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专题练习01 充要条件
【中职专用】中职高二数学（高教版2023拓展模块一上册）
题型一 充分条件【频次0.4，难度0.3】
例1设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用集合观点，子集是全集的充分条件，只有真子集才是全集的充分不必要条件，就可以得到答案.
【详解】由，得，因为是的真子集，
所以是的充分不必要条件，
故选：A．
变式1 “”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解一元二次不等式求参数范围，结合充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】由，可得，故“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A
例2 “”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】在给定区间内恒成立问题，可参变分离求解后判断
【详解】在上恒成立，
即在上恒成立，，当且仅当时，取等号；
故
“”是“”的充要条件，
故选：C.
变式2设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
例3 设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据充分条件定义即得.
【详解】由，是的充分条件，
所以，故
故选：C
变式3 若，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件与必要条件直接判断即可.
【详解】当，则成立，但不成立，
所以充分性不成立；
因为，所以，
又因为，所以，即，
所以必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
题型二 必要条件【频次0.4，难度0.3】
例4 “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据两个范围的包含关系即可得到两个命题间的充分性和必要性的判断.
【详解】因， 故“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
变式4 “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】解一元二次不等式，结合充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】由，可得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
例5 “不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荷子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析判断即得.
【详解】依题意，不积累一步半步的行程，就没有办法达到千里之远；
不积累细小的流水，就没有办法汇成江河大海，等价于“汇成江河大海，则积累细小的流水”，
所以“积小流”是“成江海”的的必要条件.
故选：B
变式5 若，，则是的（ ）条件．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】由描述写出可能情况，结合充分、必要性定义判断，关系.
【详解】由，则可能为，
所以是的必要不充分条件.
故选：B
例6 若，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】化简完命题，然后根据必要不充分条件含义直接判断即可.
【详解】由，得，
由，得，
所以是的必要不充分条件.
故选：B
变式6 “”是“”的 （ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】根据不等式利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可得出结论.
【详解】可得，则充分性成立，
得出或，则必要性不成立，
则“”是“”的充分非必要条件，
故选：A.
题型三 充分条件【频次0.7，难度0.5】
例7 已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用三角函数的诱导公式结合充分必要条件求解即可.
【详解】因为所以或
所以或者
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
变式7 “”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两直线平行的条件进行判断
【详解】当时，直线与直线，
即为直线与直线的斜率都是，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件；
若直线与直线平行，当时，两直线方程都为，直线重合不符合题意，
当时，两直线平行则斜率相等，截距不相等，解得，是必要条件；
故选：C
例8 方程表示圆的充要条件是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可.
【详解】由题意可得：，解得或，
所以方程表示圆的充要条件是或.
故选：D.
变式8 “”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解.
【详解】若，则，所以方程表示双曲线；
若方程表示双曲线，则，解得或，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A
例9 已知复数为虚数单位的共轭复数为，则“为纯虚数”的充分必要条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算化简复数，再由共轭复数和纯虚数的定义即可求解.
【详解】因为，
由为纯虚数，即且，
即且.
故选：D.
变式9 已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】当时，，
即，则，即；
当时，，解得.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
例10 已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标.若点，的广义坐标分别为，，则“"是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
根据平面向量基本定理可得解.
【详解】由已知可得，，
若，则，使，即，则，即；
若，则，使，即，
故“"是“”的充要条件，
故选：C.
变式10 已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用作差法，得出的等价条件，再分析充分性和必要性，即可得出结论.
【详解】由于，则成立，等价于成立，
充分性：若，且，则，则，
所以成立，满足充分性；
必要性：若，则成立，
其中，且，
则可得成立，即成立，满足必要性；
故选：C.
例11 已知符号函数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题目所给的符号函数直接得到等价于即可.
【详解】若，则同号，
所以或，
即或，即，
所以“”是“”的充要条件.
故选：A
变式11 “且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】经过推理易得结论.
【详解】由且可知一定成立，故“且”是“”的充分条件，
又由可知中都不能为0，否则若，则必有，不满足，故“且”是“”的必要条件.
综上，即有“且”是“”的充分必要条件.
故选：C.
例12 “”是“不等式成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由得，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由，得，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
变式12 “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用幂函数的性质结合充分必要条件判断即可.
【详解】因为幂函数在上单调递增，
所以，
则“”是“”的充要条件.
故选：C.专题练习01 充要条件
【中职专用】中职高二数学（高教版2023拓展模块一上册）
题型一 充分条件【频次0.4，难度0.3】
例1 设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式1 “”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例2 “”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式2 设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例3 设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式3 若，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
题型二 必要条件【频次0.4，难度0.3】
例4 “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式4 “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
例5 “不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荷子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式5 若，，则是的（ ）条件．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
例6 若，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式6 “”是“”的 （ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
题型三 充分条件【频次0.7，难度0.5】
例7 已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式7 “”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例8 方程表示圆的充要条件是（ ）
A． B． C． D．或
变式8 “”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例9 已知复数为虚数单位的共轭复数为，则“为纯虚数”的充分必要条件为（ ）
A． B．
C． D．
变式9 已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
例10 已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标.若点，的广义坐标分别为，，则“"是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式10 已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例11 已知符号函数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
变式11 “且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
例12 “”是“不等式成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式12 “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

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