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青岛版（2024）初中数学七年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.表示的数是( )
A. 负数 B. 正数 C. 正数或负数 D. 以上都不对
2.已知，为有理数，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算淇淇受其启发，设计了如图所示的“表格算法”，图表示，运算结果为图表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图中现有数据进行推断，正确的是( )
A. “”右边的“”表示 B. “”左边的数是
C. 运算结果不大于 D. 运算结果可以表示为
4.如果四个互不相同的正整数，，，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.若，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.随着电子商务的发展，越来越多的人选择网上购物，导致各地商铺出租价格持续走低，在某商业街，今年月份商铺的出租价格为元平方米，月份比月份下降了，若、月份商铺的出租价格按相同的百分率继续下降，则月份该商业街商铺的出租价格为 元平方米．
A. B.
C. D.
7.观察下列关于的单项式，探究其规律，，，，，按照上述规律，第个单项式是( )
A. B. C. D.
8.把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片如图不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，按图甲和图乙两种方式摆放，若长方体盒子底部的长与宽的差为，则图甲和图乙中阴影部分周长之差为( )
A. B. C. D.
9.如图，钟面上的时间是，再经过分钟，时针、分针第一次重合，则为．
A. B. C. D.
10.如图，电子蚂蚁，在边长为个单位长度的正方形的边上运动，电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度绕正方形顺时针运动，同时电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度绕正方形逆时针运动它们第次相遇在( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
11.如图，中，，平分，平分，，则和的关系为( )
A. B.
C. D.
12.如图，四边形中，，对角线、相交于点，且分别平分和，若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.我们知道，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成：
若，则 ；
求的最小值 ．
14.若与互为相反数，与互为倒数，的平方与它本身相等，则的值为
15.定义一种新运算：当时，，，若，则 ．
16.将图中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．
理解：
数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；用含的式子表示
当时，则的值为_____；
当时，则的值为______；
当代数式取最小值是_____．
应用：
某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？
18.本小题分
嘉琪有张写有不同数值的卡片，请按下列要求抽出卡片，完成下列问题：
从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数乘积最大，最大值是多少
从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数相除的商最小，最小值是多少
从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数的倒数最大和最小，这两数的倒数分别是多少
从中取出非负数的卡片组成一个最大的数，用科学记数法表示
算点游戏：从中取出四张卡片，用学过的“、、、”进行运算，使结果为写出个算式即可运算算式可以加括号．
19.本小题分
已知，，都是实数，且满足，求的值．
20.本小题分
数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．
例如：已知，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
若，求的值
当时，代数式 的值是，求当时，代数式 的值
当时，代数式 的值为，求当时，代数式 的值．
21.本小题分
如图，已知数轴上两点、对应的数分别为、，且动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______用含的式子表示；
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，且点，，同时出发．
当为何值时，点、两点到点的距离相等？
式子的值不随时间的变化而变化，求的值．
22.本小题分
先化简，再求值：，其中、满足是的相反数，是的绝对值．
23.本小题分
已知是最大的负整数，是多项式的次数，是单项式的系数，且、、分别是点、、在数轴上对应的数．
求、、的值，并在数轴上标出点、、．
若动点、分别从、同时出发沿数轴正半轴运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？并求出点追上点时，它们在数轴上表示的数；
在数轴上找一个点，使点到、、三点的距离之和等于，请直接写出所有点对应的数．
24.本小题分
如图，数轴上从左到右排列的、、三点的位置如图所示．点表示的数是，、两点间的距离为，、两点间的距离为．
点表示的数是______，点表示的数是______；
若将数轴折叠，使，两点重合，则与点重合的点表示的数是______；
若线段以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左运动，运动时间为秒
当为何值时，，，三个点中，其中一点到另外两点的距离相等？
若点同时以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当取最小值时，求的取值范围．
25.本小题分
如图所示，已知线段，点在直线上，且．
用尺规作图画出点．
若点在线段上，且，为线段的中点，求的长用含的代数式表示．
在的条件下，若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了有理数，注意表示有理数，则可能是负数、零、正数．
根据相反数的意义，可得答案．
【解答】
解：表示有理数，则可能是负数、零、正数，
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解．
【解答】
解：，
，
，
，
即，
，
，
，
解得：，
．
故选A
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．
设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定当，时，则，由题意可判断、选项，根据题意可得运算结果可以表示为，故可判断、选项．
【解答】
解：设一个三位数与一个两位数分别为和，如图：
则由题意得：，，，，
，即，
当时，不符合题意，故舍
，，，，，
A错误；
“”左边的数是，
B错误；
当时，
运算结果可以表示为：，
D正确，
，当时
，则C错误．
4.【答案】
【解析】根据，，，是互不相等的正整数，可知，，，互不相等，再根据可判断出，，，的值，代入求解即可．
【详解】解：四个互不相同的正整数，，，，
，，，是互不相等的整数，
，
要使取最大值，则，，，，
解得，，，，
．
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了去括号与添括号，整体代入法和代数式的值利用添括号把所给代数式化为关于和的代数式，再利用整体代入法计算得代数式的值．
【解答】
解：因为，，
．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题考查列代数式问题，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．．
根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，月份的价格为，、月份每次降价的百分率都为，后经过两次降价，则为．
【解答】
解：由题意得，月份该商业街商铺的出租价格为元，
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了列代数式，数式规律问题，能找出第个单项式为是解题的关键通过分析单项式系数与次数，总结出规律：第个单项式为，把代入即可求解．
【解答】
解：第个单项式：，
第个单项式：，
第个单项式：，
第个单项式：，
第个单项式：，
第个单项式：
第个单项式为：
，
故选：．
8.【答案】
【解析】本题考查了整式的加减运算，通过观察图形，用含有、的代数式的表示出盒子底部长方形的长和宽是解题的关键．分别表示出图甲中阴影部分的周长和图乙中阴影部分的周长，然后相减即可．
【详解】解：由图乙可知，长方体盒子底部的长为，则长方体盒子底部的宽为，
图甲中阴影部分的周长为：
，
图乙中阴影部分的周长为：
，
图甲和图乙中阴影部分周长之差为：
．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题考查一元一次方程的应用，钟表上的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追及问题非常相似，行程问题中的距离相当于这里的角度，行程问题中的速度相当于这里时分针的转动速度解决这个问题就要弄清楚时针与分针转动速度的关系：每一小时，分针转动，而时针转动，即分针每分钟转动，时针每分钟转动．
【解答】
解：设从：点开始，经过分钟，时针和分针第一次重合，由题意得：
，
，
，
至少再经过分钟时针和分针第一次重合．
故选B．
10.【答案】
【解析】设两只电子蚂蚁每隔秒相遇一次，根据题意，得，解得因为电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度绕正方形逆时针运动，秒后它到达点电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度绕正方形顺时针运动，秒后它也到达点，即它们第次相遇在点，继续运动，第次相遇在点，第次相遇在点，第次相遇在点，第次相遇在点，第次相遇在点，又因为，所以它们第次相遇和第次相遇地点相同，即它们第次相遇在点故选C．
11.【答案】
【解析】解：，平分，
，
，
平分，
，
，
又，
，
，
，
，即．
故选D．
由角平分线可知，又，且，代入整理可得出结论．
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
12.【答案】
【解析】解：如图，在上截取，，连接，，
、相交于点，且分别平分和，
，，
在和中，
，
≌，
同理，≌，
，，，，
，
，
，
，
，
，
平分，，
，
即，
，，
，
平分，
，
即，
，
，
平分，
，
故选：．
在上截取，，连接、，根据题意易证≌，，即得出结论，，，继而求出，再由题意可知，，即又可推出，，，由平分，得，可推出，最后由平分，可得，即可求出的值．
此题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，推理论证过程较难，作出辅助线是解题的关键．
13.【答案】【小题】
或
【小题】

【解析】
本题考查绝对值几何意义的应用，涉及数轴性质、绝对值几何意义等知识，读懂题意，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键．
根据题意，由绝对值的几何意义列式求解即可得根据题意，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为，
或，
故答案为：或；

根据题意，由绝对值的几何意义理解最小值的含义，数形结合，分类讨论求解即可得到答案．
由题意可知，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
可理解为与三数在数轴上所对应的距离之和，
与在数轴上的距离是；与在数轴上的距离是；与在数轴上的距离是；
当时，设与两数在数轴上的距离为，则与两数在数轴上的距离为，与两数在数轴上的距离为，即与三数在数轴上所对应的距离之和；
同理可得：
当时，与三数在数轴上所对应的距离之和的范围大于且小于；
当时，；
当时，与三数在数轴上所对应的距离之和的范围大于且小于；
当时，与三数在数轴上所对应的距离之和；
综上所述，，即其最小值为，
故答案为：．
14.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查有理数的乘方，相反数，倒数，若实数、互为倒数，则反之，若，则实数与互为倒数，相反数的特征是和为零，即若和互为相反数，则；反之，若，则和互为相反数．
【解答】
解：因为与互为相反数，所以．
因为与互为倒数，所以．
因为的平方与它本身相等，所以或者．
当时，原式；当时，原式．
故答案为或．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查有理数的混合运算，新定义，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．
根据题意先求得的值，然后求得的值即可．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为，则号正方形的边长为，号正方形的边长为，号长方形的长为，宽为，
如图中是周长为的长方形，可得，
解得：，
将、、、四点在图中标出，如下图所示，
如图，图中长方形的周长为，
，
，
根据平移得，没有覆盖的阴影部分的周长是下图中四边形的周长，
，
故答案为：．
先设号正方形的边长为，号正方形的边长为，则号正方形的边长为，号正方形的边长为，号长方形的长为，宽为，根据图中是周长为的长方形，计算出，然后再列出图中长方形的周长和没有覆盖的阴影部分的周长代数式，将代入计算即可．
本题考查的是整式的加减，掌握其运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：理解：；
或；
或；
；
应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案：
由图可得，调出的最少车辆数为辆．
【解析】解：理解：由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是，
故答案为：；
，
或，
或，
故答案为：或；
当时，，
解得；
当时，，
此时方程无解；
当时，，
解得；
综上，的值为或，
故答案为：或；
，
代数式表示到和的距离之和，
当在和之间，即时，的值最小，最小值为，
故答案为：；
应用：见答案．
根据题意即可求解；
根据绝对值的意义即可求解；
分、和三种情况，根据绝对值的性质解答即可求解；
由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解；
应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解；
本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键．
18.【答案】本题考查了有理数的混合运算以及科学计数法，熟练掌握有理数混合运算的运算方法及顺序是解题的关键．
取同号的两数相乘，根据即可得出结论；
要使张卡片的商最小，则取异号的两张卡片，比较大小据此可求解；
把每一个数的倒数求出来，比较大小即可得出结论；
把非负数抽取出来，组成最大的数，用科学计数法表示；
抽取、、、，则，此题得解．
【解析】解：，，，
抽取、两张卡片的乘积最大，最大值为；
要使张卡片的商最小，首先抽取异号两数，
抽取、，，；
抽取、，，；
抽取、，，；
抽取、，，；
，
抽取、两张卡片的商最小，最小值为；
的倒数，的倒数，的倒数，的倒数，没有倒数，
抽取和，倒数最大和最小，这两个数的倒数分别是，；
抽取、、，组成最大的数；
抽取、、、，则．
19.【答案】解：，
，，，
解得：，，，
则原式．
【解析】利用负分数的性质求出，，的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解本题的关键．
20.【答案】解：因为，
所以．
当时，
代数式的值是，
即，
所以．
所以当时，
代数式．
当时，
代数式的值为，
即，
所以．
所以当时，
代数式 ．

【解析】见答案．
21.【答案】
【解析】解：数轴上两点、对应的数分别为、，且，
，，
，，
点、表示的数分别为、，
点表示的数为，
故答案为：，，；
点、到点的距离相等，有两个时间点，
点在点的右边时，即，
，
解得：，
点和点重合，即，
，
解得：，
当的值为或时，点、两点到点的距离相等；
根据题意可知，，，
，
式子的值不随时间的变化而变化，
，
，
的值为．
利用非负数的性质列等式，求、的值，再利用速度乘以时间列代数式表示点；
根据距离相等分两种情况列方程求解；
根据题意列方程，与无关，比较关于的系数，求出的值．
本题考查了一元一次方程的应用和非负数的性质，解题的关键是读懂题意，应用一元一次方程解决问题，掌握非负数的性质．
22.【答案】解：原式，
由题意可得，，
当，时，原式．
【解析】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出与的值，代入计算即可求出值．
此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23.【答案】解：是最大的负整数，是多项式的次数，是单项式的系数，
，，，如图，在数轴上标出点、、，
，，动点、分别从、同时出发沿数轴正半轴运动，
点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，
秒，
运动秒后，点可以追上点
此时它们在数轴上表示的数为：
点对应的数为或写对一个给两分
【解析】【分析】
此题主要考查了数轴，数轴上两点间的距离以及单项式和多项式等有关知识．
理解多项式和单项式的相关概念，能够正确画出数轴，正确在数轴上找到所对应的点；
根据数轴上两点间的距离及追及问题进行求解；
注意数轴上两点间的距离公式：两点所对应的数的差的绝对值．
设点表示，则可得绝对值方程，然后根据、、、几种情况去掉绝对值符号，解方程求出的值即可．
【解答】
见答案；
见答案；
设点表示的数为，则由题意得：
，
当时，，解得，
当时，，解得舍去，
当时，，解得，
当时，，解得舍去，
综上所述，存在点，使到、、的距离和等于，点对应的数为或．
24.【答案】；；
；
当、两点都在点右侧时，若，则
，
解得，；
当、两点在点两侧时，若，则
，
解得，；
当、两点都在点左侧时，若，则
，
解得．
答：当为秒或秒或秒时，，，三个点中，其中一点到另外两点的距离相等．
，
当时，，
此时，若时，的值最小为：；
当时，，
此时取中任何一个值，的值为定值；
当时，，
此时，若时，的值最小为：．
综上，当时，的值最小为．
【解析】【分析】
本题是以数轴为载体的一个集平移，对称，动点于一体的一个综合性题目，考查了学生数形结合的能力，涉及数轴，数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用，代数式的最小值的求法，分类讨论的思想难度较大，采用分类讨论的方法，把各种情况整理全面，不要漏解．
根据两点距离公式求出结果便可；
先求出的中点，再求点关于这个中点的对称点便可；
分、两点都在点右侧时；、两点在点两侧时；、两点都在点左侧时三种情况，列出方程解答；
用的代数式表示，再根据的取值范围求得结果便可．
【解答】
解：：；
：；
故答案为：；．
的中点为：，
与点重合的点表示的数是，
故答案为：；
见答案．
25.【答案】【小题】
如图、图所示：
【小题】
当点在延长线上时，如图所示．
因为，所以所以．
因为，所以，．
因为为线段的中点，所以．
所以．
当点在延长线上时，如图所示．
因为，所以所以．
因为，
所以，．
因为为线段的中点，所以所以．
综上所述，的长为或．
【小题】
在图中，，，解得；
在图中，，，解得．
综上所述，的值为或．

【解析】 略
略
略
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