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(共25张PPT)
（人教版）数学（2025）
七年级
下
第七章 相交线与平行线
7.1.2 垂线段最短
学习目标
1.理解垂线段的概念；（重点）
2.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；（重点）
3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．（难点）
情境导入
在生活中我们会发现，在灌溉时，要把河中的水引到农田处，需要挖渠道.
那么如何挖渠能使渠道最短？
知识点一 垂线段
在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？
请转化成数学问题并找出最短的位置.
新知讲解
. P
思路点拨：可运用直尺测量.
l
运用直尺测量发现，线段PO 的长度最短.
这样的线段 PO 只有一条.
新知讲解
垂线段的定义：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫作垂线段.
垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
简单说成：垂线段最短．
线段 PO 的长度叫作
点到直线的距离.
新知讲解
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
例1 点到直线的距离是指这点到这条直线的( )
A.垂线段 B.垂线的长
C.长度 D.垂线段的长度
D
新知讲解
例2 如图，下列说法正确的是（ ）
A.线段 AB 叫作点 B 到直线 AC 的距离
B.线段 AB 的长度叫作点 A 到直线 BC 的距离
C.线段 BD 的长度叫作点 D 到直线 BC 的距离
D.线段 BD 的长度叫作点 B 到直线 AC 的距离
A
B
C
D
D
注意：判断垂线段，求点到直线的距离，关键有两点：
(1)看清垂线段，即从哪个点到哪条线；(2)不能漏掉“长度”.
新知讲解
例3 如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，则点B到AC的距离是 ，点A到BC的距离是 ，点C到AB的距离是 ， AC>CD 的依据是 .
12cm
5cm
cm
垂线段最短
C
D
B
A
新知讲解
思路点拨：求点C到AB的距离即求线段CD的长度，用等积法.
= AC·BC =CD·AB
例1 如图，平原上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池.
(1) 不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 M 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
(2) 计划把河水引入蓄水池 M 中，怎样开渠最短 并说明根据.
知识点二 垂线段性质的实际应用
新知讲解
分析:
(1) 依据“两点之间，线段最短”作图，线段交点即为蓄水池的位置.
(2) 依据“垂线段最短”作图，垂线段即为开渠路线.
M
N
M
(1)
(2)
解：如图所示.
新知讲解
注意：解决这类最短距离问题时，要先判断是点到点的距离还是点到直线的距离，再依据“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”作图.
新知讲解
例2 如图，测量运动员跳远成绩选取的是线段AB的长度，其依据是( )
A.两点确定一条直线
B.垂线段最短
C.两点之间，线段最短
D.垂直的定义
B
新知讲解
1.在下列语句中，正确的是( )
A.在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B.在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条
C.在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D.在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离
C
无数条
无数条
垂线段的长度是点到直线的距离
随堂练习
2.P为直线m外一点，A,B,C为直线m上三点，PA=4cm,PB=5cm, PC=2cm,则点P到直线m的距离( )
A.等于4cm
B.等于2cm
C.小于2cm
D.不大于2cm
D
易错题：容易选B.
垂线段最短，但并未说明PC是垂线段，所以垂线段的长度
可能小于2cm，也可能等于2cm.
随堂练习
3.如图，在三角形ABC中，AB⊥BC,其中AC=2.5,AB=1,P是线段BC上任意一点，那么线段AP的长度可能为( )
解析：因为P是线段BC上任意一点，且AB⊥BC,根据“垂线段最短”可知线段BC上的所有点中，与点A的距离最近的为点B,即线段AP的长度最短为1;与点A的距离最远的为点C,即线段AP的长度最长为
2.5,所以1≤AP≤2.5,选项中满足条件的只有1.5.
A.0.5 B.0.7 C.1.5 D.4
随堂练习
C
4.如图，河道的同侧有M,N两地，现要铺设一条引水管道，从河岸P处把河水引向M,N两地.下列四种方案中，最节省材料的是( )
M
N
·
·
l
A
B
C
D
依据：两点之间，线段最短；垂线段最短
D
随堂练习
5.如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D,AC=10,AB=6, BC=8,求点B到直线AC的距离.
解析：因为∠ABC=90°，BD⊥AC，AC=10,AB=6, BC=8,
所以= AB·BC= AC·BD，
所以BD= = =4.8，
由题意可知点B到直线AC的距离即为线段BD的长，为4.8.
随堂练习
6.已知:如图，ADC
B
A
D
E
解析:不能得出AD⊥BC，
所以不能说AD的长是A到BC的距离.
随堂练习
7.如图，点P,Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄之间的一条公路.根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交车站.
(1)若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置(用点M表示),依据是什么？
(2)若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置(用点N表示),依据是什么？
P.
·Q
l
M
N
解析：（1）如图，点M即为所求.依据：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
（2）如图，点N即为所求.依据：两点之间线段最短.
随堂练习
垂线段最短
垂线段
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
定义：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫作垂线段
性质：垂线段最短
课后小结
垂线段性质的实际应用
谢谢观看
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