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第1章一元函数的导数及其应用第3节导数与函数的极值、最值
知识梳理：
1.函数的极值与导数
条件 f'（x0）＝0
x0附近的左侧f'（x）　＞　0，右侧f'（x）　＜　0 x0附近的左侧f'（x）　＜　0，右侧f'（x）　＞　0
图象 形如山峰 形如山谷
极值 f（x0）为极　大　值 f（x0）为极　小　值
极值点 x0为极　大　值点 x0为极　小　值点
提醒　f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是极值点.
2.函数的最值与导数
（1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条　连续不断　的曲线，那么它必有最大值和最小值；
（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的　最小值　，f（b）为函数的　最大值　；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的　最大值　，f（b）为函数的　最小值　.
考点一：
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数的极大值不一定比极小值大.（　√　）
（2）闭区间上的连续函数必有最值.（　√　）
（3）函数的极大值一定是函数的最大值.（　×　）
（4）开区间上的单调连续函数无最值.（　√　）
（5）设函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在区间（a，b）内不单调.（　√　）
考点二：由图像判断函数的极值
1.如图是f（x）的导函数f'（x）的图象，则f（x）的极小值点的个数为（　　）
A.1　 　 B.2　 C.3　 　 D.4
解析：A　由题意知，只有在x＝－1处，f'（－1）＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f（x）的极小值点只有1个.
2.（多选）如图是y＝f（x）的导函数f'（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　）
A.当x＝－1时，f（x）取得极小值 B.f（x）在[－2，1]上单调递增
C.当x＝2时，f（x）取得极大值 D.f（x）在[－1，2]上不具备单调性
解析：AC　由导函数f'（x）的图象知，当x＝－1时，f（x）取得极小值，故选项A正确；
f（x）在[－2，1]上有减有增，故选项B错误；当x＝2时，f（x）取得极大值，故选项C正确；
f（x）在[－1，2]上单调递增，故选项D错误.
3.设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y＝（1－x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）
A.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）
B.函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1）
C.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2）
D.函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2）
解析：D　由题图可知，当x＜－2时，f'（x）＞0；当－2＜x＜1时，f'（x）＜0；当1＜x＜2时，f'（x）＜0；当x＞2时，f'（x）＞0.由此可以得到函数f（x）在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.故选D.
考点三：求函数的极值（极值点）
1.函数 g（x）＝－x2的极值点是　x＝0　，函数f（x）＝（x－1）3的极值点　不存在　（填“存在”或“不存在”）.
解析：结合函数图象可知g（x）＝－x2的极值点是x＝0.因为f'（x）＝3（x－1）2≥0，所以f'（x）＝0无变号零点，故函数f（x）＝（x－1）3不存在极值点.
2.已知函数f（x）＝，则f（x）的极大值为　　.
解析：函数f（x）＝的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝，令f'（x）＝0，可得x＝e，列表如下，
x （0，e） e （e，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） ↗ 极大值 ↘
所以函数f（x）的极大值为f（e）＝.
3.函数f（x）＝x2＋ln x－2x的极值点的个数是（　　）
A.0　 B.1 C.2　 D.无数
解析：A　函数定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝x＋－2＝＝≥0，即f（x）在定义域上是增函数，由结论1可知f（x）无极值点.
4.已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）.（1）当a＝时，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.
解：（1）当a＝时，f（x）＝ln x－x，函数的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝－＝，
令f'（x）＝0，得x＝2，于是当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） ↗ ln 2－1 ↘
故f（x）在定义域上的极大值为f（2）＝ln 2－1，无极小值.
（2）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－a＝（x＞0）.
当a≤0时，f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，则函数在（0，＋∞）上是增函数，此时函数在定义域上无极值点；
当a＞0时，若x∈，则f'（x）＞0，若x∈，则f'（x）＜0，故函数在x＝处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f（x）无极值点；当a＞0时，函数y＝f（x）有一个极大值点，且为x＝.
5.若函数f（x）＝的极大值点与极小值点分别为a，b，则a＋b＝（　　）
A.－4　 B. C.0　 D.2
解析：C　f'（x）＝，当－＜x＜时，f'（x）＞0；当x＜－或x＞时，f'（x）＜0.故f（x）＝的极大值点与极小值点分别为，－，则a＝，b＝－，所以a＋b＝0.
6．函数的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值.
【详解】函数的定义域为，又，
令，则或，所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为．故选：D．
7．函数的极大值为（ ）
A． B．0 C．e D．1
【答案】D【分析】求导，令，，可求得极大值.
【详解】因为，令，得时；令，得，
所以当时，函数取得极大值．故选：D.
考点四：求函数的最值
1.（2022·全国甲卷6题）当x＝1时，函数f（x）＝aln x＋取得最大值－2，则f'（2）＝（　　）
A.－1　　 B.－　　C.　　 D.1
解析：B　由题意知，f（1）＝aln 1＋b＝b＝－2.求导得f'（x）＝－（x＞0），因为f（x）的定义域为（0，＋∞），所以易得f'（1）＝a－b＝0，所以a＝－2，所以f'（2）＝－＝－.故选B.
2.函数f（x）＝xln x在［，e］上的最大值是　e　.
解析：由f（x）＝xln x，得f'（x）＝ln x＋1，令f'（x）＝0，得x＝，当≤x≤e时，f'（x）≥0，所以f（x）在［，e］上单调递增，由结论2可知f（x）的最大值为f（e）＝eln e＝e.
3.函数f（x）＝x＋sin x在x∈[0，2π]上的最大值是　π　，最小值是　0　；
解析：（1）f'（x）＝＋cos x，令f'（x）＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝或x＝，计算得f（0）＝0，f（2π）＝π，f＝＋，f＝－.所以当x＝0时，f（x）有最小值f（0）＝0；当x＝2π时，f（x）有最大值f（2π）＝π.
4.函数f（x）＝在[2，＋∞）上的最小值为（　　）
A.－　 B.－1 C.　 D.1
解析：C　f'（x）＝，令f'（x）＞0，解得x＞3，令f'（x）＜0，解得2≤x＜3，故f（x）在[2，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，故f（x）min＝f（3）＝.
5.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.f（x）＝x＋（x∈R）的最小值为1 B.f（x）＝（x＞0）的最小值为1
C.f（x）＝x－ln x（x＞0）的最小值为1 D.f（x）＝x（x＞0）的最小值1
解析：AC　f（x）＝x＋（x∈R），f'（x）＝1－＝，函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，故函数f（x）的最小值为f（0）＝1，A正确；f（x）＝（x＞0），f'（x）＝，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，故函数f（x）的最小值为f（1）＝e，B错误；f（x）＝x－ln x（x＞0），f'（x）＝1－＝，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，故函数f（x）的最小值为f（1）＝1，C正确；f（x）＝x（x＞0），f'（x）＝＋x·（－）＝，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，故函数f（x）的最小值为f（1）＝e，D错误；故选A、C.
6．已知函数的图象在点处的切线过点．
(1)求实数的值；(2)求的单调区间和极值．
【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入求解；
（2）利用导数研究函数单调性和极值.
【详解】（1）由已知得，则，又，
所以图象在点处的切线方程为，将点代入得，解得.
（2）所以，定义域为, 所以，
令，则，易得在上恒成立，所以在上单调递增，
又，所以当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，所以在处取得极小值，极小值为.
7．已知函数.(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程(2)当时，求函数的极值(3)若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)(2)极小值为，无极大值(3)【分析】（1）利用导数的几何意义函数的图象在点处的切线的斜率为，又，由直线的点斜式可得切线方程；（2）利用的正负讨论的单调性，即可求得函数的极值；（3）由在上是单调增函数，所以在上恒成立，则在上恒成立，又在上为单调递减函数，所以，可得.
【详解】（1）当时，，定义域为，
，所以函数的图象在点处的切线的斜率为，又，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即.
（2），令，解得，当时，，当时，，
所以 在上是减函数，在上是增函数，所以在处取得极小值，无极大值.
（3）因为在上是单调增函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上为单调递减函数，所以当时，取得最大值，即，
所以.
8．已知函数.(1)求函数的单调区间和极值;(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)增区间为和，减区间为，极大值为-1，极小值为(2).【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可求得函数的增区间、减区间以及极大值、极小值；（2）结合参变量分离法可得，令，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1），该函数的定义域为，
则，列表如下：
1 2
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为和，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
（2）当时，由可得，
令，其中，则，
由可得，由可得，所以，函数的增区间为，减区间为，
所以，，所以，，故实数的取值范围是.
9.已知函数f（x）＝，若f（x）在x＝－1处取得极值，求f（x）的单调区间及其最大值与最小值.
解：因为f（x）＝，所以f'（x）＝＝，
由题意可得f'（－1）＝＝0，解得a＝3，故f（x）＝，f'（x）＝，则列表如下：
x （－∞，－1） －1 （－1，3） 3 （3，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－1），（3，＋∞），单调递减区间为（－1，3）.
当x＜1时，f（x）＞0，且当x→－∞时，f（x）→0；当x＞1时，f（x）＜0，且当x→＋∞时，f（x）→0，所以f（x）max＝f（－1）＝，f（x）min＝f（3）＝－.
10．函数，则下列结论错误的是（ ）
A．在区间上不单调 B．有两个极值点
C．有两个零点 D．在上有最大值
【答案】C【分析】对求导，讨论单调性，得出极值和最值，画出草图即可．
【详解】定义域为，求导即，令，解得．
显然在和上，故在和上单调递增；
在上，故在上单调递减．
所以为的极大值点，为的极小值点，
且，，草图如下.
所以ABD正确，C错误．故选：C．
11．已知函数，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，利用导数探讨函数的性质，再数形结合求出的范围.
【详解】函数的定义域为，求导得，
当或时，，当或时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极大值，当时，取得极小值，
函数在上恒有，而，
当时，，而函数在上递减，值域为，
因此函数在上无最大值，当时，，显然在上无最大值，
函数的大致图象如图，
观察图象知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点，
因此方程有两个不同的实数解时，或，
所以实数的取值范围是或故答案为：或
12．已知.(1)求的单调区间，并求其极值；
(2)画出函数的大致图象；(3)讨论函数的零点的个数.
【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为，；极小值为，无极大值(2)作图见解析
(3)答案见解析【分析】（1）求出，由的正负判断出的单调性可得极值；（2）根据的单调性极值可得答案；（3）转化为函数的零点的个数即为函数的图象与直线的交点个数，结合图象可得答案.【详解】（1）定义域为，，令得，，列表如下；
0
↘ ↘ ↗
由上表知，单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，取极小值为，无极大值；
（2）令得，；令得，，当时，，，故；
当时，，，故；据此信息及（1）可得的图象，如图所示；
（3）令得，
则函数的零点的个数即为函数的图象与直线的交点个数，
结合图象及（2）可知，当或，即或时，函数有1个零点；
当，即时，函数有2个零点当，即时，函数有0个零点.
考点五：求参数问题
1.已知函数f（x）＝在x＝1处取得极值，则f（x）的极小值为（　　）
A.－1　 B.0 C.1　 D.2
解析：C　求导得f'（x）＝，由已知得f'（1）＝0，所以a＝－1，则f（x）＝，f'（x）＝.令f'（x）＝0，得x＝0或x＝1.当x∈（－∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.所以f（x）的极小值为f（0）＝1.
2.已知函数f（x）＝cos x＋aln x在x＝处取得极值，则a＝　　.
解析：∵f'（x）＝－sin x，且f'＝0，∴－＝0，即a＝，经验证，符合题意.
3.已知函数f（x）＝ax3－x，若f（x）有极大值，则a＝　3　.
解析：f'（x）＝3ax2－1，当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，无极大值.当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝±，令f'（x）＞0，得x＜－或x＞，令f'（x）＜0，得－＜x＜，所以f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以f（x）在x＝－处取得极大值，所以f＝，解得a＝3.
4.若函数f（x）＝6aln x＋x2－（a＋6）x（x＞0）有2个极值点，则实数a的取值范围为　（0，6）∪（6，＋∞）　.
解析：f'（x）＝＋x－（a＋6）＝（x＞0），因为函数f（x）有2个极值点，所以f'（x）＝0有2个不同的正实数根，所以a＞0且a≠6，即实数a的取值范围是（0，6）∪（6，＋∞）.
5.若函数f（x）＝ln（2x）＋ax有大于零的极值，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－∞，－）　 B.（－，0） C.（0，）　 D.（，＋∞）
解析：B　函数f（x）＝ln（2x）＋ax的定义域为（0，＋∞），求导得f'（x）＝＋a，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，无极值，不符合题意；当a＜0时，当0＜x＜－时，f'（x）＞0，当x＞－时，f'（x）＜0，则当x＝－时，函数f（x）取得极大值f（－），因此f（－）＝ln（－）－1＞0，即ln（－）＞1，解得－＜a＜0.
6．已知函数.(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程
(2)当时，求函数的极值(3)若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)(2)极小值为，无极大值(3)【分析】（1）利用导数的几何意义函数的图象在点处的切线的斜率为，又，由直线的点斜式可得切线方程；（2）利用的正负讨论的单调性，即可求得函数的极值；（3）由在上是单调增函数，所以在上恒成立，则在上恒成立，又在上为单调递减函数，所以，可得.
【详解】（1）当时，，定义域为，
，所以函数的图象在点处的切线的斜率为，又，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即.
（2），令，解得，当时，，当时，，
所以 在上是减函数，在上是增函数，所以在处取得极小值，无极大值.
（3）因为在上是单调增函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上为单调递减函数，所以当时，取得最大值，即，
所以.
7.若函数f（x）＝x3－4x＋m在[0，3]上的最小值为4，则m＝　　.
解析：f'（x）＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2）时，f'（x）＜0，当x∈（2，3]时，f'（x）＞0，所以f（x）在[0，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增.所以f（2）为f（x）在[0，3]上的极小值，由结论3可知也是最小值，所以f（2）＝4，解得m＝.
8已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）.（1）当a＝时，求f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.
解：（1）当a＝时，f（x）＝ln x－x，函数的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝－＝，
令f'（x）＝0，得x＝2，于是当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） ↗ ln 2－1 ↘
故f（x）在定义域上的极大值为f（2）＝ln 2－1，无极小值.
（2）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－a＝（x＞0）.
当a≤0时，f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，则函数在（0，＋∞）上是增函数，此时函数在定义域上无极值点；
当a＞0时，若x∈，则f'（x）＞0，若x∈，则f'（x）＜0，故函数在x＝处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f（x）无极值点；当a＞0时，函数y＝f（x）有一个极大值点，且为x＝.
9．已知函数（）.(1)求函数的极值；(2)若集合有且只有一个元素，求的值.
【答案】(1)极大值是，无极小值；(2).【分析】（1）利用求导，通过参数，可分析出为正负的区间，从而可以判断的极值；（2）利用不等式有唯一解，则正好是最大值取到等号，再去分析取等号的含参方程有解的条件，所以重新构造新的函数，通过求导来研究函数的零点和方程的解.
【详解】（1）由，因为，所以的定义域为，则，
因为时，；时，.所以的单调递增区间为；单调递减区间为，
所以是的极大值点，的极大值是，无极小值.
（2）由（1）可得，
要使得集合有且只有一个元素，则只需要
设，则，因为时，；时，，
所以的单调递减区间为；单调递增区间为.
所以，所以关于的方程有解时，
只能是，所以集合有且只有一个元素时.
10.（多选）（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　）
A.bc＞0　 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0　 D.ac＜0
解析：BCD　因为函数f（x）＝aln x＋＋（a≠0），所以函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，因为函数f（x）既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，
则即所以故选B、C、D.
11.已知函数f（x）＝－ax在（1，＋∞）上有极值，则实数a的取值范围为（　　）
A.（－∞，］　 B.（－∞，） C.（0，］　 D.［0，）
解析：B　由题意可知，f'（x）＝－a，设g（x）＝＝－.∵函数f（x）在区间（1，＋∞）上有极值，∴f'（x）＝g（x）－a在（1，＋∞）上有变号零点.令＝t，由x＞1可得ln x＞0，即t＞0，得到y＝t－t2＝－（t－）2＋≤，解得a＜.故选B.
12.（2024·苏州模拟）函数f（x）＝－x3＋x在（a，10－a2）上有最大值，则实数a的取值范围为[－2，1）.
解析：（2）由于f'（x）＝－x2＋1，易知f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调递减，在（－1，1）上单调递增，故若函数f（x）在（a，10－a2）上有最大值，则即－2≤a＜1.
13.已知函数f（x）＝x2－ln x在区间（a，a＋）（其中a＞0）上存在最小值，则实数a的取值范围为　（，1）　.
解析：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－，令f'（x）＞0，得x＞1，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.因为f（x）在区间（a，a＋）（其中 a＞0）上存在最小值，所以解得＜a＜1.
14．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 .
【答案】【分析】利用导数判断函数的单调性，得到函数的极大极小值，结合函数的简图，由题意即可判断参数的范围.【详解】由题意，，由可得或，由可得，
从而在上递增，在上递减，在上递增，
故有极大值，极小值，如图所示，
注意到，由图可知，要使函数在上存在最小值，
应有.故答案为：.
15.已知函数f（x）＝ax3－x，若f（x）有极大值，则a＝　3　.
解析：f'（x）＝3ax2－1，当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，无极大值.当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝±，令f'（x）＞0，得x＜－或x＞，令f'（x）＜0，得－＜x＜，所以f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以f（x）在x＝－处取得极大值，所以f＝，解得a＝3.
16.若函数f（x）＝x3－3x在区间（－2，m）上有最大值，则m的取值范围是（　　）
A.（－1，）　 B.（－1，3] C.（－1，]　 D.（－1，2]
解析：D　f'（x）＝3x2－3＝3（x2－1）＝3（x＋1）·（x－1），当x＜－1或x＞1时，f'（x）＞0；当－1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以f（x）在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，在（－1，1）上单调递减，所以f（x）在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值，因为f（x）在（－2，m）上有最大值，所以－1∈（－2，m），又f（－1）＝2，当x3－3x＝2时，即（x＋1）2（x－2）＝0，解得x＝2或x＝－1，所以－1＜m≤2.
17.已知函数f（x）＝（x＋1）2＋cos（x＋1）＋a的最小值是4，则a＝（　　）
A.3　 B.4 C.5　 D.6
解析：A　f'（x）＝2（x＋1）－sin（x＋1），令g（x）＝f'（x），则g'（x）＝2－cos（x＋1）＞0，所以f'（x）是增函数，又f'（－1）＝0，所以当x＜－1时，f'（x）＜0，当x＞－1时，f'（x）＞0，故x＝－1为f（x）的极小值点，也是最小值点，即f（－1）＝1＋a＝4，解得a＝3.第1章一元函数的导数及其应用第3节导数与函数的极值、最值
考点一：
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数的极大值不一定比极小值大.（　　）
（2）闭区间上的连续函数必有最值.（　）
（3）函数的极大值一定是函数的最大值.（　　）
（4）开区间上的单调连续函数无最值.（　　）
（5）设函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在区间（a，b）内不单调.（　　）
考点二：由图像判断函数的极值
1.如图是f（x）的导函数f'（x）的图象，则f（x）的极小值点的个数为（　　）
A.1　 　 B.2　 C.3　 　 D.4
2.（多选）如图是y＝f（x）的导函数f'（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　）
A.当x＝－1时，f（x）取得极小值 B.f（x）在[－2，1]上单调递增
C.当x＝2时，f（x）取得极大值 D.f（x）在[－1，2]上不具备单调性
3.设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y＝（1－x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）
A.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）
B.函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1）
C.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2）
D.函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2）
考点三：求函数的极值（极值点）
1.函数 g（x）＝－x2的极值点是　　，函数f（x）＝（x－1）3的极值点　　（填“存在”或“不存在”）.
2.已知函数f（x）＝，则f（x）的极大值为　　.
3.函数f（x）＝x2＋ln x－2x的极值点的个数是（　　）
A.0　 B.1 C.2　 D.无数
4.已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）.（1）当a＝时，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.
5.若函数f（x）＝的极大值点与极小值点分别为a，b，则a＋b＝（　　）
A.－4　 B. C.0　 D.2
6．函数的极大值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的极大值为（ ）
A． B．0 C．e D．1
考点四：求函数的最值
1.（2022·全国甲卷6题）当x＝1时，函数f（x）＝aln x＋取得最大值－2，则f'（2）＝（　　）
A.－1　　 B.－　　C.　　 D.1
2.函数f（x）＝xln x在［，e］上的最大值是　　.
3.函数f（x）＝x＋sin x在x∈[0，2π]上的最大值是　　，最小值是　　；
4.函数f（x）＝在[2，＋∞）上的最小值为（　　）
A.－　 B.－1 C.　 D.1
5.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.f（x）＝x＋（x∈R）的最小值为1 B.f（x）＝（x＞0）的最小值为1
C.f（x）＝x－ln x（x＞0）的最小值为1 D.f（x）＝x（x＞0）的最小值1
6．已知函数的图象在点处的切线过点．
(1)求实数的值；(2)求的单调区间和极值．
7．已知函数.(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程(2)当时，求函数的极值(3)若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.
8．已知函数.(1)求函数的单调区间和极值;(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
9.已知函数f（x）＝，若f（x）在x＝－1处取得极值，求f（x）的单调区间及其最大值与最小值.
10．函数，则下列结论错误的是（ ）
A．在区间上不单调 B．有两个极值点
C．有两个零点 D．在上有最大值
11．已知函数，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是 .
12．已知.(1)求的单调区间，并求其极值；(2)画出函数的大致图象；(3)讨论函数的零点的个数.
考点五：求参数问题
1.已知函数f（x）＝在x＝1处取得极值，则f（x）的极小值为（　　）
A.－1　 B.0 C.1　 D.2
2.已知函数f（x）＝cos x＋aln x在x＝处取得极值，则a＝　　.
3.已知函数f（x）＝ax3－x，若f（x）有极大值，则a＝　　.
4.若函数f（x）＝6aln x＋x2－（a＋6）x（x＞0）有2个极值点，则实数a的取值范围为　　.
5.若函数f（x）＝ln（2x）＋ax有大于零的极值，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－∞，－）　 B.（－，0） C.（0，）　 D.（，＋∞）
6．已知函数.(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程(2)当时，求函数的极值(3)若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.
7.若函数f（x）＝x3－4x＋m在[0，3]上的最小值为4，则m＝　　.
8已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）.（1）当a＝时，求f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.
9．已知函数（）.(1)求函数的极值；(2)若集合有且只有一个元素，求的值.
10.（多选）（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　）
A.bc＞0　 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0　 D.ac＜0
11.已知函数f（x）＝－ax在（1，＋∞）上有极值，则实数a的取值范围为（　　）
A.（－∞，］　 B.（－∞，） C.（0，］　 D.［0，）
12.（2024·苏州模拟）函数f（x）＝－x3＋x在（a，10－a2）上有最大值，则实数a的取值范围为 .
13.已知函数f（x）＝x2－ln x在区间（a，a＋）（其中a＞0）上存在最小值，则实数a的取值范围为　　.
14．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 .
15.已知函数f（x）＝ax3－x，若f（x）有极大值，则a＝　　.
16.若函数f（x）＝x3－3x在区间（－2，m）上有最大值，则m的取值范围是（　　）
A.（－1，）　 B.（－1，3] C.（－1，]　 D.（－1，2]
17.已知函数f（x）＝（x＋1）2＋cos（x＋1）＋a的最小值是4，则a＝（　　）
A.3　 B.4 C.5　 D.6

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