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（1）集合与常用逻辑用语
——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习
【易混点梳理】
1.集合间的基本关系：
表示 关系 文字语言 符号表示
集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 或
真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A 或
相等 集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素 且
空集 空集是任何集合的子集
空集是任何非空集合的真子集 且
2.充分条件与必要条件
若，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 且
p是q的必要不充分条件 且
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件 且
3.量词与含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等
（2）全称量词命题和存在量词命题
命题名称 命题结构 命题简记
全称量词命题 对M中任意一个x，有成立
存在量词命题 存在M中的一个，使成立
（3）全称量词命题和存在量词命题的否定
命题 命题的否定
【易错题练习】
1.已知集合，，若，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
2.命题“对任意的，”的否定是( ).
A.不存在，
B.存在，
C.存在，
D.对任意的，
3.定义集合运算：.若集合，，则( )
A. B. C. D.
4.已知集合，.若，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.设，则“”是“”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.（多选）对任意，记，并称为集合A，B的对称差.例如，若，，则，下列命题是真命题的是( ).
A.若且，则
B.若且，则
C.若且，则
D.存在，使得
8.（多选）下列命题中是假命题的有( ).
A.，
B.，
C.“”的充要条件是“”
D.“，”是“”的充分条件
9.若“”是“”的必要不充分条件，则a的最大值为__________.
10.已知集合，集合，若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为__________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：，，解得，.又，且，.
2.答案：C
解析：替换量词，否定结论，命题“对任意的，”的否定是“存在，”.
3.答案：D
解析：因为，所以.令或3，或3，则或6，或，则.因为集合，故.
4.答案：D
解析：由题意，得，且.因为，所以，所以.故选D.
5.答案：A
解析：若，当时，不能推出，故必要性不成立.又，且，，，充分性得证.
6.答案：A
解析：因为命题，为假命题，所以，是真命题，所以方程有实数根，则，解得.
7.答案：ABD
解析：对于A选项，因为，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确；
对于B选项，因为，所以与是相同的，所以，即选项B正确；
对于C选项，因为，所以，即选项C错误；
对于D选项，设，，则或，，，所以或，因为，即选项D正确.
8.答案：ABC
解析：，，A是假命题；函数与的图象有交点，如点，此时，B是假命题；
当时，，而0作为分母无意义，
C是假命题；
由，，可得，D是真命题.
9.答案：
解析：由得或.“”是“”的必要不充分条件，，的最大值为.
10.答案：
解析：命题“，”为假命题，则其否定“，”为真命题.当时，集合，符合.当时，因为，所以由，，得对于任意恒成立，又，所以.综上，实数a的取值范围为.（2）函数与导数
——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习
【易混点梳理】
1.如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有单调性，区间D叫做函数的单调区间.
2.
前提 一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足.
条件 （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得. （3）对于任意的，都有； （2）存在，使得.
结论 M为最大值 M为最小值
若函数在闭区间上是增函数，则，；若函数在闭区间上是减函数，则，.
3.奇函数、偶函数的概念及图象特征：
奇函数 偶函数
定义 定义域 函数的定义域关于原点对称
对于定义域内任意的一个x
与的关系 都有 都有
结论 函数为奇函数 函数为偶函数
图象特征 关于原点对称 关于y轴对称
4.函数周期性的常用结论：
若对于函数定义域内的任意一个x都有：
（1），则函数必为周期函数，是它的一个周期；
（2），则函数必为周期函数，是它的一个周期；
（3），则函数必为周期函数，是它的一个周期.
5. 若二次函数恒满足，则其图象关于直线对称.
6.对幂函数，当时，其图象经过点和点，且在第一象限内单调递增；当时，其图象不过点，经过点，且在第一象限内单调递减.
7.指数函数图象可解决的两类热点问题及思路：
（1）求解指数型函数的图象与性质问题
对指数型函数的图象与性质问题（单调性、最值、大小比较、零点等）的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解.
（2）求解指数型方程、不等式问题
一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.
8.比较对数的大小：
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；
（2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；
（3）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
9.函数图象的识别：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
（2）从函数的单调性（有时可借助导数判断），判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复；
（5）从函数的特殊点（与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等），排除不合要求的图象.
10.判断函数零点个数的常用方法：
（1）直接法.令，则方程实根的个数就是函数零点的个数.
（2）零点存在的判定方法.判断函数在区间上是连续不断的曲线，且，再结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数.
（3）数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题（画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数）.
11.根据函数零点求参数范围的一般步骤为：
（1）转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况.
（2）列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式.
（3）结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围.
12.用导数求函数的单调区间的方法：
（1）当不等式或可解时，确定函数的定义域，解不等式或求出单调区间.
（2）当方程可解时，确定函数的定义域，解方程，求出实数根，把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定在各个区间内的符号，从而确定单调区间.
（3）不等式或及方程均不可解时求导数并化简，根据的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定的符号，得单调区间.
13.已知函数单调性，求参数范围的方法：
（1）利用集合间的包含关系处理：在上单调，则区间是相应单调区间的子集.
（2）转化为不等式的恒成立问题来求解：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”.
（3）可导函数在区间上存在单调区间，实际上就是（或）在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围.
14.已知函数求极值：求求方程的根，列表检验在的根的附近两侧的符号，下结论.
15.求函数在上的最大值和最小值的步骤：
（1）若所给的闭区间不含参数，
①求函数在内的极值；
②求函数在区间端点的函数值，；
③将函数的极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）若所给的闭区间含有参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.
【易错题练习】
1.设，，，则a，b，c的大小关系为( ).
A. B. C. D.
2.已知函数.若存在2个零点，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则( )
A. B. C. D.
4.函数在区间的图象大致为( )
A. B. C. D.
5.已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.（多选）已知函数有两个不同的极值点，，且不等式恒成立，则实数t的范围是( )
A. B. C. D.
7.（多选）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：圆O的圆心在原点，若函数的图象将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”.下列说法正确的有( )
A.对于圆O，其“太极函数”只有1个
B.函数是圆O的一个“太极函数”
C.函数是圆O的“太极函数”
D.函数是圆O的一个“太极函数”
8.函数的图像在点处的切线恒过定点，则该定点坐标为__________.
9.已知，且，函数若函数在上的最大值比最小值大，则a的值为___________.
10.已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，求在上的最小值，并判断方程的实数根个数.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为，所以，因为，所以.
因为，所以，所以.
2.答案：C
解析：函数存在2个零点，函数的图象与的图象有2个交点.如图，平移直线，可以看出当且仅当即时，直线与的图象有2个交点.故选C.
3.答案：B
解析：因为函数是偶函数，所以，所以的图象关于直线对称.因为函数是奇函数，所以，所以，且函数的图象关于点对称.，，则，所以，又函数的图象关于直线对称，所以，故选B.
4.答案：B
解析：由题知函数的定义域为R，关于原点对称，，所以函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；，排除D.故选B.
5.答案：A
解析：令，则，所以在R上单调递增.
由，得，即，
又在R上单调递增，所以，解得，
即不等式的解集为.故选A.
6.答案： B
解析：，
因为函数有两个不同的极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有，解得.
因为不等式恒成立，所以恒成立.
，
设，，故在上单调递增，
故，所以.因此实数t的取值范围是. 故选：B
7.答案：BD
解析：对于A选项，圆O的“太极函数”不止1个，故A错误；
对于B选项，函数当时，，当时，，
故为奇函数，画出函数的简图如图所示，可知函数为圆O的一个“太极函数”，故B正确；
对于C选项，函数的定义域为R，，也是奇函数，画出函数的简图如图所示，当且仅当函数图象与圆O只有两个交点时，为圆O的一个“太极函数”，故C错误；
对于D选项，函数的定义域为R，，故为奇函数，，，在上均单调递增，所以在R上单调递增，画出函数的简图如图所示，可知函数是圆O的一个“太极函数”，故D正确.
故选BD.
8.答案：
解析：由题意，知，所以切点坐标为.又，所以函数的图像在点处的切线的斜率为，所以函数的图像在点处的切线方程为，即.令解得所以切线恒过定点.
9.答案：或
解析：易知当时，函数在上单调递减，
，，
，解得.
当时，在上单调递增，在上单调递减，
.又，，
当，即时，，
，解得.
当时，，
无解.综上，或.
10.答案：（1）在和上单调递减，在和上单调递增
（2）方程只有1个实数根
解析：（1）若，则.
当时，，
则，
所以当时，，单调递减，
当和时，，单调递增.
当时，，
则，所以在上单调递减.
综上，在和上单调递减，在和上单调递增.
（2）由得，
若，则当时，.
若，则当时，，
，
所以在上单调递增，
所以当时，.
若，则当时，，，
当时，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，在上单调递增，所以.
综上，.
令函数，，则方程的实根个数就是函数的零点个数，
当时，单调递增，
又，，所以在上有1个零点.
当时，没有零点.
当时，，，在上单调递增，
又，所以在上没有零点.
当时，，，在上单调递增，
又，所以在上没有零点.
综上，方程只有1个实数根.（3）三角函数与解三角形
——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习
【易混点梳理】
1.同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：；（2）商数关系：.
2.诱导公式
函数 角 正弦 余弦 正切
角“”的三角函数的记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限.”
3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）；
（3）.
4.二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）；
（3）.
5.降幂公式
（1）；（2）.
6.辅助角公式
，其中.
7.三角函数的单调性
（1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”.
（2）求形如或（其中）的单调区间时，要视“”为一个整体，通过解不等式求解.但如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数.
（3）已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
8.三角函数的奇偶性
对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则.
9.三角函数的周期性
求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变换化为或或（为常数，）的形式，再应用公式（正弦、余弦型）或（正切型）求解.
10.三角函数的对称性
函数（为常数，）图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线或点是不是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行.
11.三角函数的图象及其变换
由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
12.正弦定理：在中，角的对边分别为，则.
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
13.正弦定理的常见变形：
（1）（边角互化）.
（2）.其中，为外接圆的半径.
（3）（边化角）.
（4）（角化边）.
14.余弦定理：在中，角的对边分别为，则
，，.
三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
15.余弦定理的推论：，，.
16.三角形的面积公式
（1）（为外接圆的半径）.
（2），其中为的一边长，而为该边上的高的长.
（3），其中分别为的内切圆半径及的周长.
（4）海伦公式：，其中.
（5），其中.
（6），其中，.
【易错题练习】
1.已知，，则( )
A. B. C. D.3m
2.已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若，，则( )
A. B.3 C.6 D.
3.将函数的图像向左平移个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数的图像.若点是图像的一个对称中心，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间( )
A. B. C. D.
5.已知函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得函数的图象，若在上有两个不同的根，（），则的值为( )
A. B. C. D.
6.（多选）在中，，，，则( )
A. B.
C.的面积为 D.外接圆的直径是
7.（多选）已知函数的部分图像如图所示,令,则下列说法正确的有( )

A.的最小正周期为
B.的对称轴方程为
C.在上的值域为
D.的单调递增区间为
8.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴.若是角终边上一点，且，则__________
9.已知函数.若在上有解，则实数m的取值范围是___________；若方程在上有两个不同的解，则实数m的取值范围是___________.
10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的外接圆半径为R，且，.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的周长.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由得①.由得②，由①②得，所以，故选A.
2.答案：B
解析：因为，而，所以，则，得.根据余弦定理可得，故.故选B.
3.答案：C
解析：因为，所以将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，再把所得图像上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数的图像.因为点是图像的一个对称中心，所以，，解得，，又，所以的最小值为.故选C.
4.答案：C
解析：当时，因为此时的最小值为，
所以，即.
若，此时能取到最小值，即，
代入可得，满足要求；
若取不到最小值，则需满足，即，
在上单调递减，所以存在唯一符合题意；
所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间，
故选：C.
5.答案：D
解析：设的最小正周期为T，由图象可知，，所以，
则，于是，又的图象过点，
所以，，所以，
又，则，，则，由，
得，则，
又当时，，所以，得，
则，，
结合知，所以，所以.
故选：D.
6.答案：AB
解析：由题意可知，，故A正确；
在中，，由余弦定理得，解得，故B正确；
，故C错误；
设外接圆半径为R，由正弦定理得，故D错误.
故选AB.
7.答案：ACD
解析：对于函数,
由图可知,,
则,
所以,
又,
所以,
解得,,又,
所以;
则,
所以
,
对于A：的最小正周期为,A正确;
对于B：对于,令,,得的对称轴方程为,B错误;
对于C：当时,,所以,
即在上的值域为,C正确;
对于D：令,,解得,,
即的单调递增区间为,D正确;
故选：ACD.
8.答案：-6
解析：由题设知，即，且，即，且，解得.
9.答案：；
解析：，即，当时，，所以，所以在上的最小值为-1，所以实数m的取值范围是.方程在上有两个不同的解，等价于函数，的图象与直线有两个交点，函数，的图象如图所示，由图可知，m的取值范围是.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）由，
结合正弦定理，
得，
化简得，
故.
又，所以，
因此.
（2）由（1）知，，
则，
由正弦定理得，
令，则，，
则，解得，
因此的周长为.（4）平面向量
——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习
【易混点梳理】
1.向量加法的法则：三角形法则和平行四边形法则.
三角形法则 如图，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作，，则向量叫做a与b的和，记作，即.
平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作，，以，为邻边作，则对角线上的向量.
2.对于零向量与任意向量a，有.
3.向量加法的运算律：
交换律：；
结合律：.
4.向量形式的三角不等式：，当且仅当方向相同时等号成立.
5.相反向量：
①定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量.
②性质：零向量的相反向量仍是零向量；
和互为相反向量，于是；
若互为相反向量，则，，.
6.向量数乘的定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.当或时，.
7.向量数乘的运算律：设为任意实数，则有：
①；
②；
③.
特别地，有；.
8.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量，以及任意实数，恒有.
9.向量共线（平行）定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
10.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.
11.基底：若不共线，则把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
12.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
13.平面向量的坐标运算：
设向量，则有下表：
运算 文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知， 则
14.平面向量共线的坐标表示
（1）设，其中共线的充要条件是存在实数，使.
（2）如果用坐标表示，向量共线的充要条件是.
15.向量的夹角：已知两个非零向量，如图，是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角.记作.
当时，向量同向；当时，向量垂直，记作；当时，向量反向.
16.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.
17.投影向量：如图，设是两个非零向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，这种变换称为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
18.向量数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，，特别地，或；
（4）由可得，；
（5）
19.向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘结合律：；
（3）分配律：.
20.平面向量数量积的坐标表示：设向量，则.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
21.向量模的坐标表示：
（1）若向量，则；
（2）若点，向量，则.
由此可知，向量的模的坐标运算的实质是平面直角坐标系中两点间的距离的运算.
22.向量夹角的坐标表示：设都是非零向量，，是与的夹角，则.
23.向量垂直的坐标表示：设向量，则.
【易错题练习】
1.已知，，若，则( )
A.-1 B. C. D.
2.在中，AD为BC边上的中线，，则( )
A. B.
C. D.
3.向量，，，若，且，则的值为( )
A.2 B. C.3 D.
4.已知中，，，，点D在BC边上，且，则线段AD的长度为( )
A. B. C. D.
5.已知向量a，b满足，，且，则( )
A. B. C. D.1
6.已知，，.若P是所在平面内一点，且，则的最大值为( )
A.13 B. C. D.
7.（多选）已知向量，，，则( )
A. B.向量a，b的夹角为
C. D.a在b上的投影向量是
8.（多选）若正方形ABCD中，O为正方形ABCD所在平面内一点，且，，则下列说法正确的是( )
A.可以是平面内任意一个向量
B.若，则O在直线BD上
C.若，，则
D.若，则
9.设D为所在平面内一点，.若，则__________.
10.在中，已知，，，，边上两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为__________.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，，且，所以，即，解得.故选B.
2.答案：A
解析：如图，因为，所以.由已知可得，所以，
所以.故选A.
3.答案：C
解析：由题意，得，.
因为，所以，解得，
则，即解得故.故选C.
4.答案：D
解析：由题意得，因为，，，所以
，即线段AD的长度为.故选D.
5.答案：B
解析：由，得，所以.将的两边同时平方，得，即，解得，所以，故选B.
6.答案：B
解析：以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
所以，即，
故，，
所以，当且仅当，即时，等号成立.故选B.
7.答案：BD
解析：，，，
，，
，，故A错误；
，
又，向量a，b的夹角为，故B正确；
，，故C错误；
a在b上的投影向量为，故D正确.故选BD.
8.答案：ABD
解析：对于A，由题意，又，，以为基底的坐标系中，根据平面向量基本定理易知可以是平面内任意一个向量，故A正确；
对于B，由向量共线的推论知，若，则O在直线BD上，故B正确；
对于C，由题设，则，所以，故C错误；
对于D，由，则，作E为BC的中点，连接OE，则，即，且，如图所示，所以，故D正确.故选ABD.
9.答案：-3
解析：因为，所以，即，又，所以，解得.
10.答案：
解析：方法一：如图，以A为原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.
由，，，得，，.由M，N分别为BC，AC的中点，得，，故，，
所以.
方法二：由已知得即为向量与的夹角.
因为M，N分别是BC，AC边上的中点，所以，.
又因为，
所以
，
，
，
所以.（5）数列
——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习
【易混点梳理】
1.等差数列通项公式：.
2.等差中项公式：.
3.等差数列前n项和公式：.
4.等差数列的性质：
已知数列是等差数列，是的前n项和.
（1）若，则有.
（2）等差数列的单调性：当时，是递增函数；当时，是递减函数；当时，是常数列.
（3）若是等差数列，公差为d，则是公差为的等差数列.
（4）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与的首项相同，其公差是的公差的.
（5）若是等差数列，分别为的前m项，前2m项，前3m项的和，则成等差数列，公差为（d为数列的公差）.
5.等比数列通项公式：.
6.等比中项公式：.
7.等比数列前n项和公式：.
8.等比数列的前n项和的性质：
（1）当（或且k为奇数）时，是等比数列.
（2）若，则成等比数列.
（3）若数列的项数为2n，与分别为偶数项与奇数项的和，则；若项数为，则.
【易错题练习】
1.记正项等差数列的前n项和为，，，则( )
A.23 B.24 C.25 D.26
2.已知数列满足，，则数列的前4项和等于( )
A.16 B.24 C.30 D.62
3.记为等比数列的前n项和.若，，则( )
A. B.
C. D.
4.已知正项等比数列的前n项和为.若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前n项和为，，，则满足的n的值为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
6.（多选）设是公比为正数的等比数列的前n项和.若，，则( )
A. B.
C.为常数 D.为等比数列
7.（多选）若为等差数列，，则下列说法正确的是( )
A.
B.-20是数列中的项
C.数列单调递减
D.数列前7项和最大
8.记为等差数列的前n项和.若，，则__________.
9.已知正项等比数列的前n项和为，若，，则__________.
10.已知数列的前n项和为，且满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设等差数列的公差为d.令，得，即，，解得或（不符合题意，舍去），则，则，故选A.
2.答案：C
解析：由已知可得，当时，；
当时，；当时，；
所以数列的前4项和等于，故选：C.
3.答案：B
解析：设等比数列的公比为q，则由解得所以，，所以，故选B.
4.答案：A
解析：设正项等比数列的公比为，，.，，，，解得（负值舍去），，，.故选A.
5.答案：B
解析：由，得.设的公差为d，则由，可得，得，所以，则，当时，，当时，，则当时，，当时，，当时，，（另解
，易知当时，，又，所以当时，）故选B.
6.答案：ACD
解析：设的公比为，则，解得，故，则，.对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，为常数，故C正确；对于D，由，，，可得为等比数列，故D正确.故选ACD.
7.答案：ACD
解析：因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，由，得，故B错误，因为，所以数列单调递减，故C正确，由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确.故选：ACD
8.答案：95
解析：解法一：设的公差为d，由，，解得，，则.
解法二：设的公差为d，由，，得，，故，，则.
9.答案：
解析：方法一：设等比数列的公比为q，由题意知且，则，解得.则，，.
方法二：设等比数列的公比为q，根据等比数列的性质，得，，成公比为的等比数列，.又等比数列的各项均为正数，，又，，.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）由得.
因为，，
所以，两式相减并化简得，
所以，两式相减得，
所以数列为等差数列.
当时，，所以.
设等差数列的公差为d，因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，所以，
则，，
所以，
所以.（6）不等式
——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习
【易混点梳理】
1.不等式的性质
性质1 如果，那么；如果，那么.即.
性质2 如果，，那么.即.
性质3 如果，那么.
性质4 如果，，那么；如果，，那么.
性质5 如果，，那么.
性质6 如果，，那么.
性质7 如果，那么.
2.基本不等式
如果，，可得，当且仅当时，等号成立.
3.一元二次不等式的概念
一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，.
【易错题练习】
1.已知表示不超过x的最大整数，则满足不等式的x的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.已知实数a，b，c，d满足：，则下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B.或
C.或 D.
4.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是( )
A. B.或
C. D.或
5.已知，则下列命题中一定成立的是( )
A.若，，则 B.若，则
C.若，，则 D.若，则
6.已知正实数a，b满足，则的最小值是( )
A.2 B. C. D.
7.（多选）若a，b，，则下列命题正确的是( ).
A.若且，则 B.若，则
C.若，则 D.若且，则
8.（多选）甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次100米赛跑，所用时间分别为，，.甲有一半的时间以的速度奔跑，另一半的时间以的速度奔跑，乙全程以的速度奔跑，丙有一半的路程以的速度奔跑，另一半的路程以的速度奔跑.其中，.则下列结论中一定成立的是( )
A. B. C. D.
9.已知，，且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是__________.
10.已知不等式的解集是，则不等式的解集是__________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为，所以，所以.
2.答案：B
解析：如取，，，，此时，故A错误；，故B正确；如取，，，，此时，，故C，D错误.故选B.
3.答案：A
解析：方法一：的最小值为4，所以要使对任意实数x恒成立，只需，解得，故选A.
方法二：不等式对任意实数x恒成立等价于不等式对任意实数x恒成立，所以，解得.
4.答案：D
解析：由两个正实数x，y满足，得，则，当且仅当，即时取等号.由不等式有解，得，解得或.
5.答案：B
解析：对于A，取，，，满足，，但，故A错误；
对于B，若，则，所以，故B正确；
对于C，取，，，，满足，，但，故C错误；
对于D，若，则，故D错误.故选B.
6.答案：B
解析：因为正实数a，b满足，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选B.
7.答案：BC
解析：对于A，取，，则不成立.
对于B，若，则，.
对于C，若，则，，.
对于D，若且，则，，而b可能为0，因此不正确.
8.答案：AC
解析：由题意知，所以，，，由基本不等式可得，所以，所以，故，当且仅且时等号全部成立.故A正确，B错误.又，所以，即C正确；取，，此时，所以D不一定成立，故选AC.
9.答案：
解析：因为，，且，所以，又，所以，设，则，所以.
10.答案：或
解析：因为不等式的解集是，所以，且2和3是方程的两个根，
由根与系数的关系，得
解得
因为不等式，所以，即，解得或.（7）空间向量与立体几何
——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习
【易混点梳理】
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.一般地，表面积=侧面积+底面积.
多面体 侧面展开图 面积公式
棱柱 （如三棱柱）
棱锥 （如三棱锥）
棱台 （如三棱台）
2.圆柱、圆锥、圆台的表面积
旋转体 侧面展开图 面积公式
圆柱 底面积： 侧面积： 表面积：
圆锥 底面积： 侧面积： 表面积：
圆台 上底面面积： 下底面面积： 侧面积： 表面积：
3.柱体、锥体、台体的体积
几何体 体积公式
柱体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
锥体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
台体 （分别为上、下底面面积，为高）， （分别为上、下底面半径，为高）
4.球的表面积和体积
（1）球的表面积：设球的半径为，则球的表面积为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.
（2）球的体积：设球的半径为，则球的体积为.
5.直线与直线平行：
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.
6.等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
7.直线与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ，，且.
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.
8.直线与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ，，.
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.
9.平面与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ，，，，
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
10.平面与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ，，.
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
11.异面直线所成的角：
（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
（2）异面直线所成的角的取值范围：.
（3）两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即时，与互相垂直，记作.
12.直线与平面垂直的概念
定义 如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作， 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.它们唯一的公共点叫做垂足.
画法图示 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示
点到面的距离 线到面的距离 两面间的距离 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
13.直线与平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. ，，，， .
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
14.直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，图中直线.
斜足 斜线和平面的交点，图中点.
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是的角.
取值范围
15.直线与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
垂直于同一个平面的两条直线平行. ，
16.二面角的概念
概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
图示
记法 棱为，面分别为的二面角记为. 也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点，记作二面角.
平面角 文字 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.
图示
符号 ，，，，，，是二面角的平面角.
范围
规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
17.平面与平面垂直
（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直，记作.如图
（2）判定定理：
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ，.
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
18.平面与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ，，，.
该定理可简记为“若面面垂直，则线面垂直”.
19.一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
20.直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如下图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则.
21.平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α，β的法向量分别是和，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为，则.
【易错题练习】
1.一个五面体.已知，且两两之间距离为1，，，，则该五面体的体积为( )
A. B. C. D.
2.已知空间中有两个不重合的平面，和两条不重合的直线m，n，则下列说法中正确的是( )
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
3.如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为BE的中点，则下列结论错误的是( )
A.点A，B，C，F共面 B.平面平面CDF
C. D.平面ACD
4.如图，在正方体中，O是AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知中，，D为的中点.将沿翻折，使点C移动至点E，在翻折过程中，下列说法不正确的是( )
A.平面平面
B.三棱锥的体积为定值
C.当二面角的平面角为时，三棱锥的体积为
D.当二面角为直二面角时，三棱锥的内切球表面积为
6.（多选）已知正方体的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且，点Q是棱的中点，点P是棱上的动点，则下面结论中正确的是( )
A.PQ与EF一定不垂直 B.二面角的正弦值是
C.的面积是 D.点P到平面QEF的距离是定值
7.（多选）如图，在正方体中，点P在线段上运动，有下列判断，其中正确的是( )
A.平面平面
B.平面
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.三棱锥的体积不变
8.如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，与相交于点N，P是底面ABCD内（含边界）的动点，总有，则动点P的轨迹的长度为___________.
9.已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面底面ABCD，且，则四棱锥的外接球的表面积为__________.
10.如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点，且，P是线段BC的中点.
（1）求证：平面.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱锥的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积，故选C.
2.答案：A
解析：若，，则或，又，所以，故A正确；
若，，则或，又，则或n与斜交或均有可能，故B错误；
若，，则或，又，因此m和n的位置关系可能为平行、相交或异面，故C错误；
若，，，则或，故D错误.
综上，选A.
3.答案：D
解析：A选项：如图，取CD的中点H，连接GH，FH，AG，AH，易得，，，则平面，平面AFH，所以A，G，H，F四点共面，由题意知，，所以四边形AGHF是平行四边形，所以，因为，所以，所以A，B，C，F四点共面，故A正确；
B选项：由选项A知，又平面，平面CDF，所以平面CDF，因为，且平面，平面CDF，所以平面CDF，又平面，平面ABE，且，所以平面平面CDF，故B正确；
C选项：由选项A可得平面AGHF，又平面AGHF，所以，故C正确；
D选项：假设平面ACD，则，由选项A知四边形AGHF是平行四边形，所以四边形AGHF是菱形，与，矛盾，故D错误.
4.答案：A
解析：如图，设正方体的棱长为1，，则.以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则，，，故，，又，则，所以.
在正方体中，连接，可知体对角线平面，所以是平面的一个法向量，所以.所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值.所以，故选A.
5.答案：B
解析：如图：
A选项，，，，所以平面，因为平面，故平面平面，A正确，不符合题意.
B选项，由A知平面，但的面积不是定值，故三棱锥的体积不是定值，B错误，符合题意.
C选项，二面角的平面角为，当时，，
三棱锥的体积为，C正确，不符合题意.
D选项，当二面角为直二面角时，，三棱锥的表面积为，
设内切球半径为r，则由等体积法知，解得，所以内切球表面积，D正确.
6.答案：BCD
解析：对于A，当点P与点重合时，，故选项A错误.
对于B，由于点P是棱上的动点，EF是棱AB上的一条线段，所以平面PEF即为平面，平面QEF即为平面QAB.
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，.
设平面QAB的一个法向量为，则即
令，则.
设平面的法向量为，
则即
令，则.
设二面角的大小为，所以，故，故选项B正确.
对于C，由于平面，平面，所以，所以，所以是的高，所以，故选项C正确.
对于D，由于，且平面，平面QEF，所以平面QEF，又点P在上，所以点P到平面QEF的距离是定值，故选项D正确.故选BCD.
7.答案：ABD
解析：对于A，连接DB，如图，因为在正方体中，平面ABCD，又平面ABCD，所以，因为在正方形ABCD中，，又DB与为平面内的两条相交直线，所以平面，又因为平面，所以，同理可得，因为与AC为平面内两条相交直线，所以平面，又平面，从而平面平面，故A正确；
对于B，连接，，如图，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、为平面内两条相交直线，所以平面平面，因为平面，所以平面，故B正确；
对于C，因为，所以与所成角即为与所成的角，因为，所以为等边三角形，当P与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值，当P与线段的中点重合时，与所成角取得最大值，所以与所成角的范围是，故C错误；对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，即点P到平面的距离不变，不妨设为h，则，所以三棱锥的体积不变，故D正确.故选ABD.
8.答案：
解析：如图，连接，，，，，因为N，M分别是，的中点，所以.由正方体的性质易知，，，所以平面，所以.同理可证.又，所以平面，即平面，因此当时，总有，所以动点P的轨迹是线段BD.又正方体的棱长为2，所以.
9.答案：
解析：设正方形ABCD的中心为，的外心为G，取AB的中点E，连接，，，则，，以，为邻边作平行四边形，如图.
因为侧面底面，，平面平面，平面PAB，所以平面ABCD，所以.则平面ABCD，同理可知平面PAB.连接OA，OB，OC，OD，OP，则，所以O就是该四棱锥外接球的球心.连接BG，PE，由，，得，，解得.设该四棱锥的外接球半径为R，在中，，则四棱锥的外接球的表面积为.
10.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取AB的中点H，连接，，如图所示，
因为P为BC的中点，所以，.
在等腰梯形中，，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）以直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰梯形中，，
此梯形的高为.
因为，，
则，，，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面与平面的夹角为，
则.（8）平面解析几何
——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习
【易混点梳理】
1.已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为.
2.经过两点的直线的斜率公式.
3.两条直线平行与垂直的判定：设两条直线的斜率分别为.
（1）；（2）.
4.直线的方程：
（1）点斜式：.
（2）斜截式：.
（3）两点式：.
（4）截距式：.
（5）一般式：(A，B不同时为0) .
5.直线的交点坐标与距离公式
①一般地，将两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.
②两点间的距离公式.
特别地，原点与任一点的距离.
③点到直线的距离：点到直线的距离.
④两条平行直线间的距离：若直线的方程分别为，，则两平行线的距离.
6.圆心为，半径为r的圆的标准方程：.
7.圆的一般方程：.
8.判断直线与圆的位置关系的方法：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交，相离，相切.
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径r的大小）：设圆心到直线的距离为d，则相交，相离，相切.
9.圆与圆的位置关系
设圆半径为，圆半径为.
圆心距与两圆半径的关系 两圆的位置关系
内含
内切
相交
外切
外离
10.椭圆：
1.定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
2.标准方程：
（1）中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为；
（2）中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为.
3.焦点三角形
（1）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，为椭圆的两焦点，则，其中为.
（2）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，为椭圆的两焦点，则的周长为.
（3）过焦点的弦AB与椭圆另一个焦点构成的的周长为.
4.椭圆的方程与简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
一般方程
焦点坐标
顶点坐标
范围
长轴长
短轴长
焦距
离心率 ， 越接近于1，椭圆越扁；越接近于0，椭圆越圆
11.双曲线：
1.定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.标准方程：
（1）中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为；
（2）中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为.
3.焦点三角形
（1）P为双曲线上的点，为双曲线的两个焦点，且，则.
（2）过焦点的直线与双曲线的一支交于A，B两点，则A，B与另一个焦点构成的的周长为.
（3）若P是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，则，.
（4）P是双曲线右支上不同于实轴端点的任意一点，分别为双曲线的左、右焦点，为内切圆的圆心，则圆心的横坐标恒为定值a.
4.双曲线的几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
焦点坐标
顶点坐标
范围
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称
实、虚轴长 实轴长为，虚轴长为
离心率 双曲线的焦距与实轴长的比
渐近线方程
12.抛物线：
1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
2.标准方程：
（1）焦点在x轴上的抛物线的方程为；
（2）焦点在y轴上的抛物线的方程为.
3.抛物线的几何性质
标准方程
范围
准线
焦点
对称性 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
离心率
焦半径长
焦点弦长
【易错题练习】
1.已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
2.已知圆，过直线上一点P向圆C作切线，切点为Q，则的最小值为( )
A.5 B. C. D.
3.为了增强某会议主席台的亮度，且为了避免主席台就座人员面对强光的不适，灯光设计人员巧妙地通过双曲线镜面反射出发散光线达到了预期的效果.如图，从双曲线右焦点发出的光线的反射光线的反向延长线经过左焦点.已知双曲线的离心率为，则当与恰好相等时，( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足.设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知点P是双曲线上的动点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.（多选）抛物线的准线为l，P为C上的动点.对P作的一条切线，Q为切点.对P作l的垂线，垂足为B.则( )
A.l与相切 B.当P，A，B三点共线时，
C.当时， D.满足的点P有且仅有2个
7.（多选）已知椭圆过点，直线与椭圆C交于M，N两点，且线段的中点为P，O为坐标原点，直线的斜率为，则下列结论正确的是( )
A.C的离心率为
B.C的方程为
C.若，则
D.若，则椭圆C上存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称
8.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，P是圆上不同于A，B两点的动点，直线PB与椭圆C交于点Q.若直线PA斜率的取值范围是，则直线QA斜率的取值范围是__________.
9.设，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为M，则点M到直线的距离的最大值是___________.
10.已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在坐标轴上，且过，两点.
（1）求C的方程；
（2）设过点F的直线l与C交于M，N两点，P，Q两点分别是直线AM，BN与x轴的交点，证明：为定值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：在椭圆中，由椭圆的定义可得，因为，所以，.在中，，由余弦定理得，即，所以，所以C的离心率.故选A.
2.答案：C
解析：如图所示：
记圆心到直线的距离为d，则.
因为，所以当直线l与CP垂直，即时，最小，故.故选C.
3.答案：A
解析：离心率，.
又，则根据双曲线的定义可知，，
.故选A.
4.答案：D
解析：如图，设线段AB的中点为M，分别过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为C，D，N.
设，，则，.
由MN为梯形ACDB的中位线，得，由可得，故.
因为，当且仅当时取等号，
所以，故选D.
5.答案：B
解析：如图所示，由双曲线的对称性，不妨设是双曲线C右支上的一点，，所以，同理可得，所以.又因为，，所以.
又因为，所以，所以，，所以.故选B.
6.答案：ABD
解析：对于A，易知，故l与相切，A正确；
对于B，，的半径，当P，A，B三点共线时，，所以，，故B正确；
对于C，当时，，或，，易知PA与AB不垂直，故C错误；
对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF，易知，由抛物线定义可知，因为，所以，所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF的中垂线方程为，即，代入可得，解得，易知满足条件的点P有且仅有两个，故D正确.故选ABD.
7.答案：AC
解析：设，，则，即.
因为M，N在椭圆C上，所以，，两式相减，
得，即，
又，所以，
即，所以，离心率，故A正确；
因为椭圆C过点，所以，解得，，所以椭圆C的标准方程为，故B错误；若，则直线l的方程为，由得，所以，，，故C正确；
若，则直线l的方程为.假设椭圆C上存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称，设，，的中点为，所以，，因为E，F关于直线l对称，所以且点Q在直线l上，即.又E，F在椭圆C上，所以，，两式相减，得，即，所以，即.联立，解得，即.又，所以点Q在椭圆C外，这与Q是弦的中点矛盾，所以椭圆C上不存在E，F两点，使得E，F关于直线l对称.
故选AC.
8.答案：
解析：由题可知，，设，则，，所以.
因为，所以，即.①
因为点P在圆上，所以，所以.②
结合①②可知，.因为，所以.
9.答案：5
解析：由双曲线的方程可得，则，
，.设，
不妨设点P在双曲线右支上，延长交的延长线于点N，则，如图.
由角平分线性质可知，，由双曲线的定义可得，，即.
，
整理得，即点M在以为圆心，2为半径的圆上.
圆心到直线的距离，
直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离为.
10.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意可知抛物线C过第一、四象限，
故可设抛物线C的方程为，代入得，则，
故抛物线C的方程为.
（2）证明：由（1）可得，易得直线l的斜率不为0，
则可设直线，，.
联立方程得消去x得，
则，，.
当直线AM的斜率不存在时，，此时直线，
则，，，则；
当直线AM的斜率存在时，，
则直线AM的方程为，令，则，
解得，，
同理可得，故（定值）.
综上，为定值1.（9）计数原理与概率统计
——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习
【易混点梳理】
1.
名称 定义 符号表示
包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B） （或）
相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，则称事件A与事件B相等 A=B
并事件 （和事件） 事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） （或）
交事件 （积事件） 事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） （或）
互斥事件 若为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
对立事件 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且（U为全集）
2.古典概率模型：我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概率：
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
3.古典概型的概率公式
（1）在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本事件发生的概率都是.
（2）对于古典概型，任何事件的概率为.
4.离散型随机变量的分布列
（1）如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
（2）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为取每一个值的概率，则下表称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.
X … …
P … …
5.离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1）；
（2）；
（3）.
6.常见的离散型随机变量的概率分布模型
（1）两点分布
若随机变量X的分布列为
X 0 1
P p
则称X服从两点分布.
（2）超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中任取n件，其中恰有X件次品，则
，其中，且，称分布列
X 0 1 … m
P …
为超几何分布.
7.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X … …
P … …
（1）均值
称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
（2）方差
称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度，并称为随机变量X的标准差，记为.
8.均值与方差的性质
（1）.
（2）.
9.两点分布的均值、方差
若X服从两点分布，则.
10.条件概率及其性质
（1）一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率.
（2）条件概率的性质：
（i）；
（ii）如果B和C是两个互斥事件，则.
11.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有，称此公式为全概率公式.
12.相互独立事件
（1）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件.
（2）若A与B相互独立，则，.
（3）若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立.
（4）若，则A与B相互独立.
13.独立重复试验与二项分布
独立重复试验 二项分布
定义 一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验（也叫n重伯努利试验） 一般地，在n次独立重复试验（n重伯努利试验）中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作
计算公式 用表示第i次试验结果，则 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
14.二项分布的均值与方差：若，则，.
15.正态曲线的定义
函数（其中实数和为参数）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
16.正态曲线的特点
（1）曲线位于x轴上方且与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值；
（4）曲线与x轴之间的面积为1；
（5）当一定时，曲线随着的变化而沿x轴移动；
（6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”；越大，曲线越“矮胖”.
17.正态分布的定义及表示
如果对于任何实数，随机变量X满足，则称X的分布为正态分布，记作.
18.简单随机抽样
（1）定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个不放回地抽取n（）个个体作为样本，如果每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
（2）最常用的简单随机抽样方法有两种：随机数法和抽签法.
19.分层抽样
（1）定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样.
（2）应用范围：总体是由差异明显的几个部分组成的.
（3）分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，抽样比 .
20.频率分布表与频率分布直方图
频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下：
（1）求极差，即求一组数据中最大值与最小值的差；
（2）决定组距与组数；
（3）将数据分组；
（4）列频率分布表，落在各小组内的数据的个数叫做频数，每小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率，计算各小组的频率，列出频率分布表；
（5）画频率分布直方图，依据频率分布表画出频率分布直方图，其中纵坐标（小长方形的高）表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积，即每个小长方形的面积.
各个小长方形面积的总和等于1.
21.频率分布折线图和总体密度曲线
（1）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.
（2）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作频率分布直方图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
22.用样本的数字特征估计总体的数字特征
数字特征 样本数据 频率分布直方图
众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标
中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分，分界线与x轴交点的横坐标
平均数 样本数据的算术平均数 每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和
方差和标准差反映了数据波动程度的大小.
方差：；
标准差：.
23.百分位数
（1）把100个样本数据按从小到大排序，得到第p个和第p+1个数据分别为.可以发现，区间内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数，并称此数为这组数据的第p百分位数，或p%分位数.
（2）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.
（3）四分位数
常用的分位数有第25百分位数，第50百分位数（即中位数），第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.
24.变量间的相关关系
（1）常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
（2）在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系称为负相关.
25.两个变量的线性相关
（1）从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
（2）回归直线方程
①最小二乘法：通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
②回归方程：方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据
的回归方程，其中是待定参数.
，其中称为样本点的中心.
（3）相关系数r
①；
②当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.当r的绝对值大于或等于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.
（4）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.在线性回归模型中，因变量y的值由自变量x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化，在统计中，我们把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量.
26.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.
27.列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为和，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：
总计
a b
c d
总计
可构造一个随机变量，其中为样本容量.
28.独立性检验
利用独立性假设、随机变量来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.
两个分类变量X和Y是否有关系的判断标准：
统计学研究表明：当时，认为X与Y无关；
当时，有95%的把握说X与Y有关；
当时，有99%的把握说X与Y有关；
当时，有99.9%的把握说X与Y有关.
29.排列与排列数
（1）排列：从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
（2）排列数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作.
30.组合与组合数
（1）组合：从n个不同元素中取出个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
（2）组合数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作.
31.二项式定理
公式叫做二项式定理.公式中右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项.
32.二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即.
（2）增减性与最大值：对于二项式系数，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，二项展开式的中间一项（第项）的二项式系数最大，即最大的二项式系数为.当n是奇数时，二项展开式的中间两项（第项和第项）的二项式系数相等且最大，即最大的二项式系数为和.
（3）二项式系数的和：的展开式的各个二项式系数的和等于，即.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即.
【易错题练习】
1.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
2.已知的展开式中常数项为240，则的展开式中的系数为( )
A.10 B.-8 C.-6 D.4
3.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
4.某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c近似服从，若，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为( )
A.5 B.10 C.15 D.30
5.某中学教师节活动分上午和下午两场，且上午和下午的活动均为A，B，C，D，E这5个项目.现安排甲、乙、丙、丁四位教师参加教师节活动，每位教师上午、下午各参加一个项目，每场活动中的每个项目只能有一位老师参加，且每位教师上午和下午参加的项目不同.已知丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A和下午的项目E，其余项目上午和下午都需要有人参加，则不同的安排方法种数为( )
A.20 B.40 C.66 D.80
6.（多选）我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产.下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图.
根据该折线图，( )
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.在这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天，复工指数和复产指数都超过
D.第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量
7.（多选）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则( )
A. B. C. D.
8.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.则小王至少尝试两次才能成功的概率是__________.
9.从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则__________.
10.中国跳水队有“跳水梦之队”的称号，在国际赛场上有绝对的优势，同时跳水运动也得到了广泛推广，获得了越来越多人的喜爱.现有A，B，C，…，J共10位跳水运动爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练.教练训练前对10位跳水员进行测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试打分，10位跳水员得分情况如图中实线所示.规定满分为10分，记得分在8分以上的为“优秀”.
“优秀”人数 “非优秀”人数 合计
训练前
训练后
合计
（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断跳水员的优秀情况与训练是否有关，并说明原因.
（2）从这10人中任选3人，在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下，求这3人中恰有1人训练前也为“优秀”的概率.
（3）跳水员A将对“，和”这三种高度的跳水运动进行集训，且在训练中进行了多轮测试.规定：在每轮测试中，都会有这3种高度，且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”，则该轮测试才记为“优秀”.每轮测试中，跳水员A在每个高度中达到“优秀”的概率均为，每个高度的跳水运动是否达到“优秀”互不影响且每轮测试互不影响.如果跳水员A在集训测试中想获得“优秀”的轮数平均值为3，那么理论上至少要进行多少轮测试？
附：，其中.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
答案以及解析
1.答案：D
解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，取法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，其中这2个数互质的情况有，，，，，，，，，，，，，，共14种.所以这2个数互质的概率.故选D.
2.答案：C
解析：因为的展开式的通项为，令，得，所以的展开式中常数项为，又，解得，所以的展开式中含的项为，故所求系数为-6.
3.答案：C
解析：由频率分布直方图知年收入低于4.5万元的农户比率估计为，故A正确；年收入不低于10.5万元的农户比率估计为，故B正确；该地农户家庭年收入的平均值约为，故C错误；年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为，故D正确.故选C.
4.答案：B
解析：由c近似服从，可知正态分布曲线的对称轴为，
则，
所以,
则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为人，
故选：B.
5.答案：C
解析：因为丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A，所以上午甲、乙、丙参加B，C，D这3个项目，共有种不同的安排方法.
易知甲、乙、丙、丁四人下午参加的项目为A，B，C，D，
分2类：①丁参加项目A，共有2种不同的安排方法；
②丁参加B，C，D这3个项目中的1个，从甲、乙、丙中选1人参加项目A，剩下两人参加剩下的2个项目，共有种不同安排方法.
综上，共有种不同的安排方法.故选C.
6.答案：CD
解析：由题图可知第8，9天复工指数和复产指数均减小，故A错误；第1天时复工指数小于复产指数，第11天时两指数相等，故复产指数的增量小于复工指数的增量，故B错误；由题图可知第3天至第11天，复工复产指数都超过，故C正确；第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量，故D正确.
7.答案：ACD
解析：依题意可得，，，，所以，故A正确、B错误、C正确；
，故D正确.
8.答案：
解析：由题意得，小王尝试三次才成功的概率为，小王尝试三次也没成功的概率为，所以小王至少尝试两次才能成功的概率为.
9.答案：4
解析：解法一：依题意知服从参数为15，2，3的超几何分布，所以，所以.
解法二：依题意得，的可能取值为0，1，2，则，，，
所以，
所以.
10.答案：（1）列联表见解析，跳水员的优秀情况与训练有关，此推断犯错误的概率不超过0.01
（2）
（3）至少要进行12轮测试
解析：（1）零假设：跳水员的优秀情况与训练无关.
列联表为
“优秀”人数 非“优秀”人数 合计
训练前 2 8 10
训练后 8 2 10
合计 10 10 20
.
故根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即跳水员的优秀情况与训练有关，此推断犯错误的概率不超过0.01.
（2）由题图可知训练前后均不“优秀”的有C，F共2人，训练前后均“优秀”的有D，G共2人，训练前不“优秀”而训练后“优秀”的有6人.
设“所选3人中恰有2人训练后为‘优秀’”，“所选3人中恰有1人训练前为‘优秀’”，
则，，
所以.
（3）设跳水员A每轮测试为“优秀”的概率为p，
则.
设测试轮数为n，则“优秀”的轮数.
所以，即，
故至少要进行12轮测试.（10）复数
——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习
【易混点梳理】
1.复数的有关概念
（1）复数相等：且.
（2）共轭复数：与共轭且.
（3）复数的模
①概念：复数对应的向量的模叫做z的模，记作或，即.
②性质：若为复数，则.
2.复数的几何意义
（1）复数复平面内的点.
（2）复数平面向量.
3. 复数的加、减、乘、除运算法则
设，则
（1）加法：；
（2）减法：；
（3）乘法：；
（4）除法：.
4.复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何，有，.
5.复数加、减法的几何意义
（1）复数加法的几何意义
若复数对应的向量不共线，则复数是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.
（2）复数减法的几何意义
复数是所对应的复数.
【易错题练习】
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设，则( )
A.10 B.9 C. D.
4.若，则( )
A.10i B.2i C.10 D.2
5.已知复数z满足，则( )
A.1 B. C.2 D.
6.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.（多选）下列关于复数的说法中正确的有( )
A.复数z的虚部为
B.复数z的共轭复数是
C.复数z的模是4
D.复数z对应的点在第四象限
8.（多选）下列关于复数的运算正确的是( )
A. B.
C. D.若虚数z满足，则
9.已知复数z满足，则__________.
10.在复平面内,若复数z对应的点的坐标为,则__________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：解法一：因为，所以，即，即，所以，故选C.
解法二：因为，所以，即，即，所以，故选C.
2.答案：B
解析：由题意，所以复数的共轭复数为，所以其共轭复数在复平面内对应的点为，在第二象限.故选B.
3.答案：A
解析：方法一：，所以.故选A.
方法二：，所.故选A.
4.答案：A
解析：因为，所以，所以，故选A.
5.答案：B
解析：由题意得，，所以，所以.故选B.
6.答案：C
解析：由题意得，所以在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选C.
7.答案：BD
解析：对于A,由虚部定义知z的虚部为,A错误;
对于B,由共轭复数定义知,B正确;
对于C,,C错误;
对于D,z对应的点为,位于第四象限,D正确.故选BD.
8.答案：ABD
解析：设，，，则，.同理，故A，B正确；，故C错误；，z为虚数，，故D正确，故选ABD.
9.答案：
解析：由已知，得，因此.
10.答案：
解析：由题意得,
所以
.
故答案为:

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