝－2，
∴数列{an}的通项公式为an＝－2n＋8．
(2)S10＝10a1＋d＝10×6＋×(－2)＝－30．
14.(1)证明：由题意，得an＝8－2n．
∵an＋1－an＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，
∴数列{an}是公差为－2的等差数列．
(2)解：由题意，得bn＝|8－2n|．
∵b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2，
∴此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，
从第5项起是以2为首项，2为公差的等差数列．
∴当n≤4时，Sn＝6n＋×(－2)＝－n2＋7n．
当n≥5时，Sn＝S4＋(n－4)×2＋×2＝12＋n2－7n＋12＝n2－7n＋24．
∴Sn＝
15.(1)证明：由题意，得b＝anan＋1，
则cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，
∴cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2(常数)．∴{cn}是等差数列．
(2)解：当n＝1时，a＝a，
∵a1＞0，∴a1＝1．
a＋a＋a＋…＋a＝S，①
当n≥2时，a＋a＋a＋…＋a＝S，②
①－②，得a＝S－S＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)．
∵an＞0，∴a＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an．③
∵a1＝1也符合上式，∴当n≥2时，a＝2Sn－1－an－1．④
③－④，得a－a＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1．
∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝1．
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n．

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