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第五章 一元一次方程
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：判断是否为一元一次方程
【经典例题1-1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，其中是方程的有（ ）
A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．①④⑦
【答案】C
【详解】①，符合方程的定义，故本小题符合题意；
②，不含有未知数，不是方程，故本小题错误；
③，不是等式，故本小题不符合题意；
④符合方程的定义，故本小题符合题意；
⑤不是等式，故本小题不符合题意；
⑥不是等式，故本小题不符合题意；
⑦符合方程的定义，故本小题符合题意；
⑧符合方程的定义，故本小题符合题意．
是方程的有①④⑦⑧
【经典例题1-2】（七年级上·云南·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A．中未知数的最高次数是2，故不符合题意；
B． 是一元一次方程，故符合题意；
C．含2个未知数，不是一元一次方程，故不符合题意；
D．的分母含未知数，不是一元一次方程，故不符合题意；
【经典例题1-3】下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：由题意知，①中不是整式方程，故不是一元一次方程，故不符合要求；
②中是一元一次方程，故符合要求；
③中是一元一次方程，故符合要求；
④中最高次数为2，故不是一元一次方程，故不符合要求；
⑤中含有两个未知数，故不是一元一次方程，故不符合要求；
【经典例题1-4】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列各式中，一元一次方程的个数有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①不是整式，故不是一元一次方程；②符合一元一次方程定义；③中含有两个未知数，不是一元一次方程；④符合一元一次方程定义；⑤中未知数最高次数是2不是一元一次方程；
因此是一元一次方程的是②，④共2个；
经典题型二：利用等式的性质判断式子是否正确
【经典例题2-1】（七年级上·山东聊城·期末）有下列变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中变形正确的是 ．（请填写序号）
【答案】
【详解】解：若，则，符合等式的性质，故变形正确；
若，则，原变形缺少，故变形错误；
若，则，原变形缺少，故变形错误；
若，则，符合等式的性质，故变形正确；
【经典例题2-2】（七年级上·山东聊城·期末）下列变形错误的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．当时，由，得
【答案】A
【详解】解：A. 由，得，原变形错误，故选项符合题意；
B. 由，得，变形正确，故选项不符合题意；
C. 由，得，变形正确，故选项不符合题意；
D. 当时，由，得，变形正确，故选项不符合题意；
【经典例题2-3】（七年级上·安徽亳州·期末）运用等式基本性质进行变形，不正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
【详解】解：A.根据等式性质1，，两边都加，即可得到，故本选项正确，不符合题意；
B.根据等式性质2，如果，两边都乘以，那么，原式成立，故本选项正确，不符合题意；
C. 根据等式性质2，，两边都除以，即可得到，故本选项正确，不符合题意；
D. 如果，那么或，故本选项错误，符合题意；
【经典例题2-4】（七年级上·山东聊城·期末）下列各等式中变形正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，
【答案】D
【详解】解：A、 如果，那么，原变形错误，故选项不符合题意；
B、如果，那么，原变形错误，故选项不符合题意；
C、如果，那么，原变形错误，故选项不符合题意；
D、如果，，变形正确，故选项符合题意；
经典题型三：利用一元一次方程的定义求参数的值
【经典例题3-1】若是关于x的一元一次方程，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：是关于x的一元一次方程，
，，
，
【经典例题3-2】（七年级上·江西抚州·期末）已知是关于x的一元一次方程，则 ．
【答案】
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴且，
解得．
【经典例题3-3】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ．
【答案】2
【详解】解；∵是关于x的一元一次方程，
∴，
∴
【经典例题3-4】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是关于的一元一次方程，那么 ．
【答案】1
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴，
∴
经典题型四：判断一元一次方程的解题步骤是否正确
【经典例题4-1】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程变形正确的是（ ）
A．方程移项得；
B．方程，去括号，得；
C．若，则；
D．方程化成；
【答案】D
【详解】解：A、方程左边的常数项1没有移项而改变了符号，故错误；
B、乘法分配律与去括号错误，利用分配律时漏乘了5，且去括号时没有变号，故错误；
C、当a为0时，不成立，故错误；
D、原方程化为，去括号、移项、合并同类项后得：，故变形正确；
【经典例题4-2】（七年级上·江苏南通·期中）下列方程变形中，正确的是（　　）
A．方程，去分母得
B．方程，去括号得
C．方程，系数化为1得
D．方程，移项得
【答案】A
【详解】解：方程，去分母得，
选项A符合题意；
方程，去括号得，
选项B不符合题意；
方程，系数化为1得，
选项C不符合题意；
方程，移项得，
选项D不符合题意．
【经典例题4-3】下列各题正确的是 （ ）
A．由移项得
B．由去分母得
C．由去括号得
D．由去括号、移项、合并同类项得
【答案】D
【详解】解：A、由移项得，选项移项变号错误，不符合题意；
B、由去分母得，选项去分母漏项，不符合题意；
C、由去括号得，选项去括号变号错误，不符合题意；
D、由去括号、移项、合并同类项得；
经典题型五：判断一元一次方程中去分母是否正确
【经典例题5-1】（七年级上·河北唐山·期末）把方程的分母化为整数的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：把方程的分母化为整数的方程是。
【经典例题5-2】（七年级上·河北唐山·期末）下列解方程去分母正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】D
【详解】解：A. 由，得，原计算错误；
B. 由，得，原计算错误；
C. 由，得，原计算错误；
D. 由，得，计算正确；
【经典例题5-3】（七年级上·福建莆田·期末）把方程 去分母正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：，
去分母，得：
【经典例题5-4】（七年级上·江苏南通·期末）解方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：，
方程两边同乘6，去分母，得，
即．
经典题型六：一元一次方程中被墨水遮盖问题
【经典例题6-1】（七年级上·江苏盐城·期中）已知方程，处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么处的数字是 ．
【答案】2
【详解】解：把代入方程，得，
【经典例题6-2】（七年级上·山西吕梁·期中）张琪准备完成题目：计算．发现题中有一个数字“ ”被墨水污染了．张琪的妈妈看到该题参考答案的结果等于，请通过计算求出被污染的数字“ ”．
【答案】
【详解】解：依题意，
∴，∴，
∴，∴，
则，则，∴，∴．
【经典例题6-3】小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，于是他把被污染的数字求了出来，这个被墨水污染的数字是 ．
【答案】
【详解】解：是方程的解，
，
解得：
【经典例题6-4】（2024·浙江杭州·一模）计算：．
芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是，请计算．
(2)如果计算结果等于4，求被污染的数字．
【答案】(1)； (2)．
【详解】（1）解：
（2）由题意可得，
设，，，，
，，，即被污染的数字是．
经典题型七：一元一次方程中相同解问题
【经典例题7-1】若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：解方程，得：，
把代入方程得：．解得：．
【经典例题7-2】（七年级上·湖南长沙·期末）已知方程与关于x的方程的解相同．
(1)求k的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)6
【详解】（1）解：解方程得：，
∵方程与关于x的方程的解相同，
∴是关于x的方程的解，
∴，
解得；
（2）解：∵，即，
∴，
∴，，
∴．
【经典例题7-3】（七年级上·陕西延安·期末）已知方程的解是关于x的一元一次方程的解相同，求k的值
【答案】
【详解】解：∵，∴
由题意，将代入关于x的方程得：，解得：．
【经典例题7-4】（七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程．
(1)求m的值；
(2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程
∴，解得：，；
（2）解：由（1）得，方程为：，解得：，
该方程与关于x的方程的解相同，，解得：．
经典题型八：一元一次方程的实际应用（选填）
【经典例题8-1】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某车间有45名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，
依题意，得：．
【经典例题8-2】文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意，设有辆车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，所以有人，
若每2人共乘一车，余9个人无车可乘，所以有人，
所以方程为，
【经典例题8-3】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（ ）次
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得：
当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有：
解得；
②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时，
，解得；
③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶，
∵
∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有：
，解得；
④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有，解得；
⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需
行驶，则有： 解得．
综上所述，两车恰好相距的次数为5次．
【经典例题8-4】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送150件，还剩60件；若每个快递员派送170件，还差20件，那么该分派站现有派送员（ ）
A．3人 B．4人 C．5人 D．6人
【答案】B
【详解】解：设该分派站现有快递员x人，根据题意得：
，
解得：
经典题型九：解一元一次方程（计算题）
【经典例题9-1】解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：，
等式两边同时乘以，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【经典例题9-2】（七年级上·山东聊城·期末）解下列方程：
(1) (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【详解】（1）解：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：；
（2）解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：；
（3）解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：；
（4）解：，
整理，得：，
去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：．
【经典例题9-3】（七年级上·重庆·期中）解一元一次方程
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
移项，得：，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【经典例题9-4】（七年级上·山东潍坊·期中）解下列方程
(1) (2)
(3)
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）解：
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：；
（2）解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：；
（3）解：
整理，可得，
去分母，得，
去括号，得
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
经典题型十：一元一次方程中定义新运算
【经典例题10-1】对于有理数，定义一种新运算，规定，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【详解】解：∵，
∴可化为：，
解得．
【经典例题10-2】（七年级上·北京·期中）定义运算，观察下列运算：
， ，
， ，
， ．
请你认真思考上述运算，归纳运算的法则，并解答下列问题：
(1)计算：______．
(2)若，则________．
【答案】(1) (2)或
【详解】（1）解：；
（2）解：，
①当，即，
，得到，很显然不成立，所以；
②当时，，解得；
③当时，，解得．
故答案为：或．
【经典例题10-3】用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：．
(1)______；
(2)若，求a的值；
(3)若，（其中x为有理数），试比较的大小．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）
．
（2），
，解得；
（3），，
，
，
则，．
【经典例题10-3】（七年级上·云南昆明·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．
(1)计算：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)6；(2)的值为．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
，
，
∴
解得：，
的值为．
经典题型十一：一元一次方程实际应用之行程问题
【经典例题11-1】（七年级上·江苏南京·期中）(列一元一次方程解决问题)甲、乙两个车站相距，一列货车从甲站开出，每小时行驶，一列客车从乙站开出，每小时行驶．
(1)两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？
(2)货车从甲站开出后，客车从乙站开出，两车同向行驶，客车开出几小时后两车相距？
【答案】(1)两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇；
(2)两车同向行驶，客车开出小时或小时后两车相距
【详解】（1）解：设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇，
根据题意得：，解得；，
∴两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇；
（2）设客车开出小时后两车相距，
根据题意得：或，解得或，
∴两车同向行驶，客车开出小时或小时后两车相距．
【经典例题11-2】（七年级上·山东·期末）甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶．
(1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇；
(2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇；
(3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？
(4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？
【答案】(1)3(2)(3)15小时(4)16小时
【详解】（1）解：设两车行驶t小时相遇，
根据题意，得，解得，
答：开出3小时后两车相遇，
（2）解：设快车行驶t小时两车相遇，
根据题意，得，解得，
答：快车开出小时后两车相遇，
（3）解：设t小时快车追上慢车，根据题意，得，解得，
答：出发15小时后快车追上慢车；
（4）解：设快车行驶t小时两车相遇，根据题意，得，解得．
答：快车出发16小时后追上慢车．
【经典例题11-3】（七年级上·河南郑州·期中）玉宇从家去市中心的歌剧院看歌剧，进场时发现门票忘在家中，此时离歌剧开始还有50分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票．在家取票用时9分钟，取到票后，他急忙骑自行车（匀速）赶往歌剧院，终于在歌剧开始前5分钟赶到歌剧院门口，已知玉宇步行的速度是90米/分，骑自行车的速度是步行速度的3倍．你知道玉宇家离歌剧院多远吗？
【答案】玉宇家离歌剧院2430米
【详解】解：设玉宇家离歌剧院x米，
由题意得，，
解得，
答：玉宇家离歌剧院2430米．
经典题型十二：一元一次方程实际应用之配套问题
【经典例题12-1】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某工厂车间有24个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套．
(1)求该工厂有多少个工人生产A零件？
(2)工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，求该工厂每日生产的零件总获利多少元？
【答案】(1)设该工厂有6名工人生产A零件
(2)该工厂每日生产的零件总获利1620元
【详解】（1）解：设该工厂有x名工人生产A零件，共生产A零件个，则有名工人生产B零件，共生产B零件个，由题意得：，解得：，
答：设该工厂有6名工人生产A零件；
（2）由（1）得，生产B零件的有工人人，
每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，元，
答：该工厂每日生产的零件总获利1620元．
【经典例题12-2】（七年级上·山西大同·期末）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？
【答案】安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套，
【详解】解：设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板，
由题意，得，
解得，
（人）．
答：安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套
【经典例题12-3】（七年级·重庆潼南·期中）2023年，中国潼南油菜花节期间，潼南一特产礼盒套装销售火暴，其中，一个礼盒里有两袋双江花生米和一个黄桃罐头．生产车间里，一个工人一天可做150袋花生米，或者100个罐头．现有70个工人全部上岗，分配多少人做花生米，多少人做罐头，才使生产出来的产品刚好全部包装才礼盒套装？
【答案】分配人生产花生米，人生产罐头，刚好成套装
【详解】解：设分配x人生产花生米，则分配人做罐头，
由题意得：，
解得：，
．
答：分配人生产花生米，人生产罐头，刚好成套装．
经典题型十三：一元一次方程实际应用之工程问题
【经典例题13-1】（七年级上·辽宁沈阳·期末）某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件．
(1)求这批礼品共有多少件？
(2)在礼品生产过程中，该公司每天支付给甲工厂的费用是5000元，每天支付给乙工厂的费用是9000元，公司有两种方案可选择，方案一：由乙工厂单独生产；方案二：甲、乙两个工厂共同生产．请计算两种方案的费用差．
【答案】(1)这批礼品共有3600件； (2)两种方案的费用差为6000元．
【详解】（1）解：设乙工厂单独生产这批礼品需要x天，则甲工厂单独生产这批礼品需要天，
根据题意得：，解得：，
．
答：这批礼品共有3600件．
（2）乙工厂单独生产的费用：（元），
甲、乙两个工厂共同生产的费用：（元），
两种方案的费用差为（元）．
答：两种方案的费用差为6000元．
【经典例题13-2】（七年级上·天津·期中）一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成．
(1)甲队还需多少天才能完成这项工程？
(2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？
【答案】(1)4天 (2)36000元
【详解】（1）解：设这项工程为“1”，根据题意，甲队、乙队的工作效率分别为，，
设甲队还需x天才能完成这项工程，
根据题意，得，解得，
答：甲队还需4天才能完成这项工程；
（2）解：（元），
答： 完成这项工程共需支付两队36000元．
【经典例题13-3】甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元．
(1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？
(2)现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？
【答案】(1)在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程 (2)调走甲更合适
【详解】（1）解：设甲、乙两人合作完成此项工程需x天．
则，解得．因为，
所以在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程；
（2）解：设两人合作a天完成工程的．
则解得．
若调走甲，则乙还需（天）；
若调走乙，侧甲还需（天）．
因为（天）天，
（天）天，
所以调走甲更合适．
【经典例题13-4】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾．
(1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？
(2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？
【答案】(1)天 (2)元
【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，
根据题意得：，
解得：，
答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾．
（2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天，
，
答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元．
经典题型十四：一元一次方程实际应用之销售问题
【经典例题14-1】（七年级上·贵州·期末）有20箱苹果，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下：
与标准质量的差（千克） 0
箱数（箱） 2 1 5 2 4 2 4
(1)最重的一箱比最轻的一箱重 千克；
(2)求这20箱苹果的总质量；
(3)若这批苹果的批发价是元/千克，售价是m元/千克，运输和出售过程中有的苹果腐烂无法出售，最后出售这20箱苹果共盈利1507元，求m的值．
【答案】(1) (2)千克 (3)15
【详解】（1）解：（千克），即最重的一箱比最轻的一箱重千克；
（2）解：根据题意可知：
（千克），
∴20箱苹果的总重量为：（千克）；
（3）解：， 解得：，
答，苹果售价是15元/千克．
【经典例题14-2】为了庆祝元旦，甲、乙两校准备共同组织文艺汇演，两校共有92人参加演出，其中甲校人数比乙校多，且甲校人数不足90人，现准备购买演出服装．下表是某服装厂给出的演出服装的价格表，如果两所学校单独购买一共需要付5 000元．
购买服装的套数 1至45套 46至89套 90套及以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
(1)如果两校联合起来购买演出服装，比各自购买可以节省多少钱？
(2)甲、乙两校各有多少人参加演出？
【答案】(1)可以节省1320元 (2)甲校52人参加，乙校40人参加
【详解】（1）解：（元），
答：比各自购买服装共可以节省1320元；
（2）解：∵，
∴甲校人数多于46少于90，乙校人数少于46，
设乙校x人，甲校人，由题意得：，
解得：，
则（人），
答：甲校52人，乙校40人．
【经典例题14-3】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元．
(1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？
(2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是6000元，求m的值？
【答案】(1)购进“滨滨”400个，“妮妮”600个(2)的值为200
【详解】（1）解：设购进“滨滨”个，则购进“妮妮”个．
则，
解得：，
，
答：购进“滨滨”400个，“妮妮”600个．
（2）解：由题意得，
解得：，
答：的值为200．
经典题型十五：一元一次方程实际应用之比赛积分问题
【经典例题15-1】在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数．
【答案】九（1）班获胜7场
【详解】解：设九（1）班获胜x场，则平场，
根据题意得：，解得：．
答：九（1）班获胜7场．
【经典例题15-2】（七年级上·河南信阳·期末）某校七年级班组织生活小常识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况．请你补全表格，并写出你的研究过程．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A
B
C
【答案】见解析
【详解】解：因为共有题，参赛者B答错题，故答对题，
因为参赛者答对题答错题得分，
所以答对题得分，
设答错题扣分，
由参赛者的得分可得，， 解得，
所以答错题扣分，
设参赛者答对题，
由题意得，，解得．
故参赛者答对题，答错题．
补全表格如下：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A
B
C
【经典例题15-2】（2024·吉林长春·一模）2023-2024全国甲A篮球赛（CBA）共进行了52轮常规赛，最后辽宁队和新疆队进入总决赛．常规赛中，规定胜一场积2分，负一场积1分，每场比赛均分胜负，常规赛结束时，辽宁队积分为95分，求辽宁队在常规赛中负了几场．
【答案】9场
【详解】解：设辽宁队在常规赛中负了x场，
答：辽宁队在常规赛中负了场．
经典题型十六：一元一次方程实际应用之方案选择问题
【经典例题16-1】（七年级上·山西大同·期末）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有人，大人比小孩多21人．
(1)求该房客大人，小孩各有多少人？
(2)假设成人每人收费元，店主李三公推出两种订房方案：方案一：房客超过人，超过的按原价八折优惠，方案二：大人原价，小孩半价．若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？
【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人
(2)若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算
【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人，
，解得，则，
答：房客中大人有人，小孩有人；
（2）解：方案一费用：元；
方案二费用：元；，
若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算；
【经典例题16-2】某牛奶加工厂现有鲜奶，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；若制成酸奶销售，每吨可获取利润1 200元；若制成奶片销售，每吨可获取利润2 000元．该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案：
方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利较多？多获利多少？
【答案】第二种方案获利较多，多获利元
【详解】解：方案一：易知最多生产奶片，其余的直接销售鲜奶．
利润为（元）．
方案二：设生产天奶片，则生产天酸奶，
根据题意，得，
解得：，
利润为（元），
（元），
所以第二种方案获利较多，多获利元．
【经典例题16-3】（七年级上·河南郑州·期末）新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动，甲店；买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折．
(1)若学校购买乒乓球30盒，则在甲店购买球拍和球的总费用为_______元，在乙店购买球拍和球的总费用为________元；
(2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？
(3)依据（2）的购买数量，选择在甲，乙两家体育用品商店同时购买所需器材，请你设计一种最省钱的购买方案．
【答案】(1)1000，960(2)学校计划购买乒乓球20盒
(3)最省钱的购买方案是在甲店购买球拍10副并送10盒乒乓球，在乙店购买球10盒，此时的总费用为760元
【详解】（1）解：在甲店购买球拍和球的总费用为元，
在乙店购买球拍和球的总费用为元，
故答案为：1000，960；
（2）设学校计划购买乒乓球盒，
由题意得：
解得：，
答：学校计划购买乒乓球20盒；
（3）在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球需元，
在乙店购买另外10盒乒乓球需元，
总费用为元，
答：最省钱的购买方案是在甲店购买球拍10副并送10盒乒乓球，在乙店购买球10盒，此时的总费用为760元．中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 一元一次方程
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：判断是否为一元一次方程
【经典例题1-1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，其中是方程的有（ ）
A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．①④⑦
【经典例题1-2】（七年级上·云南·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题1-3】下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【经典例题1-4】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列各式中，一元一次方程的个数有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
经典题型二：利用等式的性质判断式子是否正确
【经典例题2-1】（七年级上·山东聊城·期末）有下列变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中变形正确的是 ．（请填写序号）
【经典例题2-2】（七年级上·山东聊城·期末）下列变形错误的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．当时，由，得
【经典例题2-3】（七年级上·安徽亳州·期末）运用等式基本性质进行变形，不正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【经典例题2-4】（七年级上·山东聊城·期末）下列各等式中变形正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，
经典题型三：利用一元一次方程的定义求参数的值
【经典例题3-1】若是关于x的一元一次方程，则的值为 ．
【经典例题3-2】（七年级上·江西抚州·期末）已知是关于x的一元一次方程，则 ．
【经典例题3-3】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ．
【经典例题3-4】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是关于的一元一次方程，那么 ．
经典题型四：判断一元一次方程的解题步骤是否正确
【经典例题4-1】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程变形正确的是（ ）
A．方程移项得；
B．方程，去括号，得；
C．若，则；
D．方程化成；
【经典例题4-2】（七年级上·江苏南通·期中）下列方程变形中，正确的是（　　）
A．方程，去分母得
B．方程，去括号得
C．方程，系数化为1得
D．方程，移项得
【经典例题4-3】下列各题正确的是 （ ）
A．由移项得
B．由去分母得
C．由去括号得
D．由去括号、移项、合并同类项得
经典题型五：判断一元一次方程中去分母是否正确
【经典例题5-1】（七年级上·河北唐山·期末）把方程的分母化为整数的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题5-2】（七年级上·河北唐山·期末）下列解方程去分母正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【经典例题5-3】（七年级上·福建莆田·期末）把方程 去分母正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【经典例题5-4】（七年级上·江苏南通·期末）解方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
经典题型六：一元一次方程中被墨水遮盖问题
【经典例题6-1】（七年级上·江苏盐城·期中）已知方程，处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么处的数字是 ．
【经典例题6-2】（七年级上·山西吕梁·期中）张琪准备完成题目：计算．发现题中有一个数字“ ”被墨水污染了．张琪的妈妈看到该题参考答案的结果等于，请通过计算求出被污染的数字“ ”．
【经典例题6-3】小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，于是他把被污染的数字求了出来，这个被墨水污染的数字是 ．
【经典例题6-4】（2024·浙江杭州·一模）计算：．
芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是，请计算．
(2)如果计算结果等于4，求被污染的数字．
经典题型七：一元一次方程中相同解问题
【经典例题7-1】若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【经典例题7-2】（七年级上·湖南长沙·期末）已知方程与关于x的方程的解相同．
(1)求k的值；
(2)若，求的值．
【经典例题7-3】（七年级上·陕西延安·期末）已知方程的解是关于x的一元一次方程的解相同，求k的值
【经典例题7-4】（七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程．
(1)求m的值；
(2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值．
经典题型八：一元一次方程的实际应用（选填）
【经典例题8-1】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某车间有45名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题8-2】文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题8-3】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（ ）次
A．5 B．4 C．3 D．2
【经典例题8-4】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送150件，还剩60件；若每个快递员派送170件，还差20件，那么该分派站现有派送员（ ）
A．3人 B．4人 C．5人 D．6人
经典题型九：解一元一次方程（计算题）
【经典例题9-1】解方程：
(1)； (2)．
【经典例题9-2】（七年级上·山东聊城·期末）解下列方程：
(1) (2)；
(3)； (4)．
【经典例题9-3】（七年级上·重庆·期中）解一元一次方程
(1) (2)
【经典例题9-4】（七年级上·山东潍坊·期中）解下列方程
(1) (2)
(3)
经典题型十：一元一次方程中定义新运算
【经典例题10-1】对于有理数，定义一种新运算，规定，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
【经典例题10-2】（七年级上·北京·期中）定义运算，观察下列运算：
， ，
， ，
， ．
请你认真思考上述运算，归纳运算的法则，并解答下列问题：
(1)计算：______．
(2)若，则________．
【经典例题10-3】用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：．
(1)______；
(2)若，求a的值；
(3)若，（其中x为有理数），试比较的大小．
【经典例题10-3】（七年级上·云南昆明·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．
(1)计算：；
(2)若，求的值．
经典题型十一：一元一次方程实际应用之行程问题
【经典例题11-1】（七年级上·江苏南京·期中）(列一元一次方程解决问题)甲、乙两个车站相距，一列货车从甲站开出，每小时行驶，一列客车从乙站开出，每小时行驶．
(1)两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？
(2)货车从甲站开出后，客车从乙站开出，两车同向行驶，客车开出几小时后两车相距？
【经典例题11-2】（七年级上·山东·期末）甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶．
(1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇；
(2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇；
(3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？
(4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？
【经典例题11-3】（七年级上·河南郑州·期中）玉宇从家去市中心的歌剧院看歌剧，进场时发现门票忘在家中，此时离歌剧开始还有50分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票．在家取票用时9分钟，取到票后，他急忙骑自行车（匀速）赶往歌剧院，终于在歌剧开始前5分钟赶到歌剧院门口，已知玉宇步行的速度是90米/分，骑自行车的速度是步行速度的3倍．你知道玉宇家离歌剧院多远吗？
经典题型十二：一元一次方程实际应用之配套问题
【经典例题12-1】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某工厂车间有24个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套．
(1)求该工厂有多少个工人生产A零件？
(2)工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，求该工厂每日生产的零件总获利多少元？
【经典例题12-2】（七年级上·山西大同·期末）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？
【经典例题12-3】（七年级·重庆潼南·期中）2023年，中国潼南油菜花节期间，潼南一特产礼盒套装销售火暴，其中，一个礼盒里有两袋双江花生米和一个黄桃罐头．生产车间里，一个工人一天可做150袋花生米，或者100个罐头．现有70个工人全部上岗，分配多少人做花生米，多少人做罐头，才使生产出来的产品刚好全部包装才礼盒套装？
经典题型十三：一元一次方程实际应用之工程问题
【经典例题13-1】（七年级上·辽宁沈阳·期末）某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件．
(1)求这批礼品共有多少件？
(2)在礼品生产过程中，该公司每天支付给甲工厂的费用是5000元，每天支付给乙工厂的费用是9000元，公司有两种方案可选择，方案一：由乙工厂单独生产；方案二：甲、乙两个工厂共同生产．请计算两种方案的费用差．
【经典例题13-2】（七年级上·天津·期中）一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成．
(1)甲队还需多少天才能完成这项工程？
(2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？
【经典例题13-3】甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元．
(1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？
(2)现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？
【经典例题13-4】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾．
(1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？
(2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？
经典题型十四：一元一次方程实际应用之销售问题
【经典例题14-1】（七年级上·贵州·期末）有20箱苹果，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下：
与标准质量的差（千克） 0
箱数（箱） 2 1 5 2 4 2 4
(1)最重的一箱比最轻的一箱重 千克；
(2)求这20箱苹果的总质量；
(3)若这批苹果的批发价是元/千克，售价是m元/千克，运输和出售过程中有的苹果腐烂无法出售，最后出售这20箱苹果共盈利1507元，求m的值．
【经典例题14-2】为了庆祝元旦，甲、乙两校准备共同组织文艺汇演，两校共有92人参加演出，其中甲校人数比乙校多，且甲校人数不足90人，现准备购买演出服装．下表是某服装厂给出的演出服装的价格表，如果两所学校单独购买一共需要付5 000元．
购买服装的套数 1至45套 46至89套 90套及以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
(1)如果两校联合起来购买演出服装，比各自购买可以节省多少钱？
(2)甲、乙两校各有多少人参加演出？
【经典例题14-3】（七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元．
(1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？
(2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是6000元，求m的值？
经典题型十五：一元一次方程实际应用之比赛积分问题
【经典例题15-1】在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数．
【经典例题15-2】（七年级上·河南信阳·期末）某校七年级班组织生活小常识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况．请你补全表格，并写出你的研究过程．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A
B
C
【经典例题15-2】（2024·吉林长春·一模）2023-2024全国甲A篮球赛（CBA）共进行了52轮常规赛，最后辽宁队和新疆队进入总决赛．常规赛中，规定胜一场积2分，负一场积1分，每场比赛均分胜负，常规赛结束时，辽宁队积分为95分，求辽宁队在常规赛中负了几场．
经典题型十六：一元一次方程实际应用之方案选择问题
【经典例题16-1】（七年级上·山西大同·期末）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有人，大人比小孩多21人．
(1)求该房客大人，小孩各有多少人？
(2)假设成人每人收费元，店主李三公推出两种订房方案：方案一：房客超过人，超过的按原价八折优惠，方案二：大人原价，小孩半价．若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？
【经典例题16-2】某牛奶加工厂现有鲜奶，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；若制成酸奶销售，每吨可获取利润1 200元；若制成奶片销售，每吨可获取利润2 000元．该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案：
方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利较多？多获利多少？
【经典例题16-3】（七年级上·河南郑州·期末）新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动，甲店；买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折．
(1)若学校购买乒乓球30盒，则在甲店购买球拍和球的总费用为_______元，在乙店购买球拍和球的总费用为________元；
(2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？
(3)依据（2）的购买数量，选择在甲，乙两家体育用品商店同时购买所需器材，请你设计一种最省钱的购买方案．

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