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专题练习02 平面向量
【中职专用】中职高二数学（高教版2023拓展模块一上册）
题型一 向量的概念【频次0.6，难度0.4】
例1 已知向量，，若，则（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用向量坐标运算，结合相等向量求解即得.
【详解】向量，，由，得，
所以.
故选：B
变式1 已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用单位向量的定义求解即可.
【详解】单位向量的模长相等，则，故D正确；
且两者并不一定是相同或相反向量，故A错误；两者不一定共线，故B错误；两者不一定垂直，故C错误.
故选：D.
例2 下列结论正确的是：（ ）
A．若与都是单位向量，则．
B．若与是平行向量，则．
C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合
D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A、B，只有当与的方向相同且模长相等时才有，故A、B均错误；
对于C，若向量，又因为A是公共点，所以M与N重合，故正确；
对于D，因为轴与轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故D错误；
故选：C.
变式2四边形中中，，则下列结论中错误的是（ ）
A．一定成立 B．一定成立
C．一定成立 D．一定成立
【答案】D
【分析】由可知四边形为平行四边形，逐项分析即可.
【详解】由可知四边形为平行四边形，显然AC正确，
根据平行四边形法则，B也是正确的，而，故D错误.
故选：D
题型二 向量的线性运算【频次0.8，难度0.5】
例3 在中，记，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据已知条件以及向量加法和数乘的运算性质得到结果.
【详解】由已知有.
故.
故选：A.
变式3 在中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量线性运算的运算法则求解即可.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：B.
例4 已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用向量的减法运算得，B，C，D三点共线，即，根据向量平行求出.
【详解】因为，且B，C，D三点共线，即,
又，所以，解得.
故选：C.
变式4 在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可得解.
【详解】由点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，
得
.
故选：C.
例5 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量加减运算可得结果．
【详解】，
故选：A．
变式5 如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（ ）

A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最大值.
【详解】根据题意，，
所以
又，
所以
因为三点共线，
所以，即，由图可知，，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为1.
故选：B.

例6 设为的边的中点，，则 .
【答案】1
【分析】利用向量的平行四边形法则，结合平面向量基本定理求出.
【详解】由为的边的中点，得，即，
又，不共线，所以，.
故答案为：1
变式6 给定四点，其中为不共线的三点，且，则三点共线的充要条件是 ．
【答案】
题型三 向量的内积【频次0.8，难度0.5】
例7 已知向量满足，且，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【分析】根据已知条件直接化简求解即可.
【详解】因为向量满足，且，
所以.
故选：C.
变式7 已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平面向量数量积的运算律可得，，即可求解.
【详解】由，得，
又，
所以.
故选：A
例8 在平行四边形中，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算结合数量积的运算性质即可求解．
【详解】在平行四边形中，，
由题意得.
故选：C.
变式8 中，设，若，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算可得，再由向量的数量积可得答案.
【详解】因为，
所以，
即，可得，
又因为，所以，
所以角A为钝角.
故选：A．
例9 在中，，，P是BN上一点，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】作出图形，由平面向量基本定理求出的值，再用向量数量积的运算律计算即得.
【详解】
如图，，，且，
因三点共线，故，即，，
故．
故选：C．
变式9 已知向量是单位向量，且，则（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】对两边同时平方可得，结合数量积的运算律计算即可求解.
【详解】由，得，
所以，
所以.
故选：D
例10 已知中，，，，则 .
【答案】
【分析】利用相反向量将转化为，然后由数量积定义可得.
【详解】因为，，，
所以.
故答案为：
变式10 已知，是单位向量，且满足，则与的夹角为 .
【答案】/
【分析】利用向量的夹角公式可求与的夹角.
【详解】由可得，故，
故，即，而，
故，
故答案为：/
题型四 向量的坐标表示【频次0.8，难度0.5】
例11 已知向量，若，则实数（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【分析】根据向量垂直的坐标运算可得答案.
【详解】若，则，解得.
故选：B.
变式11 若向量，则下列与向量垂直的向量是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数量积的坐标表示判断即可.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：C
例12 平面向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】利用向量垂直的坐标运算得，即可求出.
【详解】向量，，
若，则，所以.
故选：A
变式12 已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件得到，解出即可.
【详解】由知，故.
故选：B.
例13 已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法坐标运算、数量积坐标运算，坐标表示向量的共线判断，以及坐标求向量模长公式即可逐一判断.
【详解】因为，，
所以，，故A错误，B正确；
又因为，所以与不共线，故C错误；
又，，所以，故D错误，
故选：B
变式13 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量夹角的余弦的坐标公式直接计算即可得解.
【详解】.
故选：D.
例14 已知平面向量，，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【分析】利用两个向量的数量积的坐标形式的运算法则求解即可．
【详解】解：，，
，
故选：B．
变式14 已知平面向量，，满足，则（ ）
A．2 B．4 C．17 D．34
【答案】D
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】由题意，因为，
所以，
可得，
解得．
故选：D.专题练习02 平面向量
【中职专用】中职高二数学（高教版2023拓展模块一上册）
题型一 向量的概念【频次0.6，难度0.4】
例1 已知向量，，若，则（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
变式1 已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2 下列结论正确的是：（ ）
A．若与都是单位向量，则．
B．若与是平行向量，则．
C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合
D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
变式2 四边形中中，，则下列结论中错误的是（ ）
A．一定成立 B．一定成立
C．一定成立 D．一定成立
题型二 向量的线性运算【频次0.8，难度0.5】
例3 在中，记，，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式3 在中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
例4 已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
变式4 在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
例5 （ ）
A． B． C． D．
变式5 如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（ ）

A． B．1 C． D．2
例6 设为的边的中点，，则 .
变式6 给定四点，其中为不共线的三点，且，则三点共线的充要条件是 ．
题型三 向量的内积【频次0.8，难度0.5】
例7 已知向量满足，且，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
变式7 已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
例8 在平行四边形中，若，则（ ）
A． B． C． D．1
变式8 中，设，若，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
例9 在中，，，P是BN上一点，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
变式9 已知向量是单位向量，且，则（ ）
A．3 B．5 C． D．
例10 已知中，，，，则 .
变式10 已知，是单位向量，且满足，则与的夹角为 .
题型四 向量的坐标表示【频次0.8，难度0.5】
例11 已知向量，若，则实数（ ）
A． B．1 C． D．4
变式11 若向量，则下列与向量垂直的向量是（　　）
A． B． C． D．
例12 平面向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
变式12 已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
例13 已知，，则（ ）
A． B． C． D．
变式13 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则（ ）
A． B． C． D．
例14 已知平面向量，，则（ ）
A． B．4 C． D．
变式14 已知平面向量，，满足，则（ ）
A．2 B．4 C．17 D．34

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