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5.4.5正、余弦函数的对称性及求参---自检定时练--学生版
【1】知识清单
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) （kπ＋，0）(k∈Z)
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
一、单选题
1．已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．曲线关于直线对称
C．曲线关于点对称
D．曲线关于直线对称
3．已知函数，对于任意，都满足，若函数，则（ ）
A．0 B．4 C．或4 D．
4.已知函数，其中，，若图象上的点与之相邻的一条对称轴为直线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数满足对于， ，，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在区间上至少存在两条对称轴，则的最小值为（ ）
A． B．
C．6 D．
8.已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
多选题
9．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
10.已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．
B．在区间有两个零点
C．直线是曲线的对称轴
D．在区间单调递增
11.已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．在上单调递减
B．曲线的对称中心为，
C．直线是曲线的一条对称轴
D．在上只有一个最低点，无最高点.
填空题
12．函数（）在上单调，且在上存在对称轴，则的取值范围是 .
13．已知函数的图像关于点对称，且在区间上单调，则 ．
14．已知，满足，则 .
解答题
15．已知函数．
(1)求函数图像的对称轴与对称中心；
(2)求函数的单调递减区间．
(3)求函数在区间上的值域.
16．已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称.
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使等式成立，求实数的取值.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C C D B A C BC ABD ACD
【答案】.
【答案】或
14.【答案】0
15.【答案】(1)对称轴为，对称中心为；
(2)
(3)
16.【答案】(1) (2)
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5.4.5正、余弦函数的对称性及求参---自检定时练--详解版
一、单选题
1．已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由的最小正周期为，求得，再令，即可求解．
【详解】因为函数的最小正周期为，
所以，则，
令，则，
对比选项可知，只有当时，，符合题意，故D正确；
故选：D．
2.已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．曲线关于直线对称
C．曲线关于点对称
D．曲线关于直线对称
【答案】B
【分析】将化简，根据正弦函数的性质求解判断即可.
【详解】，
对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误；
对于B，D，因为的对称轴为，，故B正确，D错误；
对于C，因为的对称中心为，，故C错误.
故选：B.
3．已知函数，对于任意，都满足，若函数，则（ ）
A．0 B．4 C．或4 D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得，进而求得，再代入按的奇偶求出函数值.
【详解】由，得函数的图象关于点对称，
则，于是，
因此，当为偶数时，，当为奇数时，.
故选：C
4.已知函数，其中，，若图象上的点与之相邻的一条对称轴为直线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用的图象与性质，即可求解.
【详解】对于函数，易知的图象关于点对称，
设为的最小正周期，则，又，得，
当时，，，得到，，
又，可得，
故选：C.
5．若函数满足对于， ，，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得关于对称，且是以为周期的周期函数，再根据各选项一一判断即可.
【详解】因为，所以关于对称，
又，则，
所以是以为周期的周期函数；
对于A：若，则最小正周期，
又，所以不关于对称，故A错误；
对于B：若，则最小正周期，
又，所以不关于对称，故B错误；
对于C：若，则最小正周期，
则，又不恒成立，所以不恒成立，故C错误；
对于D：若，则最小正周期，
又，满足关于对称，故D正确.
故选：D
6．已知函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得出， ，从而确定，它们关于对称，从而可得结论．
【详解】由已知，即，同理，
又，即，，，，
当时，，
所以，所以，
故选：B．
7．已知函数在区间上至少存在两条对称轴，则的最小值为（ ）
A． B．
C．6 D．
【答案】A
【分析】化简函数，根据题意，结合余弦型函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】因为函数，
由，可得，
要使得函数在区间上至少存在两条对称轴，
根据余弦型函数的性质，则满足，解得，
所以实数的最小值为.
故选：A.
8.已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据整体法求解的根，即可根据三个零点列不等式求解.
【详解】令,则，进而可得或，
因此的非负零点有，
要使得在上恰有3个零点，则，解得，
故选：C
多选题
9．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
【答案】BC
【分析】利用三角函数的性质逐个分析选项即可.
【详解】因为，所以函数的最小正周期，故A正确；
，所以函数的图象关于直线对称，故B错误；
，所以的图象关于点对称，故C错误；
若，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确．
故选：BC．
10.已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．
B．在区间有两个零点
C．直线是曲线的对称轴
D．在区间单调递增
【答案】ABD
【分析】由已知求得函数解析式，然后根据正弦函数性质进行判断．
【详解】由已知，，
又，所以，A正确；
所以，
，，区间是函数的一个周期，而，因此在区间有两个零点，B正确；
，因此C错；
时，，在此区间上单调递增，D正确，
故选：ABD．
11.已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．在上单调递减
B．曲线的对称中心为，
C．直线是曲线的一条对称轴
D．在上只有一个最低点，无最高点.
【答案】ACD
【分析】利用函数的对称性求出的值，可得出函数的解析式；利用余弦型函数的单调性可判断A选项；利用余弦型函数的对称性可判断BC选项；利用极值点的定义可判断D选项.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
则，可得，
因为，则，所以，，
对于A选项，由，得，
所以，函数在上单调递减，A对；
对于B选项，由得，
所以，曲线的对称中心为，B错；
对于C选项，由得，
当时，，则直线是曲线的一条对称轴，C对；
对于D选项，当时，，
由可得，所以，函数在上只有一个最低点，无最高点，D对.
故选：ACD.
填空题
12．函数（）在上单调，且在上存在对称轴，则的取值范围是 .
【答案】.
【分析】根据单调区间确定周期范围，可得，求出对称轴方程，根据轴右边第一条对称轴在区间，第二条对称轴大于等于求解可得.
【详解】因为在上单调，所以，即，故，
由得函数的对称轴为，
因为在上存在对称轴，所以，得.
因为，所以，即，
要使在上单调，则，解得.
综上，的取值范围是.
13．已知函数的图像关于点对称，且在区间上单调，则 ．
【答案】或
【分析】根据三角函数的对称性，列出方程求得，结合在区间上单调，求得，进而得到的值.
【详解】由函数的图像关于点对称，可得，
解得，可得，
又因为在区间上单调，可得，即，
即，解得，
当时，；当时，，
故答案为：或.
14．已知，满足，则 .
【答案】0
【分析】根据题意结合正弦函数函数对称性分析求解.
【详解】由题意可知：关于对称，
因为，由，得，
所以．
故答案为：0
解答题
15．已知函数．
(1)求函数图像的对称轴与对称中心；
(2)求函数的单调递减区间．
(3)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)对称轴为，对称中心为；
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦函数的对称中心和对称轴性质计算可得；
（2）利用余弦函数的单调递减区间计算求解即得；
（3）由的取值范围，求出的取值范围，再结合余弦函数的值域计算可得；
【详解】（1）由，，得，
∴函数图像的对称轴为，
由，得，
∴函数图像的对称中心为；
（2）由，得，
∴函数的单调递减区间是．
（3）当时，，，
所以，
故函数在区间上的值域为：
16．已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称.
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使等式成立，求实数的取值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）相关点法可得；
（2）先求的值域，然后将问题转化为两个函数图象有交点，利用对勾函数性质可得.
【详解】（1）设为函数图象上任意一点，
则M关于的对称点为，
由题知点在函数的图象上，
故，即
（2）当时，则，
令，则存在，使等式成立，
等价于：存在，使得成立，
由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间单调递增，
故当或时，有最大值3，当时，有最小值，
所以的取值范围为.
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