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第3课时　力与曲线运动
【知识网络】
热点一　曲线运动、运动的合成与分解
例1 两同学用尺子在黑板上画图，如图1(a)所示，甲同学拿尺子竖直贴在黑板上，水平向右匀速移动，乙同学拿粉笔贴着尺子右边缘在黑板上画线。若粉笔相对尺子向上运动的速度随时间变化的图像如图(b)所示，则黑板上画出的形状可能是(　　)
图1
例2 (2024·江苏淮安高三联考)如图2所示，质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。已知重力加速度为g，则当小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角为θ2时，下列判断正确的是(　　)
图2
A.P做匀速运动
B.P的速率为
C.绳的拉力大于mgsin θ1
D.绳的拉力小于mgsin θ1
训练1 (2024·浙江名校协作体适应性考试)如图3所示，有一半径为r的圆环在一水平地面上向右运动，且其圆心速度大小为v。现有一木板，左端固定于地面之上，同时还搭于圆环之上，且木板与地面所成锐角为θ。则木板转动的角速度ω为(　　)
图3
A.cos θtan B.sin θtan
C.cos tan θ D.cos θtan θ
热点二　抛体运动
例3 (2023·浙江6月选考，3)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是(　　)
例4 (2024·河北保定高三检测)跳台滑雪是冬奥会的重要项目之一。如图4所示，某次比赛中，运动员以速度v0从跳台顶端水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上，赛道的倾角为θ，重力加速度为g，空气阻力忽略不计，运动员(包括滑雪板)视为质点。则运动员在空中运动的过程中下列说法正确的是(　　)
图4
A.后一半时间内速度的变化量大于前一半时间内速度的变化量
B.运动员在空中运动的时间是
C.运动员离开倾斜赛道至垂直赛道最远处所用的时间是
D.运动员离开倾斜赛道至垂直赛道最远处的水平位移是
例5 (2024·山东潍坊一模)跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如图5甲所示为一城墙的入城通道，通道宽L＝6 m。一质量m＝
50 kg的跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙做加速运动，加速到A点斜向上跃起，到达右墙壁B点时竖直速度恰好为零，B点距地面高h＝0.8 m，然后立即蹬右墙壁，使水平速度变为等大反向，并获得一竖直向上的速度，恰能跃到左墙壁的C点，C点与B点等高，飞跃过程中人距地面的最大高度为H＝2.05 m，重力加速度为g，可认为整个过程中人的姿态不发生变化，如图乙所示，求：
图5
(1)人蹬墙后的水平速度大小；
(2)人加速助跑的距离s。
训练2 (多选)(2024·安徽亳州高三期末)如图6所示，斜面的倾角θ＝45°，∠C＝90°，AC＝0.8 m，从斜面顶端A点垂直斜面AB以初速度v0抛出一个小球(可以看成质点)，当小球与斜面碰撞时，碰后垂直斜面方向的速度反向大小不变，沿斜面方向的速度不变，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力的影响。若小球能击中B点，初速度v0可能为(　　)
图6
A.1 m/s B.2 m/s C.3 m/s D.4 m/s
热点三　圆周运动
例6 (2024·重庆一中高三月考)如图7(a)所示，质量均为1 kg的物体A和B放置在圆盘上，与圆盘间的动摩擦因数分别为μA和μB。用两根不可伸长的细绳将物体A、B和圆盘转轴相连，物体A、B与转轴的距离分别为rA和rB。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘绕转轴转动的角速度ω缓慢增大时，转轴与物体A之间的细绳拉力T1、A与B之间的细绳拉力T2随ω2的关系如图(b)所示。g＝10 m/s2，则下列选项正确的是(　　)
图7
A.μA＝0.25 B.μB＝0.1 C.rA＝1.5 m D.rB＝2.5 m
例7 (2024·北京东城高三期末)如图8所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球。使轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
图8
A.小球运动到最高点时，杆对球的作用力一定向上
B.小球运动到水平位置A时，杆对球的作用力指向O点
C.若ω＝，小球通过最高点时，杆对球的作用力为零
D.小球通过最低点时，杆对球的作用力可能向下
训练3 (2024·江苏卷，11)如图9所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则(　　)
图9
A.线速度vA>vB B.角速度ωA>ωB
C.向心加速度aAFnB
新情境命题　生活中的曲线运动
情境分析　生活中的曲线运动也是高考必考内容之一，通常以日常生活情境、科技情境或体育运动情境为素材，考查运动的合成与分解、平抛运动和圆周运动等知识点，在具体题目中往往涉及临界极值问题，解题时要注意临界状态的分析。
典例1 如图10所示，一质量为m的小孩(可视为质点)做杂技表演。一不可伸长的轻绳一端固定于距离水平安全网高为H的O点，小孩抓住绳子上的P点从与O点等高的位置由静止开始向下摆动，小孩运动到绳子竖直时松手离开绳子做平抛运动，落到安全网上。已知P点到O点的距离为l(0＜l＜H)，空气阻力不计，小孩运动过程中绳子始终处于伸直状态。下列说法正确的是(　　)
图10
A.l越大，小孩在O点正下方松手前瞬间，对绳子的拉力越大
B.l越小，小孩在O点正下方松手前瞬间，对绳子的拉力越大
C.当l＝时，小孩在安全网上的落点距O点的水平距离最大
D.当l＝时，小孩在安全网上的落点距O点的水平距离最大
典例2 (多选)问天实验舱配置了多种实验柜用来开展太空实验，其中，变重力科学实验柜为科学实验提供0.01g～2g(零重力到两倍重力范围)高精度模拟的重力环境，支持开展微重力、模拟月球重力、火星重力等不同重力作用下的科学研究。如图11所示，变重力实验柜的主要装置是两套900毫米直径的离心机。离心机旋转的过程中，由于惯性，实验样品会有一个向外飞出的趋势，对容器壁产生压力，就像放在水平地面上的物体受到重力挤压地面一样。因此，这个压力的大小可以体现“模拟重力”的大小。根据上面资料结合所学知识，判断下列说法正确的是(　　)
图11
A.实验样品的质量越大，“模拟重力加速度”越大
B.离心机的转速变为原来的2倍，同一位置的“模拟重力加速度”变为原来的4倍
C.实验样品所受“模拟重力”的方向指向离心机转轴中心
D.为防止两台离心机转动时对空间站的影响，两台离心机应按相反方向转动
1.(2024·江苏卷，4)喷泉a、b出射点高度相同，形成如图12所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的(　　)
图12
A.加速度相同 B.初速度相同
C.最高点的速度相同 D.在空中的时间相同
2.(2024·湖北卷，3)如图13所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　)
图13
A.荷叶a B.荷叶b C.荷叶c D.荷叶d
3.(2024·广东卷，5)如图14所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　)
图14
A.r B.l C.r D.l
4.(多选)(2024·山东卷，12)如图15所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　)
图15
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
5.(2024·新课标卷，25)如图16，一长度l＝1.0 m的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右端与平台的边缘O对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离Δl＝时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O点。已知物块与薄板的质量相等，它们之间的动摩擦因数μ＝0.3，重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
图16
(1)物块初速度大小及其在薄板上运动的时间；
(2)平台距地面的高度。
6.(2024·江西卷，14)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图17(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
图17
(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值；
(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
基础保分练
1.(2024·黑吉辽卷，2) “指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图1，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的(　　)
图1
A.半径相等
B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
2.(多选)(2024·江西卷，8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图2所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是(　　)
图2
3.(2024·山东历城二中高三月考)如图3是内燃机中一种传动装置，车轮和滑块上分别设置可以绕轴A、B转动的轻杆，O轴固定。工作时高压气体驱动活塞在汽缸中做往复运动，再通过连杆驱动滑块在斜槽中做往复运动，最终驱动车轮做角速度为ω的匀速圆周运动。已知轻杆OA长度为L，运动到图示位置时AB、BC垂直，α＝β＝60°，那么此时活塞的速度大小为(　　)
图3
A.ωL B.ωL C.ωL D.ωL
4.(2024·浙江1月选考，8)如图4所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为(　　)
图4
A. B.
C. D.(＋1)D
5.(2024·江西南昌一模)一住宅阳台失火，消防员用靠在一起的两支水枪喷水灭火，如图5所示甲水柱射向水平阳台近处着火点A，乙水柱射向水平阳台远处着火点B，两水柱最高点在同一水平线上，不计空气阻力，甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2，甲、乙水柱在空中运动的时间分别为t1、t2。以下判断正确的是(　　)
图5
A.v1＞v2，t1＝t2 B.v1＜v2，t1＝t2
C.v1＞v2，t1＜t2 D.v1＜v2，t1＜t2
6.(多选)(2024·贵州贵阳模拟)如图6所示，质量均为m的甲、乙、丙三个小物块(均可看作质点)随水平转盘一起以角速度ω绕OO′轴做匀速圆周运动，物块甲叠放在物块乙的上面，所有接触面间的动摩擦因数均为μ。已知甲、乙到转轴的距离为r1，丙到转轴的距离为r2，且r2＞r1。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
图6
A.甲受到的摩擦力一定为μmg
B.乙受到转盘的摩擦力一定为2mω2r1
C.若角速度增大，丙先达到滑动的临界点
D.若角速度增大，甲先达到滑动的临界点
7.(2024·河南周口高三月考)如图7所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，BC是轨道的水平直径，O为圆心，一个小球静止在轨道的最低点A。现给小球水平向左的初速度，小球沿圆轨道向上运动到D点时刚好离开圆轨道，此后小球恰能通过E点，E为O点上方与D等高的位置，OD与水平方向的夹角为θ，不计小球的大小，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　)
图7
A.θ＝30° B.θ＝37° C.θ＝45° D.θ＝53°
8.(2024·山东烟台高三期末)如图8，半径为R的匀质实心圆盘，盘面与水平面的夹角为θ，开始时圆盘静止，其上表面均匀覆盖着一层细沙没有掉落，细沙与盘面间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现让圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴旋转，其角速度从0开始缓慢增加到ω(未知)，此时圆盘表面上的细沙有被甩掉，重力加速度为g。则ω的值为(　　)
图8
A. B.
C. D.
提能增分练
9.(2024·山东聊城一模)如图9所示，正方体框架ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1处于水平地面上。从顶点A沿不同方向水平抛出小球(可视为质点)，不计空气阻力。关于小球的运动，下列说法正确的是(　　)
图9
A.落点在棱BB1上的小球，落在B1点时水平拋出的初速度最大
B.落点在面A1B1C1D1内的小球，落在C1点的运动时间最长
C.落点在三角形B1C1D1内的小球，水平抛出的初速度的最小值与最大值之比是1∶2
D.落点在线B1D1上的小球，落地时重力的瞬时功率均不相同
10.(多选)(2024·陕西西安高三期末)如图10所示，在竖直面内固定一半圆形容器，圆心为O，半径为R。在圆心O处分别水平向左和向右抛出一个可视为质点的小球，两小球落在圆弧时速度方向相互垂直。已知重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
图10
A.两小球的初速度大小可能都为
B.两小球的初速度大小可能都为
C.从抛出到落在圆弧上，两小球的运动时间可能不相等
D.从抛出到落在圆弧上，两小球的运动时间一定相等
11.(2024·山东济宁高三期末)如图11所示，小环A套在粗糙的水平杆KO上，小球B通过细线分别与小环和竖直轴OO′相连，A、B间细线长为L1＝0.5 m，与竖直方向的夹角θ＝37°，B、P间细线水平，长为L2＝0.2 m，整个装置可绕竖直轴OO′转动。已知小环A和小球B均可视为质点，小环A的质量为mA＝0.6 kg，小球B的质量为mB＝0.4 kg，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，在以下两问中，小环A与杆均未发生相对滑动。求：
图11
(1)装置匀速转动的角速度为ω1＝ rad/s时，小环A受到摩擦力的大小Ff1；
(2)小环A受到摩擦力的大小为Ff2＝1.8 N时，B、P间细线张力的大小。
热点一　曲线运动、运动的合成与分解
例1 两同学用尺子在黑板上画图，如图1(a)所示，甲同学拿尺子竖直贴在黑板上，水平向右匀速移动，乙同学拿粉笔贴着尺子右边缘在黑板上画线。若粉笔相对尺子向上运动的速度随时间变化的图像如图(b)所示，则黑板上画出的形状可能是(　　)
图1
答案　C
解析　由图(b)可知，粉笔相对尺子向上的速度先增大后减小，相对尺子一直向上运动，轨迹一直向上延伸，A、B错误；粉笔水平方向的分运动为向右的匀速运动，第一阶段竖直方向的分运动为初速度为0的匀加速直线运动，合运动轨迹为抛物线，开口向上。第二阶段竖直方向的分运动为匀减速直线运动，末速度为0，合运动轨迹为抛物线的一部分，开口向下，故C正确，D错误。
例2 (2024·江苏淮安高三联考)如图2所示，质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。已知重力加速度为g，则当小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角为θ2时，下列判断正确的是(　　)
图2
A.P做匀速运动
B.P的速率为
C.绳的拉力大于mgsin θ1
D.绳的拉力小于mgsin θ1
答案　C
解析　将小车速度沿绳方向与垂直绳方向分解，P的速率为vP＝vcos θ2，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，θ2逐渐减小，P的速度逐渐增大，P沿斜面向上做加速运动，根据牛顿第二定律有T－mgsin θ1＝ma＞0，故绳的拉力大于mgsin θ1，故C正确，A、B、D错误。
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
训练1 (2024·浙江名校协作体适应性考试)如图3所示，有一半径为r的圆环在一水平地面上向右运动，且其圆心速度大小为v。现有一木板，左端固定于地面之上，同时还搭于圆环之上，且木板与地面所成锐角为θ。则木板转动的角速度ω为(　　)
图3
A.cos θtan B.sin θtan
C.cos tan θ D.cos θtan θ
答案　B
解析　设圆环与木板的接触点为P，圆心为O，角的顶点为A，连接AO，A、P之间的距离为x，将圆心的速度分解为板的速度和圆环上P点的速度，如图所示。
由几何关系有tan ＝，由运动的合成与分解有v板＝vsin θ，板的角速度为ω＝，解得ω＝sin θtan ，故B正确。
热点二　抛体运动
例3 (2023·浙江6月选考，3)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是(　　)
答案　D
解析　铅球在空中做平抛运动，加速度为重力加速度，恒定不变，A错误；铅球的速度大小为v＝，又vy＝gt，联立可得v＝，所以v－t图像为曲线，B错误；由动能定理有mgh＝Ek－Ek0，又h＝gt2，联立可得Ek＝Ek0＋mg2t2，所以Ek－t图线为二次函数图线，C错误；由于不计空气阻力，则铅球在空中运动过程中只有重力做功，机械能守恒，E不变，D正确。
例4 (2024·河北保定高三检测)跳台滑雪是冬奥会的重要项目之一。如图4所示，某次比赛中，运动员以速度v0从跳台顶端水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上，赛道的倾角为θ，重力加速度为g，空气阻力忽略不计，运动员(包括滑雪板)视为质点。则运动员在空中运动的过程中下列说法正确的是(　　)
图4
A.后一半时间内速度的变化量大于前一半时间内速度的变化量
B.运动员在空中运动的时间是
C.运动员离开倾斜赛道至垂直赛道最远处所用的时间是
D.运动员离开倾斜赛道至垂直赛道最远处的水平位移是
答案　C
解析　由Δv＝gΔt可知，后一半时间内速度的变化量与前一半时间内速度的变化量相等，故A错误；由平抛运动的水平和竖直位移关系tan θ＝，可得t＝，故B错误；距离赛道最远时，速度与斜面平行，有tan θ＝得t′＝，故C正确；运动员离开倾斜赛道至垂直赛道最远处的水平位移x＝v0t′＝，故D错误。
处理平抛(类平抛)运动的四个注意点
(1)处理平抛运动(或类平抛运动)时，利用“化曲为直”的思想，分别研究物体在两个不同方向的分运动，再根据运动学公式、牛顿运动定律、几何关系等列式求解。
(2)如图甲所示，对于从斜面上水平抛出又落到斜面上的问题，有＝tan θ，速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。
(3)如图乙所示，对平抛运动的物体垂直打在斜面上，有＝tan θ。
　　
(4)如图丙所示，做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同，它们之间的关系tan φ＝2tan θ。
例5 (2024·山东潍坊一模)跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如图5甲所示为一城墙的入城通道，通道宽L＝6 m。一质量m＝
50 kg的跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙做加速运动，加速到A点斜向上跃起，到达右墙壁B点时竖直速度恰好为零，B点距地面高h＝0.8 m，然后立即蹬右墙壁，使水平速度变为等大反向，并获得一竖直向上的速度，恰能跃到左墙壁的C点，C点与B点等高，飞跃过程中人距地面的最大高度为H＝2.05 m，重力加速度为g，可认为整个过程中人的姿态不发生变化，如图乙所示，求：
图5
(1)人蹬墙后的水平速度大小；
(2)人加速助跑的距离s。
答案　(1)6 m/s　(2)3.6 m
解析　(1)设人蹬墙后的水平速度大小为v1，从B到C做斜抛运动，水平方向有
L＝v1t
竖直方向有H－h＝g()2
联立得v1＝6 m/s。
(2)人从A点跳起到B点的过程中，逆过程为平抛运动，则水平方向
v0＝v1，x＝v0t0
竖直方向h＝gt
解得t0＝0.4 s，x＝2.4 m
由题意可知，人加速助跑的距离s＝L－x＝3.6 m。
斜抛运动(类斜抛运动)的处理方法
(1)斜抛运动是匀变速曲线运动，以斜上抛运动为例(如图所示)
速度：vx0＝v0cos θ，vy0＝v0sin θ－gt
位移：x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－gt2。
(2)当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维，可转化为平抛运动处理。
训练2 (多选)(2024·安徽亳州高三期末)如图6所示，斜面的倾角θ＝45°，∠C＝90°，AC＝0.8 m，从斜面顶端A点垂直斜面AB以初速度v0抛出一个小球(可以看成质点)，当小球与斜面碰撞时，碰后垂直斜面方向的速度反向大小不变，沿斜面方向的速度不变，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力的影响。若小球能击中B点，初速度v0可能为(　　)
图6
A.1 m/s B.2 m/s C.3 m/s D.4 m/s
答案　AB
解析　垂直斜面方向加速度为ay＝gcos θ，每次到达斜面所用时间为t＝；沿斜面方向，加速度为ax＝gsin θ，设小球第n次到达斜面时恰到达B点，则ax(nt)2＝，以上各式联立解得v0＝ m/s (n＝1，2，3，…)，当n＝1时，v0＝2 m/s；当n＝2时，v0＝1 m/s，故A、B正确。
热点三　圆周运动
例6 (2024·重庆一中高三月考)如图7(a)所示，质量均为1 kg的物体A和B放置在圆盘上，与圆盘间的动摩擦因数分别为μA和μB。用两根不可伸长的细绳将物体A、B和圆盘转轴相连，物体A、B与转轴的距离分别为rA和rB。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘绕转轴转动的角速度ω缓慢增大时，转轴与物体A之间的细绳拉力T1、A与B之间的细绳拉力T2随ω2的关系如图(b)所示。g＝10 m/s2，则下列选项正确的是(　　)
图7
A.μA＝0.25 B.μB＝0.1 C.rA＝1.5 m D.rB＝2.5 m
答案　C
解析　以物体B为研究对象，则有T2＋μBmg＝mω2rB，变形得T2＝mω2rB－μBmg，与T2图像对比可得rB＝2 m，μB＝0.2，故B、D错误；以A为研究对象可得T1－T2＋μAmg＝mω2rA，代入T2得T1＝mω2(rA＋rB)－(μA＋μB)mg，与T1图像对比可得rA＋rB＝3.5 m，μA＋μB＝0.5，即rA＝1.5 m，μA＝0.3，故A错误，C正确。
1.水平面内圆周运动的分析思路
2.水平面内圆周运动的临界问题
(1)绳的临界：绳恰好伸直，拉力FT＝0。
(2)接触面滑动临界：达到最大静摩擦力，F＝Ffmax。
(3)接触面分离临界：FN＝0。
例7 (2024·北京东城高三期末)如图8所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球。使轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
图8
A.小球运动到最高点时，杆对球的作用力一定向上
B.小球运动到水平位置A时，杆对球的作用力指向O点
C.若ω＝，小球通过最高点时，杆对球的作用力为零
D.小球通过最低点时，杆对球的作用力可能向下
答案　C
解析　根据题意可知，小球做匀速圆周运动，小球运动到最高点时，若杆对球的作用力为零，则有mg＝mω2l，解得ω＝，可知，若小球运动的角速度ω＞，杆对球的作用力向下，若小球运动的角速度ω＜，杆对球的作用力向上，故A错误，C正确；小球做匀速圆周运动，则小球运动到水平位置A时，合力指向圆心，对小球受力分析可知，小球受重力和杆的作用力，由平行四边形定则可知，杆对球的作用力不可能指向O点，故B错误；小球通过最低点时，合力竖直向上，则杆对球的作用力一定向上，故D错误。
方法总结　
训练3 (2024·江苏卷，11)如图9所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则(　　)
图9
A.线速度vA>vB B.角速度ωA>ωB
C.向心加速度aAFnB
答案　C
解析　设小球和管口间的细绳与竖直方向的夹角为θ，则θA<θB，对小球受力分析有tan θ＝，则FnAhB，则ωA<ωB，B错误；线速度大小无法判断，A错误。
新情境命题　生活中的曲线运动
情境分析　生活中的曲线运动也是高考必考内容之一，通常以日常生活情境、科技情境或体育运动情境为素材，考查运动的合成与分解、平抛运动和圆周运动等知识点，在具体题目中往往涉及临界极值问题，解题时要注意临界状态的分析。
典例1 如图10所示，一质量为m的小孩(可视为质点)做杂技表演。一不可伸长的轻绳一端固定于距离水平安全网高为H的O点，小孩抓住绳子上的P点从与O点等高的位置由静止开始向下摆动，小孩运动到绳子竖直时松手离开绳子做平抛运动，落到安全网上。已知P点到O点的距离为l(0＜l＜H)，空气阻力不计，小孩运动过程中绳子始终处于伸直状态。下列说法正确的是(　　)
图10
A.l越大，小孩在O点正下方松手前瞬间，对绳子的拉力越大
B.l越小，小孩在O点正下方松手前瞬间，对绳子的拉力越大
C.当l＝时，小孩在安全网上的落点距O点的水平距离最大
D.当l＝时，小孩在安全网上的落点距O点的水平距离最大
答案　C
解析　小孩向下摆动的过程中机械能守恒，由mgl＝mv2，解得小孩在O点正下方的速度v＝，运动到O点正下方时，设绳子对小孩的拉力为F，由牛顿第二定律得F－mg＝m，解得F＝3mg，由牛顿第三定律知，小孩对绳子的拉力为3mg，与l大小无关，故A、B错误；小孩运动到绳子竖直时松手，此后做平抛运动，由平抛运动规律有x＝vt，H－l＝gt2，联立解得x＝2，由数学知识可知，当l＝时，小孩在安全网上的落点距离O点的水平距离x最大，故C正确，D错误。
典例2 (多选)问天实验舱配置了多种实验柜用来开展太空实验，其中，变重力科学实验柜为科学实验提供0.01g～2g(零重力到两倍重力范围)高精度模拟的重力环境，支持开展微重力、模拟月球重力、火星重力等不同重力作用下的科学研究。如图11所示，变重力实验柜的主要装置是两套900毫米直径的离心机。离心机旋转的过程中，由于惯性，实验样品会有一个向外飞出的趋势，对容器壁产生压力，就像放在水平地面上的物体受到重力挤压地面一样。因此，这个压力的大小可以体现“模拟重力”的大小。根据上面资料结合所学知识，判断下列说法正确的是(　　)
图11
A.实验样品的质量越大，“模拟重力加速度”越大
B.离心机的转速变为原来的2倍，同一位置的“模拟重力加速度”变为原来的4倍
C.实验样品所受“模拟重力”的方向指向离心机转轴中心
D.为防止两台离心机转动时对空间站的影响，两台离心机应按相反方向转动
答案　BD
解析　根据题意可得m(2πn)2r＝mg模，则模拟重力加速度g模＝4π2n2r，模拟重力加速度与样品的质量无关，离心机的转速变为原来的2倍，g模′＝4g模，即同一位置的“模拟重力加速度”变为原来的4倍，故A错误，B正确；实验样品因为有向外飞出的趋势，对容器壁产生的压力向外，所以模拟重力的方向背离离心机转轴中心，故C错误；根据牛顿第三定律可知，一台离心机从静止开始加速转动，会给空间站施加相反方向的力，使空间站发生转动，所以为防止两台离心机转动时对空间站的影响，两台离心机应按相反方向转动，故D正确。
1.(2024·江苏卷，4)喷泉a、b出射点高度相同，形成如图12所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的(　　)
图12
A.加速度相同 B.初速度相同
C.最高点的速度相同 D.在空中的时间相同
答案　A
解析　不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度为重力加速度，A正确；设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向的分速度为vx，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间t＝2，可知tb>ta，D错误；最高点的速度等于水平方向的分速度vx＝，由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小，B、C错误。
2.(2024·湖北卷，3)如图13所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　)
图13
A.荷叶a B.荷叶b C.荷叶c D.荷叶d
答案　C
解析　
3.(2024·广东卷，5)如图14所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　)
图14
A.r B.l C.r D.l
答案　A
解析　由题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为Δx＝，根据胡克定律有F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销，由弹力提供向心力F＝mlω2，对卷轴有v＝rω，联立解得v＝r，故A正确。
4.(多选)(2024·山东卷，12)如图15所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　)
图15
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
答案　BD
解析　对重物从P运动到Q的过程，水平方向上有x＝v0tcos 30°，竖直方向上有y＝－v0tsin 30°＋gt2，由几何关系有＝tan 30°，联立解得重物的运动时间t＝4 s，A错误；结合A项分析可知，重物落地时的水平分速度vx＝v0cos 30°，竖直分速度vy＝－v0sin 30°＋gt，则tan θ＝＝，所以重物的落地速度与水平方向夹角为60°，B正确；对重物从P运动到Q的过程，垂直于PQ连线方向有2ghmcos 30°＝(v0sin 60°)2，解得重物离PQ连线的最远距离hm＝10 m，C错误；结合B项分析，竖直方向上有2gym＝v，联立解得重物轨迹最高点与落点的高度差ym＝45 m，D正确。
5.(2024·新课标卷，25)如图16，一长度l＝1.0 m的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右端与平台的边缘O对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离Δl＝时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O点。已知物块与薄板的质量相等，它们之间的动摩擦因数μ＝0.3，重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
图16
(1)物块初速度大小及其在薄板上运动的时间；
(2)平台距地面的高度。
答案　(1)4 m/s　 s　(2) m
解析　(1)设物块和薄板的质量均为m，薄板加速度大小为a1，物块离开薄板时薄板的速度大小为v1，对薄板，由牛顿第二定律得μmg＝ma1
由初速度为零的匀加速直线运动规律得Δl＝a1t
v1＝a1t1
设物块的初速度大小为v0，加速度大小为a2，离开薄板时速度大小为v2，由题意可知，物块滑离薄板时，相对平台向右运动的位移为l＋l＝l
对物块，由牛顿第二定律得
μmg＝ma2
由匀变速直线运动规律得
l＝v0t1－a2t
联立解得t1＝ s，v0＝4 m/s。
(2)物块离开薄板后做平抛运动，薄板做匀速直线运动，设运动时间为t2，平台高度为h，
对薄板，由运动学规律得l－Δl＝v1t2
对物块，由平抛运动规律得h＝gt
联立解得h＝ m。
6.(2024·江西卷，14)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图17(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
图17
(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值；
(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
答案　(1)　(2)
解析　(1)对转椅受力分析，转椅在水平面内受摩擦力、轻绳拉力，两者合力提供其做圆周运动所需向心力，如图所示。设转椅的质量为m，则
转椅所需的向心力Fn1＝mωr1
转椅受到的摩擦力Ff1＝μmg
根据几何关系有tan α＝
联立解得tan α＝。
(2)转椅在题图(b)所示情况下所需的向心力
Fn2＝mωr2
转椅受到的摩擦力Ff2＝μFN
根据几何关系有tan β＝
由平衡条件，竖直方向上有FN＋FTcos θ＝mg
水平面上有Ff2＝FTsin θsin β
联立解得ω2＝。
基础保分练
1.(2024·黑吉辽卷，2) “指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图1，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的(　　)
图1
A.半径相等
B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
答案　D
解析　由图可知rP2.(多选)(2024·江西卷，8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图2所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是(　　)
图2
答案　AD
解析　由于小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为一定量，则有x＝vxt，A正确，C错误；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则有y＝vy0t－gt2，vy＝vy0－gt，且vy最终减为0，B错误，D正确。
3.(2024·山东历城二中高三月考)如图3是内燃机中一种传动装置，车轮和滑块上分别设置可以绕轴A、B转动的轻杆，O轴固定。工作时高压气体驱动活塞在汽缸中做往复运动，再通过连杆驱动滑块在斜槽中做往复运动，最终驱动车轮做角速度为ω的匀速圆周运动。已知轻杆OA长度为L，运动到图示位置时AB、BC垂直，α＝β＝60°，那么此时活塞的速度大小为(　　)
图3
A.ωL B.ωL C.ωL D.ωL
答案　B
解析　A点的线速度为v＝ωL，A点的线速度沿AB水平杆的分速度为v′＝vsin α＝ωL，滑块在斜槽中的速度分解为沿BC向上和沿AB水平向右的分速度，滑块沿AB方向的分速度vAB＝v′＝ωL，结合图可知活塞的速度等于滑块在斜槽中沿竖直向上的分速度，所以滑块在斜槽中竖直向上的分速度为vBC＝vABtan β＝ωL·＝ωL，故B正确。
4.(2024·浙江1月选考，8)如图4所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为(　　)
图4
A. B.
C. D.(＋1)D
答案　C
解析　设出水孔到水桶中心距离为x，则x＝v0，落到桶底A点时，有x＋＝v0，解得v0＝，故C正确。
5.(2024·江西南昌一模)一住宅阳台失火，消防员用靠在一起的两支水枪喷水灭火，如图5所示甲水柱射向水平阳台近处着火点A，乙水柱射向水平阳台远处着火点B，两水柱最高点在同一水平线上，不计空气阻力，甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2，甲、乙水柱在空中运动的时间分别为t1、t2。以下判断正确的是(　　)
图5
A.v1＞v2，t1＝t2 B.v1＜v2，t1＝t2
C.v1＞v2，t1＜t2 D.v1＜v2，t1＜t2
答案　B
解析　根据题意可知，甲、乙两水柱最高点在同一水平线上，则甲、乙水柱在空中运动的时间相等，即t1＝t2，甲、乙水柱竖直方向的初速度相等，由图可知，乙的水平位移大，则乙水平方向的初速度大，有v2＞v1，故B正确。
6.(多选)(2024·贵州贵阳模拟)如图6所示，质量均为m的甲、乙、丙三个小物块(均可看作质点)随水平转盘一起以角速度ω绕OO′轴做匀速圆周运动，物块甲叠放在物块乙的上面，所有接触面间的动摩擦因数均为μ。已知甲、乙到转轴的距离为r1，丙到转轴的距离为r2，且r2＞r1。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
图6
A.甲受到的摩擦力一定为μmg
B.乙受到转盘的摩擦力一定为2mω2r1
C.若角速度增大，丙先达到滑动的临界点
D.若角速度增大，甲先达到滑动的临界点
答案　BC
解析　当转动角速度较小时，甲受到的静摩擦力提供向心力，大小不等于μmg，故A错误；对甲、乙整体分析可知，乙受到转盘的摩擦力为Ff＝2mω2r1，故B正确；若角速度增大，根据μmg＝mω2r，丙到转轴的距离较大，则丙先达到滑动的临界点，故C正确，D错误。
7.(2024·河南周口高三月考)如图7所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，BC是轨道的水平直径，O为圆心，一个小球静止在轨道的最低点A。现给小球水平向左的初速度，小球沿圆轨道向上运动到D点时刚好离开圆轨道，此后小球恰能通过E点，E为O点上方与D等高的位置，OD与水平方向的夹角为θ，不计小球的大小，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　)
图7
A.θ＝30° B.θ＝37° C.θ＝45° D.θ＝53°
答案　C
解析　小球刚要脱离圆轨道时，设小球的速度大小为v1，此时对小球mgsin θ＝m，小球脱离轨道后，将做斜抛运动，则小球在D点时的水平方向vx＝v1sin θ，xDE＝Rcos θ，t＝，在竖直方向vy＝v1cos θ，t＝，以上各式联立，解得sin θ＝，即θ＝45°，故C正确。
8.(2024·山东烟台高三期末)如图8，半径为R的匀质实心圆盘，盘面与水平面的夹角为θ，开始时圆盘静止，其上表面均匀覆盖着一层细沙没有掉落，细沙与盘面间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现让圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴旋转，其角速度从0开始缓慢增加到ω(未知)，此时圆盘表面上的细沙有被甩掉，重力加速度为g。则ω的值为(　　)
图8
A. B.
C. D.
答案　D
解析　根据Fn＝mω2r可知在角速度相同的情况下半径越大，向心力越大，所以最外边的细沙随着角速度的增大最先发生滑动，因为圆盘表面上的细沙有被甩掉，即面积上的细沙发生滑动，剩下的未滑动，设未滑动的半径为r，则πr2＝πR2，解得r＝R，在最低点有mg(μcos θ－sin θ)＝mω2r，解得ω＝，故D正确。
提能增分练
9.(2024·山东聊城一模)如图9所示，正方体框架ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1处于水平地面上。从顶点A沿不同方向水平抛出小球(可视为质点)，不计空气阻力。关于小球的运动，下列说法正确的是(　　)
图9
A.落点在棱BB1上的小球，落在B1点时水平拋出的初速度最大
B.落点在面A1B1C1D1内的小球，落在C1点的运动时间最长
C.落点在三角形B1C1D1内的小球，水平抛出的初速度的最小值与最大值之比是1∶2
D.落点在线B1D1上的小球，落地时重力的瞬时功率均不相同
答案　C
解析　设正方形棱长为l，落点在棱BB1上的小球，初速度沿AB方向，落在B1点时竖直位移最大，根据t＝可知，时间最长，根据v＝可知，水平拋出的初速度最小，故A错误；落点在面A1B1C1D1内的小球竖直位移相等，则运动时间相等，故B错误；落点在三角形B1C1D1内的小球运动时间相等，最大的水平位移为l，最小的水平位移为l，最小水平位移与最大水平位移之比为1∶2，由v＝知水平抛出的初速度的最小值与最大值之比是1∶2，故C正确；落点在线B1D1上的小球，竖直速度均为vy＝，落地时重力的瞬时功率PG＝mgvy均相同，故D错误。
10.(多选)(2024·陕西西安高三期末)如图10所示，在竖直面内固定一半圆形容器，圆心为O，半径为R。在圆心O处分别水平向左和向右抛出一个可视为质点的小球，两小球落在圆弧时速度方向相互垂直。已知重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
图10
A.两小球的初速度大小可能都为
B.两小球的初速度大小可能都为
C.从抛出到落在圆弧上，两小球的运动时间可能不相等
D.从抛出到落在圆弧上，两小球的运动时间一定相等
答案　AC
解析　若两小球的初速度大小相等，如图，根据平抛运动推论，速度偏转角的正切值等于位移偏转角正切值的两倍，两小球落在圆弧时速度方向相互垂直，有tan θ＝tan 45°＝，sin θ＝，cos θ＝，联立得v0＝，故A正确，B错误；当v1、v2不相等时，两小球运动时间可能不相等，速度偏转角不相等，但总能有两小球落在圆弧时速度方向相互垂直的速度值，故C正确，D错误。
11.(2024·山东济宁高三期末)如图11所示，小环A套在粗糙的水平杆KO上，小球B通过细线分别与小环和竖直轴OO′相连，A、B间细线长为L1＝0.5 m，与竖直方向的夹角θ＝37°，B、P间细线水平，长为L2＝0.2 m，整个装置可绕竖直轴OO′转动。已知小环A和小球B均可视为质点，小环A的质量为mA＝0.6 kg，小球B的质量为mB＝0.4 kg，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，在以下两问中，小环A与杆均未发生相对滑动。求：
图11
(1)装置匀速转动的角速度为ω1＝ rad/s时，小环A受到摩擦力的大小Ff1；
(2)小环A受到摩擦力的大小为Ff2＝1.8 N时，B、P间细线张力的大小。
答案　(1)0　(2)3.32 N或4.28 N
解析　(1)对B受力分析，如图甲所示，
竖直方向由平衡条件得F1cos θ＝mBg
解得F1＝5 N
对A受力分析，如图乙所示，由牛顿第二定律得
F1sin θ－Ff1＝mAω(L1sin θ＋L2)
解得Ff1＝0。
(2)小环A受到摩擦力的大小为Ff2＝1.8 N时，
当摩擦力向左时，对A由牛顿第二定律得
F1sin θ－Ff2＝mAω(L1sin θ＋L2)
解得ω2＝2 rad/s
对B，由牛顿第二定律得F－F1sin θ＝mBωL2
解得B、P间细线张力的大小为F＝3.32 N
当摩擦力向右时，对A由牛顿第二定律得
F1sin θ＋Ff2＝mAω(L1sin θ＋L2)
解得ω3＝4 rad/s
对B，由牛顿第二定律得F′－F1sin θ＝mBωL2
解得B、P间细线张力的大小为F′＝4.28 N。(共71张PPT)
第3课时　力与曲线运动
专题一　力与运动
知识网络
目 录
CONTENTS
突破高考热点
01
课时跟踪训练
04
链接高考真题
03
新情境命题
02
突破高考热点
1
热点二　抛体运动
热点一　曲线运动、运动的合成与分解
热点三　圆周运动
热点一　曲线运动、运动的合成与分解
C
例1 两同学用尺子在黑板上画图，如图1(a)所示，甲同学拿尺子竖直贴在黑板上，水平向右匀速移动，乙同学拿粉笔贴着尺子右边缘在黑板上画线。若粉笔相对尺子向上运动的速度随时间变化的图像如图(b)所示，则黑板上画出的形状可能是(　　)
图1
解析　由图(b)可知，粉笔相对尺子向上的速度先增大后减小，相对尺子一直向上运动，轨迹一直向上延伸，A、B错误；粉笔水平方向的分运动为向右的匀速运动，第一阶段竖直方向的分运动为初速度为0的匀加速直线运动，合运动轨迹为抛物线，开口向上。第二阶段竖直方向的分运动为匀减速直线运动，末速度为0，合运动轨迹为抛物线的一部分，开口向下，故C正确，D错误。
图2
C
例2 (2024·江苏淮安高三联考)如图2所示，质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。已知重力加速度为g，则当小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角为θ2时，下列判断正确的是(　　)
解析　将小车速度沿绳方向与垂直绳方向分解，P的速率为vP＝vcos θ2，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，θ2逐渐减小，P的速度逐渐增大，P沿斜面向上做加速运动，根据牛顿第二定律有T－mgsin θ1＝ma＞0，故绳的拉力大于mgsin θ1，故C正确，A、B、D错误。
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
图3
B
训练1 (2024·浙江名校协作体适应性考试)如图3所示，有一半径为r的圆环在一水平地面上向右运动，且其圆心速度大小为v。现有一木板，左端固定于地面之上，同时还搭于圆环之上，且木板与地面所成锐角为θ。则木板转动的角速度ω为(　　)
解析　设圆环与木板的接触点为P，圆心为O，角的顶点为A，连接AO，A、P之间的距离为x，将圆心的速度分解为板的速度和圆环上P点的速度，如图所示。
热点二　抛体运动
D
例3 (2023·浙江6月选考，3)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是(　　)
图4
C
例4 (2024·河北保定高三检测)跳台滑雪是冬奥会的重要项目之一。如图4所示，某次比赛中，运动员以速度v0从跳台顶端水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上，赛道的倾角为θ，重力加速度为g，空气阻力忽略不计，运动员(包括滑雪板)视为质点。则运动员在空中运动的过程中下列说法正确的是(　　)
处理平抛(类平抛)运动的四个注意点
(1)处理平抛运动(或类平抛运动)时，利用“化曲为直”的思想，分别研究物体在两个不同方向的分运动，再根据运动学公式、牛顿运动定律、几何关系等列式求解。
(4)如图丙所示，做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同，它们之间的关系tan φ＝2tan θ。
图5
例5 (2024·山东潍坊一模)跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如图5甲所示为一城墙的入城通道，通道宽L＝6 m。一质量m＝50 kg的跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙做加速运动，加速到A点斜向上跃起，到达右墙壁B点时竖直速度恰好为零，B点距地面高h＝0.8 m，然后立即蹬右墙壁，使水平速度变为等大反向，并获得一竖直向上的速度，恰能跃到左墙壁的C点，C点与B点等高，飞跃过程中人距地面的最大高度为H＝2.05 m，重力加速度为g，可认为整个过程中人的姿态不发生变化，如图乙所示，求：
(1)人蹬墙后的水平速度大小；
(2)人加速助跑的距离s。
答案　(1)6 m/s　(2)3.6 m
解析　(1)设人蹬墙后的水平速度大小为v1，从B到C做斜抛运动，水平方向有
L＝v1t
联立得v1＝6 m/s。
(2)人从A点跳起到B点的过程中，逆过程为平抛运动，则水平方向
v0＝v1，x＝v0t0
解得t0＝0.4 s，x＝2.4 m
由题意可知，人加速助跑的距离s＝L－x＝3.6 m。
斜抛运动(类斜抛运动)的处理方法
图6
AB
训练2 (多选)(2024·安徽亳州高三期末)如图6所示，斜面的倾角θ＝45°，∠C＝90°，AC＝0.8 m，从斜面顶端A点垂直斜面AB以初速度v0抛出一个小球(可以看成质点)，当小球与斜面碰撞时，碰后垂直斜面方向的速度反向大小不变，沿斜面方向的速度不变，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力的影响。若小球能击中B点，初速度v0可能为(　　)
A.1 m/s B.2 m/s C.3 m/s D.4 m/s
热点三　圆周运动
图7
C
例6 (2024·重庆一中高三月考)如图7(a)所示，质量均为1 kg的物体A和B放置在圆盘上，与圆盘间的动摩擦因数分别为μA和μB。用两根不可伸长的细绳将物体A、B和圆盘转轴相连，物体A、B与转轴的距离分别为rA和rB。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘绕转轴转动的角速度ω缓慢增大时，转轴与物体A之间的细绳拉力T1、A与B之间的细绳拉力T2随ω2的关系如图(b)所示。g＝10 m/s2，则下列选项正确的是(　　)
A.μA＝0.25 B.μB＝0.1
C.rA＝1.5 m D.rB＝2.5 m
解析　以物体B为研究对象，则有T2＋μBmg＝mω2rB，变形得T2＝mω2rB－μBmg，与T2图像对比可得rB＝2 m，μB＝0.2，故B、D错误；以A为研究对象可得T1－T2＋μAmg＝mω2rA，代入T2得T1＝mω2(rA＋rB)－(μA＋μB)mg，与T1图像对比可得rA＋rB＝3.5 m，μA＋μB＝0.5，即rA＝1.5 m，μA＝0.3，故A错误，C正确。
1.水平面内圆周运动的分析思路
2.水平面内圆周运动的临界问题
(1)绳的临界：绳恰好伸直，拉力FT＝0。
(2)接触面滑动临界：达到最大静摩擦力，F＝Ffmax。
(3)接触面分离临界：FN＝0。
图8
C
例7 (2024·北京东城高三期末)如图8所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球。使轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
方法总结　
图9
C
训练3 (2024·江苏卷，11)如图9所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则(　　)
A.线速度vA>vB B.角速度ωA>ωB
C.向心加速度aAFnB
新情境命题
2
情境分析　生活中的曲线运动也是高考必考内容之一，通常以日常生活情境、科技情境或体育运动情境为素材，考查运动的合成与分解、平抛运动和圆周运动等知识点，在具体题目中往往涉及临界极值问题，解题时要注意临界状态的分析。
新情境命题　生活中的曲线运动
图10
C
典例1 如图10所示，一质量为m的小孩(可视为质点)做杂技表演。一不可伸长的轻绳一端固定于距离水平安全网高为H的O点，小孩抓住绳子上的P点从与O点等高的位置由静止开始向下摆动，小孩运动到绳子竖直时松手离开绳子做平抛运动，落到安全网上。已知P点到O点的距离为l(0＜l＜H)，空气阻力不计，小孩运动过程中绳子始终处于伸直状态。下列说法正确的是(　　)
图11
BD
典例2 (多选)问天实验舱配置了多种实验柜用来开展太空实验，其中，变重力科学实验柜为科学实验提供0.01g～2g(零重力到两倍重力范围)高精度模拟的重力环境，支持开展微重力、模拟月球重力、火星重力等不同重力作用下的科学研究。如图11所示，变重力实验柜的主要装置是两套900毫米直径的离心机。离心机旋转的过程中，由于惯性，实验样品会有一个向外飞出的趋势，对容器壁产生压力，就像放在水平地面上的物体受到重力挤压地面一样。因此，这个压力的大小可以体现“模拟重力”的大小。根据上面资料结合所学知识，判断下列说法正确的是(　　)
A.实验样品的质量越大，“模拟重力加速度”越大
B.离心机的转速变为原来的2倍，同一位置的“模拟
重力加速度”变为原来的4倍
C.实验样品所受“模拟重力”的方向指向离心机转轴中心
D.为防止两台离心机转动时对空间站的影响，两台离心机应按相反方向转动
解析　根据题意可得m(2πn)2r＝mg模，则模拟重力加速度g模＝4π2n2r，模拟重力加速度与样品的质量无关，离心机的转速变为原来的2倍，g模′＝4g模，即同一位置的“模拟重力加速度”变为原来的4倍，故A错误，B正确；实验样品因为有向外飞出的趋势，对容器壁产生的压力向外，所以模拟重力的方向背离离心机转轴中心，故C错误；根据牛顿第三定律可知，一台离心机从静止开始加速转动，会给空间站施加相反方向的力，使空间站发生转动，所以为防止两台离心机转动时对空间站的影响，两台离心机应按相反方向转动，故D正确。
链接高考真题
3
A
1.(2024·江苏卷，4)喷泉a、b出射点高度相同，形成如图12所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的(　　)
图12
A.加速度相同 B.初速度相同
C.最高点的速度相同 D.在空中的时间相同
C
2.(2024·湖北卷，3)如图13所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　)
图13
A.荷叶a B.荷叶b C.荷叶c D.荷叶d
解析
A
图14
BD
4.(多选)(2024·山东卷，12)如图15所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　)
图15
图16
解析　(1)设物块和薄板的质量均为m，薄板加速度大小为a1，
物块离开薄板时薄板的速度大小为v1，对薄板，由牛顿第二定律得μmg＝ma1
v1＝a1t1
对物块，由牛顿第二定律得μmg＝ma2
由匀变速直线运动规律得
6.(2024·江西卷，14)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图17(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
图17
(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值；
(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
解析　(1)对转椅受力分析，转椅在水平面内受摩擦力、轻绳拉力，两者合力提供其做圆周运动所需向心力，如图所示。设转椅的质量为m，则
课时跟踪训练
4
D
1.(2024·黑吉辽卷，2) “指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图1，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的(　　)
基础保分练
图1
A.半径相等
B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
AD
2.(多选)(2024·江西卷，8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图2所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是(　　)
图2
B
3.(2024·山东历城二中高三月考)如图3是内燃机中一种传动装置，车轮和滑块上分别设置可以绕轴A、B转动的轻杆，O轴固定。工作时高压气体驱动活塞在汽缸中做往复运动，再通过连杆驱动滑块在斜槽中做往复运动，最终驱动车轮做角速度为ω的匀速圆周运动。已知轻杆OA长度为L，运动到图示位置时AB、BC垂直，α＝β＝60°，那么此时活塞的速度大小为(　　)
图3
C
4.(2024·浙江1月选考，8)如图4所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为(　　)
图4
B
5.(2024·江西南昌一模)一住宅阳台失火，消防员用靠在一起的两支水枪喷水灭火，如图5所示甲水柱射向水平阳台近处着火点A，乙水柱射向水平阳台远处着火点B，两水柱最高点在同一水平线上，不计空气阻力，甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2，甲、乙水柱在空中运动的时间分别为t1、t2。以下判断正确的是(　　)
图5
A.v1＞v2，t1＝t2 B.v1＜v2，t1＝t2
C.v1＞v2，t1＜t2 D.v1＜v2，t1＜t2
解析　根据题意可知，甲、乙两水柱最高点在同一水平线上，则甲、乙水柱在空中运动的时间相等，即t1＝t2，甲、乙水柱竖直方向的初速度相等，由图可知，乙的水平位移大，则乙水平方向的初速度大，有v2＞v1，故B正确。
BC
6.(多选)(2024·贵州贵阳模拟)如图6所示，质量均为m的甲、乙、丙三个小物块(均可看作质点)随水平转盘一起以角速度ω绕OO′轴做匀速圆周运动，物块甲叠放在物块乙的上面，所有接触面间的动摩擦因数均为μ。已知甲、乙到转轴的距离为r1，丙到转轴的距离为r2，且r2＞r1。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
图6
A.甲受到的摩擦力一定为μmg
B.乙受到转盘的摩擦力一定为2mω2r1
C.若角速度增大，丙先达到滑动的临界点
D.若角速度增大，甲先达到滑动的临界点
解析　当转动角速度较小时，甲受到的静摩擦力提供向心力，大小不等于μmg，故A错误；对甲、乙整体分析可知，乙受到转盘的摩擦力为Ff＝2mω2r1，故B正确；若角速度增大，根据μmg＝mω2r，丙到转轴的距离较大，则丙先达到滑动的临界点，故C正确，D错误。
C
7.(2024·河南周口高三月考)如图7所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，BC是轨道的水平直径，O为圆心，一个小球静止在轨道的最低点A。现给小球水平向左的初速度，小球沿圆轨道向上运动到D点时刚好离开圆轨道，此后小球恰能通过E点，E为O点上方与D等高的位置，OD与水平方向的夹角为θ，不计小球的大小，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　)
图7
A.θ＝30° B.θ＝37° C.θ＝45° D.θ＝53°
D
8.
图8
C
9.(2024·山东聊城一模)如图9所示，正方体框架ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1处于水平地面上。从顶点A沿不同方向水平抛出小球(可视为质点)，不计空气阻力。关于小球的运动，下列说法正确的是(　　)
提能增分练
图9
A.落点在棱BB1上的小球，落在B1点时水平拋出的初速度最大
B.落点在面A1B1C1D1内的小球，落在C1点的运动时间最长
C.落点在三角形B1C1D1内的小球，水平抛出的初速度的最小值与最大值之比是1∶2
D.落点在线B1D1上的小球，落地时重力的瞬时功率均不相同
AC
10.(多选)(2024·陕西西安高三期末)如图10所示，在竖直面内固定一半圆形容器，圆心为O，半径为R。在圆心O处分别水平向左和向右抛出一个可视为质点的小球，两小球落在圆弧时速度方向相互垂直。已知重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
图10
11.(2024·山东济宁高三期末)如图11所示，小环A套在粗糙的水平杆KO上，小球B通过细线分别与小环和竖直轴OO′相连，A、B间细线长为L1＝0.5 m，与竖直方向的夹角θ＝37°，B、P间细线水平，长为L2＝0.2 m，整个装置可绕竖直轴OO′转动。已知小环A和小球B均可视为质点，小环A的质量为mA＝0.6 kg，小球B的质量为mB＝0.4 kg，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，在以下两问中，小环A与杆均未发生相对滑动。求：
图11
答案　(1)0　(2)3.32 N或4.28 N
解析　(1)对B受力分析，如图甲所示，
竖直方向由平衡条件得F1cos θ＝mBg
解得F1＝5 N
对A受力分析，如图乙所示，由牛顿第二定律得
解得Ff1＝0。
(2)小环A受到摩擦力的大小为Ff2＝1.8 N时，
当摩擦力向左时，对A由牛顿第二定律得
解得ω2＝2 rad/s
解得B、P间细线张力的大小为F＝3.32 N
当摩擦力向右时，对A由牛顿第二定律得
解得ω3＝4 rad/s
解得B、P间细线张力的大小为F′＝4.28 N。

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