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专题九 立体几何
【中职专用】2025春季对口高考数学专题复习（河南适用）
1、（2023年河南对口高考）已知圆柱的底面半径为4，高为2，则圆柱的全面积为______．
2、（2023年河南对口高考）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面.
3、（2024年河南对口高考）一个圆柱的侧面积为，高为8，则该圆柱体的体积为_________
4、（2024年河南对口高考）如图所示的长方体中，底面ABCD为正方形，M、N分别为的中点，连接，求证：．
5、（2022年河南对口高考）在空间中，以下说法正确的是（ ）
A.若，，则
B.平行于同一平面的两条直线平行
C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
6、（2022年河南对口高考）圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥体积为__________.
7、（2022年河南对口高考）如图1所示，是圆的一条直径，垂直于圆所在的平面，是圆上不同于、的任意一点，求证：平面平面.
8、（2021年河南对口高考）圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则其体积为 .
9、（2021年河南对口高考）如图，已知直三棱柱中，侧面是边长为4的正方形，，，求证：.
10、（2020年河南对口）若长方体的长、宽、高分别为，，，则其对角线长为 ．
11、（2020年河南对口高考）已知直四棱柱中，底面中，，，，且.
求证：.
12、（2019年河南对口高考）三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2，侧棱垂直于底面，E,F分别为，的中点，直线与所成角的余弦值为（ ）
B. C. D.
13、（2019年河南对口高考）已知正三棱锥的侧棱和底面边长都为1，则它的体积为 .
14、（2019年河南对口高考）已知矩形，点为平面外一点，,且. 求证：.
15、（2018年河南对口高考）下列命题中，错误的是（ ）
A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B. 平行于同一平面的两个平面平行
C. 若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行
D. 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
16、（2018年河南对口高考）如图，在四棱锥中，是边长为2的菱
形，，底面，，，分别是，的中点.
（1）证明：∥平面；
（2）求三棱锥的体积.
17、（2018年河南对口）若圆锥的底面面积为，母线长为2，则该圆锥的体积为 .
18、（2017年河南对口高考）将一个球的体积扩大到原来的2倍，则它的半径为原来的_______倍.
19、（2017年河南对口高考）如图，正方体的棱长为1.
（1）求所成的角；
（2）求三棱锥的体积.
20、（2017年河南对口）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
21、（2016年河南对口高考）将正方形沿对角线折成直二面角后， .
22、（2016年河南对口高考）在空间中垂直于同一条直线的两条直线一定是（ ）
A. 平行 B．相交 C．异面 D．前三种情况都有可能
23、（2016年河南对口高考）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中（如下图所示），求证：直线.
24、（2015年河南对口高考）垂直于同一个平面的两个平面（ ）
A．互相垂直 B．互相平行
C．相交 D．前三种情况都有可能
25、（2015年河南对口）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（ ）
A． B．2 C． D．
26、（2015年河南对口高考）正方体中与所成角的正弦值为 .专题九 立体几何
【中职专用】2025春季对口高考数学专题复习（河南适用）
1、（2023年河南对口高考）已知圆柱的底面半径为4，高为2，则圆柱的全面积为______．
【答案】
【分析】根据题意求出圆柱的底面积和侧面积，进而求解答案.
【解析】根据圆柱的底面半径为4，高为2，
则圆柱的底面面积，
则圆柱的侧面积，
故圆柱的全面积.
故答案为:.
2、（2023年河南对口高考）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面.
【答案】证明见解析.
【解析】证明：取中点，连，
因为是中点，所以，
因为在中，且，
因为是中点，所以，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面平面，所以平面.
3、（2024年河南对口高考）一个圆柱的侧面积为，高为8，则该圆柱体的体积为_________
【答案】
【分析】根据圆柱的侧面积公式求出底面的半径，应用圆柱的体积公式求出结果.
【解析】设圆柱底面的圆的半径为,母线为,
则由题意可得,又,所以,
所以,
故答案为：
4、（2024年河南对口高考）如图所示的长方体中，底面ABCD为正方形，M、N分别为的中点，连接，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】通过三角形的中位线和正方体的特征证明平面，即可证明；
【解析】证明：连接，，如图，
因为，是正方形的对角线，所以，
又分别是中点，
所以，，
又平面，平面，所以
因为平面，平面，
所以平面，又平面，
所以.
5、（2022年河南对口高考）在空间中，以下说法正确的是（ ）
A.若，，则
B.平行于同一平面的两条直线平行
C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【解析】A选项，若，，则与不一定垂直，A不正确；
B选项，平行于同一平面的两条直线不一定平行，B不正确；
C选项，过直线外一点不一定有且只有一条直线与已知直线垂直；C不正确；
D选项，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，D正确，故选：D.
6、（2022年河南对口高考）圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥体积为__________.
【答案】
【解析】设轴截面的边长为，由三角形的面积公式可得：，，
即圆锥的底面直径为12，则半径为6，圆锥的高为：，
所以圆锥的体积为；，
故答案为：.
7、（2022年河南对口高考）如图1所示，是圆的一条直径，垂直于圆所在的平面，是圆上不同于、的任意一点，求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵是圆的一条直径，是圆上不同于、的任意一点，
∴是直角，即，
又垂直于圆所在的平面，∴
从而平面，
故平面平面.
8、（2021年河南对口高考）圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则其体积为 .
【答案】
【解析】由题知圆柱的底面半径为1，高为2，所以，，
故答案为：.
9、（2021年河南对口高考）如图，已知直三棱柱中，侧面是边长为4的正方形，，，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】证明：在直三棱柱中，，
∵，∴，
∵，，，所以三边符合勾股定理，
，因为，，∴，得证.
10、（2020年河南对口）若长方体的长、宽、高分别为，，，则其对角线长为 ．
【答案】
【解析】根据长方体的体对角线长可知，该长方体的对角线长为：，
故答案为：，
11、（2020年河南对口高考）已知直四棱柱中，底面中，，，，且.
求证：.
【答案】证明见解析
【解析】证明：在底面中，，，∴，
又∵，，所以，故，
∵四棱柱为直棱柱，所以，
又∵，，∴，
∵，∴.
12、（2019年河南对口高考）三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2，侧棱垂直于底面，E,F分别为，的中点，直线与所成角的余弦值为（ ）
B. C. D.
【答案】C
【解析】取中点M，连接EM，FM，则FM∥，
则即为直线与所成角，，，，，所以，
故选：C.
13、（2019年河南对口高考）已知正三棱锥的侧棱和底面边长都为1，则它的体积为 .
【答案】
【解析】正三棱锥的顶点在底面的投影为底面三角形的中心，底面三角形的高为：，
三角形的重心分中线为2：1的关系，所以底面三角形重心到顶点的距离为，
所以三棱锥的高为：，
又因为底面三角形的面积为：，
所以该正三棱锥的体积为：，
故答案为：.
14、（2019年河南对口高考）已知矩形，点为平面外一点，,且. 求证：.
【答案】证明见解析
【解析】证明：在矩形中，
∵，，，，
∴，
∵，∴，
∵，，，
∴，
又∵，
∴.
15、（2018年河南对口高考）下列命题中，错误的是（ ）
A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B. 平行于同一平面的两个平面平行
C. 若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行
D. 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
【答案】C
【解析】若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线不一定互相平行，所以C选项错误，
故选：C.
16、（2018年河南对口高考）如图，在四棱锥中，是边长为2的菱
形，，底面，，，分别是，的中点.
（1）证明：∥平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）证明：∵，分别是，的中点，∴，
∵，，所以∥平面.
（2）∵是的中点，
∴点P到底面ABCD的高是点E到底面ABCD的高的2倍，
，，
所以.
17、（2018年河南对口）若圆锥的底面面积为，母线长为2，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【解析】圆锥的底面面积为，则底面半径r=1，
由勾股定理可得：，
所以圆锥的体积为，
故答案为：.
18、（2017年河南对口高考）将一个球的体积扩大到原来的2倍，则它的半径为原来的_______倍.
【答案】
【解析】设原来球的半径为，现在球的半径为，
由得，
故答案为：.
19、（2017年河南对口高考）如图，正方体的棱长为1.
（1）求所成的角；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）（2）
【解析】解：（1）∵，所以即为所成的角，
因为，所以.
（2）.
20、（2017年河南对口）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
【答案】见解析
【解析】证明：（1）连接交于点，连接，
∵底面是菱形，∴为的中点，
∵点为的中点，∴，
∵平面，且平面，
∴平面.
（2）∵底面是菱形，∴，
∵平面，∴，
∵，∴平面，平面，
∴.
21、（2016年河南对口高考）将正方形沿对角线折成直二面角后， .
【答案】
【解析】设正方形对角线的焦点为O，边长为2，
根据直二面角的性质知，折起后DB=2，
又因为DA=DB=2，所以为等边三角形，故.
故答案为：.
22、（2016年河南对口高考）在空间中垂直于同一条直线的两条直线一定是（ ）
A. 平行 B．相交 C．异面 D．前三种情况都有可能
【答案】D
【解析】在空间中垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能平行，也可能异面，
故选：D.
23、（2016年河南对口高考）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中（如下图所示），求证：直线.
【答案】证明见解析
【解析】证明：在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
∵，，，，
∴.
24、（2015年河南对口高考）垂直于同一个平面的两个平面（ ）
A．互相垂直 B．互相平行
C．相交 D．前三种情况都有可能
【答案】D
【解析】垂直于同一个平面的两个平面有可能互相垂直，也有可能互相平行，也有可能相交，
故选：D.
25、（2015年河南对口）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】设此圆的底面半径为，高为，母线为，
∵圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，
∴，又，解得，
因此，此圆锥的高，
故选：C．
26、（2015年河南对口高考）正方体中与所成角的正弦值为 .
【答案】
【解析】在正方体中，为与所成角，
设正方体的边长为1，因为，，，
所以，
故答案为：.

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