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专题练习02 数列
【中职专用】中职高二数学（高教版2023拓展模块一下册）
题型一 数列的概念【频次0.4，难度0.3】
例1 已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，数列中，且是递增数列，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】A
【分析】求得p成立时，q成立时，可得结论.
【详解】若双曲线的渐近线与圆没有公共点，
则点到直线的距离大于1，即，解得；
若数列是递增数列，则，
所以p是q的充分不必要条件．
故选：A.
变式1 在数列中，若（），则的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】D
【分析】由数列的递推式，分别求出的值即可得出结果.
【详解】当时，，
当时，，所以，
当时，，所以.
故选：D.
例2 已知数列，则数列前9项的下四分位数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据题意，数列前9项从小到大排列后，下四分位数为第3项，可解.
【详解】根据题意，数列前9项为，
对其从小到大排列为，
因为，则下四分位数为第3项，为.
故选：B
变式2 若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据新定义可证得数列是等比数列，从而可利用等比数列通项求解问题.
【详解】因为正项数列为“对奇数列”，所以，
则，即数列是公比为2的等比数列，又因为，
所以，
故选：C.
题型二 等差数列的概念【频次0.7，难度0.5】
例3 设正项等比数列的公比为，若成等差数列，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】结合等差数列性质及等比数列通项公式计算即可.
【详解】因为成等差数列，所以，
所以，则，解得或（舍去）．
故选：B.
变式3 已知等比数列的公比为q，则“”是“，，成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】由题意，根据等差中项的应用和等比数列的通项公式化简可得，解出q的值，结合充分、必要条件的定义即可下结论.
【详解】若，，成等差数列，由等差中项的性质可得，
化简可得，且，
则，解得或，
所以“”是“，，成等差数列”的充分不必要条件．
故选：A．
例4 在等差数列中，，，则（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】D
【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.
【详解】等差数列中，，，
所以，解得.
故选：D
变式4 已知等差数列公差为1，，则（ ）．
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】利用等差数列的性质可得，可求结论.
【详解】设等差数列公差为，则，
由等差数列公差为1，，
所以则，
所以.
故选：B.
例5 在等差数列中，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据等差数列项的性质计算即可.
【详解】因为是等差数列，
所以,所以.
故选：D.
变式5 已知等差数列满足，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质求解即可.
【详解】因为，
所以，所以.
故选：B.
例6 已知等差数列的前项和，若，则 ；前项和的最大值为 ．
【答案】 16
【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最大值.
【详解】设等差数列的公差为，则
，解得，
所以，，
当时，的最大值为,
故答案为：，16.
变式6 等差数列中，，则 ．
【答案】0
【分析】根据等差数列的通项公式求解即可．
【详解】等差数列中，，
则公差，则．
故答案为：0.
题型三 等差数列的前n项和公式【频次0.7，难度0.5】
例7 设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
【答案】C
【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案.
【详解】由题意得成等差数列，
即成等差数列，
即，解得.
故选：C
变式7 已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C．15 D．30
【答案】D
【分析】根据韦达定理得到，利用等差数列求和公式及等差数列性质进行计算.
【详解】，是方程的两根，
所以，
又是等差数列，
所以其前20项和为．
故选：D
例8 已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为 ．
【答案】
【分析】根据等差中项的性质可得，再结合等差数列的单调性可得解.
【详解】由已知数列为等差数列，
则，
又，
所以，
则，
所以数列为递减数列，
则当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
故答案为：.
变式8 等差数列中，，，则 ．
【答案】260
【分析】根据等差数列求和公式求解即可．
【详解】利用等差数列求和公式：可得，
．
故答案为：260.
例9 若是数列的前n项和，且，则 .
【答案】21
【分析】直接由的定义计算．
【详解】．
故答案为：21．
变式9 等差数列前项和分别为，且，则 .
【答案】/
【分析】通过等差数列性质其前项和，结合已知可得，即可解出答案.
【详解】由等差数列性质可得，解得，
故答案为：.
例10 已知数列的前项和，数列满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据当时，可以求出数列的通项公式，再验证当时，首项是否适合；再根据，结合对数与指数互化公式进行求解即可；
（2）化简数列的通项公式，利用分组求和的方法，结合等比数列前项和、裂项相消法进行求解即可.
【详解】（1）由，
当时，，
时，对上式也成立，
∴；
又，，.
（2），
.
变式10 设等差数列{an}的前n项和Sn，若S8＝100， S16＝392，求S24.
【答案】876
【分析】由数列为等差数列，得到，，成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，把已知的，代入，可得出的值．
【详解】在等差数列中，，，
，，成等差数列，即，
则．
题型四 等比数列的概念【频次0.7，难度0.5】
例11 已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程韦达定理得出，得出，再利用等比数列的性质，计算出结果；
【详解】若，是的两个根，则，
因为数列是等比数列，，.
故选：C.
变式11 在等比数列中，，，则（ ）
A．14 B．16 C．28 D．32
【答案】D
【分析】根据等比数列性质得到，求出答案.
【详解】由等比数列性质可得，即，解得.
故选：D
例12 在等比数列中，若，则（ ）
A．6 B．9 C． D．
【答案】B
【分析】利用等比数列性质得到，进而求出答案.
【详解】由等比数列性质得，
又，所以.
故选：B
变式12 已知等比数列{an}的公比，则等于（　　）
A． B． C． D．9
【答案】D
【分析】由题意，根据等比数列的性质可得，即可求解.
【详解】等比数列{an}的公比，
则．
故选：D．
例13 在等比数列中，，，则（ ）
A． B．4 C． D．无法确定
【答案】C
【分析】借助等比数列性质计算即可得.
【详解】在等比数列中，，所以，又，，同号，所以.
故选：C．
变式13 在等比数列{}中，．
(1)求{}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和Sn．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知得，，再求出公比，进而写出通项公式；
（2）由（1）得，应用分组求和，结合等差等比前n项和公式求Sn．
【详解】（1）由题设，，则的公比，
所以.
（2）由（1）知：，
所以.
例14 设等比数列的前n项和为．
(1)若公比，，，求n；
(2)若，求公比q．
【答案】(1)6
(2)1或
【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得.
（2）根据已知条件列方程，化简求得.
【详解】（1）依题意，
由于，所以两式相除得，
.
（2）依题意，即，
，解得或.
变式14 记等差数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据已知条件列出关于首项和公差的方程组即可求解；
(2)根据等比数列求和公式即可求解．
【详解】（1）由题可知，解得，，
∴；
（2）∵，∴，
∴是首项为3，公比为9的等比数列，
∴﹒
题型五 等比数列的前n项和公式【频次0.7，难度0.5】
例15 记等比数列{}的前n项和为.若，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件得到，，从而求出公比，利用求和公式求出答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以公比，
所以
故选：C
变式15 在公比为的等比数列中，前项和，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用和的关系求出和，再求其公比.
【详解】由，得，，
所以，，则.
故选：C.
例16 已知数列的前项和为，且，则
A．512 B．1025 C．256 D．1024
【答案】A
【解析】由数列的前项和与第项的关系可得，代入求解即可.
【详解】解：由数列的前项和为，且，
则，
故选：A.
变式16 数列的前n项和为，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2017 D．3033
【答案】A
【分析】利用 计算.
【详解】，故选A.
例17 在等比数列{an}中，
(1)已知，求前4项和；
(2)已知公比，前5项和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列前项和公式即可得解；
（2）根据等比数列前项和公式求出首项，再根据等比数列的通项公式即可得解.
【详解】（1）设公比为，由，
得，所以，
所以；
（2）由，得，
所以.
变式17 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)设等差数列的公差为d，根据题意列出关于和d的方程组求解即可；
(2)证明是等比数列，根据等比数列前n项和公式即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
，成等比数列，
，解得
；
（2）由(1)得，，
，，
是首项为4，公比为4的等比数列，
.
例18 已知数列的前项和为，且满足，（）．
（1）求的值，并求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求（）．
【答案】（1）; （2）.
【分析】（1）用代入法求出，再根据与的关系，得递推关系，再求出，
注意验证1时是否符合求出的通项公式.
（2）用裂项相消法求和.
【详解】解：（1）由，，令得，
令得，即.
由………………………………………①
则当时，……………………②
①②可得，得，得，
故是首项为，公比为的等比数列，
则，整理得，
当时，，也符合公式，故（）,
即数列的通项公式.
(2),
故，
即.
变式18 已知等比数列的首项，前项和满足.
（1）求实数的值及通项公式；
（2）设，求数列的前项为，并证明：.
【答案】(1), ;(2)见解析.
【分析】（1）由题设中的递推关系可得，再对原有的递推关系取，两者结合可得的值，从而利用数列为等比数列求出其通项.
（2）利用错位相减法求，令，利用数列的单调性可以证明，从而原不等式成立.
【详解】（1）当时，，
得，
又由及，得
因为等比数列，故有，解得，
由，所以，故，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2）
①
②
①-②得：
所以，又，
故
令，则，故单调递减，
又，所以恒成立，所以.专题练习02 数列
【中职专用】中职高二数学（高教版2023拓展模块一下册）
题型一 数列的概念【频次0.4，难度0.3】
例1已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，数列中，且是递增数列，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
变式1 在数列中，若（），则的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
例2 已知数列，则数列前9项的下四分位数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
变式2 若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 等差数列的概念【频次0.7，难度0.5】
例3 设正项等比数列的公比为，若成等差数列，则（ ）
A． B．2 C． D．3
变式3 已知等比数列的公比为q，则“”是“，，成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
例4 在等差数列中，，，则（ ）
A． B． C．1 D．4
变式4 已知等差数列公差为1，，则（ ）．
A．10 B．12 C．14 D．16
例5 在等差数列中，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
变式5 已知等差数列满足，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
例6 已知等差数列的前项和，若，则 ；前项和的最大值为 ．
变式6 等差数列中，，则 ．
题型三 等差数列的前n项和公式【频次0.7，难度0.5】
例7 设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
变式7 已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C．15 D．30
例8 已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为 ．
变式8 等差数列中，，，则 ．
例9 若是数列的前n项和，且，则 .
变式9 等差数列前项和分别为，且，则 .
例10 已知数列的前项和，数列满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
变式10 设等差数列{an}的前n项和Sn，若S8＝100， S16＝392，求S24.
题型四 等比数列的概念【频次0.7，难度0.5】
例11 已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
变式11 在等比数列中，，，则（ ）
A．14 B．16 C．28 D．32
例12 在等比数列中，若，则（ ）
A．6 B．9 C． D．
变式12 已知等比数列{an}的公比，则等于（　　）
A． B． C． D．9
例13 在等比数列中，，，则（ ）
A． B．4 C． D．无法确定
变式13 在等比数列{}中，．
(1)求{}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和Sn．
例14 设等比数列的前n项和为．
(1)若公比，，，求n；
(2)若，求公比q．
变式14 记等差数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
题型五 等比数列的前n项和公式【频次0.7，难度0.5】
例15 记等比数列{}的前n项和为.若，则=（ ）
A． B．
C． D．
变式15 在公比为的等比数列中，前项和，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例16 已知数列的前项和为，且，则
A．512 B．1025 C．256 D．1024
变式16 数列的前n项和为，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2017 D．3033
例17 在等比数列{an}中，
(1)已知，求前4项和；
(2)已知公比，前5项和，求.
变式17 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
例18 已知数列的前项和为，且满足，（）．
（1）求的值，并求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求（）．
变式18 已知等比数列的首项，前项和满足.
（1）求实数的值及通项公式；
（2）设，求数列的前项为，并证明：.

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