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第六章 几何图形初步
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：几何图形的分类
【经典例题1-1】（七年级上·江苏泰州·期末）下列几何体中，属于柱体的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：由柱体的定义可得：图中的第和第个图形是柱体，共两个，
【经典例题1-2】（七年级上·山东泰安·期末）下面的几何体中，属于棱柱的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：从左到右依次是长方体，圆柱，四棱柱，棱锥，圆锥，三棱柱．
所以属于棱柱有长方体，四棱柱，三棱柱，共3个．
【经典例题1-3】（七年级上·宁夏银川·期末）将下图中的立体图形分类．
柱体 ；锥体 ；球体 ．
【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥/⑥④ ③
【详解】解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③．
经典题型二：从不同的方向看图形
【经典例题2-1】（七年级上·辽宁沈阳·期末）如图是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体从左面看到的形状图为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：从左面看到的形状图为：
；
【经典例题2-2】（七年级上·辽宁沈阳·期末）如图是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体从右面看到的形状图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：从右面看到的形状图为：
；
【经典例题2-3】（七年级上·山东淄博·期中）如图是由十块积木搭成，这几块积木都是相同的正方体，请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
【答案】见解析
【详解】解∶ 从正面看有3列，每列正方形的数目从左往右分别为3，1，2；
从左面看有3列，每列正方形的数目从左往右分别为3，2，1；
从上面看有3列，每列正方形的数目从左往右分别为3，2，1．
画图如下∶
．
经典题型三：几何体展开图的认识
【经典例题3-1】（七年级上·广东清远·期中）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、不能围成棱柱，该选项符合题意；
B、可以围成四棱柱，该选项不符合题意；
C、可以围成三棱柱，该选项不符合题意；
D、可以围成五棱柱，该选项不符合题意．
【经典例题3-2】（七年级上·陕西西安·期中）下列图形经过折叠能围成棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、经过折叠能围成棱柱的是圆柱；不符合题意；
B、经过折叠不能围成棱柱，不符合题意；
C、经过折叠能围成圆锥；不符合题意；
D、经过折叠能围成棱柱的是四棱柱，符合题意．
【经典例题3-3】（七年级上·河南郑州·期末）下列平面图形中，能围成圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、能围成三棱柱，故本选项不符合题意；
B、能围成圆柱，故本选项符合题意；
C、能围成正方体，故本选项不符合题意；
D、能围成圆锥，故本选项不符合题意；
经典题型四：由展开图求几何图形的体积和表面积
【经典例题4-1】（七年级上·山东威海·期末）图①是由长方体和圆柱体组成的几何体，图②、③分别是从正面、上面看到的形状图．根据图中信息，求这个几何体的表面积和体积．（结果用含π的式子表示）
【答案】表面积：．体积：．
【详解】解：表面积：
．
体积：
．
【经典例题4-2】（七年级上·陕西西安·期末）小丽同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多3cm．
(1)求长方体盒子的长和宽．
(2)求这个包装盒的体积．
【答案】(1)长方体盒子的长为，宽为； (2)这个包装盒的体积是．
【详解】（1）解：长方体盒子的宽为，
长方体盒子的长为，
答：长方体盒子的长为，宽为；
（2）解：这个包装盒的体积为．
答：这个包装盒的体积是．
【经典例题4-3】（七年级上·河南商丘·期末）某种包装盒的形状是长方体，长比高的三倍多2，宽的长度为3分米，它的展开图如图所示（不考虑包装盒的黏合处）
(1)设该包装盒的高为分米，则该长方体的长为______分米，边的长度为______分米；（用含的式子表示）
(2)若的长为12分米，现对包装盒外表而涂色，每平方分米涂料的价格是0.5元，求为每个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色）
【答案】(1)， (2)为每个包装盒涂色的费用是23元
【详解】（1）解：长比高的三倍多2，，
，，
故答案为：，，
（2）的长为12分米，
，解得：，
（分米），（分米），
长方体的表面积为：（平方分米），
费用为：（元），
故答案为：为每个包装盒涂色的费用是23元．
经典题型五：正方体几种展开图的认识
【经典例题5-1】（七年级上·吉林长春·期末）下面的图形中，属于正方体的表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：选项A、B、D均不能围成正方体，选项C属于正方体展开图，
所以只有选项C符合题意．
【经典例题5-2】（七年级上·吉林长春·期末）下面的图形中，属于正方体的表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：选项A、B、D均不能围成正方体，选项C属于正方体展开图，
所以只有选项C符合题意．
【经典例题5-3】（七年级上·河南·期中）下列图形中，不是正方体的展开图的为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【详解】解：A. 不是正方体的展开图，故选项符合题意；
B. 是正方体的展开图，故选项不符合题意；
C. 是正方体的展开图，故选项不符合题意；
D. 是正方体的展开图，故选项不符合题意；
经典题型六：正方体相对两个面的字
【经典例题6-1】（七年级上·陕西西安·期中）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】A
【详解】解：∵正方体中相对的面上的数互为相反数，
∴，，
∴
【经典例题6-2】（七年级上·河北衡水·期中）有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么的值为 ．
【答案】7
【详解】解：由图可知：与相邻，与相邻，
∴1的对面数字是5，3的对面数字是6，2的对面的数字是4，即 ，
∴；
【经典例题6-3】（七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个正方体的表面展开图，在正方形、、内分别填入适当的数，，，使其折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则 ．
【答案】
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“”与“1”是相对面，
“”与“2”是相对面，
“”与“”是相对面，
相对的面上的两个数互为倒数，
，，，
．
经典题型七：用七巧板拼图形
【经典例题7-1】（七年级上·河南南阳·期末）七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由图可知“一帆风顺”图中阴影部分是正方形右下角的等腰直角三角形，
这个等腰直角三角形的直角边的长度是正方形边长的一半，即为，
∴
【经典例题7-2】（七年级·山东青岛·期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．

【答案】/
【详解】∵图2是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆成的，
∴大正方形面积，
由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和，即
【经典例题7-3】（七年级·江西鹰潭·月考）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．

【答案】
【详解】由图可知“小狐狸”图案中阴影部分面积为图形①②③④的面积和，

∵正方形的边长为，
∴，
∴，
故答案为：．
经典题型八：点、线、面、体四者之间的关系
【经典例题8-1】（七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线
【答案】B
【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面
【经典例题8-2】（七年级上·江苏泰州·期末）生活中有下列两个现象，对于这两个现象的解释正确的是（ ）
现象1：打靶瞄准
现象2：燃放的烟花在天空形成美丽的弧线
A．均用“两点之间线段最短”来解释 B．均用“两点确定一条直线”来解释
C．现象1用“两点之间线段最短”来解释，现象2用“线动成面”来解释 D．现象1用“两点确定一条直线”来解释，现象2用“点动成线”来解释
【答案】D
【详解】解：现象1用“两点确定一条直线”来解释，现象2用“点动成线”来解释．
【经典例题8-3】（七年级上·河南新乡·期末）中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ）
A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体
C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线
【答案】A
【详解】解：枪挑一条线即为点动成线，棍扫一大片即为线动成面
经典题型九：直线、线段、射线之间的联系和区别
【经典例题9-1】（七年级上·河北保定·期末）下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（　　）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：（1）两点确定一条直线，故此项错误；
（2）射线是不可度量的，故此项错误；
（3）线段和线段是同一条线段，故此项正确；
（4）射线和射线是不同一条射线，故此项错误；
（5）直线和直线是同一条直线，故此项正确；
∴错误的有3个．
【经典例题9-2】（七年级·山东威海·期末）如图，有下列结论：①以点A为端点的射线共有5条；②以点D为端点的线段共有4条；③射线和射线是同一条射线；④直线和直线是同一条直线．以上结论正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【详解】解：①以点A为端点的射线共有5条，故该结论正确，符合题意；
②以点D为端点的线段共有5条，故该结论错误，不符合题意；
③射线和射线不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意；
④直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意．
综上所述，其中正确的结论是：①④．
【经典例题9-3】（七年级上·广西贺州·期末）如图，下列说法中：①线段与线段是同一条线段；②线段与线段是同一条线段；③直线与直线是同一条直线；④点A在线段上；⑤点C在射线上，正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】解：①线段与线段是同一条线段，正确；
②线段与线段不是同一条线段，原来的说法错误；
③直线与直线是同一条直线，正确；
④点A不在线段上，原来的说法错误；
⑤点C在射线上，正确；
综上所述，正确的有3个．
经典题型十：画直线、线段、射线
【经典例题10-1】（七年级上·广西玉林·期末）如图，已知A，B，C，D四点，根据下列语句画图：
(1)画直线；
(2)连接，，交于点O；
(3)画射线，，交于点P．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）如图，，，点O即为所求；
（3）如图，射线，，点P即为所求．
【经典例题10-2】如图，平面上有射线和点，请用尺规按下列要求作图：
（1）连接，并在射线上截取；
（2）连接，并延长到E，使．
【详解】（1）连接，并在射线上截；
如图1所示：
（2）连接，并延长到E，使．
如图2所示：
【经典例题10-3】（七年级·云南红河·期末）如图，已知直线和点C，请用尺规作图完成（保留作图痕迹）．
(1)用适当的语句表述图中点C与直线的关系：_____________；
(2)用直尺和圆规完成以下作图：连接，在线段的延长线上作线段，使．
【答案】(1)点C在直线外 (2)见解析
【详解】（1）解：点C与直线的关系为：点C在直线外；
（2）解：如图所示．
经典题型十一：直线相交的交点个数问题
【经典例题11-1】（七年级上·贵州遵义·期末）如图，在同一平面内，两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有6个交点；…．照此规律，当最多的交点个数为45个时，相交的直线是（ ）

A．23条 B．11条 C．10条 D．9条
【答案】C
【详解】解：∵两条直线相交，有1个交点；
三条直线相交，最多有个交点；
四条直线相交，最多有个交点；
……
n条直线相交，最多有个交点．
∴当最多的交点个数为45个时，即，
∴，
∵，
∴，故C正确．
【经典例题11-2】（七年级上·广东汕尾·期末）如图，2条直线相交最多有1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点……，若n条直线两两相交最多有45个交点，则n的值是 ．
【答案】10
【详解】解：2条直线相交最多有个交点，
3条直线两两相交最多有个交点，
4条直线两两相交最多有个交点，
……，
由此发现，n条直线两两相交最多有个交点，
∵n条直线两两相交最多有45个交点，
∴，解得：，即n的值是10．
【经典例题11-3】（七年级上·福建泉州·期末）我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示．
(1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点；
(2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)10；15 (2)有条直线相交，最多交点的个数为．
【详解】（1）解：三条直线交点最多为个，
四条直线交点最多为个，
五条直线交点最多为个，
六条直线交点最多为个；
故答案为：10；15；
（2）解：n条直线交点最多为．
答：有条直线相交，最多交点的个数为．
经典题型十二：尺规作图作线段
【经典例题12-1】（七年级上·贵州遵义·期末）如图所示，已知A，B，C，D四点在同一平面内，请根据下列要求画图（不写作法，保留作图痕迹）．

(1)作线段、射线、直线；
(2)在射线上作线段；
(3)连接，在四边形内求作一点，使得最小．
【详解】（1）根据题意作图如下：

（2）根据题意作图如下：

（3）根据线段最短，确定最小值的位置是、的交点，作图如下：

【经典例题12-2】（七年级上·湖南长沙·期末）如图，C为线段的中点，D在线段上，且．求：
(1)画出线段（尺规作图）
(2)求线段、的长．
【答案】(1)见解析 (2)，
【详解】（1）解：如图，，，则线段，为所求图形．
（2）解：∵
∴，
∵点C是的中点，
∴，
∴．
【经典例题12-3】（七年级上·福建福州·期末）如图，已知线段，其中，．
(1)作线段，使得；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若点P是（1）中所作的线段的中点，求线段的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）解：如图，线段即为所求．
（2）解：，，
，
，
，
点P是线段的中点，
．
经典题型十三：线段中相关的计算
【经典例题13-1】（七年级上·浙江温州·期末）如图，线段，C为线段延长线上一点，．
(1)求线段的长；
(2)若D是图中最长线段的中点，求线段的长．
【答案】(1) (2)
【详解】（1），
，
，
，
.；
（2）∵图中最长线段是，
∴D为线段的中点，
由（1）知，
∴，
∴．
【经典例题13-2】（七年级上·辽宁大连·期末）已知线段，点C，E，F在线段上，点F是线段的中点．
(1)如图1，当点E是线段的中点时，求线段的长；
(2)如图2，当点E是线段的中点时，请你猜想线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：∵点E是线段的中点，∴，
∵点F是线段的中点，∴，
∴，
∵，∴，∴线段的长为6；
（2）解：，
∵点E是线段的中点，∴，
∵点F是线段的中点，∴，
∴，
∴．
【经典例题13-3】（七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点C是线段的中点，点D在直线上，已知线段，．
(1)尺规作图：在点A的左边找出点E，使（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）解：如图，
（2）解：，
∵点C是线段的中点，
∴，
∴．
经典题型十四：线段中的动点问题
【经典例题14-1】（七年级上·江苏南通·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）
(1)若，当点C、D运动了，求的值．
(2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________．
(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值．
【答案】(1)(2)(3)或1
【详解】（1）解：（1）当点C、D运动了时，，，
，，，
．
（2）解：设运动时间为t，
则，，
，，
又，
，
即，
，
，
，
故答案为：．
（3）解：当点N在线段上时，如图
，
又，
，
，即．
当点N在线段的延长线上时，如图：
，
又，
，即．综上所述的值为或．
【经典例题14-2】（七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）
(1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空）
(2)当点C、D运动了，求的值；
(3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空）
(4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值．
【答案】(1)；(2)(3)(4)或1
【详解】（1）解：根据题意知，，，
∵，，
∴，
∴，，
故答案为：；．
（2）解：当点C、D运动了时，，，
∵，
∴；
故答案为：；
（3）解：根据C、D的运动速度知：，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（4）解：①当点N在线段上时，如图1，

∵，
又∵
∴，
∴
∴；
②当点N在线段的延长线上时，如图2，

∵，
又∵，
∴，
∴；
综上所述：或1．
【经典例题14-3】（七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知点、在线段上．
(1)图中共有________条线段；
(2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）；
(3)若，，是的中点，是的中点（如下图）．
①求的长度；
②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由．
【答案】(1)6(2)(3)①；②同意，理由见详解
【详解】（1）解：∵、在线段上，
∴图中共有线段共6条．
故答案为：6；
（2）若，则，即．
故答案为：；
（3）①∵，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∴，
∴．

②当线段在射线上运动时，
当点在线段上，点在射线上运动时：

∵，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∴，
∴．
当点在射线上，点在射线上运动时：

∵，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∴，
∴．
∴线段的长度不变．
经典题型十五：钟面角
【经典例题15-1】（七年级上·河北唐山·期中）如图，钟表上的时间下午时，时针与分针所组成的小于平角的角的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵在时，时针位于3与4中间，分针指到6上，中间夹份，
∴时针与分针的夹角是．
【经典例题15-2】（七年级上·湖南永州·期末）若此时时钟表上的时间是分，则时针与分针的夹角为 度．
【答案】90
【详解】解：，
∴此时时针与分针的夹角为90度
【经典例题15-3】在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为 ．
【答案】/75度
【详解】解：寅时二刻是指，
∵时，时针与分针所成角度为，
再过15分钟，分针转动的角度：，
时针转动的角度：，
∴
经典题型十六：三角板中的角度计算问题
【经典例题16-1】（七年级上·吉林长春·期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意可得，，
∴，
∴，
∵，
∴
【经典例题16-2】（七年级上·河南郑州·期末）如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点A，若的度数是的倍，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵
∴
∵的度数是的倍，
∴
∴
∴
【经典例题16-3】（七年级上·浙江温州·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，两直角顶点重合于点，已知．
(1)求的度数．
(2)现将三角尺固定不动，把三角尺绕点顺时针旋转度，当时，求的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
经典题型十七：角度中的四则混合运算
【经典例题17-1】（七年级上·吉林·期末）计算：．
【答案】原式
【详解】解：原式．
【经典例题17-2】（七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：
．
（4）解：．
【经典例题17-3】（七年级上·湖北孝感·期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：；
（2）解：．
经典题型十八：角平分线的相关计算
【经典例题18-1】（七年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知，，平分，平分，求和的度数．
【答案】
【详解】，平分，
，
又，
，
平分，
，
.
【经典例题18-2】（七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴．
【经典例题18-3】（七年级上·云南红河·期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分．
(1)当时，求的度数．
(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
经典题型十九：与余角、补角有关的计算
【经典例题19-1】（七年级上·辽宁大连·期末）如图，射线的端点在直线上，，点在平面内，与互余，则的度数为______．
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：∵，与互余，
∴，
当在直线上方时，
；
当在直线下方时，
，
∴；
综上，的度数为或
【经典例题19-2】（七年级·上海嘉定·期末）已知与互余，与互补，写出与的数量关系： ．
【答案】
【详解】解：与互余，
，
，
与互补，
，
，
，
故答案为：．
【经典例题19-3】（七年级上·云南红河·期末）如图，点A、O、B在同一直线上，，平分，平分．
(1)求的度数；
(2)判断与是否互余，并说明理由．
【答案】(1) (2)是，理由见解析
【详解】（1）解：∵，平分，
∴，
∴；
（2）是，理由如下：
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴与互余．中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 几何图形初步
（易错点、重难点、常考点专项练习）
经典题型一：几何图形的分类
【经典例题1-1】（七年级上·江苏泰州·期末）下列几何体中，属于柱体的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【经典例题1-2】（七年级上·山东泰安·期末）下面的几何体中，属于棱柱的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【经典例题1-3】（七年级上·宁夏银川·期末）将下图中的立体图形分类．
柱体 ；锥体 ；球体 ．
经典题型二：从不同的方向看图形
【经典例题2-1】（七年级上·辽宁沈阳·期末）如图是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体从左面看到的形状图为（ ）

A． B． C． D．
【经典例题2-2】（七年级上·辽宁沈阳·期末）如图是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体从右面看到的形状图为（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题2-3】（七年级上·山东淄博·期中）如图是由十块积木搭成，这几块积木都是相同的正方体，请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
经典题型三：几何体展开图的认识
【经典例题3-1】（七年级上·广东清远·期中）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题3-2】（七年级上·陕西西安·期中）下列图形经过折叠能围成棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题3-3】（七年级上·河南郑州·期末）下列平面图形中，能围成圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
经典题型四：由展开图求几何图形的体积和表面积
【经典例题4-1】（七年级上·山东威海·期末）图①是由长方体和圆柱体组成的几何体，图②、③分别是从正面、上面看到的形状图．根据图中信息，求这个几何体的表面积和体积．（结果用含π的式子表示）
【经典例题4-2】（七年级上·陕西西安·期末）小丽同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多3cm．
(1)求长方体盒子的长和宽．
(2)求这个包装盒的体积．
【经典例题4-3】（七年级上·河南商丘·期末）某种包装盒的形状是长方体，长比高的三倍多2，宽的长度为3分米，它的展开图如图所示（不考虑包装盒的黏合处）
(1)设该包装盒的高为分米，则该长方体的长为______分米，边的长度为______分米；（用含的式子表示）
(2)若的长为12分米，现对包装盒外表而涂色，每平方分米涂料的价格是0.5元，求为每个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色）
经典题型五：正方体几种展开图的认识
【经典例题5-1】（七年级上·吉林长春·期末）下面的图形中，属于正方体的表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题5-2】（七年级上·吉林长春·期末）下面的图形中，属于正方体的表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题5-3】（七年级上·河南·期中）下列图形中，不是正方体的展开图的为（ ）
A．B．C． D．
经典题型六：正方体相对两个面的字
【经典例题6-1】（七年级上·陕西西安·期中）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．8
【经典例题6-2】（七年级上·河北衡水·期中）有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么的值为 ．
【经典例题6-3】（七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个正方体的表面展开图，在正方形、、内分别填入适当的数，，，使其折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则 ．
经典题型七：用七巧板拼图形
【经典例题7-1】（七年级上·河南南阳·期末）七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【经典例题7-2】（七年级·山东青岛·期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．

【经典例题7-3】（七年级·江西鹰潭·月考）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．

经典题型八：点、线、面、体四者之间的关系
【经典例题8-1】（七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线
【经典例题8-2】（七年级上·江苏泰州·期末）生活中有下列两个现象，对于这两个现象的解释正确的是（ ）
现象1：打靶瞄准
现象2：燃放的烟花在天空形成美丽的弧线
A．均用“两点之间线段最短”来解释 B．均用“两点确定一条直线”来解释
C．现象1用“两点之间线段最短”来解释，现象2用“线动成面”来解释 D．现象1用“两点确定一条直线”来解释，现象2用“点动成线”来解释
【经典例题8-3】（七年级上·河南新乡·期末）中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ）
A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体
C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线
经典题型九：直线、线段、射线之间的联系和区别
【经典例题9-1】（七年级上·河北保定·期末）下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（　　）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【经典例题9-2】（七年级·山东威海·期末）如图，有下列结论：①以点A为端点的射线共有5条；②以点D为端点的线段共有4条；③射线和射线是同一条射线；④直线和直线是同一条直线．以上结论正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【经典例题9-3】（七年级上·广西贺州·期末）如图，下列说法中：①线段与线段是同一条线段；②线段与线段是同一条线段；③直线与直线是同一条直线；④点A在线段上；⑤点C在射线上，正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
经典题型十：画直线、线段、射线
【经典例题10-1】（七年级上·广西玉林·期末）如图，已知A，B，C，D四点，根据下列语句画图：
(1)画直线；
(2)连接，，交于点O；
(3)画射线，，交于点P．
【经典例题10-2】如图，平面上有射线和点，请用尺规按下列要求作图：
（1）连接，并在射线上截取；
（2）连接，并延长到E，使．
【经典例题10-3】（七年级·云南红河·期末）如图，已知直线和点C，请用尺规作图完成（保留作图痕迹）．
(1)用适当的语句表述图中点C与直线的关系：_____________；
(2)用直尺和圆规完成以下作图：连接，在线段的延长线上作线段，使．
经典题型十一：直线相交的交点个数问题
【经典例题11-1】（七年级上·贵州遵义·期末）如图，在同一平面内，两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有6个交点；…．照此规律，当最多的交点个数为45个时，相交的直线是（ ）

A．23条 B．11条 C．10条 D．9条
【经典例题11-2】（七年级上·广东汕尾·期末）如图，2条直线相交最多有1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点……，若n条直线两两相交最多有45个交点，则n的值是 ．
【经典例题11-3】（七年级上·福建泉州·期末）我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示．
(1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点；
(2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示）
经典题型十二：尺规作图作线段
【经典例题12-1】（七年级上·贵州遵义·期末）如图所示，已知A，B，C，D四点在同一平面内，请根据下列要求画图（不写作法，保留作图痕迹）．

(1)作线段、射线、直线；
(2)在射线上作线段；
(3)连接，在四边形内求作一点，使得最小．
【经典例题12-2】（七年级上·湖南长沙·期末）如图，C为线段的中点，D在线段上，且．求：
(1)画出线段（尺规作图）
(2)求线段、的长．
【经典例题12-3】（七年级上·福建福州·期末）如图，已知线段，其中，．
(1)作线段，使得；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若点P是（1）中所作的线段的中点，求线段的长．
经典题型十三：线段中相关的计算
【经典例题13-1】（七年级上·浙江温州·期末）如图，线段，C为线段延长线上一点，．
(1)求线段的长；
(2)若D是图中最长线段的中点，求线段的长．
【经典例题13-2】（七年级上·辽宁大连·期末）已知线段，点C，E，F在线段上，点F是线段的中点．
(1)如图1，当点E是线段的中点时，求线段的长；
(2)如图2，当点E是线段的中点时，请你猜想线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
【经典例题13-3】（七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点C是线段的中点，点D在直线上，已知线段，．
(1)尺规作图：在点A的左边找出点E，使（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，，求线段的长．
经典题型十四：线段中的动点问题
【经典例题14-1】（七年级上·江苏南通·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）
(1)若，当点C、D运动了，求的值．
(2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________．
(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值．
【经典例题14-2】（七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）
(1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空）
(2)当点C、D运动了，求的值；
(3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空）
(4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值．
【经典例题14-3】（七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知点、在线段上．
(1)图中共有________条线段；
(2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）；
(3)若，，是的中点，是的中点（如下图）．
①求的长度；
②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由．
经典题型十五：钟面角
【经典例题15-1】（七年级上·河北唐山·期中）如图，钟表上的时间下午时，时针与分针所组成的小于平角的角的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【经典例题15-2】（七年级上·湖南永州·期末）若此时时钟表上的时间是分，则时针与分针的夹角为 度．
【经典例题15-3】在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为 ．
经典题型十六：三角板中的角度计算问题
【经典例题16-1】（七年级上·吉林长春·期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题16-2】（七年级上·河南郑州·期末）如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点A，若的度数是的倍，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【经典例题16-3】（七年级上·浙江温州·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，两直角顶点重合于点，已知．
(1)求的度数．
(2)现将三角尺固定不动，把三角尺绕点顺时针旋转度，当时，求的值．
经典题型十七：角度中的四则混合运算
【经典例题17-1】（七年级上·吉林·期末）计算：．
【经典例题17-2】（七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【经典例题17-3】（七年级上·湖北孝感·期末）计算：
(1) (2)
经典题型十八：角平分线的相关计算
【经典例题18-1】（七年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知，，平分，平分，求和的度数．
【经典例题18-2】（七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数．（用含的代数式表示）
【经典例题18-3】（七年级上·云南红河·期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分．
(1)当时，求的度数．
(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由．
经典题型十九：与余角、补角有关的计算
【经典例题19-1】（七年级上·辽宁大连·期末）如图，射线的端点在直线上，，点在平面内，与互余，则的度数为______．
A． B． C．或 D．或
【经典例题19-2】（七年级·上海嘉定·期末）已知与互余，与互补，写出与的数量关系： ．
【经典例题19-3】（七年级上·云南红河·期末）如图，点A、O、B在同一直线上，，平分，平分．
(1)求的度数；
(2)判断与是否互余，并说明理由．

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