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专题练习03 圆锥曲线
【中职专用】中职高二数学（高教版2023拓展模块一上册）
题型一 椭圆的方程【频次0.7，难度0.7】
例1 椭圆的长轴长为 ．
变式1 若方程表示椭圆，则m的取值范围是 ．
例2 已知焦点在轴上，且，，则：
(1)求椭圆标准方程；
(2)求椭圆离心率.
变式2已知椭圆的一个焦点为.
(1)求出椭圆的方程；
(2)求出椭圆的离心率及其长轴长.
例3 若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
变式3 已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
题型二 椭圆的几何性质【频次0.3，难度0.8】
例4 椭圆的长轴长与焦距之差等于（ ）
A． B． C． D．
变式4 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
例5 已知椭圆的方程为，则该椭圆的（ ）
A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为
变式5 椭圆的长轴长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
题型三 双曲线的方程【频次0.7，难度0.7】
例6 已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
变式6 与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
例7 已知双曲线的焦点为和，一条渐近线方程为，则的方程为 .
变式7 已知双曲线经过点，则C的渐近线方程为 ．
例8 双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，
(1)求双曲线标准方程；
(2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.
变式8 求下列各曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，焦距为，短轴长为4的椭圆；
(2)一个焦点为，实轴长为6的双曲线.
题型四 双曲线的几何性质【频次0.3，难度0.8】
例9 双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
变式9 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
例10 已知双曲线，则其离心率是（ ）
A．2 B． C． D．
变式10 若若双曲线的离心率为，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
题型五 抛物线的方程【频次0.7，难度0.7】
例11 抛物线过点，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
变式11 已知抛物线上一点A的横坐标为4，F为抛物线E的焦点，且，则（ ）
A．3 B．6 C．12 D．
例12 抛物线的焦点为，点在上，若，则的值为 .
变式12 已知抛物线经过点，写出的一个标准方程： .
例13 分别求适合下列条件的方程：
(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
(2)经过点的抛物线的标准方程.
变式13 求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)准线方程为的抛物线的标准方程；
(3)焦点，，一个顶点为的双曲线的标准方程.
题型六 抛物线的几何性质【频次0.3，难度0.8】
例14 对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
变式14 下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
例15 抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
变式15 抛物线上一点到其对称轴的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．1专题练习03 圆锥曲线
【中职专用】中职高二数学（高教版2023拓展模块一上册）
题型一 椭圆的方程【频次0.7，难度0.7】
例1 椭圆的长轴长为 ．
【答案】
【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据椭圆的性质计算即可.
【详解】由，
显然椭圆的焦点在横轴上，其实轴长为.
故答案为：
变式1 若方程表示椭圆，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】表示椭圆的条件是分母都大于0，且分母不相等.
【详解】由题意可知且.
故答案为：
例2 已知焦点在轴上，且，，则：
(1)求椭圆标准方程；
(2)求椭圆离心率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中信息直接写出椭圆的标准方程；
（2）求出的值，即可得出该椭圆的离心率.
【详解】（1）解：因为椭圆焦点在轴上，且，，故该椭圆的标准方程为.
（2）解：由已知可得，故该椭圆的离心率为.
变式2已知椭圆的一个焦点为.
(1)求出椭圆的方程；
(2)求出椭圆的离心率及其长轴长.
【答案】(1)
(2)离心率，长轴长
【分析】由椭圆方程和焦点坐标得b，c的值，求得椭圆方程和离心率，长轴长.
【详解】（1）由焦点坐标为，所以椭圆焦点在x轴上，
所以，椭圆方程为：.
（2）由第一问，得，，
所以椭圆的离心率为，长轴长.
例3 若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得出，即可得解.
【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，
所以，则，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B.
变式3 已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】利用椭圆的标准方程与焦点位置即可得解.
【详解】由题意得，，，，所以．
故选：D．
题型二 椭圆的几何性质【频次0.3，难度0.8】
例4 椭圆的长轴长与焦距之差等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的标准方程求出，再求长轴长与焦距之差.
【详解】由题得，，所以，，
所以长轴长，焦距，
所以长轴长与焦距之差等于．
故选：B
变式4 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】由题意可得关于的方程，解方程即可得解.
【详解】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，，解得．
故选：A．
例5 已知椭圆的方程为，则该椭圆的（ ）
A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为
【答案】D
【分析】利用椭圆的标准方程求出即可判断选项的正误.
【详解】由椭圆的方程可知：焦点在轴上，即，
则.
所以长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.
故选：D
变式5 椭圆的长轴长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【答案】C
【分析】由椭圆的方程即可得出答案.
【详解】由可得，则.
故选：C.
题型三 双曲线的方程【频次0.7，难度0.7】
例6 已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据题意得出双曲线的焦点在轴上，设出双曲线的标准方程；再根据双曲线C经过点及离心率公式即可求解.
【详解】因为双曲线C经过点，
所以双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为.
因为双曲线经过点，
所以，解得．
又因为，
所以，
则，
所以双曲线的标准方程为．
故选：C.
变式6 与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【答案】D
【分析】由题意，设要求的双曲线为，将点的坐标代入，计算可得t的值，将其方程变形为标准方程，即可得答案．
【详解】由题意知，要求双曲线与双曲线共渐近线，
设要求的双曲线为.
又该双曲线经过点，则，解得，
则要求的双曲线的标准方程为.
故选：D.
例7 已知双曲线的焦点为和，一条渐近线方程为，则的方程为 .
【答案】
【分析】由焦点坐标以及渐近线方程列式求出即可得解.
【详解】双曲线的焦点在轴上，设的方程为，
由题意，解得，
所以的方程为.
故答案为：.
变式7 已知双曲线经过点，则C的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线过点求出a，然后可得.
【详解】因为双曲线经过点，所以，解得，
又，所以渐近线方程为.
故答案为：.
例8 双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，
(1)求双曲线标准方程；
(2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.
【答案】(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）根据已知条件列方程求出a，b，c，然后可得标准方程；
（2）根据（1）中a，b，c，的值直接写出所求即可.
【详解】（1）由题知，，解得，所以，
所以双曲线标准方程为：.
（2）由（1）知，双曲线焦点在x轴上，
所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为，即.
变式8 求下列各曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，焦距为，短轴长为4的椭圆；
(2)一个焦点为，实轴长为6的双曲线.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据椭圆的性质求解；
(2)根据双曲线的性质求解.
【详解】（1）由题可设椭圆的标准方程为，
由题知，，
，
椭圆的标准方程为.
（2）由题可设双曲线的标准方程为，
由题知，
，
双曲线的标准方程为.
题型四 双曲线的几何性质【频次0.3，难度0.8】
例9 双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线方程求出即可得解.
【详解】由双曲线知，，
所以，
所以.
故选：B
变式9 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线的方程可求得，计算可判断每个选项的正确性.
【详解】由双曲线，可得，所以，
所以双曲线的左顶点，右焦点，故AB错误；
虚轴长，故C错误；
离心率，故D正确.
故选：D.
例10 已知双曲线，则其离心率是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等轴双曲线的性质即可求解.
【详解】为等轴双曲线，则，
所以离心率为.
故选：B
变式10 若若双曲线的离心率为，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的离心率与、、关系求解即可.
【详解】由题意，双曲线的离心率，所以.
故选：C.
题型五 抛物线的方程【频次0.7，难度0.7】
例11 抛物线过点，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把点代入抛物线方程，再求得准线方程.
【详解】把点代入抛物线方程，得，
解得，
所以抛物线方程为，准线方程为.
故选：B.
变式11 已知抛物线上一点A的横坐标为4，F为抛物线E的焦点，且，则（ ）
A．3 B．6 C．12 D．
【答案】B
【分析】根据焦半径公式可求的值.
【详解】由题意，，抛物线的焦半径公式得，故，
故选：B.
例12 抛物线的焦点为，点在上，若，则的值为 .
【答案】
【分析】通过焦半径公式计算出，在把点的坐标代入抛物线即可。
【详解】，则，则，又，则.
故答案为：
变式12 已知抛物线经过点，写出的一个标准方程： .
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用抛物线的标准方程计算即可.
【详解】依题意可得的标准方程可设为或，
将点的坐标代入得，则的标准方程为或.
故答案为：（答案不唯一）.
例13 分别求适合下列条件的方程：
(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
(2)经过点的抛物线的标准方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据长轴和焦距的定义求出a、c，进而求出b，即可求解；
（2）设抛物线方程为或，将点P坐标代入，即可求解.
【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为
由条件可得.所以.
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为.
（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为.
综上所述，所求抛物线的标准方程为或.
变式13 求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)准线方程为的抛物线的标准方程；
(3)焦点，，一个顶点为的双曲线的标准方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由长轴长和离心率求出，进而求出的值，得椭圆的标准方程；
（2）由准线方程得，得抛物线方程；
（3）由顶点坐标和焦点坐标得，的值，求得，得双曲线的方程.
【详解】（1）由已知，，，得：，，
从而.
所以椭圆的标准方程为.
（2）抛物线的准线方程为，
所以抛物线的焦点在轴的正半轴，且焦点到准线的距离是，
所求抛物线的标准方程为：
（3）设双曲线方程为，
由题设可得，故，故双曲线方程为.
题型六 抛物线的几何性质【频次0.3，难度0.8】
例14 对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.
【详解】由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
变式14 下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.
【详解】抛物线，即，
可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
例15 抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将化为，则抛物线的焦点坐标为.故选B.
变式15 抛物线上一点到其对称轴的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】利用代入法进行求解即可.
【详解】把代入抛物线方程中，得，
因为该抛物线的对称轴为纵轴，
所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4，
故选：A

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