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增分培优3　力学三大观点的综合应用
力学三大观点对比
力学三大观点 对应规律 表达式 选用原则
动力学观点 牛顿第二定律 F合＝ma 求解物体某一时刻的受力及加速度时，可用牛顿第二定律列式解决，有时也可结合运动学公式列出含有加速度的关系式。
匀变速直线 运动规律 v＝v0＋at x＝v0t＋at2 v2－v＝2ax等
能量观点 动能定理 W合＝ΔEk ①在涉及位移、速度，不涉及时间时要首先考虑选用动能定理。 ②在涉及相对位移问题时优先考虑能量守恒定律，即系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即转变为系统的内能。
机械能守恒定律 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
功能关系 WG＝－ΔEp等
能量守恒定律 E1＝E2
动量观点 动量定理 FΔt＝mv′－mv ①在涉及时间和速度，不涉及位移和加速度时要首先考虑运用动量定理。 ②若研究的对象为相互作用的物体组成的系统，一般考虑用动量守恒定律去解决，注意是否符合守恒条件。 ③碰撞、爆炸、反冲等问题因作用时间极短，一般都可以运用动量守恒定律。
动量守恒定律 p1＋p2＝p1′＋p2′
例1 (2024·甘肃卷，14)如图1，质量为2 kg的小球A(视为质点)在细绳O′P和OP作用下处于平衡状态，细绳O′P＝OP＝1.6 m，与竖直方向的夹角均为60°。质量为6 kg的木板B静止在光滑水平面上，质量为2 kg的物块C静止在B的左端，C的左端在O的正下方。剪断细绳O′P，小球A开始运动(重力加速度g取10 m/s2)
图1
(1)求A运动到最低点时细绳OP所受的拉力；
(2)A在最低点时，细绳OP断裂。A飞出后恰好与C左侧碰撞(时间极短)，碰后A竖直下落，C水平向右运动。求碰后瞬间C的速度大小；
(3)A、C碰后，C相对B滑行4 m后与B共速。求C和B之间的动摩擦因数。
例2 (2024·河南焦作一模)如图2所示，某商家为了吸引顾客而设计了一个趣味游戏，游戏轨道由一个水平直轨道ABC和一半径为R的竖直半圆光滑轨道CDE组成，水平直轨道AB段光滑，BC段粗糙。在半圆轨道圆心O左侧同一水平线上且距离O点2R处固定一个小网兜P，将原长小于AB段长度的轻弹簧水平置于AB段上，左端固定在竖直挡板上，物块1静置于B处。游戏者将物块2向左压缩弹簧到某一位置释放，若物块2与物块1碰撞后不粘连，物块1从半圆轨道最高点E飞出并落入网兜P内获一等奖，在DE圆弧段脱离轨道获二等奖，能够进入半圆轨道内获三等奖，其他情况都不能获奖。已知物块1的质量m＝0.2 kg，物块2的质量m0＝0.4 kg，R＝0.8 m，BC＝2R，两物块与粗糙水平面间的动摩擦因数均为μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2。两物块均可视为质点。求：
图2
(1)获一等奖时，物块1在E点对轨道的压力；
(2)获得二等奖时，物块1碰后的速度大小范围(结果可保留根号)；
(3)获得三等奖时，弹簧弹性势能的最小值。
规范指导 (2024·四川成都七中检测)如图3所示，半径R＝1.0 m的四分之一圆弧形光滑轨道竖直放置，圆弧最低点B与长为L＝0.5 m的水平面BC相切于B点，BC离地面高h＝0.45 m，C点与一倾角为θ＝37°的光滑斜面连接，质量m＝1.0 kg的小滑块从圆弧上某点由静止释放，到达圆弧B点时小滑块对圆弧的压力刚好等于其重力的2倍，当小滑块运动到C点时与一个质量M＝2.0 kg的小球正碰，碰撞时间极短，碰后小滑块返回恰好停在B点，已知滑块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.1(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)。求：
图3
(1)小滑块应从圆弧上离地面多高处释放；
(2)两物体碰后小球第一次落点到C点的距离。
1.(2024·山东卷，17)如图4甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径R＝0.4 m，重力加速度大小g＝10 m/s2。
图4
(1)若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块在Q点的速度大小v；
(2)若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道的加速度a与F对应关系如图乙所示。
(ⅰ)求μ和m；
(ⅱ)初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力F＝8 N，当小物块到P点时撤去F，小物块从Q点离开轨道时相对地面的速度大小为7 m/s。求轨道水平部分的长度L。
2.(2024·安徽卷，14)如图5所示， 一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着轨道运动，已知细线长L＝1.25 m，小球质量m＝0.20 kg，物块、小车质量均为M＝0.30 kg，小车上的水平轨道长s＝1.0 m。圆弧轨道半径R＝0.15 m。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
图5
(1)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
(2)求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
(3)为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围。
1.如图1所示，水平轨道OP光滑，PM粗糙，PM长L＝3.2 m。OM与半径R＝0.15 m的竖直半圆轨道MN平滑连接。小物块A自O点以v0＝14 m/s向右运动，与静止在P点的小物块B发生正碰(碰撞时间极短)，碰后A、B分开，A恰好运动到M点停止。A、B均看作质点，已知A的质量mA＝1.0 kg，B的质量mB＝2.0 kg，A、B与轨道PM间的动摩擦因数均为μ＝0.25，g取10 m/s2，求：
图1
(1)碰后A、B的速度大小；
(2)碰后B沿轨道PM运动到M所需时间；
(3)若B恰好能到达半圆轨道最高点N，求沿半圆轨道运动过程损失的机械能。
2.(2024·福建泉州一模)如图2，左端固定在墙壁上的水平轻质弹簧，处于自然状态时另一端在光滑水平台面右端；质量为3m的小车静置于光滑的水平面上且紧靠平台，其左侧a端与台面等高，小车的上表面由长度为R的粗糙水平面ab和半径为R的四分之一圆弧形光滑轨道bc组成。质量为m的小物块P(与弹簧不拴接)在外力作用下将弹簧压缩至某一位置，由静止释放后从a端以大小为2(g为重力加速度大小)的速度滑上小车，恰好能到达顶端c。
图2
(1)求由静止释放时弹簧的弹性势能Ep；
(2)求P与ab间的动摩擦因数μ；
(3)请通过计算判断P是否会滑离小车？
3.(2024·河北石家庄模拟)如图3所示，在光滑的水平面上有一质量为2m的小车，车上固定一处于自然长度的轻质弹簧，将质量为2m的光滑木块放在小车上，整个装置静止。现长为L的细线系着一个质量为m的小球，将小球拉至与竖直方向成θ＝60°角的A位置从静止开始释放，摆到最低点B时，刚好能与木块相碰(相碰时间极短)，相碰后小球反弹的速度大小为碰撞前的一半，木块与弹簧、小车相互作用的过程中无机械能损失，已知当地的重力加速度为g。求：
图3
(1)小球与木块相碰前的速度；
(2)在木块压缩弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能；
(3)木块和小车最终运动的速度大小。
4.(2024·浙江6月选考，18)一弹射游戏装置竖直截面如图4所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R的光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE平滑连接。长为L、质量为M的平板紧靠长为d的固定凹槽EFGH侧壁EF放置，平板上表面与DEH齐平。将一质量为m的小滑块从A端弹射，经过轨道BCD后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达HG即被锁定。已知R＝0.5 m，d＝4.4 m，L＝1.8 m，M＝m＝0.1 kg，平板与滑块间的动摩擦因数μ1＝0.6、与凹槽水平底面FG间的动摩擦因数为μ2。滑块视为质点，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
图4
(1)滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时，求滑块离开弹簧时速度v0的大小；
(2)若μ2＝0，滑块恰好过C点，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
(3)若μ2＝0.1，滑块能到达H点，求其离开弹簧时的最大速度vm。
5.(2023·浙江6月选考，18)为了探究物体间碰撞特性，设计了如图5所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为R＝0.4 m的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数k＝100 N/m的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量m＝0.12 kg的滑块a以初速度v0＝2 m/s从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞(时间极短)。已知传送带长L＝0.8 m，以v＝2 m/s的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，其他摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能Ep＝kx2(x为形变量)。
图5
(1)求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN；
(2)若滑块a碰后返回到B点时速度vB＝1 m/s，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能ΔE；
(3)若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差Δx。
增分培优3　力学三大观点的综合应用
力学三大观点对比
力学三大观点 对应规律 表达式 选用原则
动力学观点 牛顿第二定律 F合＝ma 求解物体某一时刻的受力及加速度时，可用牛顿第二定律列式解决，有时也可结合运动学公式列出含有加速度的关系式。
匀变速直线 运动规律 v＝v0＋at x＝v0t＋at2 v2－v＝2ax等
能量观点 动能定理 W合＝ΔEk ①在涉及位移、速度，不涉及时间时要首先考虑选用动能定理。 ②在涉及相对位移问题时优先考虑能量守恒定律，即系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即转变为系统的内能。
机械能守恒定律 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
功能关系 WG＝－ΔEp等
能量守恒定律 E1＝E2
动量观点 动量定理 FΔt＝mv′－mv ①在涉及时间和速度，不涉及位移和加速度时要首先考虑运用动量定理。 ②若研究的对象为相互作用的物体组成的系统，一般考虑用动量守恒定律去解决，注意是否符合守恒条件。 ③碰撞、爆炸、反冲等问题因作用时间极短，一般都可以运用动量守恒定律。
动量守恒定律 p1＋p2＝p1′＋p2′
例1 (2024·甘肃卷，14)如图1，质量为2 kg的小球A(视为质点)在细绳O′P和OP作用下处于平衡状态，细绳O′P＝OP＝1.6 m，与竖直方向的夹角均为60°。质量为6 kg的木板B静止在光滑水平面上，质量为2 kg的物块C静止在B的左端，C的左端在O的正下方。剪断细绳O′P，小球A开始运动(重力加速度g取10 m/s2)
图1
(1)求A运动到最低点时细绳OP所受的拉力；
(2)A在最低点时，细绳OP断裂。A飞出后恰好与C左侧碰撞(时间极短)，碰后A竖直下落，C水平向右运动。求碰后瞬间C的速度大小；
(3)A、C碰后，C相对B滑行4 m后与B共速。求C和B之间的动摩擦因数。
答案　(1)40 N　(2)4 m/s　(3)0.15
解析　(1)对A从开始运动至运动到最低点的过程，根据动能定理有
mgl(1－cos 60°)＝mv－0
在最低点，对A由牛顿第二定律有
T－mg＝
根据牛顿第三定律得T′＝T
联立解得细绳受到的拉力T′＝40 N。
(2)碰后A竖直下落，说明碰后瞬间A的速度为零，动量为零。由于碰撞时间极短，则碰撞过程A、C组成的系统水平方向动量守恒，有
mv0＝0＋mvC
结合(1)问解得vC＝4 m/s。
(3)C与B相互作用的过程，系统所受合外力为零，动量守恒，则有
mvC＝(m＋3m)v共
根据能量守恒定律有mv＝(m＋3m)v＋μmgΔx
联立解得μ＝0.15。
例2 (2024·河南焦作一模)如图2所示，某商家为了吸引顾客而设计了一个趣味游戏，游戏轨道由一个水平直轨道ABC和一半径为R的竖直半圆光滑轨道CDE组成，水平直轨道AB段光滑，BC段粗糙。在半圆轨道圆心O左侧同一水平线上且距离O点2R处固定一个小网兜P，将原长小于AB段长度的轻弹簧水平置于AB段上，左端固定在竖直挡板上，物块1静置于B处。游戏者将物块2向左压缩弹簧到某一位置释放，若物块2与物块1碰撞后不粘连，物块1从半圆轨道最高点E飞出并落入网兜P内获一等奖，在DE圆弧段脱离轨道获二等奖，能够进入半圆轨道内获三等奖，其他情况都不能获奖。已知物块1的质量m＝0.2 kg，物块2的质量m0＝0.4 kg，R＝0.8 m，BC＝2R，两物块与粗糙水平面间的动摩擦因数均为μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2。两物块均可视为质点。求：
图2
(1)获一等奖时，物块1在E点对轨道的压力；
(2)获得二等奖时，物块1碰后的速度大小范围(结果可保留根号)；
(3)获得三等奖时，弹簧弹性势能的最小值。
答案　(1)2 N　方向竖直向上 (2)4 m/s≤v1≤2 m/s　(3)1.8 J
解析　(1)获得一等奖时，物块1从E点飞出后做平抛运动，设飞出的速度为vE，则2R＝vEt，R＝gt2
解得vE＝＝ m/s＝4 m/s
在E点，由牛顿第二定律得mg＋FN＝m
解得FN＝m－mg＝2 N
由牛顿第三定律知，物块1在E点对轨道的压力大小为2 N，方向竖直向上。
(2)在DE圆弧段脱离轨道获二等奖，则物块1在D点刚好脱离轨道，对应的速度为0。应用动能定理得μmg·2R＋mgR＝mv－0
解得v1min＝4 m/s
物块1在E点刚好脱离轨道，对应的速度设为vE
则有mg＝m
解得vE＝＝2 m/s
由E→B，由动能定理得
μmg·2R＋mg·2R＝mv－mv
解得v1max＝2 m/s
所以物块1碰后的速度大小范围为4 m/s≤v1≤2 m/s。
(3)获得三等奖时，物块1刚好能运动到C点，弹簧弹性势能最小，则
－μmg·2R＝0－mv1′2
解得v1′＝4 m/s
碰撞过程由动量守恒定律和能量守恒定律，则有m0v＝m0v′＋mv1′
m0v2＝m0v′2＋mv1′2
解得v＝3 m/s
弹簧的弹性势能最小值为
Ep＝m0v2＝×0.4×32 J＝1.8 J。
规范指导 (2024·四川成都七中检测)如图3所示，半径R＝1.0 m的四分之一圆弧形光滑轨道竖直放置，圆弧最低点B与长为L＝0.5 m的水平面BC相切于B点，BC离地面高h＝0.45 m，C点与一倾角为θ＝37°的光滑斜面连接，质量m＝1.0 kg的小滑块从圆弧上某点由静止释放，到达圆弧B点时小滑块对圆弧的压力刚好等于其重力的2倍，当小滑块运动到C点时与一个质量M＝2.0 kg的小球正碰，碰撞时间极短，碰后小滑块返回恰好停在B点，已知滑块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.1(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)。求：
图3
(1)小滑块应从圆弧上离地面多高处释放；
(2)两物体碰后小球第一次落点到C点的距离。
1.(2024·山东卷，17)如图4甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径R＝0.4 m，重力加速度大小g＝10 m/s2。
图4
(1)若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块在Q点的速度大小v；
(2)若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道的加速度a与F对应关系如图乙所示。
(ⅰ)求μ和m；
(ⅱ)初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力F＝8 N，当小物块到P点时撤去F，小物块从Q点离开轨道时相对地面的速度大小为7 m/s。求轨道水平部分的长度L。
答案　(1)4 m/s　(2)(ⅰ)0.2　1 kg　(ⅱ)4.5 m
解析　(1)对小物块在Q点，由牛顿第二定律有mg＋3mg＝m
解得v＝4 m/s。
(2)(ⅰ)根据题图乙分析可知，当外力F≤4 N时，轨道与小物块一起向左加速运动，对整体由牛顿第二定律有F＝(M＋m)a
变形得a＝F
结合题图乙可知＝ kg－1＝0.5 kg－1
当外力F>4 N时，轨道与小物块有相对滑动，对轨道由牛顿第二定律有
F－μmg＝Ma
变形得a＝F－
结合题图乙可知＝ kg－1＝1 kg－1
－＝－2 m/s2
联立解得M＝1 kg，m＝1 kg，μ＝0.2。
(ⅱ)根据题图乙可知，当F＝8 N时，轨道的加速度为a1＝6 m/s2，小物块的加速度为a2＝μg＝2 m/s2，方向均水平向左。
设经时间t0，小物块运动至轨道上的P点时，速度v2＝a2t0
此时轨道的速度v1＝a1t0
小物块从P点运动至Q点的过程，小物块与轨道组成的系统机械能守恒，系统水平方向上动量守恒，取水平向左为速度正方向，则有
Mv＋mv＝Mv＋mv＋2mgR
Mv1＋mv2＝Mv3＋mv4
其中v4＝7 m/s
联立并代入数据解得t0＝1.5 s(另一解不符合题意，舍去)
根据运动学规律有L＝a1t－a2t
解得L＝4.5 m。
2.(2024·安徽卷，14)如图5所示， 一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着轨道运动，已知细线长L＝1.25 m，小球质量m＝0.20 kg，物块、小车质量均为M＝0.30 kg，小车上的水平轨道长s＝1.0 m。圆弧轨道半径R＝0.15 m。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
图5
(1)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
(2)求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
(3)为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围。
答案　(1)6 N　(2)4 m/s　(3)0.25≤μ<0.4
解析　(1)对小球摆动到最低点的过程中，由动能定理有mgL＝mv－0
解得v0＝5 m/s
在最低点，对小球由牛顿第二定律有FT－mg＝m
解得小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为FT＝6 N。
(2)小球与物块碰撞过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律有mv0＝mv1＋Mv2
mv＝mv＋Mv
解得小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小为v2＝v0＝4 m/s。
(3)若物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，物块与小车整体水平方向动量守恒
Mv2＝2Mv3
由能量守恒定律有
Mv＝×2Mv＋μ1Mgs
解得μ1＝0.4
若物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置，此时两者共速，物块与小车整体水平方向动量守恒
Mv2＝2Mv4
由能量守恒定律有
Mv＝×2Mv＋μ2Mgs＋MgR
解得μ2＝0.25
综上所述物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围为0.25≤μ<0.4。
1.如图1所示，水平轨道OP光滑，PM粗糙，PM长L＝3.2 m。OM与半径R＝0.15 m的竖直半圆轨道MN平滑连接。小物块A自O点以v0＝14 m/s向右运动，与静止在P点的小物块B发生正碰(碰撞时间极短)，碰后A、B分开，A恰好运动到M点停止。A、B均看作质点，已知A的质量mA＝1.0 kg，B的质量mB＝2.0 kg，A、B与轨道PM间的动摩擦因数均为μ＝0.25，g取10 m/s2，求：
图1
(1)碰后A、B的速度大小；
(2)碰后B沿轨道PM运动到M所需时间；
(3)若B恰好能到达半圆轨道最高点N，求沿半圆轨道运动过程损失的机械能。
答案　(1)4 m/s　5 m/s　(2)0.8 s　(3)1.5 J
解析　(1)由牛顿第二定律，A、B在PM上滑行时的加速度大小相同，均为a，则
a＝＝＝μg＝2.5 m/s2
由运动学知识，对A有v＝2aL
解得碰后速度v1＝4 m/s
A、B相碰的过程中系统水平方向的动量守恒，选取向右为正方向，有mAv0＝mAv1＋mBv2
解得碰后B的速度v2＝5 m/s。
(2)对B物块，P到M的运动过程，有
L＝v2t－at2
解得t1＝3.2 s(不符合题意，舍去)，t2＝0.8 s
即所求时间t＝0.8 s。
(3)B在M点的速度大小v3＝v2－at
代入数值解得v3＝3 m/s
B恰好过N点，满足mBg＝mB
M到N过程，由功能关系可得
ΔE＝mBv－mBv－2mBgR
联立解得损失的机械能ΔE＝1.5 J。
2.(2024·福建泉州一模)如图2，左端固定在墙壁上的水平轻质弹簧，处于自然状态时另一端在光滑水平台面右端；质量为3m的小车静置于光滑的水平面上且紧靠平台，其左侧a端与台面等高，小车的上表面由长度为R的粗糙水平面ab和半径为R的四分之一圆弧形光滑轨道bc组成。质量为m的小物块P(与弹簧不拴接)在外力作用下将弹簧压缩至某一位置，由静止释放后从a端以大小为2(g为重力加速度大小)的速度滑上小车，恰好能到达顶端c。
图2
(1)求由静止释放时弹簧的弹性势能Ep；
(2)求P与ab间的动摩擦因数μ；
(3)请通过计算判断P是否会滑离小车？
答案　(1)2mgR　(2)0.5　(3)P会滑离小车
解析　(1)设弹簧恢复原长时，P的速度为v0，根据系统能量守恒有Ep＝mv
其中v0＝2
解得Ep＝2mgR。
(2)P恰好到达顶端c时，此时P与小车共速，设此时速度大小为v，根据水平方向动量守恒有
mv0＝(m＋3m)v
根据能量守恒定律有
mv＝(m＋3m)v2＋mgR＋μmgR
解得μ＝0.5。
(3)设小物块P最终停在小车上，小物块在粗糙水平面ab上的相对路程为s，由于水平方向动量守恒，可知，此时P与小车速度大小仍然为v，根据系统能量守恒定律有mv－(m＋3m)v2＝μmgs
解得s＝3R
由于s＞2R
故P会滑离小车。
3.(2024·河北石家庄模拟)如图3所示，在光滑的水平面上有一质量为2m的小车，车上固定一处于自然长度的轻质弹簧，将质量为2m的光滑木块放在小车上，整个装置静止。现长为L的细线系着一个质量为m的小球，将小球拉至与竖直方向成θ＝60°角的A位置从静止开始释放，摆到最低点B时，刚好能与木块相碰(相碰时间极短)，相碰后小球反弹的速度大小为碰撞前的一半，木块与弹簧、小车相互作用的过程中无机械能损失，已知当地的重力加速度为g。求：
图3
(1)小球与木块相碰前的速度；
(2)在木块压缩弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能；
(3)木块和小车最终运动的速度大小。
答案　(1)　方向水平向右　(2)mgL (3)0　
解析　(1)小球下摆过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得
mgL＝mv
解得v0＝，方向水平向右
(2)小球与木块碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得
mv0＝mv球＋2mv木块
由题意可知v球＝－
解得v木块＝
弹簧弹性势能最大时木块与小车速度相等，木块与小车组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得2mv木块＝(2m＋2m)v
由能量守恒定律得
×2mv＝(2m＋2m)v2＋Ep
解得v＝，Ep＝mgL。
(3)木块与小车组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得
2mv木块＝2mv木块′＋2mv小车
由机械能守恒定律得
×2mv＝×2mv木块′2＋×2mv
解得v木块′＝0，v小车＝。
4.(2024·浙江6月选考，18)一弹射游戏装置竖直截面如图4所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R的光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE平滑连接。长为L、质量为M的平板紧靠长为d的固定凹槽EFGH侧壁EF放置，平板上表面与DEH齐平。将一质量为m的小滑块从A端弹射，经过轨道BCD后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达HG即被锁定。已知R＝0.5 m，d＝4.4 m，L＝1.8 m，M＝m＝0.1 kg，平板与滑块间的动摩擦因数μ1＝0.6、与凹槽水平底面FG间的动摩擦因数为μ2。滑块视为质点，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
图4
(1)滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时，求滑块离开弹簧时速度v0的大小；
(2)若μ2＝0，滑块恰好过C点，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
(3)若μ2＝0.1，滑块能到达H点，求其离开弹簧时的最大速度vm。
答案　(1)5 m/s　(2)0.625 J　(3)6 m/s
解析　(1)对滑块从离开弹簧到运动至圆形轨道最高点的过程，由动能定理有
－mg·2R＝mv－mv
滑块恰能通过圆形轨道最高点，则在最高点C，根据牛顿第二定律有
mg＝
联立并代入数据解得v0＝5 m/s。
(2)若μ2＝0，则滑块滑上平板与之相互作用的过程，滑块与平板组成的系统所受的合外力为零，动量守恒，故有mv0＝(M＋m)v共
根据能量守恒定律有ΔE＝mv－(M＋m)v
联立并代入数据解得ΔE＝0.625 J。
(3)经分析可知，当滑块滑至平板右端且恰好与平板共速时，对应满足条件下滑块离开弹簧时的速度最大。滑块与平板相互作用的过程，对滑块由牛顿第二定律有μ1mg＝ma1
对平板由牛顿第二定律有μ1mg－μ2(M＋m)g＝Ma2
根据运动学规律有vm－a1t＝a2t
vmt－a1t2－a2t2＝L
联立并代入数据解得vm＝6 m/s。
5.(2023·浙江6月选考，18)为了探究物体间碰撞特性，设计了如图5所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为R＝0.4 m的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数k＝100 N/m的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量m＝0.12 kg的滑块a以初速度v0＝2 m/s从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞(时间极短)。已知传送带长L＝0.8 m，以v＝2 m/s的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，其他摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能Ep＝kx2(x为形变量)。
图5
(1)求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN；
(2)若滑块a碰后返回到B点时速度vB＝1 m/s，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能ΔE；
(3)若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差Δx。
答案　(1)10 m/s　31.2 N　(2)0　(3)0.2 m
解析　(1)滑块a以初速度v0从D处进入竖直圆弧轨道DEF运动，由动能定理有
mg·2R＝mv－mv
解得vF＝10 m/s
在最低点F，由牛顿第二定律有FN－mg＝m
解得FN＝31.2 N。
(2)碰撞后滑块a返回到B点的过程，
由动能定理有
－mg·2R－μmgL＝mv－mv
解得va＝5 m/s
滑块a、b碰撞过程，由动量守恒定律有
mvF＝－mva＋3mvb
解得vb＝5 m/s
碰撞过程中损失的机械能
ΔE＝mv－mv－×3mv＝0。
(3)滑块a碰撞b后立即被粘住，由动量守恒定律有
mvF＝(m＋3m)vab
解得vab＝2.5 m/s
滑块a、b一起向右运动，压缩弹簧，a、b减速运动，c加速运动，当a、b、c三者速度相等时，弹簧长度最小，由动量守恒定律有
(m＋3m)vab＝(m＋3m＋2m)vabc
解得vabc＝ m/s
由机械能守恒定律有
Ep1＝×4mv－×6mv
解得Ep1＝0.5 J
由Ep1＝kx解得最大压缩量x1＝0.1 m
滑块a、b一起继续向右运动，弹簧弹力使c继续加速，使a、b继续减速，当弹簧弹力减小到零时，c速度最大，a、b速度最小；滑块a、b一起再继续向右运动，弹簧弹力使c减速，a、b加速，当a、b、c三者速度相等时，弹簧长度最大，其对应的弹性势能与弹簧长度最小时弹性势能相等，由弹簧的弹性势能公式可知最大伸长量x2＝0.1 m
所以碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差Δx＝x1＋x2＝0.2 m。(共47张PPT)
增分培优3　力学三大观点的综合应用
专题二　能量与动量
目 录
CONTENTS
增分培优
01
课时跟踪训练
03
链接高考真题
02
增分培优
1
力学三大观点对比
图1
例1 (2024·甘肃卷，14)如图1，质量为2 kg的小球A(视为质点)在细绳O′P和OP作用下处于平衡状态，细绳O′P＝OP＝1.6 m，与竖直方向的夹角均为60°。质量为6 kg的木板B静止在光滑水平面上，质量为2 kg的物块C静止在B的左端，C的左端在O的正下方。剪断细绳O′P，小球A开始运动(重力加速度g取10 m/s2)
(1)求A运动到最低点时细绳OP所受的拉力；
(2)A在最低点时，细绳OP断裂。A飞出后恰好与C左侧碰撞(时间极短)，碰后A竖直下落，C水平向右运动。求碰后瞬间C的速度大小；
(3)A、C碰后，C相对B滑行4 m后与B共速。求C和B之间的动摩擦因数。
解析　(1)对A从开始运动至运动到最低点的过程，根据动能定理有
根据牛顿第三定律得T′＝T
联立解得细绳受到的拉力T′＝40 N。
(2)碰后A竖直下落，说明碰后瞬间A的速度为零，动量为零。由于碰撞时间极短，则碰撞过程A、C组成的系统水平方向动量守恒，有
mv0＝0＋mvC
结合(1)问解得vC＝4 m/s。
(3)C与B相互作用的过程，
系统所受合外力为零，动量守恒，则有
mvC＝(m＋3m)v共
例2 (2024·河南焦作一模)如图2所示，某商家为了吸引顾客而设计了一个趣味游戏，游戏轨道由一个水平直轨道ABC和一半径为R的竖直半圆光滑轨道CDE组成，水平直轨道AB段光滑，BC段粗糙。在半圆轨道圆心O左侧同一水平线上且距离O点2R处固定一个小网兜P，将原长小于AB段长度的轻弹簧水平置于AB段上，左端固定在竖直挡板上，物块1静置于B处。游戏者将物块2向左压缩弹簧到某一位置释放，若物块2与物块1碰撞后不粘连，物块1从半圆轨道最高点E飞出并落入网兜P内获一等奖，在DE圆弧段脱离轨道获二等奖，能够进入半圆轨道内获三等奖，其他情况都不能获奖。已知物块1的质量m＝0.2 kg，物块2的质量m0＝0.4 kg，R＝0.8 m，BC＝2R，两物块与粗糙水平面间的动摩擦因数均为μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2。两物块均可视为质点。求：
(1)获一等奖时，物块1在E点对轨道的压力；
(2)获得二等奖时，物块1碰后的速度大小范围(结果可保留根号)；
(3)获得三等奖时，弹簧弹性势能的最小值。
图2
解析　(1)获得一等奖时，物块1从E点飞出后做平抛运动，设飞出的速度为vE，
由牛顿第三定律知，物块1在E点对轨道的压力大小为2 N，方向竖直向上。
(2)在DE圆弧段脱离轨道获二等奖，则物块1在D点刚好脱离轨道，对应的速度为0。
由E→B，由动能定理得
解得v1′＝4 m/s
碰撞过程由动量守恒定律和能量守恒定律，
则有m0v＝m0v′＋mv1′
解得v＝3 m/s
弹簧的弹性势能最小值为
规范指导 (2024·四川成都七中检测)如图3所示，半径R＝1.0 m的四分之一圆弧形光滑轨道竖直放置，圆弧最低点B与长为L＝0.5 m的水平面BC相切于B点，BC离地面高h＝0.45 m，C点与一倾角为θ＝37°的光滑斜面连接，质量m＝1.0 kg的小滑块从圆弧上某点由静止释放，到达圆弧B点时小滑块对圆弧的压力刚好等于其重力的2倍，当小滑块运动到C点时与一个质量M＝2.0 kg的小球正碰，碰撞时间极短，碰后小滑块返回恰好停在B点，已知滑块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.1(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)。求：
(1)小滑块应从圆弧上离地面多高处释放；
(2)两物体碰后小球第一次落点到C点的距离。
图3
链接高考真题
2
1.(2024·山东卷，17)如图4甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径R＝0.4 m，重力加速度大小g＝10 m/s2。
图4
(1)若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块在Q点的速度大小v；
(ⅰ)求μ和m；
(ⅱ)初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力F＝8 N，当小物块到P点时撤去F，小物块从Q点离开轨道时相对地面的速度大小为7 m/s。求轨道水平部分的长度L。
(2)若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道的加速度a与F对应关系如图乙所示。
解析　(1)对小物块在Q点，
答案　(1)4 m/s　(2)(ⅰ)0.2　1 kg　(ⅱ)4.5 m
解得v＝4 m/s。
(2)(ⅰ)根据题图乙分析可知，当外力F≤4 N时，轨道与小物块一起向左加速运动，对整体由牛顿第二定律有F＝(M＋m)a
联立解得M＝1 kg，m＝1 kg，μ＝0.2。
当外力F>4 N时，轨道与小物块有相对滑动，对轨道由牛顿第二定律有
F－μmg＝Ma
设经时间t0，小物块运动至轨道上的P点时，速度v2＝a2t0
此时轨道的速度v1＝a1t0
小物块从P点运动至Q点的过程，小物块与轨道组成的系统机械能守恒，系统水平方向上动量守恒，取水平向左为速度正方向，则有
(ⅱ)根据题图乙可知，当F＝8 N时，轨道的加速度为a1＝6 m/s2，小物块的加速度为a2＝μg＝2 m/s2，方向均水平向左。
解得L＝4.5 m。
Mv1＋mv2＝Mv3＋mv4
其中v4＝7 m/s
联立并代入数据解得t0＝1.5 s(另一解不符合题意，舍去)
2.(2024·安徽卷，14)如图5所示， 一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着轨道运动，已知细线长L＝1.25 m，小球质量m＝0.20 kg，物块、小车质量均为M＝0.30 kg，小车上的水平轨道长s＝1.0 m。圆弧轨道半径R＝0.15 m。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
图5
(1)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
(2)求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
(3)为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，
求物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围。
答案　(1)6 N　(2)4 m/s　(3)0.25≤μ<0.4
解析　(1)对小球摆动到最低点的过程中，由动能定理有
解得小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为FT＝6 N。
(2)小球与物块碰撞过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律有
mv0＝mv1＋Mv2
(3)若物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，
物块与小车整体水平方向动量守恒Mv2＝2Mv3
解得μ1＝0.4
若物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置，此时两者共速，物块与小车整体水平方向动量守恒Mv2＝2Mv4
解得小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小为
解得μ2＝0.25
综上所述物块与水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围为
0.25≤μ<0.4。
课时跟踪训练
3
1.如图1所示，水平轨道OP光滑，PM粗糙，PM长L＝3.2 m。OM与半径R＝0.15 m的竖直半圆轨道MN平滑连接。小物块A自O点以v0＝14 m/s向右运动，与静止在P点的小物块B发生正碰(碰撞时间极短)，碰后A、B分开，A恰好运动到M点停止。A、B均看作质点，已知A的质量mA＝1.0 kg，B的质量mB＝2.0 kg，A、B与轨道PM间的动摩擦因数均为μ＝0.25，g取10 m/s2，求：
图1
(1)碰后A、B的速度大小；
(2)碰后B沿轨道PM运动到M所需时间；
(3)若B恰好能到达半圆轨道最高点N，求沿半圆轨道运动过程损失的机械能。
答案　(1)4 m/s　5 m/s　(2)0.8 s　(3)1.5 J
解析　(1)由牛顿第二定律，A、B在PM上滑行时的加速度大小相同，均为a，则
解得碰后速度v1＝4 m/s
A、B相碰的过程中系统水平方向的动量守恒，选取向右为正方向，有mAv0＝mAv1＋mBv2
解得碰后B的速度v2＝5 m/s。
(2)对B物块，P到M的运动过程，有
解得t1＝3.2 s(不符合题意，舍去)，t2＝0.8 s
即所求时间t＝0.8 s。
(3)B在M点的速度大小v3＝v2－at
代入数值解得v3＝3 m/s
(1)求由静止释放时弹簧的弹性势能Ep；
(2)求P与ab间的动摩擦因数μ；
(3)请通过计算判断P是否会滑离小车？
图2
答案　(1)2mgR　(2)0.5　(3)P会滑离小车
解析　(1)设弹簧恢复原长时，P的速度为v0，
解得Ep＝2mgR。
(2)P恰好到达顶端c时，此时P与小车共速，设此时速度大小为v，根据水平方向动量守恒有
mv0＝(m＋3m)v
根据能量守恒定律有
解得μ＝0.5。
(3)设小物块P最终停在小车上，小物块在粗糙水平面ab上的相对路程为s，由于水平方向动量守恒，可知，此时P与小车速度大小仍然为v，
解得s＝3R
由于s＞2R
故P会滑离小车。
3.(2024·河北石家庄模拟)如图3所示，在光滑的水平面上有一质量为2m的小车，车上固定一处于自然长度的轻质弹簧，将质量为2m的光滑木块放在小车上，整个装置静止。现长为L的细线系着一个质量为m的小球，将小球拉至与竖直方向成θ＝60°角的A位置从静止开始释放，摆到最低点B时，刚好能与木块相碰(相碰时间极短)，相碰后小球反弹的速度大小为碰撞前的一半，木块与弹簧、小车相互作用的过程中无机械能损失，已知当地的重力加速度为g。求：
图3
(1)小球与木块相碰前的速度；
(2)在木块压缩弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能；
(3)木块和小车最终运动的速度大小。
解析　(1)小球下摆过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得
(2)小球与木块碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得
mv0＝mv球＋2mv木块
弹簧弹性势能最大时木块与小车速度相等，木块与小车组成的系统动量守恒，以向右为正方向，
由动量守恒定律得2mv木块＝(2m＋2m)v
由能量守恒定律得
(3)木块与小车组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得
2mv木块＝2mv木块′＋2mv小车
4.(2024·浙江6月选考，18)一弹射游戏装置竖直截面如图4所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R的光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE平滑连接。长为L、质量为M的平板紧靠长为d的固定凹槽EFGH侧壁EF放置，平板上表面与DEH齐平。将一质量为m的小滑块从A端弹射，经过轨道BCD后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达HG即被锁定。已知R＝0.5 m，d＝4.4 m，L＝1.8 m，M＝m＝0.1 kg，平板与滑块间的动摩擦因数μ1＝0.6、与凹槽水平底面FG间的动摩擦因数为μ2。滑块视为质点，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
图4
(1)滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时，求滑块离开弹簧时速度v0的大小；
(2)若μ2＝0，滑块恰好过C点，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
(3)若μ2＝0.1，滑块能到达H点，求其离开弹簧时的最大速度vm。
答案　(1)5 m/s　(2)0.625 J　(3)6 m/s
解析　(1)对滑块从离开弹簧到运动至圆形轨道最高点的过程，由动能定理有
(2)若μ2＝0，则滑块滑上平板与之相互作用的过程，滑块与平板组成的系统所受的合外力为零，动量守恒，故有mv0＝(M＋m)v共
联立并代入数据解得ΔE＝0.625 J。
(3)经分析可知，当滑块滑至平板右端且恰好与平板共速时，对应满足条件下滑块离开弹簧时的速度最大。滑块与平板相互作用的过程，对滑块由牛顿第二定律有μ1mg＝ma1
对平板由牛顿第二定律有μ1mg－μ2(M＋m)g＝Ma2
根据运动学规律有vm－a1t＝a2t
联立并代入数据解得vm＝6 m/s。
(1)求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN；
(2)若滑块a碰后返回到B点时速度vB＝1 m/s，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能ΔE；
(3)若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差Δx。
图5
答案　(1)10 m/s　31.2 N　(2)0　(3)0.2 m
解析　(1)滑块a以初速度v0从D处进入竖直圆弧轨道DEF运动，由动能定理有
解得FN＝31.2 N。
(2)碰撞后滑块a返回到B点的过程，
由动能定理有
解得va＝5 m/s
滑块a、b碰撞过程，由动量守恒定律有
mvF＝－mva＋3mvb
解得vb＝5 m/s
碰撞过程中损失的机械能
(3)滑块a碰撞b后立即被粘住，
由动量守恒定律有mvF＝(m＋3m)vab
解得vab＝2.5 m/s
滑块a、b一起向右运动，
压缩弹簧，a、b减速运动，c加速运动，当a、b、c三者速度相等时，弹簧长度最小，由动量守恒定律有(m＋3m)vab＝(m＋3m＋2m)vabc
解得Ep1＝0.5 J
滑块a、b一起继续向右运动，弹簧弹力使c继续加速，
使a、b继续减速，当弹簧弹力减小到零时，c速度最大，a、b速度最小；滑块a、b一起再继续向右运动，弹簧弹力使c减速，a、b加速，当a、b、c三者速度相等时，弹簧长度最大，其对应的弹性势能与弹簧长度最小时弹性势能相等，由弹簧的弹性势能公式可知最大伸长量x2＝0.1 m
所以碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差Δx＝x1＋x2＝0.2 m。

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