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2024-2025学年人教版数学九年级上册期末复习卷
一、选择题
下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
下列方程是关于 的一元二次方程的是
A． B．
C． D．
关于 的一元二次方程 化为一般形式后不含一次项，则 的值为
A． B． C． D．
甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验是
A．掷一枚正六面体的骰子，出现 点的概率
B．拋一枚硬币，出现正面的概率
C．任意写一个整数，它能被 整除的概率
D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
把方程 配方成 的形式，则 ， 的值分别为
A． ， B． ， C． ， D． ，
已知抛物线 的对称轴为 ，若点 ，， 在抛物线 上，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
如图，在平面直角坐标系中， 绕旋转中心顺时针旋转 后得到 ，则其旋转中心的坐标是
A． B．
C． D．
已知烟花弹爆炸后某个残片在空中飞行的轨迹可以看成二次函数 图象的一部分，其中 为爆炸后经过的时间（秒）， 为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后 秒到 秒之间，残片距离地面的高度范围为
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
已知 的图象如图所示，对称轴为直线 ．若 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ，，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
如图， 的半径为 、圆心 的坐标为 ，点 是 上的任意一点，，且 ， 与 轴分别交于 ， 两点，若点 ， 关于原点 对称，则 的最大值为
A． B． C． D．
二、填空题
如图所示的图案，可以看成是由字母“Y”绕中心每次旋转 度构成的．
顶点为 ，开口向下，形状与函数 的图象相同的抛物线的表达式是 ．
把抛物线 先向下平移 个单位，再向左平移 个单位，得到的抛物线的解析式是 ．
“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图， 为 的直径，弦 于点 ，，，求 的长”．根据题意可得 的长为 ．
如图，在 中，， 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，若 ，则 ．
已知二次函数 ，当 时，；当 时，．则 与 满足的关系式是 ．
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图， 是圆内接正六边形的一条边，半径 ， 于点 ，则 的长为 ，圆内接正十二边形的边 的平方是 ．
如图，以扇形 的顶点 为原点，半径 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，点 的坐标为 ，若抛物线 与扇形 的边界总有两个公共点，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题
解方程：
(1) ． (2) ．
如图， 三个顶点的坐标分别为 ，，．
(1) 请画出 关于 轴对称的 ，并写出点 ， 的坐标．
(2) 请画出 绕点 逆时针旋转 后的 ．
(3) 求出（）中线段 所扫过的面积（结果保留根号和 ）．
小明和小刚两人一起做游戏，游戏规则如下：准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌背面数字分别是 ，，，从每组牌中各摸出一张牌，若两张牌数字之和是奇数为小明胜，若两张之和是偶数为小刚胜．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，（ 在 右侧），与 轴交于点 ．
(1) 求点 ，， 的坐标；
(2) 求 的面积．
如图，四边形 是平行四边形，以 为圆心， 为半径的圆交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，，若 是 的切线，解答下列问题：
(1) 求证： 是 的切线．
(2) 若 ，，求平行四边形 的面积．
某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长 ，宽 ，矩形冰场的长与宽的比为 ，如果要使冰场的面积是原空地面积的 ，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
如图 ，四边形 ， 都是正方形，， 分别在 ， 边上，已知
(1) 求正方形 的周长．
(2) 将正方形 绕点 逆时针旋转 时，如图 ，求证：．
(3) 将正方形 绕点 逆时针旋转 时，如图 ，延长 交 于点 ，设 与 的交点为 ．
①求证：．
②当 时，求线段 的长．
定义：在平面直角坐标系中，如果点 和 都在某函数的图象 上，则称点 ， 是图象 的一对“相关点”．例如，点 和点 是直线 的一对相关点．
(1) 请写出反比例函数 的图象上的一对相关点的坐标；
(2) 如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴交于点 ．
①求抛物线的解析式：
②若点 ， 是抛物线 上的一对相关点，直线 与 轴交于点 ，点 为抛物线上 ， 之间的一点，求 面积的最大值．
答案
一、选择题
1. A
2. C
3. D
4. C
5. D
6. B
7. C
8. B
9. B
10. B
二、填空题
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17. ；
18.
三、解答题
19.
(1) 移项，得因式分解，得即解得
(2) 因式分解，得解得
20.
(1) 的位置如图所示：
由图可知，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(2) 的位置如图所示：
(3) 如图， 扫过的面积即为扇形 的面积，
，．
．
21. 游戏不公平，理由如下：
画树状图得：
则共有 种等可能的结果；
两张牌数字之和是奇数的概率 ，若两张之和是偶数的概率 ，
，
这个游戏不公平．
22.
(1) 二次函数 ，
当 时，，当 时，，，
即点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(2) 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，，
的面积是：，
即 的面积是 ．
23.
(1) 连接 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，，
，
在 和 中
，
，
即 ，
是 的切线．
(2) ，
，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 的面积 ．
24. 设矩形冰场的长为 ，宽为 ．
列方程解方程，得上、下通道的宽度为 ，
左、中、右通道的宽度为 ．
答：上、下通道的宽度为 ，左、中、右通道的宽度为 ．
25.
(1) 正方形 的周长 ．
(2) 四边形 ， 都是正方形，
，，
将正方形 绕点 逆时针旋转 ，
，
在 和 ，
,
，
．
(3) ① ，
，
又 ，
，
．
②连接 交 于点 ，连接 ，
正方形 绕点 逆时针旋转 ，
与 互相垂直平分，且 在 上，
，
，
．
在 中，；
，
，
，
．
26.
(1) ，当 时，；当 时，．
故答案为： 和 ．
(2) ① 抛物线 的对称轴为直线 ，
，解得 ，
抛物线 与 轴交于点 ，
，
抛物线的解析式为 ；
②由相关点定义得，点 ， 关于直线 对称．
又 直线 与 轴交于点 ，
直线 的解析式为 ．
代入抛物线的解析式 中，并整理，得 ，
解得 ，，
， 两点坐标为 和 ．
设点 的横坐标为 ，则点 ，
过 作 轴交直线 于 点，
则 点坐标为 ，
即当 时， 的面积最大，最大值为 ．

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