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第三章一元函数的导数及其应用 第二节导数与函数的单调性
导数与函数单调性专题
考点一：函数的单调性与导数的关系
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0.（　×　）
（2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性.（　√　）
（3）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一定是增函数.（　×　）
2.已知f（x）是定义在（a，b）内的可导函数，则“f'（x）＞0”是“f（x）在（a，b）内为增函数”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A　
考点二：求已知函数（不含参数）的单调区间
1.函数f（x）＝cos x－x在（0，π）上的单调性为（　　）
A.先增后减　 B.先减后增 C.单调递增　 D.单调递减
解析：D　因为在区间（0，π）内，f'（x）＝－sin x－1＜0恒成立，所以f（x）在（0，π）上单调递减，故选D.
2.函数y＝4x2＋的单调递增区间为　（，＋∞）　.
解析：由y＝4x2＋（x≠0），得y'＝8x－，令y'＞0，即8x－＞0，解得x＞，∴函数y＝4x2＋的单调递增区间为（，＋∞）.
3.函数f（x）＝＋＋x的单调递减区间为　（0，）　；
4.已知定义在区间（0，π）上的函数f（x）＝x＋2cos x，则f（x）的单调递增区间为　（0，），（，π）　.
解析：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－＋1＝，当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间为（0，）.
（2）f'（x）＝1－2sin x，x∈（0，π）.令f'（x）＝0，得x＝或x＝，当0＜x＜或＜x＜π时，f'（x）＞0，当＜x＜时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，）和（，π）上单调递增，在（，）上单调递减.
5．已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导后，由可求出其递减区间.
【详解】的定义域为，，令，解得，
所以的单调递减区间为，故选：A.
6．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】求出导函数，令，即可得解.【详解】由函数，可得，令，可得，所以函数的单调递减区间是.故选：C.
7．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】对函数求导并令导函数大于零，解不等式可得其单调递增区间.
【详解】易知函数的定义域为，可得，令，解得.所以函数的单调递增区间是.故选：D
8．函数单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】求导后，令，解出即可.
【详解】,令，解得，所以单调递减区间为.故选：A.
9．已知函数，其导函数为．(1)求在处的切线方程；
(2)求的单调区间．
【答案】(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解；（2）利用导数与函数单调性的关系即可得解.
【详解】（1）因为的导数为，所以在处的切线斜率为，而
故所求的切线方程为，即．
因为，定义域为
所以，解得，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
10．已知函数 (其中为常数)．(1)当时，求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最小值．
【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为(2)答案见解析【分析】（1）根据的正负确定单调区间； （2）分类讨论，根据单调的单调性确定的最小值.
【详解】（1），令解得，所以的单调递增区间为
令解得，所以的单调递减区间为
（2）
①当时，在上单调递增，；
②当时，在上单调递增，；
③当时，令和分别解得和，
则在上单调递减，单调递增，所以；
④当时，在上单调递减.
综上所述：当时，；当时，；当时，.
考点三：求已知函数（含参数）的单调区间
解题技法 讨论函数f（x）单调性的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；
（3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性.
提醒　研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
1.（2024·惠州模拟）已知函数f（x）＝aln x＋2x2－2（a∈R），讨论函数f（x）的单调性.
解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝＋4x＝.
当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数；
当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝，由f'（x）≤0，得0＜x≤；由f'（x）≥0，得x≥.
则函数f（x）在（0，］上单调递减，在［，＋∞）上单调递增.
综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数；
当a＜0时，函数f（x）在（0，］上单调递减，在［，＋∞）上单调递增.
2.（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性.
解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1.
当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数.
当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln.当x∈（－∞，ln）时，f'（x）＜0；当x∈（ln，＋∞）时，f'（x）＞0.
所以f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增.
综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；
当a＞0时，f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增.
3.已知函数f（x）＝ex－ax－a，a∈R，求f（x）的单调区间.
解：函数f（x）＝ex－ax－a的定义域为R，求导得f'（x）＝ex－a，
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，即f（x）在R上是增函数；
当a＞0时，令f'（x）＝ex－a＞0，解得x＞ln a，令f'（x）＝ex－a＜0，解得x＜ln a，
即f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增，所以当a≤0时，f（x）在R上是增函数；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（－∞，ln a），单调递增区间为（ln a，＋∞）.
4．设函数.(1)若是的极值点，求a的值，并求的单调区间；
(2)讨论的单调性；(3)若，求的取值范围.
【答案】(1)6，单调递增区间，单调递减区间(2)答案见解析(3)【分析】（1）先求导，令，检验即得解；代入，分别令，得到单增区间和单减区间；（2）根据二次函数及二次不等式的性质，结合函数定义域，分类讨论即可求解；（3）转化为，分，两种情况讨论即可.
【详解】（1），，解得，此时，
令，有或，令，有，所以是的极值点，满足题意，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由（1）知，当即时，恒成立，
所以在上单调递增；当即时，由得或，
由得，故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当即时，由得或，
由得，故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当即时，由得，得，故的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上，时，在上单调递增，无递减区间，
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由题意当时，令，有，令，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以
，即当时，不成立.综上，.
5．已知函数(1)求函数的单调区间；(2)函数有唯一零点，函数在上的零点为．证明：．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）法一：由已知导数与单调性关系及函数零点存在定理可知，，构造函数，结合导数及函数性质可得的范围，再令，结合导数分析的单调性，利用不等式放缩即可求解.法二：，设新函数，利用零点存在性定理得，再证明单调性即可.
【详解】（1）函数的定义域为，且，
所以当时，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）法一：由（1）可知若函数有唯一零点，则，即，
令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，
因为，，所以，
，当时，当时，
所以在上存在唯一零点，所以，即，
令，则，所以在上单调递减，
故，所以，
又，所以，
令，则，所以在上单调递增，又，所以.
法二：因为，由（1）可知若函数有唯一零点，则，
即，
设，而在上单调递增，
所以，，所以在上单调递增，
又，令，所以在上单调递增，
所以，而，
.
6.已知函数．讨论的单调性；证明：当时，．
【答案】解：，当时，在单调递减，
当时，，在单调递减，
当时，令，，时，，单调递减．
时，单调递增，故当时在单调递减，
当时，在区间单调递减，在区间单调递增．
由知当时，在区间单调递减，在区间单调递增
故，令，
，令，因为，故，在区间单调递减，在区间单调递增，，即恒成立，即，即当时，．
【解析】本题考查了函数的求导，利用导数分析函数的单调性，根据函数的极值、最值证明不等式，属于中等难度．
先对函数求导后，得到，根据得出分、、进行讨论，得出时在单调递减．时求出函数零点，再依据导函数正负判断函数单调性．
要证时，结合讨论结果知的单调性，得到在处取得最小值，只需证明即可．构造，只需证明，进一步利用导数得出在区间单调递减，在区间单调递增，求出最小值，发现，即证恒大于，即证当时，．
7.已知函数，．讨论函数的单调性；若存在，使成立，求实数的取值范围．注：为自然对数的底数．
【答案】解：，，，
当时，，的单调递增区间是
当时，令，解得，所以的单调递增区间是，单调递减区间是
综上当时，的单调递增区间是
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是
，
设，
当，，在上单调递增，，即，不符合题意；
当时，则存在唯一的，使得．当时，，当时，．
故当，单调递减，，单调递增，
，，这与矛盾，
当时，，在上单调递减，
综上实数的取值范围为．
【解析】本题考查利用导数研究存在性问题，利用导数求函数的单调区间，属于中档题．
求出函数的导数，对分情况讨论，求出函数的单调区间即可；
构造函数，求导，对分类讨论，研究函数的单调性和最值即可得到结论．
8.已知函数．讨论的单调性；当有极小值，且极小值小于时，求的取值范围．
【答案】解：的定义域为，．
若，则，所以在上单调递增．
若，则当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由知，当时，在无极小值．
当时，在取得极小值为．因此等价于即，
令，其中，因为．所以在上单调递增，且．
于是，当时，；当时，．因此，的取值范围是．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，属于中档题．求导得到，对分和讨论即可；首先排除，当时得到，再设新函数，得到其单调性和即可得到答案．
9.已知函数．当时，求曲线在处的切线方程；求函数的单调区间；
【答案】解：当时，，所以，．
又，所以曲线在处的切线方程为
函数的定义域为．，
当时，因，，所以单调增区间为，无单调减区间．
当时，令，得．当时，；当时，；
所以的单调增区间为，减区间为．
综上，当时，的单调增区间为，无单调减区间；
当时，的单调增区间为，减区间为
【解析】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数单调性，属于中档题．Ⅰ求出函数导数，利用导数几何意义求出切线斜率进而通过点斜式求出切线方程；Ⅱ求出函数的导数，分类讨论判断导数的正负进而求出函数单调性．
10.已知函数．讨论的单调性；若方程有两个不相等的实根，证明：．
【答案】解：因为，
所以，定义域为，
当时，，在上单调递增；
当时，时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
证明：方程，即，即，
即，令，则，
因为，所以在上单调递增，所以，即，所以，
因为是方程的两个实根，所以是方程的两个实根，
即，所以是方程的两个实根，
令，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增；，当时，，
令，不妨设，则，要证，即证，即证，
令，则在 上单调递增，且，所以，所以在上单调递减，
又，所以，即，
因为在单调递增，所以，即，所以．
【解析】本题考查导数中的函数不等式，利用导数研究函数的单调性，属于较难题．
利用导数研究函数的单调性，分和两种情况讨论，即可求出结果；
利用导数研究函数的单调性，从而判断出在上单调递增，即 ，令，分析可知，当时，，单调递减，当时，，单调递增；将所求问题进行转化，要证，即证，，令，利用导数分析可知的单调性，从而证明不等式．
11.已知．讨论函数的单调性若函数有两个零点，求的取值范围．
【答案】解：因为，
所以，
当时，，则在上单调递增；当时，令，可得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
由得，要使函数有两个零点，则，且，
令，则，
令，则恒成立，即在上单调递减，
，，，
使得，即，且在上单调递增，在上单调递减，
故只需，即，
则，即，
解得，则，
又当趋近于无穷大时，趋近于正无穷大；当趋近于负无穷时，趋近于正无穷大，
故当时，函数有两个零点．
【解析】本题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点或方程的根，利用导数求函数的最值，函数零点存在定理，属于较难题．求出导数，分，讨论，即可求出结果；
由得，要使函数有两个零点，则，且，令，利用导数并结合零点存在定理，得出只需，由此即可求出结果．
12.已知函数，讨论的单调性
当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】解：函数定义域为，，
若，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；
若，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；
若，，在上单调递增；
若，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．
由知：当时，在上单调递增，故，，解得，
当时，在上单调递减，在上单调递增，故，
，即，，解得，
综上，
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题，属于较难题．
求出导函数，分类讨论确定的得增区间，同时可由得减区间；
对分类，由中函数的单调性得最值，由不等式恒成立求得的范围．
13.已知函数，其中．讨论的单调性；设，若不等式对恒成立，求的取值范围．
【答案】解：由题意可知：的定义域为，且，
当时，恒成立，则在上单调递减；当时，令，解得；
令，解得；则在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，的单调减区间为，无单调增区间；
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
当时，由可知在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为．
因为 不等式对恒成立，所以．
设，则的定义域为，且恒成立，
可知在上单调递增．因为，所以，
即，可得，即．综上所述的取值范围是．
【解析】本题考查了利用导数判断函数单调性、研究恒成立与存在性问题，属于较难题．
求导，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性；
结合可得，令，利用导数解不等式即可．
14.函数．讨论的单调性
若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线斜率记为，求证：
盒子中有编号为的个小球除编号外无区别，有放回的随机抽取个小球，记抽取的个小球编号各不相同的概率为，求证：．
【答案】解：的定义域为，，
对于方程，，
当，即时，，，在上单调递增，
当，即或时，方程有两个不等根，
，，而，，
所以当时，，在上恒成立，在上单调递增
当时，，或时，，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
由题，，
所以要证，即证，即证，也即证成立，设，函数，由知在上单调递增，且，
所以时，，所以成立，原不等式得证．
证明：由题，，
因为，，，，所以，
又因为由知，，
取，有，即，也即，所以．
【解析】本题考查利用导数判断或证明已知函数的单调性，利用导数解不等式，古典概型及其计算，排列与排列数公式，属于较难题．对函数求导，对的范围分类讨论，利用导数判断或证明已知函数的单调性即可；
转化问题为要证，即证，即证求解即可；
，所以，又由知，求解即可．
考点四：已知函数在区间上递增（递减）求参数
1.若函数f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是（　　）
A.（－∞，－2]　 B.（－∞，－1] C.[2，＋∞）　 D.[1，＋∞）
解析：D　因为f（x）＝kx－ln x，所以f'（x）＝k－.因为f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，所以当x＞1时，f'（x）＝k－≥0恒成立，即k≥在区间（1，＋∞）上恒成立.因为x＞1，所以0＜＜1，所以k≥1.
2.若函数f（x）＝ex＋ax－x2存在单调递减区间，则实数a的取值范围是　（－∞，－1）　.
解析：函数f（x）的定义域是R，则f'（x）＝ex＋a－x.由结论2，若f（x）存在单调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g（0）＝－1，故a＜－1.
3.函数g（x）＝2x＋ln x－在区间[1，2]上不单调，则实数a的取值范围为　（－10，－3）　.
解析：g'（x）＝，∵函数g（x）在区间[1，2]上不单调，∴g'（x）＝0在区间（1，2）内有解，则a＝－2x2－x＝－2（x＋）2＋在（1，2）内有解，易知函数y＝－2x2－x在（1，2）上单调递减，∴y＝－2x2－x在（1，2）上的值域为（－10，－3），因此实数a的取值范围为（－10，－3）.
4.（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　）
A.e2　 B.e　　C.e－1　　 D.e－2
解析：C　法一　由题意，得f'（x）＝aex－，∴f'（x）＝aex－≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝，x∈（1，2），则g'（x）＝－＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）单调递减.∴ x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C.
法二　∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－.∵函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴≤e，即a≥＝e－1，故选C.
已知函数在区间上递增（递减）求参数
已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：1.在区间内是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
2.可导函数在区间是增（减）函数的充要条件是：都有，且在的任意一个子区间内都不恒为；
3.由函数在区间是增（减）函数，求参数范围问题，可转化为恒成立问题求解.
1．若函数的单调递增区间是，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D【分析】求导可得，由，可得，可求.
【详解】，若，则可得在上单调递减，
若，令，可得，所以在上单调递增，
又因为的单调递增区间是，所以.故选：D.
2．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】将在上单调递增，化为对任意成立，再转化为对任意成立，求解即可.【详解】因为函数在上单调递增，
所以对任意成立，即对任意成立，
令，则，
因为，所以，令，即，解得或
因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在时取得最大值为，所以.故选：.
3．已知函数在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B【分析】将函数求导，从而将函数单调性问题转化为导数不等式在给定区间上的恒成立问题，继而通过参变分离法求出函数的最值,即可得到参数的范围.
【详解】由函数在区间上单调递增,可得在[1，2]上恒成立，即，
设，则，，，故当时，即时，，
故得，即a的最大值为.故选：B.
4．已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C【分析】由题意可得恒成立，进而可得出答案.
【详解】，因为函数在上单调递增，所以恒成立，
则，解得，所以的最大值为.故选：C.
5．已知函数为定义域上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据题意，将问题转化为在恒成立，然后利用导数求得函数最值，即可得到结果.【详解】，由函数为定义域上的减函数，
可得在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，
令，即，则，令可得，
当时，，则函数单调递增，当时，，则函数单调递减，
所以时，有极大值，即最大值为，所以，即，所以的取值范围是.故选：A
6．若对任意的，且，，则的最大值是 ．
【答案】/【分析】由题意可得，令，则，则可得在上递增，然后利用导数求出的递增区间，从而可求出的最大值.
【详解】因为，所以，所以由，得，
所以，所以，
令，则，因为对任意的，且，所以在上递增，
由，得，由，得，得，
解得，所以的递增区间为，所以的最大值为.故答案为：
7．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】【分析】求出函数的导数，结合已知可得，再由函数不等式恒成立问题求函数最值即可得结论.
【详解】函数，求导得，
由函数在上单调递增，得，，
而函数在上的最小值为，因此，所以实数的取值范围为.故答案为：
考点五：已知函数存在单调区间或在区间上不单调求参数，已知函数在区间上不单调，
使得（且是变号零点）
1．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 .
【答案】【分析】根据题意可知在区间有变号零点，结合变号零点与给定区间的关系求解即可.【详解】由题意知，
因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，，所以在区间内，
所以，解得，即m的取值范围是.故答案为：.
2．函数在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【详解】依题意，，因在上不单调，故导函数在上必有变号零点.
令，得，再令，则，
由，得即在上单调递增，所以，
故只需，即，对于A，是的真子集,
故 A选项是一个充分不必要条件，而其他选项中，的范围都不是的真子集，故都不正确. 故选:A．
3．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由，函数定义域为，当时，函数单调递增，不合题意；
当时，令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
若函数在区间不单调，则，解得；综上所述：实数的取值范围是.故选：B.
4．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由.
①当时，函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，
若函数在区间不单调，必有，解得；综上所述：实数a的取值范围为. 故选：B.
5．已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】，当时，在区间上单调递减，不符合题意.
当，时，，在区间上单调递减，不符合题意.
当时，令，解得，
要使在区间上不单调，则，即，解得，
此时在区间上递减；在区间上递增.故选：B
6．已知函数在上不单调，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意可知，，若函数在上单调，则或，
当时，恒成立，当，转化为，或，
设，则或恒成立，即或，
，所以，
所以函数在上不单调，则.故选：B
7．已知在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由于，可得，
可得函数的极值点为：，，
由在上不单调，可得或，解得． 故选：D．
8．已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】，当时，在区间上单调递减，不符合题意.
当，时，，在区间上单调递减，不符合题意.
当时，令，解得，
要使在区间上不单调，则，即，解得,
此时在区间上递减；在区间上递增.故选：B
9．已知函数在处取得极大值，且极大值为3.
(1)求的值：(2)求在区间上不单调，求的取值范围.
【详解】（1）解：因为，可得，
因为函数在处取得极大值，且极大值为，所以，解得.
（2）解：由题意，函数在区间上不单调，可得，解得，
又由，当时，；当时，；时，，
所以函数在单调递增，在上单调递减，
因为在区间上不单调，则满足，解得，即实数的取值范围为.
考点六：导函数图像与原函数图像的关系
1.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则下列判断正确的是（　　）
A.在区间（－2，1）上f（x）单调递增 B.在区间（1，3）上f（x）单调递减
C.在区间（4，5）上f（x）单调递增 D.在区间（3，5）上f（x）单调递增
解析：C　在（4，5）上f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在区间（4，5）上单调递增.
2.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图所示，
则下列结论正确的是（　　）
A.f（b）＞f（c）＞f（a） B.f（b）＞f（c）＝f（e）
C.f（c）＞f（b）＞f（a） D.f（e）＞f（d）＞f（c）
解析：D　由f'（x）图象可知f（x）图象大致如图，由图可知f（a）＞f（b），
f（b）＜f（c）＜f（d）＜f（e），故仅有D选项是正确的.故选D.
3.函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
解析：D　利用导数与函数的单调性进行验证.f'（x）＞0的解集对应y＝f（x）的单调递增区间，
f'（x）＜0的解集对应y＝f（x）的单调递减区间，验证只有D符合.
原函数与导函数互相判断应遵循以下步骤：
①若已知导函数判断原函数
第一步：观察导函数轴的上下，上则为递增，下则为递减.
第二步：导函数轴的值越大，则原函数增的越快（斜率越大）
②若已知原函数判断导函数
第一步：观察原函数是上坡路还是下坡路，若为上坡路则导函数，若为下坡路则导函数
第二步：原函数斜率越大，则导函数轴的值越大，原函数斜率越小，则导函数轴的值越小.
1.已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．有极小值，极大值
B．仅有极小值，极大值
C．有极小值和，极大值和
D．仅有极小值，极大值
【答案】C【分析】根据函数的图象，得出导函数符号的分布情况，再根据极值的定义即可得解.
【详解】由函数的图象，得当时，，单调递减，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以函数有极小值，极大值和.故选：C.
2．已知函数，其导数的图象如下图所示，则（ ）
A．在上为增函数 B．在处取得极小值
C．在处取得极大值 D．在上为增函数
【答案】D【分析】根据导函数的图象判断出其符号分布情况，进而可求出函数的单调区间及极值点，即可得解.【详解】由导函数的图象可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
在和处取得极小值，在处取得极大值，故ABC错误，D正确.故选：D.
3．已知定义域为的函数的导函数为，，且的图象如图所示，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】利用导函数的图象判断函数的单调性，结合判断即可．
【详解】当时，，单调递减，
当时，，单调递增，则.
因为，所以的值域为.故选：D.
4．已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是极大值点
C．的图象在点处的切线的斜率等于0 D．在区间内一定有2个极值点
【答案】D【分析】根据函数的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、函数的极值点的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由函数的图象，可得当时，，
所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误；
对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数，
因为，所以不是函数的极值点，所以B错误；对于C中，由函数的图象，可得，
所以函数的图象在点处的切线的斜率大于，所以C不正确；
对于D中，由函数的图象，当时，；当时，；当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以D正确.故选：D.
5．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】利用导函数的图象求出函数的单调区间，由此判断即可得解.
【详解】观察导函数的图象，当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，ABC错误，D正确.故选：D
6．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】由的图象得到的单调区间，即得的取值情况，从而得解.
【详解】由图可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则当时， ，当时，，
由，得或，解得或，
所以不等式的解集为.故选：A
7．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据函数图象判断其导数的正负情况，即可求得答案.
【详解】由函数的图象知，当或时，；当时，，
不等式等价于或，解得或，
所以不等式的解集为.故选：A
8．已知定义在上的函数的导函数为，且在上的图象如图所示，则（ ）
A．1是的极小值点 B．1是的极大值点
C．是的极小值点 D．是的极大值点
【答案】D【分析】根据导数大于0和小于0 确定的单调性，结合极值点的定义，即可得到答案.【详解】由图象可知，定义域，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，无极小值点，故选：D.
考点七：比较大小或解不等式
1.已知a＝，b＝，c＝e，则下列大小关系正确的是（　　）
A.a＜b＜c　 B.a＜c＜b C.c＜b＜a　 D.c＜a＜b
解析：C　由题，c＝.令f（x）＝（x≥e），则f'（x）＝，因为x≥e，所以f'（x）≥0，所以f（x）＝在[e，＋∞）上单调递增，又a＝f（4），b＝f（3），c＝f（e），e＜3＜4，故c＜b＜a.故选C.
2.函数f（x）＝ex－e－x＋sin x，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）
A.（0，＋∞）　 B.（－∞，0） C.（0，π）　 D.（－π，0）
解析：A　对函数f（x）求导得f'（x）＝ex＋e－x＋cos x，因为ex＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，－1≤cos x≤1，所以f'（x）＞0，所以f（x）在R上是增函数，又因为f（0）＝e0－e－0＋sin 0＝0，所以f（x）＞0的解集为（0，＋∞）.
3.设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－cos x，则不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（　　）
A.（－∞，1）　 B.（－∞，） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞）
解析：D　根据题意，当x≥0时，f（x）＝ex－cos x，此时有f'（x）＝ex＋sin x＞0，则f（x）在[0，＋∞）上单调递增，又f（x）为R上的奇函数，故f（x）在R上为增函数.f（2x－1）＋f（x－2）＞0 f（2x－1）＞－f（x－2） f（2x－1）＞f（2－x） 2x－1＞2－x，解得x＞1，即不等式的解集为（1，＋∞）.
4.（2024·邯郸一模）已知函数f（x）＝3x＋2cos x.若a＝f（3），b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（　　）
A.a＜b＜c　 B.c＜b＜a C.b＜a＜c　 D.b＜c＜a
解析：D　由题意，得f'（x）＝3－2sin x.因为－1≤sin x≤1，所以f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）是增函数.因为＞1，所以3＞3.又log24＜log27＜log28，即2＜log27＜3，所以2＜log27＜3，所以f（2）＜f（log27）＜f（3），即b＜c＜a.
5.已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf'（x）≥0的解集为　［0，］∪[2，＋∞）　.
解析：由题中f（x）的图象特征可得，在（－∞，］和[2，＋∞）上f'（x）≥0，
在（，2）上f'（x）＜0，所以xf'（x）≥0 或 0≤x≤或x≥2，
所以xf'（x）≥0的解集为［0，］∪[2，＋∞）.第三章一元函数的导数及其应用 第二节导数与函数的单调性
导数与函数单调性专题
考点一：函数的单调性与导数的关系
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0.（　　）
（2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性.（　　）
（3）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一定是增函数.（　　）
2.已知f（x）是定义在（a，b）内的可导函数，则“f'（x）＞0”是“f（x）在（a，b）内为增函数”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
考点二：求已知函数（不含参数）的单调区间
1.函数f（x）＝cos x－x在（0，π）上的单调性为（　　）
A.先增后减　 B.先减后增 C.单调递增　 D.单调递减
2.函数y＝4x2＋的单调递增区间为　　.
3.函数f（x）＝＋＋x的单调递减区间为　　；
4.已知定义在区间（0，π）上的函数f（x）＝x＋2cos x，则f（x）的单调递增区间为　　.
5．已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
7．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
8．函数单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，其导函数为．(1)求在处的切线方程；(2)求的单调区间．
10．已知函数 (其中为常数)．(1)当时，求函数的单调区间；(2)求函数在上的最小值．
考点三：求已知函数（含参数）的单调区间
1.（2024·惠州模拟）已知函数f（x）＝aln x＋2x2－2（a∈R），讨论函数f（x）的单调性.
2.（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性.
3.已知函数f（x）＝ex－ax－a，a∈R，求f（x）的单调区间.
4．设函数.(1)若是的极值点，求a的值，并求的单调区间；
(2)讨论的单调性；(3)若，求的取值范围.
5．已知函数(1)求函数的单调区间；(2)函数有唯一零点，函数在上的零点为．证明：．
6.已知函数．讨论的单调性；证明：当时，．
7.已知函数，．讨论函数的单调性；若存在，使成立，求实数的取值范围．注：为自然对数的底数．
8.已知函数．讨论的单调性；当有极小值，且极小值小于时，求的取值范围．
9.已知函数．当时，求曲线在处的切线方程；求函数的单调区间；
10.已知函数．讨论的单调性；若方程有两个不相等的实根，证明：．
11.已知．讨论函数的单调性若函数有两个零点，求的取值范围．
12.已知函数，讨论的单调性当时，恒成立，求的取值范围．
13.已知函数，其中．讨论的单调性；设，若不等式对恒成立，求的取值范围．
14.函数．讨论的单调性
若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线斜率记为，求证：
盒子中有编号为的个小球除编号外无区别，有放回的随机抽取个小球，记抽取的个小球编号各不相同的概率为，求证：．
考点四：已知函数在区间上递增（递减）求参数
1.若函数f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是（　　）
A.（－∞，－2]　 B.（－∞，－1] C.[2，＋∞）　 D.[1，＋∞）
2.若函数f（x）＝ex＋ax－x2存在单调递减区间，则实数a的取值范围是　　.
3.函数g（x）＝2x＋ln x－在区间[1，2]上不单调，则实数a的取值范围为　　.
4.（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　）
A.e2　 B.e　　C.e－1　　 D.e－2
1．若函数的单调递增区间是，则（ ）
A． B． C． D．2
2．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
5．已知函数为定义域上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若对任意的，且，，则的最大值是 ．
7．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 .
考点五：已知函数存在单调区间或在区间上不单调求参数，已知函数在区间上不单调，
使得（且是变号零点）
1．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 .
2．函数在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在上不单调，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数在处取得极大值，且极大值为3.(1)求的值：(2)求在区间上不单调，求的取值范围.
考点六：导函数图像与原函数图像的关系
1.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则下列判断正确的是（　　）
A.在区间（－2，1）上f（x）单调递增 B.在区间（1，3）上f（x）单调递减
C.在区间（4，5）上f（x）单调递增 D.在区间（3，5）上f（x）单调递增
2.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图所示，
则下列结论正确的是（　　）
A.f（b）＞f（c）＞f（a） B.f（b）＞f（c）＝f（e）
C.f（c）＞f（b）＞f（a） D.f（e）＞f（d）＞f（c）
.
3.函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
1.已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．有极小值，极大值
B．仅有极小值，极大值
C．有极小值和，极大值和
D．仅有极小值，极大值
2．已知函数，其导数的图象如下图所示，则（ ）
A．在上为增函数 B．在处取得极小值
C．在处取得极大值 D．在上为增函数
3．已知定义域为的函数的导函数为，，且的图象如图所示，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是极大值点
C．的图象在点处的切线的斜率等于0
D．在区间内一定有2个极值点
5．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数的导函数为，且在上的图象如图所示，则（ ）
A．1是的极小值点 B．1是的极大值点
C．是的极小值点 D．是的极大值点
考点七：比较大小或解不等式
1.已知a＝，b＝，c＝e，则下列大小关系正确的是（　　）
A.a＜b＜c　 B.a＜c＜b C.c＜b＜a　 D.c＜a＜b
2.函数f（x）＝ex－e－x＋sin x，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）
A.（0，＋∞）　 B.（－∞，0） C.（0，π）　 D.（－π，0）
3.设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－cos x，则不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（　　）
A.（－∞，1）　 B.（－∞，） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞）
4.（2024·邯郸一模）已知函数f（x）＝3x＋2cos x.若a＝f（3），b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（　　）
A.a＜b＜c　 B.c＜b＜a C.b＜a＜c　 D.b＜c＜a
5.已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf'（x）≥0的解集为　　.

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