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第1课时　力与物体的平衡
【知识网络】
热点一　受力分析及静态平衡问题
例1 (2024·浙江1月选考，6)如图1所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平成θ＝30°(不计摩擦)，则细线a、b的拉力分别为(g＝10 m/s2)(　　)
图1
A.2 N　1 N B.2 N　0.5 N C.1 N　1 N D.1 N　0.5 N
训练1 (2024·山东聊城二模)如图2所示，某创新实验小组制作了一个半径为12 cm的圆环，将3个相同的轻弹簧一端等间距地连接在圆环上的A、B、C三点，另外一端连接于同一点，结点O恰好在圆心处。将圆环水平放置，在结点O处悬挂一瓶矿泉水，缓慢释放直至平衡时测得结点下降了5 cm。已知轻弹簧的自然长度为9 cm，矿泉水(包括瓶)受到的重力为6 N，则弹簧的劲度系数为 (　　)
图2
A.390 N/m B.130 N/m C.3.90 N/m D.1.30 N/m
热点二　动态平衡和极值问题
例2 (多选)(2024·山东青岛第一中学校考)质量为M的木楔倾角θ为37°，在水平面上保持静止。当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如图3所示，当用与木楔斜面成α角的力F拉木块时，木块匀速上升(已知木楔在整个过程中始终静止)。sin 37°＝0.6。下列说法正确的有(　　)
图3
A.物块与斜面间的动摩擦因数为0.75
B.当α＝37°时F有最小值
C.当α＝30°时F有最小值
D.F的最小值为0.96mg
例3 (2024·山东烟台高三统考)一竖直放置的轻质圆环静止于水平面上，质量为m的物体用轻绳系于圆环边缘上的A、B两点，结点恰位于圆环的圆心О点。已知物体静止时，AO绳水平，BO绳与AO绳的夹角为150°。现使圆环沿顺时针方向缓慢滚动，在AO绳由水平转动至竖直的过程中(　　)
图4
A.AO绳中的拉力一直增大
B.AO绳中最大拉力为2mg
C.BO绳中的拉力先减小后增大
D.BO绳中最小拉力为mg
训练2 (2024·山东日照一模)如图5所示，甲、乙为长度、半径、材料均相同的质量分布均匀的圆柱体和半圆柱体，甲表面光滑，乙表面粗糙，半圆柱体乙的重力为G，两物体靠在一起放置在粗糙水平桌面上。现过圆柱体甲的轴心施加一个始终与水平方向夹角α＝60°斜向右上方的作用力F，将圆柱体甲缓慢地拉至半圆柱体乙的顶端，乙始终处于静止状态。在甲缓慢移动的过程中，下列判断正确的是(　　)
图5
A.两圆柱体间的压力由G逐渐增大至2G
B.拉力F由G逐渐减小至G
C.桌面对半圆柱体乙的摩擦力逐渐减小
D.桌面对半圆柱体乙的支持力不变
热点三　电磁场中的平衡问题
例4 (2022·湖南卷，3)如图6(a)，直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图(b)所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是(　　)
图6
A.当导线静止在图(a)右侧位置时，导线中电流方向由N指向M
B.电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C.tan θ与电流I成正比
D.sin θ与电流I成正比
训练3 (2024·湖北武汉高三统考)如图7所示，水平面上固定的装置是由半径为R的绝缘圆环和沿半径方向的绝缘细杆组成，空间中的匀强电场平行于细杆向左。圆环上套有一带正电小球A，细杆上套有一带正电小球B。初始时A静止在离P点较近处，两球间距为R，现用外力使B缓慢向P点移动，则A沿圆环缓慢逆时针移动。在这过程中，若两小球所带电荷量不改变且不计一切摩擦，则下列说法中正确的是(　　)
图7
A.圆环对小球A的弹力一直减小
B.两球间的库仑力先增大后减小
C.B对A的库仑力可能大于圆环对A的弹力
D.B对A的库仑力小于匀强电场对A的作用力
新情境命题　关注生活中的平衡问题
情境分析　新高考物理试题仍然坚持“无情境，不命题”原则，以生活、生产劳动为情境，考查受力分析和共点力平衡等成为高频考点，在解决此类问题时要将所学物理知识与实际情境联系起来，抓住问题实质将问题转化为熟知的物理模型和物理过程求解。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　典例 (2023·山东卷，2)餐厅暖盘车的储盘装置示意图如图8所示，三根完全相同的弹簧等间距竖直悬挂在水平固定圆环上，下端连接托盘。托盘上叠放若干相同的盘子，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平。已知单个盘子的质量为300 g，相邻两盘间距1.0 cm，重力加速度大小取10 m/s2。弹簧始终在弹性限度内，每根弹簧的劲度系数为(　　)
图8
A.10 N/m B.100 N/m C.200 N/m D.300 N/m
训练 (2024·河南洛阳高三校联考)如图9是古人筛谷时的场景，人对筛子不施加力时筛面水平，三根轻杆与竖直方向的夹角均为θ，三根轻绳与竖直方向的夹角均为β，则每根轻杆上的力与每根轻绳上的拉力之比为(　　)
图9
A.sin β∶sin θ B.cos β∶cos θ C.tan β∶tan θ D.1∶1
1.(2024·黑吉辽卷，3)利用砚台将墨条研磨成墨汁时讲究“圆、缓、匀”。如图10，在研磨过程中，砚台始终静止在水平桌面上。当墨条的速度方向水平向左时(　　)
图10
A.砚台对墨条的摩擦力方向水平向左
B.桌面对砚台的摩擦力方向水平向左
C.桌面和墨条对砚台的摩擦力是一对平衡力
D.桌面对砚台的支持力与墨条对砚台的压力是一对平衡力
2.(2024·湖北卷，6)如图11所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
图11
A.f B.f C.2f D.3f
3.(2024·山东卷，2)如图12所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜坡间的动摩擦因数不能小于(　　)
图12
A. B. C. D.
4.(2024·河北卷，5)如图13，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为(　　)
图13
A. N B.1.0 N C. N D.2.0 N
5.(2024·新课标卷，18)如图14，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等，则(　　)
图14
A.两绳中的张力大小一定相等
B.P的质量一定大于Q的质量
C.P的电荷量一定小于Q的电荷量
D.P的电荷量一定大于Q的电荷量
基础保分练
1.(2023·江苏卷，7)如图1所示， “嫦娥五号”探测器静止在月球平坦表面处。已知探测器质量为m，四条腿与竖直方向的夹角均为θ，月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的。每条腿对月球表面压力的大小为(　　)
图1
A.　 　B.　 　C.　 　D.
2.(2024·山东烟台高三联考)中国传统工艺——榫卯结构出现在当下流行的拼插玩具中，如图2甲所示。图乙是一种榫卯连接构件，相互连接的两部分M、N，其中构件M固定在水平地面上，榫、卯接触面间的动摩擦因数均为μ，沿N的轴线OP用大小为F的力才能将N从M中缓慢拉出。可认为各接触面间的弹力大小均为FN，滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等，N的下表面与水平地面未接触，则榫、卯接触面间的动摩擦因数μ为(　　)
图2
A. B. C. D.
3.(2024·河南周口高三联考)如图3所示，质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的直杆一端搁在水平面上的长木板上，另一端用轻绳悬挂着，用力向左拉长木板使其向左运动，直杆稳定时轻绳与竖直方向的夹角为37°，杆与板间动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，则轻绳的拉力大小为(　　)
图3
A.0.5mg B.0.6mg C.0.75mg D.0.8mg
4.(2024·广东深圳一模)如图4所示，用一轻绳通过定滑轮将质量为m的小球静置在光滑的半圆柱体上，小球的半径远小于半圆柱体截面的半径R，绳AB长度为L，长度为H的杆BC竖直且与半圆柱体边缘相切，OA与水平面夹角为θ，不计一切摩擦，重力加速度为g，下列表达式表示绳对小球拉力F的是(　　)
图4
A. B.
C. D.
5.(2024·河北石家庄质检)帆船是人类的伟大发明之一，船员可以通过调节帆面的朝向让帆船逆风行驶，如图5所示为帆船逆风行驶时的简化示意图，此时风力F＝2 000 N，方向与帆面的夹角α＝30°，航向与帆面的夹角β＝37°，风力在垂直帆面方向的分力推动帆船逆风行驶。已知sin 37°＝0.6，则帆船在沿航向获得的动力为(　　)
图5
A.200 N B.400 N C.600 N D.800 N
6.(2024·广东汕头一模)消毒碗柜的金属碗架可以将碗放置于两条金属杆之间，如图6甲所示。假设碗竖直放置，取某个碗的正视图如图乙所示，其中a、b分别为两光滑水平金属杆，下列说法正确的是(　　)
图6
A.若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，碗的合力减小
B.若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，a杆受到的弹力不变
C.若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力小于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力
D.若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力等于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力
7.如图7所示，匀强电场的电场强度方向与水平方向夹角为30°且斜向右上方，匀强磁场的方向垂直于纸面(图中未画出)。一质量为m、电荷量为q的带电小球(可视为质点)以与水平方向成30°角斜向左上方的速度v做匀速直线运动，重力加速度为g。则(　　)
图7
A.匀强磁场的方向可能垂直于纸面向外
B.小球可能带正电荷
C.电场强度大小为
D.磁感应强度的大小为
8.(多选)(2024·四川成都模拟)如图8所示，在倾角为θ＝30°的粗糙斜面上放一物体重力为G，斜面为矩形。现在用与底边BC平行的恒力F推物体，物体恰好能沿斜面的对角线AC做匀速直线运动。已知AB＝40 cm、BC＝30 cm，sin 30°＝，cos 30°＝，g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
图8
A.斜面对物体的支持力FN＝G
B.斜面对物体的摩擦力Ff＝G
C.物体与斜面间的动摩擦因数μ＝
D.推力F＝G
提能增分练
9.如图9所示，某同学用一双筷子夹起质量为m的圆柱形重物，已知圆柱竖直、半径为r，筷子水平，交叉点到圆柱接触点的距离均为L＝4r，每根筷子对圆柱的压力大小为2mg，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
图9
A.每根筷子与圆柱体间的摩擦力大小为mg
B.每根筷子与圆柱体间的摩擦力大小为mg
C.每根筷子与圆柱体间的摩擦力大小为mg
D.若增大筷子与圆柱体间的压力，摩擦力大小不变
10.(2024·河南漯河高三统考)一半圆环直径为AB，圆心为O，半圆环放置于竖直平面内，直径AB与水平方向的夹角为θ，如图10所示， A、B两端系着一根不可伸长的轻绳，绳长大于直径AB，绳上套有一光滑小球，现将半圆环在竖直平面内绕圆心O顺时针缓慢转过2θ。在此过程中，下列说法正确的是(　　)
图10
A.轻绳的拉力先增大后减小
B.轻绳的拉力先减小后增大
C.小球受到的合力先减小后增大
D.小球受到的合力先增大后减小
11.(多选)(2024·广东广州模拟)如图11在一半径为R的表面光滑的半球形容器的球心O点，用长为的绝缘细线悬挂一质量为2m、电荷量为＋q1的小球A，在容器内放置一质量为m、电荷量为＋q2的小球B，已知B与容器绝缘。两球在如图所示的位置处于平衡状态，此时细线与竖直方向的夹角θ＝30°。下列说法正确的是(　　)
图11
A.容器对小球B的支持力等于细线对小球A的拉力
B.容器对小球B的支持力等于细线对小球A拉力的2倍
C.细线对小球A的拉力为小球A重力的
D.两小球间的库仑力为小球A重力的
培优高分练
12.(2024·九省联考安徽)如图12所示，轻绳1两端分别固定在M、N两点(N点在M点右上方)，轻绳1上套有一个轻质的光滑小环，质量为m的物块P通过另一根轻绳2悬挂在环的下方，处于静止状态，∠MON＝60°。现用一水平向右的力F缓慢拉动物块，直到轻绳2与MN连线方向垂直。已知重力加速度为g。下列说法错误的是(　　)
图12
A.施加拉力F前，轻绳1的张力大小为mg
B.物块在缓慢移动过程中，轻绳2的延长线始终平分∠MON
C.物块在缓慢移动过程中，轻绳2的张力越来越大
D.物块在缓慢移动过程中，轻绳1的张力可能先增大后减小
第1课时　力与物体的平衡
【知识网络】
热点一　受力分析及静态平衡问题
例1 (2024·浙江1月选考，6)如图1所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平成θ＝30°(不计摩擦)，则细线a、b的拉力分别为(g＝10 m/s2)(　　)
图1
A.2 N　1 N B.2 N　0.5 N C.1 N　1 N D.1 N　0.5 N
答案　D
解析　由题意可知细线c对A的拉力和细线d对B的拉力大小相等且为0.5 N、方向相反，对A、B整体分析可知细线a的拉力大小为Fa＝(mA＋mB)g＝1 N，故A、B错误；设细线b与水平方向夹角为α，对A球受力分析有Fbsin α＋Fcsin θ＝mAg，Fbcos α＝Fccos θ，联立解得Fb＝0.5 N，故A、B、C错误，D正确。
方法总结　处理平衡问题常用的方法
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
分解法 按作用效果分解：物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的作用效果分解，则其分力和其他两个力大小相等，方向相反
正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
矢量三 角形法 对受三个共点力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移，使三个力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
训练1 (2024·山东聊城二模)如图2所示，某创新实验小组制作了一个半径为12 cm的圆环，将3个相同的轻弹簧一端等间距地连接在圆环上的A、B、C三点，另外一端连接于同一点，结点O恰好在圆心处。将圆环水平放置，在结点O处悬挂一瓶矿泉水，缓慢释放直至平衡时测得结点下降了5 cm。已知轻弹簧的自然长度为9 cm，矿泉水(包括瓶)受到的重力为6 N，则弹簧的劲度系数为 (　　)
图2
A.390 N/m B.130 N/m C.3.90 N/m D.1.30 N/m
答案　B
解析　如图所示，由几何关系可知平衡时每根弹簧的长度均为x＝ cm＝13 cm，每根弹簧的伸长量均为Δx＝13 cm－9 cm＝4 cm，竖直方向根据受力平衡可得G＝3kΔxcos θ，解得弹簧的劲度系数k＝＝130 N/m，B正确。
热点二　动态平衡和极值问题
例2 (多选)(2024·山东青岛第一中学校考)质量为M的木楔倾角θ为37°，在水平面上保持静止。当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如图3所示，当用与木楔斜面成α角的力F拉木块时，木块匀速上升(已知木楔在整个过程中始终静止)。sin 37°＝0.6。下列说法正确的有(　　)
图3
A.物块与斜面间的动摩擦因数为0.75
B.当α＝37°时F有最小值
C.当α＝30°时F有最小值
D.F的最小值为0.96mg
答案　ABD
解析　物块匀速下滑时，有mgsin 37°＝μmgcos 37°，解得μ＝0.75，A正确；物块匀速上升时，有Fcos α＝mgsin θ＋μ(mgcos θ－Fsin α)，整理得F＝，可知，当α＝θ＝37°时，F有最小值，最小值为F＝0.96mg，B、D正确，C错误。
例3 (2024·山东烟台高三统考)一竖直放置的轻质圆环静止于水平面上，质量为m的物体用轻绳系于圆环边缘上的A、B两点，结点恰位于圆环的圆心О点。已知物体静止时，AO绳水平，BO绳与AO绳的夹角为150°。现使圆环沿顺时针方向缓慢滚动，在AO绳由水平转动至竖直的过程中(　　)
图4
A.AO绳中的拉力一直增大
B.AO绳中最大拉力为2mg
C.BO绳中的拉力先减小后增大
D.BO绳中最小拉力为mg
答案　B
解析　物体始终保持静止，合力为零，由于重力不变，F1和F2夹角α＝150°不变，则β＝30°，则mg、F1、F2构成封闭的矢量三角形，如图所示。在AO绳由水平转动至竖直的过程中，AO绳中的拉力先增大后减小，BO绳中的拉力一直减小，故A、C错误；当F1沿直径方向时，F1最大，AO绳中最大拉力为F1＝＝2mg，故B正确；在AO绳竖直时，BO绳中拉力最小，为零，故D错误。
对一力恒定，另两个力夹角不变的动态分析方法
(1)辅助圆法：根据同弧(弦)所对的圆周角相等，作三角形的外接圆，如图甲所示，可直观判断力的大小变化。
(2)正弦定理法：将结点O处受到的力平移后首尾相连成三角形，如图乙所示。顺时针转动θ角时，两绳之间的夹角保持不变。根据正弦定理有＝＝。在转动过程中β角保持30°不变，γ角由90°减小到0°，α角由60°增大到180°，可得FOA先增大后减小，FOB一直减小。
训练2 (2024·山东日照一模)如图5所示，甲、乙为长度、半径、材料均相同的质量分布均匀的圆柱体和半圆柱体，甲表面光滑，乙表面粗糙，半圆柱体乙的重力为G，两物体靠在一起放置在粗糙水平桌面上。现过圆柱体甲的轴心施加一个始终与水平方向夹角α＝60°斜向右上方的作用力F，将圆柱体甲缓慢地拉至半圆柱体乙的顶端，乙始终处于静止状态。在甲缓慢移动的过程中，下列判断正确的是(　　)
图5
A.两圆柱体间的压力由G逐渐增大至2G
B.拉力F由G逐渐减小至G
C.桌面对半圆柱体乙的摩擦力逐渐减小
D.桌面对半圆柱体乙的支持力不变
答案　C
解析　根据题意，对甲受力分析，如图(a)所示
由平衡条件有Fcos 60°＝FN甲cos 30°
Fsin 60°＋FN甲sin 30°＝2G
解得FN甲＝G，F＝G
将圆柱体甲缓慢地拉至半圆柱体乙的顶端，拉力F方向不变，拉力F与FN甲的变化情况，如图(b)所示，可知两圆柱体间的压力逐渐增大，拉力F逐渐减小，当圆柱体甲拉至半圆柱体乙的顶端时，FN最大，等于圆柱体甲的重力大小2G，拉力F最小为零，故A、B错误；对圆柱体甲和半圆柱体乙整体受力分析，如图(c)所示，由平衡条件有Fcos 60°＝Ff，FN＋Fsin 60°＝3G，由于F逐渐减小，则Ff逐渐减小，FN逐渐增大，故C正确，D错误。
热点三　电磁场中的平衡问题
例4 (2022·湖南卷，3)如图6(a)，直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图(b)所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是(　　)
图6
A.当导线静止在图(a)右侧位置时，导线中电流方向由N指向M
B.电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C.tan θ与电流I成正比
D.sin θ与电流I成正比
答案　D
解析　当导线静止在题图(a)右侧位置时，对导线MN受力分析如图所示，可知导线中电流方向由M指向N，A错误；由于与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有sin θ＝，FT＝ mgcos θ，则sin θ与电流I成正比，当I增大时θ增大，cos θ减小，静止后，导线对悬线的拉力FT减小，B、C错误，D正确。
解决电磁场中平衡问题的技巧
(1)点电荷间的作用力大小要用库仑定律公式计算。
(2)安培力方向的判断要先明确磁场方向、电流方向，再用左手定则判断安培力的方向，同时注意将立体图转化为平面图。
(3)电场力或安培力的出现，可能会对弹力或摩擦力产生影响。
(4)涉及电路问题时，要注意闭合电路欧姆定律的应用。
训练3 (2024·湖北武汉高三统考)如图7所示，水平面上固定的装置是由半径为R的绝缘圆环和沿半径方向的绝缘细杆组成，空间中的匀强电场平行于细杆向左。圆环上套有一带正电小球A，细杆上套有一带正电小球B。初始时A静止在离P点较近处，两球间距为R，现用外力使B缓慢向P点移动，则A沿圆环缓慢逆时针移动。在这过程中，若两小球所带电荷量不改变且不计一切摩擦，则下列说法中正确的是(　　)
图7
A.圆环对小球A的弹力一直减小
B.两球间的库仑力先增大后减小
C.B对A的库仑力可能大于圆环对A的弹力
D.B对A的库仑力小于匀强电场对A的作用力
答案　D
解析　对小球A受力分析如图，设球B到圆心O的距离为x，两球间的距离为y，由三角形关系可知＝＝，开始时y＝R，当B右移时，x减小，则FN变大，故A错误；y减小，即此时y＜R，根据F库＝，可知两球间的库仑力逐渐变大，B对A的库仑力小于圆环对A的弹力，故B、C错误；因x＞R，而y＜R，可知qE＞F库，即B对A的库仑力小于匀强电场对A的作用力，故D正确。
新情境命题　关注生活中的平衡问题
情境分析　新高考物理试题仍然坚持“无情境，不命题”原则，以生活、生产劳动为情境，考查受力分析和共点力平衡等成为高频考点，在解决此类问题时要将所学物理知识与实际情境联系起来，抓住问题实质将问题转化为熟知的物理模型和物理过程求解。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
典例 (2023·山东卷，2)餐厅暖盘车的储盘装置示意图如图8所示，三根完全相同的弹簧等间距竖直悬挂在水平固定圆环上，下端连接托盘。托盘上叠放若干相同的盘子，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平。已知单个盘子的质量为300 g，相邻两盘间距1.0 cm，重力加速度大小取10 m/s2。弹簧始终在弹性限度内，每根弹簧的劲度系数为(　　)
图8
A.10 N/m B.100 N/m C.200 N/m D.300 N/m
答案　B
解析　由题知，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平，则说明一个盘子的重力可以使弹簧产生的形变量等于相邻两盘间距，则有mg＝3kx，解得k＝100 N/m，故B正确。
训练 (2024·河南洛阳高三校联考)如图9是古人筛谷时的场景，人对筛子不施加力时筛面水平，三根轻杆与竖直方向的夹角均为θ，三根轻绳与竖直方向的夹角均为β，则每根轻杆上的力与每根轻绳上的拉力之比为(　　)
图9
A.sin β∶sin θ B.cos β∶cos θ C.tan β∶tan θ D.1∶1
答案　B
解析　设筛子和谷子的总重力为G，把杆或绳上的力沿竖直方向和水平方向分解，在竖直方向上根据平衡条件有G＝3F杆cos θ＝3F绳cos β，可得＝，故B正确。
1.(2024·黑吉辽卷，3)利用砚台将墨条研磨成墨汁时讲究“圆、缓、匀”。如图10，在研磨过程中，砚台始终静止在水平桌面上。当墨条的速度方向水平向左时(　　)
图10
A.砚台对墨条的摩擦力方向水平向左
B.桌面对砚台的摩擦力方向水平向左
C.桌面和墨条对砚台的摩擦力是一对平衡力
D.桌面对砚台的支持力与墨条对砚台的压力是一对平衡力
答案　C
解析　墨条相对于砚台水平向左运动，砚台对墨条有向右的摩擦力，A错误；根据牛顿第三定律知，墨条对砚台有向左的摩擦力，砚台处于平衡状态，故桌面对砚台有向右的摩擦力，B错误；砚台处于平衡状态，水平方向只受桌面和墨条对其的摩擦力，故这两个力是一对平衡力，C正确；桌面对砚台的支持力等于砚台的重力与墨条对砚台的压力之和，故桌面对砚台的支持力与墨条对砚台的压力不是一对平衡力，D错误。
2.(2024·湖北卷，6)如图11所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
图11
A.f B.f C.2f D.3f
答案　B
解析　
3.(2024·山东卷，2)如图12所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜坡间的动摩擦因数不能小于(　　)
图12
A. B. C. D.
答案　B
解析　斜坡倾角越大，“天工”越容易下滑，只要保证“天工”在倾角30°的斜坡上不下滑，在小于30°倾角的斜坡上更不会下滑，对在倾角30°的斜坡上的“天工”受力分析，有μmgcos 30°≥mgsin 30°，解得μ≥，B正确。
4.(2024·河北卷，5)如图13，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为(　　)
图13
A. N B.1.0 N C. N D.2.0 N
答案　A
解析　对球体受力分析如图所示，正交分解列方程，x轴方向FN1sin 30°＝FN2sin 30°，y轴方向FN1 cos 30°＋FN2·cos 30°＋F＝mg，联立解得FN1＝ N，A正确。
5.(2024·新课标卷，18)如图14，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等，则(　　)
图14
A.两绳中的张力大小一定相等
B.P的质量一定大于Q的质量
C.P的电荷量一定小于Q的电荷量
D.P的电荷量一定大于Q的电荷量
答案　B
解析　设细绳与竖直方向的夹角均为θ，两球之间的库仑力大小为F，将两球间的库仑力与静电力合成为一个力，将四力平衡转化为三力平衡，如图所示，FQ＝，FP＝，则两绳中的张力大小关系为FQmQ，B正确；F库＝mQgtan θ＋qQE＝mPgtan θ－qPE，只根据mP>mQ无法确定qP与qQ的大小关系，C、D错误。
基础保分练
1.(2023·江苏卷，7)如图1所示， “嫦娥五号”探测器静止在月球平坦表面处。已知探测器质量为m，四条腿与竖直方向的夹角均为θ，月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的。每条腿对月球表面压力的大小为(　　)
图1
A.　 　B.　 　C.　 　D.
答案　D
解析　由于探测器静止在月球平坦表面处，月球表面对每条腿的支持力都竖直向上，则4FN＝m·g，解得FN＝，根据牛顿第三定律可知每条腿对月球表面的压力大小为，D正确，A、B、C错误。
2.(2024·山东烟台高三联考)中国传统工艺——榫卯结构出现在当下流行的拼插玩具中，如图2甲所示。图乙是一种榫卯连接构件，相互连接的两部分M、N，其中构件M固定在水平地面上，榫、卯接触面间的动摩擦因数均为μ，沿N的轴线OP用大小为F的力才能将N从M中缓慢拉出。可认为各接触面间的弹力大小均为FN，滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等，N的下表面与水平地面未接触，则榫、卯接触面间的动摩擦因数μ为(　　)
图2
A. B. C. D.
答案　C
解析　将N从M中缓慢拉出，处于平衡状态，榫卯结构有4个接触面，则4μFN＝F，解得μ＝，故C正确。
3.(2024·河南周口高三联考)如图3所示，质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的直杆一端搁在水平面上的长木板上，另一端用轻绳悬挂着，用力向左拉长木板使其向左运动，直杆稳定时轻绳与竖直方向的夹角为37°，杆与板间动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，则轻绳的拉力大小为(　　)
图3
A.0.5mg B.0.6mg C.0.75mg D.0.8mg
答案　A
解析　对直杆受力分析如图所示，
根据平衡条件，在水平方向Ff＝Tsin 37°
其中Ff＝μFN
在竖直方向FN＋Tcos 37°＝mg
联立代入数据解得T＝0.5mg，故A正确。
4.(2024·广东深圳一模)如图4所示，用一轻绳通过定滑轮将质量为m的小球静置在光滑的半圆柱体上，小球的半径远小于半圆柱体截面的半径R，绳AB长度为L，长度为H的杆BC竖直且与半圆柱体边缘相切，OA与水平面夹角为θ，不计一切摩擦，重力加速度为g，下列表达式表示绳对小球拉力F的是(　　)
图4
A. B.
C. D.
答案　C
解析　根据题意，对小球受力分析，受到重力G、支持力FN和拉力F作用，把拉力和支持力平移，组成矢量三角形，延长AO和BC交于D点，如图所示。由几何关系和三角形相似有＝，解得F＝，故C正确。
5.(2024·河北石家庄质检)帆船是人类的伟大发明之一，船员可以通过调节帆面的朝向让帆船逆风行驶，如图5所示为帆船逆风行驶时的简化示意图，此时风力F＝2 000 N，方向与帆面的夹角α＝30°，航向与帆面的夹角β＝37°，风力在垂直帆面方向的分力推动帆船逆风行驶。已知sin 37°＝0.6，则帆船在沿航向获得的动力为(　　)
图5
A.200 N B.400 N C.600 N D.800 N
答案　C
解析　将风力F沿着帆面和垂直帆面方向分解，其垂直于帆面方向的分力F1＝Fsin α＝1000 N，再将F1沿帆船航向和垂直帆船航向分解，则帆船在沿航向获得的动力F2＝F1sin β＝600 N，C正确。
6.(2024·广东汕头一模)消毒碗柜的金属碗架可以将碗放置于两条金属杆之间，如图6甲所示。假设碗竖直放置，取某个碗的正视图如图乙所示，其中a、b分别为两光滑水平金属杆，下列说法正确的是(　　)
图6
A.若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，碗的合力减小
B.若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，a杆受到的弹力不变
C.若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力小于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力
D.若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力等于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力
答案　D
解析　若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，碗所受的合力仍为0，A错误；对碗受力分析如图所示，设b杆对碗的弹力F2与竖直方向的夹角为θ，碗的重力为G，则F1＝Gtan θ，F2＝，若减小a、b间距，则θ减小，F1减小，根据牛顿第三定律可知a杆受到的弹力减小，B错误；a、b杆对碗的作用力的合力与碗的重力等大反向，则将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力等于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力，C错误，D正确。
7.如图7所示，匀强电场的电场强度方向与水平方向夹角为30°且斜向右上方，匀强磁场的方向垂直于纸面(图中未画出)。一质量为m、电荷量为q的带电小球(可视为质点)以与水平方向成30°角斜向左上方的速度v做匀速直线运动，重力加速度为g。则(　　)
图7
A.匀强磁场的方向可能垂直于纸面向外
B.小球可能带正电荷
C.电场强度大小为
D.磁感应强度的大小为
答案　D
解析　带电小球做匀速直线运动，受力平衡。若小球带正电荷，小球受力情况如图甲所示，不可能平衡，则小球带负电荷，受力分析如图乙所示，由左手定则可判断匀强磁场的方向垂直纸面向里，A、B项错误；静电力与重力大小相等，夹角为60°，电场强度E＝，C项错误；由共点力的平衡条件得qvB＝2mgcos 30°＝mg，则B＝，D项正确。
8.(多选)(2024·四川成都模拟)如图8所示，在倾角为θ＝30°的粗糙斜面上放一物体重力为G，斜面为矩形。现在用与底边BC平行的恒力F推物体，物体恰好能沿斜面的对角线AC做匀速直线运动。已知AB＝40 cm、BC＝30 cm，sin 30°＝，cos 30°＝，g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
图8
A.斜面对物体的支持力FN＝G
B.斜面对物体的摩擦力Ff＝G
C.物体与斜面间的动摩擦因数μ＝
D.推力F＝G
答案　AD
解析　重力在垂直于斜面方向的分力与支持力平衡，则有FN＝Gcos θ＝G，故A正确；物体在平面ABCD内的受力分析如图所示，根据共点力的平衡有Ffcos 37°＝Gsin 30°，Ffsin 37°＝F，联立解得Ff＝G，F＝G，又Ff＝μFN，解得物体与斜面间的动摩擦因数μ＝，故B、C错误，D正确。
提能增分练
9.如图9所示，某同学用一双筷子夹起质量为m的圆柱形重物，已知圆柱竖直、半径为r，筷子水平，交叉点到圆柱接触点的距离均为L＝4r，每根筷子对圆柱的压力大小为2mg，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
图9
A.每根筷子与圆柱体间的摩擦力大小为mg
B.每根筷子与圆柱体间的摩擦力大小为mg
C.每根筷子与圆柱体间的摩擦力大小为mg
D.若增大筷子与圆柱体间的压力，摩擦力大小不变
答案　B
解析　重物在竖直方向上由平衡条件可知2Ffy＝mg，解得Ffy＝mg，水平方向受力分析俯视如图所示，cos α＝＝，cos θ＝＝，由平衡条件知2FNcos α＝2Ffxcos θ，其中FN＝2mg，解得Ffx＝mg，所以每根筷子与圆柱体间的摩擦力大小为Ff＝＝mg，故A、C错误，B正确；增大筷子与圆柱体间的压力，摩擦力竖直分量仍等于重力大小，摩擦力水平分量增大，摩擦力变大，故D错误。
10.(2024·河南漯河高三统考)一半圆环直径为AB，圆心为O，半圆环放置于竖直平面内，直径AB与水平方向的夹角为θ，如图10所示， A、B两端系着一根不可伸长的轻绳，绳长大于直径AB，绳上套有一光滑小球，现将半圆环在竖直平面内绕圆心O顺时针缓慢转过2θ。在此过程中，下列说法正确的是(　　)
图10
A.轻绳的拉力先增大后减小
B.轻绳的拉力先减小后增大
C.小球受到的合力先减小后增大
D.小球受到的合力先增大后减小
答案　A
解析　设轻绳与竖直方向夹角为α，AN、NB间夹角为2α，如图所示，则根据几何关系可得
2Rcos θ＝MA
ANsin α＋NBsin α＝MA
L＝AN＋NB
联立可得sin α＝
根据平衡条件可得2Fcos α＝mg
可得F＝
可知，圆环从图示位置绕圆心O顺时针缓慢转过2θ角的过程中，轻绳的拉力先增大再减小，故A正确，B错误；因为小球是缓慢运动的，处于动态平衡状态，所受合力一直为0，故C、D错误。
11.(多选)(2024·广东广州模拟)如图11在一半径为R的表面光滑的半球形容器的球心O点，用长为的绝缘细线悬挂一质量为2m、电荷量为＋q1的小球A，在容器内放置一质量为m、电荷量为＋q2的小球B，已知B与容器绝缘。两球在如图所示的位置处于平衡状态，此时细线与竖直方向的夹角θ＝30°。下列说法正确的是(　　)
图11
A.容器对小球B的支持力等于细线对小球A的拉力
B.容器对小球B的支持力等于细线对小球A拉力的2倍
C.细线对小球A的拉力为小球A重力的
D.两小球间的库仑力为小球A重力的
答案　AC
解析　如图甲所示，两球A、B的连线交过球心O的竖直线于P点，分析两小球的受力，并将力经适当平移，构成矢量三角形，根据力的矢量三角形与几何三角形相似，可得＝，＝，所以FN＝T，故A正确，B错误；
把小球A、B看作整体，对整体受力分析如图乙所示，由正交分解可得FNsin α＝Tsin θ，FNcos α＋Tcos θ＝3mg，解得α＝θ＝30°，T＝·2mg，故C正确；设两小球间的库仑力为F，对小球A，有F＝＝mg，故D错误。
培优高分练
12.(2024·九省联考安徽)如图12所示，轻绳1两端分别固定在M、N两点(N点在M点右上方)，轻绳1上套有一个轻质的光滑小环，质量为m的物块P通过另一根轻绳2悬挂在环的下方，处于静止状态，∠MON＝60°。现用一水平向右的力F缓慢拉动物块，直到轻绳2与MN连线方向垂直。已知重力加速度为g。下列说法错误的是(　　)
图12
A.施加拉力F前，轻绳1的张力大小为mg
B.物块在缓慢移动过程中，轻绳2的延长线始终平分∠MON
C.物块在缓慢移动过程中，轻绳2的张力越来越大
D.物块在缓慢移动过程中，轻绳1的张力可能先增大后减小
答案　D
解析　施加拉力F前，以小环为研究对象，受到轻绳2的拉力大小等于物块P的重力mg，竖直方向根据受力平衡可得2T1cos 30°＝mg，解得轻绳1的张力大小为T1＝mg，故A正确；物块在缓慢移动过程中，以小环为研究对象，由于小环两侧轻绳1的张力大小总是相等，则小环两侧轻绳1的张力合力始终沿∠MON平分线上，根据受力平衡可知，轻绳2的延长线始终平分∠MON，故B正确；物块在缓慢移动过程中，轻绳2与竖直方向的夹角θ逐渐增大，以物块为研究对象，根据受力平衡可得T2cos θ＝mg，可知T2＝，可知轻绳2的张力越来越大，故C正确；物块在缓慢移动过程中，由于M、N之间的轻绳1长度不变，根据数学知识可知，小环的运动轨迹为椭圆，M、N为椭圆的两个焦点；当轻绳2与MN连线方向垂直时，小环刚好位于椭圆的短轴顶点上，根据椭圆知识可知此时∠MON最大，则此过程∠MON＝α逐渐增大，以小环为研究对象，根据受力平衡可得2T1′cos ＝T2，可得T1′＝，可知此过程轻绳1的张力一直增大，故D错误。(共55张PPT)
第1课时　力与物体的平衡
专题一　力与运动
知识网络
目 录
CONTENTS
突破高考热点
01
课时跟踪训练
04
链接高考真题
03
新情境命题
02
突破高考热点
1
热点二　动态平衡和极值问题
热点一　受力分析及静态平衡问题
热点三　电磁场中的平衡问题
热点一　受力分析及静态平衡问题
例1 (2024·浙江1月选考，6)如图1所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平成θ＝30°(不计摩擦)，则细线a、b的拉力分别为(g＝10 m/s2)(　　)
图1
A.2 N　1 N B.2 N　0.5 N C.1 N　1 N D.1 N　0.5 N
D
解析　由题意可知细线c对A的拉力和细线d对B的拉力大小相等且为0.5 N、方向相反，对A、B整体分析可知细线a的拉力大小为Fa＝(mA＋mB)g＝1 N，故A、B错误；设细线b与水平方向夹角为α，对A球受力分析有Fbsin α＋Fcsin θ＝mAg，Fbcos α＝Fccos θ，联立解得Fb＝0.5 N，故A、B、C错误，D正确。
方法总结　处理平衡问题常用的方法
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
分解法 按作用效果分解：物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的作用效果分解，则其分力和其他两个力大小相等，方向相反
正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
矢量三 角形法 对受三个共点力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移，使三个力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
B
训练1 (2024·山东聊城二模)如图2所示，某创新实验小组制作了一个半径为12 cm的圆环，将3个相同的轻弹簧一端等间距地连接在圆环上的A、B、C三点，另外一端连接于同一点，结点O恰好在圆心处。将圆环水平放置，在结点O处悬挂一瓶矿泉水，缓慢释放直至平衡时测得结点下降了5 cm。已知轻弹簧的自然长度为9 cm，矿泉水(包括瓶)受到的重力为6 N，则弹簧的劲度系数为 (　　)
图2
A.390 N/m B.130 N/m C.3.90 N/m D.1.30 N/m
热点二　动态平衡和极值问题
例2 (多选)(2024·山东青岛第一中学校考)质量为M的木楔倾角θ为37°，在水平面上保持静止。当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如图3所示，当用与木楔斜面成α角的力F拉木块时，木块匀速上升(已知木楔在整个过程中始终静止)。sin 37°＝0.6。下列说法正确的有(　 　)
图3
A.物块与斜面间的动摩擦因数为0.75
B.当α＝37°时F有最小值
C.当α＝30°时F有最小值
D.F的最小值为0.96mg
ABD
B
例3 (2024·山东烟台高三统考)一竖直放置的轻质圆环静止于水平面上，质量为m的物体用轻绳系于圆环边缘上的A、B两点，结点恰位于圆环的圆心О点。已知物体静止时，AO绳水平，BO绳与AO绳的夹角为150°。现使圆环沿顺时针方向缓慢滚动，在AO绳由水平转动至竖直的过程中(　　)
图4
A.AO绳中的拉力一直增大
B.AO绳中最大拉力为2mg
C.BO绳中的拉力先减小后增大
D.BO绳中最小拉力为mg
对一力恒定，另两个力夹角不变的动态分析方法
(1)辅助圆法：根据同弧(弦)所对的圆周角相等，作三角形的外接圆，如图甲所示，可直观判断力的大小变化。
训练2 (2024·山东日照一模)如图5所示，甲、乙为长度、半径、材料均相同的质量分布均匀的圆柱体和半圆柱体，甲表面光滑，乙表面粗糙，半圆柱体乙的重力为G，两物体靠在一起放置在粗糙水平桌面上。现过圆柱体甲的轴心施加一个始终与水平方向夹角α＝60°斜向右上方的作用力F，将圆柱体甲缓慢地拉至半圆柱体乙的顶端，乙始终处于静止状态。在甲缓慢移动的过程中，下列判断正确的是(　　)
图5
C
解析　根据题意，对甲受力分析，如图(a)所示
由平衡条件有Fcos 60°＝FN甲cos 30°
Fsin 60°＋FN甲sin 30°＝2G
将圆柱体甲缓慢地拉至半圆柱体乙的顶端，拉力F方向不变，拉力F与FN甲的变化情况，如图(b)所示，可知两圆柱体间的压力逐渐增大，拉力F逐渐减小，当圆柱体甲拉至半圆柱体乙的顶端时，FN最大，等于圆柱体甲的重力大小2G，拉力F最小为零，故A、B错误；对圆柱体甲和半圆柱体乙整体受力分析，如图(c)所示，由平衡条件有Fcos 60°＝Ff，FN＋Fsin 60°＝3G，由于F逐渐减小，则Ff逐渐减小，FN逐渐增大，故C正确，D错误。
热点三　电磁场中的平衡问题
例4 (2022·湖南卷，3)如图6(a)，直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图(b)所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是(　　)
图6
A.当导线静止在图(a)右侧位置时，导线中电流方向由N指向M
B.电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C.tan θ与电流I成正比
D.sin θ与电流I成正比
D
解决电磁场中平衡问题的技巧
(1)点电荷间的作用力大小要用库仑定律公式计算。
(2)安培力方向的判断要先明确磁场方向、电流方向，再用左手定则判断安培力的方向，同时注意将立体图转化为平面图。
(3)电场力或安培力的出现，可能会对弹力或摩擦力产生影响。
(4)涉及电路问题时，要注意闭合电路欧姆定律的应用。
训练3 (2024·湖北武汉高三统考)如图7所示，水平面上固定的装置是由半径为R的绝缘圆环和沿半径方向的绝缘细杆组成，空间中的匀强电场平行于细杆向左。圆环上套有一带正电小球A，细杆上套有一带正电小球B。初始时A静止在离P点较近处，两球间距为R，现用外力使B缓慢向P点移动，则A沿圆环缓慢逆时针移动。在这过程中，若两小球所带电荷量不改变且不计一切摩擦，则下列说法中正确的是(　　)
图7
D
A.圆环对小球A的弹力一直减小
B.两球间的库仑力先增大后减小
C.B对A的库仑力可能大于圆环对A的弹力
D.B对A的库仑力小于匀强电场对A的作用力
新情境命题
2
新情境命题　关注生活中的平衡问题
情境分析　新高考物理试题仍然坚持“无情境，不命题”原则，以生活、生产劳动为情境，考查受力分析和共点力平衡等成为高频考点，在解决此类问题时要将所学物理知识与实际情境联系起来，抓住问题实质将问题转化为熟知的物理模型和物理过程求解。
B
典例 (2023·山东卷，2)餐厅暖盘车的储盘装置示意图如图8所示，三根完全相同的弹簧等间距竖直悬挂在水平固定圆环上，下端连接托盘。托盘上叠放若干相同的盘子，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平。已知单个盘子的质量为300 g，相邻两盘间距1.0 cm，重力加速度大小取10 m/s2。弹簧始终在弹性限度内，每根弹簧的劲度系数为(　　)
图8
A.10 N/m B.100 N/m C.200 N/m D.300 N/m
解析　由题知，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平，则说明一个盘子的重力可以使弹簧产生的形变量等于相邻两盘间距，则有mg＝3kx，解得k＝100 N/m，故B正确。
B
训练 (2024·河南洛阳高三校联考)如图9是古人筛谷时的场景，人对筛子不施加力时筛面水平，三根轻杆与竖直方向的夹角均为θ，三根轻绳与竖直方向的夹角均为β，则每根轻杆上的力与每根轻绳上的拉力之比为(　　)
图9
A.sin β∶sin θ B.cos β∶cos θ
C.tan β∶tan θ D.1∶1
链接高考真题
3
C
1.(2024·黑吉辽卷，3)利用砚台将墨条研磨成墨汁时讲究“圆、缓、匀”。如图10，在研磨过程中，砚台始终静止在水平桌面上。当墨条的速度方向水平向左时(　　)
图10
A.砚台对墨条的摩擦力方向水平向左
B.桌面对砚台的摩擦力方向水平向左
C.桌面和墨条对砚台的摩擦力是一对平衡力
D.桌面对砚台的支持力与墨条对砚台的压力是一对平衡力
解析　墨条相对于砚台水平向左运动，砚台对墨条有向右的摩擦力，A错误；根据牛顿第三定律知，墨条对砚台有向左的摩擦力，砚台处于平衡状态，故桌面对砚台有向右的摩擦力，B错误；砚台处于平衡状态，水平方向只受桌面和墨条对其的摩擦力，故这两个力是一对平衡力，C正确；桌面对砚台的支持力等于砚台的重力与墨条对砚台的压力之和，故桌面对砚台的支持力与墨条对砚台的压力不是一对平衡力，D错误。
B
2.(2024·湖北卷，6)如图11所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
图11
解析
B
3.(2024·山东卷，2)如图12所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜坡间的动摩擦因数不能小于(　　)
图12
A
4.(2024·河北卷，5)如图13，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为(　　)
图13
B
5.(2024·新课标卷，18)如图14，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等，则(　　)
图14
A.两绳中的张力大小一定相等
B.P的质量一定大于Q的质量
C.P的电荷量一定小于Q的电荷量
D.P的电荷量一定大于Q的电荷量
课时跟踪训练
4
D
基础保分练
图1
C
2.(2024·山东烟台高三联考)中国传统工艺——榫卯结构出现在当下流行的拼插玩具中，如图2甲所示。图乙是一种榫卯连接构件，相互连接的两部分M、N，其中构件M固定在水平地面上，榫、卯接触面间的动摩擦因数均为μ，沿N的轴线OP用大小为F的力才能将N从M中缓慢拉出。可认为各接触面间的弹力大小均为FN，滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等，N的下表面与水平地面未接触，则榫、卯接触面间的动摩擦因数μ为(　　)
图2
解析　将N从M中缓慢拉出，处于平衡状态，
A
3.(2024·河南周口高三联考)如图3所示，质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的直杆一端搁在水平面上的长木板上，另一端用轻绳悬挂着，用力向左拉长木板使其向左运动，直杆稳定时轻绳与竖直方向的夹角为37°，杆与板间动摩擦因数为0.5，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，则轻绳的拉力大小为(　　)
图3
A.0.5mg B.0.6mg
C.0.75mg D.0.8mg
解析　对直杆受力分析如图所示，
根据平衡条件，在水平方向Ff＝Tsin 37°
其中Ff＝μFN
在竖直方向FN＋Tcos 37°＝mg
联立代入数据解得T＝0.5mg，故A正确。
C
4.(2024·广东深圳一模)如图4所示，用一轻绳通过定滑轮将质量为m的小球静置在光滑的半圆柱体上，小球的半径远小于半圆柱体截面的半径R，绳AB长度为L，长度为H的杆BC竖直且与半圆柱体边缘相切，OA与水平面夹角为θ，不计一切摩擦，重力加速度为g，下列表达式表示绳对小球拉力F的是(　　)
图4
C
5.(2024·河北石家庄质检)帆船是人类的伟大发明之一，船员可以通过调节帆面的朝向让帆船逆风行驶，如图5所示为帆船逆风行驶时的简化示意图，此时风力F＝2 000 N，方向与帆面的夹角α＝30°，航向与帆面的夹角β＝37°，风力在垂直帆面方向的分力推动帆船逆风行驶。已知sin 37°＝0.6，则帆船在沿航向获得的动力为(　　)
图5
A.200 N B.400 N C.600 N D.800 N
解析　将风力F沿着帆面和垂直帆面方向分解，其垂直于帆面方向的分力F1＝Fsin α＝1000 N，再将F1沿帆船航向和垂直帆船航向分解，则帆船在沿航向获得的动力F2＝F1sin β＝600 N，C正确。
D
6.(2024·广东汕头一模)消毒碗柜的金属碗架可以将碗放置于两条金属杆之间，如图6甲所示。假设碗竖直放置，取某个碗的正视图如图乙所示，其中a、b分别为两光滑水平金属杆，下列说法正确的是(　　)
图6
A.若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，碗的合力减小
B.若减小a、b间距，碗仍保持竖直静止，a杆受到的弹力不变
C.若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗
受到杆的作用力小于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力
D.若将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间，该碗受到杆的作用力等于质量相同、半径更小的碗受到杆的作用力
D
7.如图7所示，匀强电场的电场强度方向与水平方向夹角为30°且斜向右上方，匀强磁场的方向垂直于纸面(图中未画出)。一质量为m、电荷量为q的带电小球(可视为质点)以与水平方向成30°角斜向左上方的速度v做匀速直线运动，重力加速度为g。则(　　)
图7
AD
图8
B
9.如图9所示，某同学用一双筷子夹起质量为m的圆柱形重物，已知圆柱竖直、半径为r，筷子水平，交叉点到圆柱接触点的距离均为L＝4r，每根筷子对圆柱的压力大小为2mg，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
提能增分练
图9
A
10.(2024·河南漯河高三统考)一半圆环直径为AB，圆心为O，半圆环放置于竖直平面内，直径AB与水平方向的夹角为θ，如图10所示， A、B两端系着一根不可伸长的轻绳，绳长大于直径AB，绳上套有一光滑小球，现将半圆环在竖直平面内绕圆心O顺时针缓慢转过2θ。在此过程中，下列说法正确的是(　　)
图10
A.轻绳的拉力先增大后减小
B.轻绳的拉力先减小后增大
C.小球受到的合力先减小后增大
D.小球受到的合力先增大后减小
解析　设轻绳与竖直方向夹角为α，AN、NB间夹角为2α，如图所示，
则根据几何关系可得
2Rcos θ＝MA
ANsin α＋NBsin α＝MA
L＝AN＋NB
可知，圆环从图示位置绕圆心O顺时针缓慢转过2θ角的过程中，轻绳的拉力先增大再减小，故A正确，B错误；因为小球是缓慢运动的，处于动态平衡状态，所受合力一直为0，故C、D错误。
AC
图11
D
12.(2024·九省联考安徽)如图12所示，轻绳1两端分别固定在M、N两点(N点在M点右上方)，轻绳1上套有一个轻质的光滑小环，质量为m的物块P通过另一根轻绳2悬挂在环的下方，处于静止状态，∠MON＝60°。现用一水平向右的力F缓慢拉动物块，直到轻绳2与MN连线方向垂直。已知重力加速度为g。下列说法错误的是(　　)
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图12

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