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(共27张PPT)
（人教版）数学（2025）
七年级
下
第七章 相交线与平行线
7.1.2 垂线及其画法
1．理解垂线的概念；（重点）
2．会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；（重点）
3. 体会作已知直线的垂线的存在性和唯一性，归纳出垂线的基本事实.（难点）
学习目标
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
情境导入
日常生活里，有图中位置关系的两条直线很常见，你能再举出其他例子吗？
知识点一 垂直、垂线、垂足的概念
取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角为 α .
转动木条的同时观察其夹角的变化.
）
α
a
b
b
b
b
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
新知讲解
a 与 b 垂直,
记作 a⊥b.
(1) 当 α 分别为 35°、90° 时，其余的角分别是多少度？
(2) 旋转过程中α 为 90° 的位置有几个？此时，木条 a 和木条 b 所在的直线有什么样的位置关系？
α
b
）
α
b
）
a
a
唯一一个
思考：
新知讲解
垂足
记法：
AB⊥CD，垂足为 O.
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线.
知识点一 垂直、垂线、垂足的概念
新知讲解
垂足
符号语言：
因为∠AOC = 90°，
所以 AB⊥CD.
新知讲解
知识点一 垂直、垂线、垂足的概念
知识点二 垂线的画法及基本事实
(1) 画已知直线 l 的垂线能画几条
(2) 过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条
(3) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条
新知讲解
思考：
问题：这样画 l 的垂线可以
画几条？
1.放
l
O
如图，已知直线 l，
画 l 的垂线.
A
无数条
2.靠
3.画
…
新知讲解
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和 l 上的
一点 A，过点 A 画 l 的垂线.
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
一条
新知讲解
如图，已知直线 l 和 l 外的一点 M，过点 M 画 l 的垂线.
l
M
N
1.放
2.靠
3.移
4.画
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
一条
新知讲解
基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
知识点二 垂线的画法及基本事实
新知讲解
A
B
例1 过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线．
P
(1)
A
B
P
(2)
画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线.
新知讲解
例2 如图，在三角形ABC中，过点B画边AC的垂线，下列画法正确的是 ( )
D
A
C
B
D
垂足有时在线段的延长线或射线的反向延长线上，所画的垂线是实线.若需延长线段或反向延长射线，则用虚线。
新知讲解
1. 在下列条件中：①两直线相交所成的四个角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等，可以判定两条直线互相垂直的是（ ）
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
D
随堂练习
2.在直线AB 上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD 于点O.
当∠AOC=30°时，∠BOD的度数为( )
A.60° B.120°
C.60°或90° D.60°或120°
【解析】分两种情况讨论：①如图①，
因为OC⊥0D,所以∠COD=90°,
所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=60°;
②如图②，因为OC⊥OD，所以∠COD=90°,
所以∠AOD=∠COD-∠AOC=60°,
所以∠BOD=180°-∠AOD=120°.
综上所述，∠BOD的度数为60°或120°.
随堂练习
①
②
D
3.如图，直线 AB 和 CD 交于点 O，OD 平分∠BOF，OE⊥CD，垂足为 O，若∠AOC = 40°，则 ∠EOF =_______.
分析：
∠EOF = 90°+∠DOF
OD 平分∠BOF
∠AOC = ∠DOB
∠EOF = 90°+40° = 130°
130°
随堂练习
4. 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OM⊥AB.
(1) 若 ∠1 = ∠2，求∠NOD 的度数；
(2) 若 ∠1=∠AOC，求 ∠BOC 和 ∠MOD 的度数.
分析：(1)
∠1 = ∠2
OM⊥AB
∠2+∠AOC = 90°
∠NOD = 90°
90°
随堂练习
(2)
∠BOC = ∠1+90°
∠MOD = 180°-∠1
需求出 ∠1
的度数
已知∠1 = ∠AOC
OM⊥AB
设∠1 = x°，列方程 x+2x=90求∠1
未知角度
逆向思考
与已知角度建立联系 (可设未知数列方程）
∠MOD = 150°
∠BOC = 120°
随堂练习
5.如图，已知O为直线AB上一 点，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC, 则OE与OD有什么位置关系 为 什么
解：OE⊥OD.理由如下：
因为OE平分∠BOC，OD 平分∠AOC，
所以∠COE= ∠BOC，∠COD= ∠AOC.
因为∠AOC+∠BOC=180°,
所以∠COD+∠COE= （∠AOC+∠BOC）=
×180°=90°,即∠DOE=90°,所以OE⊥OD.
随堂练习
6.如图，直线AB,CD相交于点O,OF⊥CD,OE平分∠BOC.
(1)若∠BOE=60°,求∠AOF的度数；
(2)若∠BOD:∠BOE=4:3,求∠AOF的度数.
解：(1)因为OE平分∠BOC,∠BOE=60°，
所以∠BOC=2∠BOE=120°,
所以∠AOC=180°-∠BOC=60°.
因为OF丄CD,所以∠COF=90°,
所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°- 60°=30°.
随堂练习
(2)因为OE平分∠BOC,所以∠BOE=∠COE.
因为∠BOD:∠BOE=4:3，
所以设∠BOD=4x°，则∠BOE=3x°,
所以∠COE=3x°,
因为∠BOD+∠BOE+∠COE=180°,
所以10x=180，解得x=18，
所以∠BOD=4×18°=72°，
所以∠AOC=∠BOD=72°.
因为OF丄CD，所以∠COF =90°，
所以∠AOF =∠COF -∠AOC=90°-72°=18°.
随堂练习
(2)若∠BOD:∠BOE=4:3,求∠AOF 的度数.
垂线及其画法
垂线的定义
垂线的画法
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线
垂足
基本事实
一放二靠三移四画
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
课后小结
谢谢观看
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