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增分培优4　动态圆模型　磁聚焦与磁发散模型
旋转圆 适用条件 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，半径一定，速度方向不同
应用方法 将半径为r＝的圆绕入射点进行旋转，从而找出临界条件 旋转圆的圆心在以入射点P为圆心、半径r＝的圆上
例1 (多选)(2024·安徽芜湖二模)如图1甲所示，在x轴及其上方存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向不断地发射速度大小均为v＝1×106 m/s、质量为m＝1×10－15 kg、带电荷量为q＝1×10－9 C的同种带电正粒子。在x轴上距离原点1 m处垂直于x轴放置一个长度为1 m、厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板P(粒子一旦打在金属板P上立即被接收)。现观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力。π＝3，则被薄金属板接收的粒子运动的时间可能为(　　)
图1
A.1.1×10－6 s B.1.4×10－6 s C.2.5×10－6 s D.4.6×10－6 s
放缩圆 适用条件 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同
应用方法 以入射点P为定点，轨迹圆的圆心位于粒子处于入射点时所受洛伦兹力所在的射线PP′上，将半径放缩作轨迹圆，粒子轨迹与磁场边界相切是恰好不射出磁场的临界状态
例2 如图2所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、dc的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量均为m、电荷量均为q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子重力和粒子间的相互作用。则下列分析中正确的是(　　)
图2
A.粒子带负电
B.从M点射出粒子的速率一定大于从N点射出粒子的速率
C.从M点射出粒子在磁场中所用时间一定小于从N点射出粒子所用时间
D.所有粒子中射出磁场时所用的最短时间为
平移圆 适用条件 粒子的入射点位置不同但在同一直线上，速度大小、方向均一定
应用方法 轨迹圆的半径相同，将半径为r＝的圆沿入射点所在的直线进行平移，从而找到临界条件 轨迹圆的所有圆心在一条直线上
例3 如图3所示，有一等腰直角三角形AOC，直角边长为3d，AOC区域范围内(包含边界)存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为＋q的粒子可在直角边AO上的不同位置垂直边界、垂直磁场射入，入射速度大小为，D、E是AO边界上的两点(图中未画出)，AD＝EO＝0.5d，不计粒子重力，则(　　)
图3
A.粒子在磁场做圆周运动的半径为2d
B.粒子距A点(＋1)d处射入，恰好不从AC边界出射
C.从D点射入的粒子，在磁场中运动的时间为
D.从E点射入的粒子，在磁场中运动的时间为
磁聚焦与磁发散 成立条件：磁场区域圆的半径等于轨迹圆的半径r＝ 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射速度方向平行
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行
例4 (2024·辽宁朝阳二模)如图4所示的直角坐标系，在横轴下方有一半径为R的圆形磁场区域，与x轴相切于坐标原点。在－R＜y＜0的范围内沿y方向均匀分布着大量质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，它们以平行于x轴的相同初速度射入圆形磁场区域，均恰能由O点射入第一象限的矩形磁场区域OPQN内，矩形磁场区域的长度为其宽度的2倍。已知在矩形磁场区域内运动时间最长的粒子转过的圆心角为，两磁场区域的磁感应强度大小均为B，不计粒子重力。求：
图4
(1)粒子的初速度v0；
(2)矩形磁场区域的宽度a；
(3)从PQ边射出的粒子数与射入磁场的总粒子数的比。
1.(多选)如图1所示，在边长为L的正方形区域ABCD内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m，电荷量为q的带电粒子(不计重力)，分别以相同的速率v从A点沿不同方向垂直磁场方向射入磁场，当沿AC方向射入时，垂直于BC边射出磁场。则粒子(　　)
图1
A.带负电
B.运动速率v＝
C.在磁场中运动的最长时间tm＝
D.在磁场中运动的最长时间tm＝
2.(多选)如图2所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B＝。现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t(不计重力)。则下列判断中正确的是(　　)
图2
A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
B.该匀强磁场的磁感应强度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为d
D.粒子进入磁场时速度大小为
3.(多选)如图3所示，a、b是直线上间距为4d的两点，也是半圆直径的两个端点，c位于ab上，且ac＝d，直线上方存在着磁感应强度大小为B、垂直于半圆平面的匀强磁场(未画出)，其中半圆内部没有磁场。一群比荷为k的同种带电粒子从a、c之间以相同的速率垂直于ab射入圆弧区域，所有粒子都能通过b点，不计粒子间的相互作用和粒子的重力，则(　　)
图3
A.粒子的速率为2dBk
B.粒子的速率为dBk
C.从c点射入的粒子在磁场中运动的时间为
D.从c点射入的粒子在磁场中运动的时间为
4.(2024·江西南昌一模)如图4所示，在PM和QK之间有大量相同的带电粒子以同一速度沿水平方向射入以O点为圆心、半径为R的圆形匀强磁场区域，该磁场方向垂直纸面向外，PM与圆心O在同一水平直线上，PM和QK间的距离为0.5R。已知所有粒子均从O点正下方的N点射出圆形磁场区域，立即进入下方垂直于纸面向里的匀强磁场，并都能打到水平挡板的下表面，挡板的左侧紧贴N点。已知下方磁场的磁感应强度是上方磁场的2倍。不计粒子重力及粒子间的相互作用。挡板下表面有粒子打到的区域长度为(　　)
图4
A.R B.R C.R D.R
5.(多选)(2024·四川绵阳高三诊断)如图5所示，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场分布在以O为圆心、R为半径的圆形区域内，MNCA是矩形，MN为圆形磁场的直径，AM＝R，AC为一感光板、M处有一粒子源，能沿纸面向圆内不同方向以相同速率均匀发射质子(质量为m，电荷量为q，重力不计)。已知沿MO方向射入磁场的质子，经磁场偏转后，恰好打到感光板上C处。不计质子间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
图5
A.质子的速度大小为
B.射入磁场的质子有一半打在感光板上
C.能打到感光板上的质子在磁场中运动的最长时间为
D.若电子以的速率从N点沿NO方向射入磁场，则电子会打在感光板上
6.(多选)如图6，长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场中(磁场空间足够大、图中未画出)，磁感应强度为B。挡板左侧O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为＋q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知图中初速度与ON夹角为60°时发射的粒子恰好经过N点，ON＝a，ON⊥MN。不计粒子重力，不考虑粒子的反弹和粒子间的相互作用。则(　　)
图6
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为a
B.挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C.能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的
D.挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a
7.(多选) (2024·河南名校模拟)某个粒子分析装置的简化示意图如图7所示，在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出)中，有一圆心为O、半径为R的圆形无磁场区域，在圆形边界的P点处有一α粒子发射源，可在图示∠GPH＝90°范围内沿纸面随机向磁场区域发射速度大小相同的α粒子，在圆经过P点的直径上，固定一长度为2R的荧光挡板， α粒子击中荧光挡板后被吸收并发出荧光。已知PG与直径QP延长线的夹角为30°，α粒子的质量为m，电荷量为q。不计α粒子的重力和粒子间的相互作用，当α粒子的速度为v＝时，下列说法正确的是(　　)
图7
A.所有进入圆形区域的α粒子均垂直击中荧光挡板
B.荧光挡板上α粒子打到的区域长度为R，且击中荧光挡板的α粒子的位置均匀分布
C.α粒子在磁场中运动的最长时间为
D.α粒子在无磁场区域运动的最长时间为
8.(多选) (2024·黑龙江哈尔滨市模拟)如图8所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2 m，O为BC的中点，磁感应强度B＝0.25 T，一群质量m＝1×10－7 kg，电荷量q＝－2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×
103 m/s垂直于BO，从BO之间射入磁场区域，带电粒子不计重力，则(　　)
图8
A.在AC边界上有粒子射出的长度为(－1)m
B.C点有粒子射出
C.在AB边界上有粒子射出的长度为1 m
D.磁场中运动时间最长粒子从底边距B点(－1)m处入射
9.(多选)(2024·山东青岛模拟预测)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图9，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(　　)
图9
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)r
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为r
10.(2024·广西柳州三模)如图10所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，OO′连线与ad边平行，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成θ＝53°角方向以不同的初速度v射入磁场，已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 53°＝0.8，不计粒子重力和粒子间的相互作用。
图10
(1)求恰好从O′点射出磁场的粒子的速度大小；
(2)要使粒子从ad边离开磁场，求初速度v的取值范围。
11.(2024·辽东南协作体联考)“太空粒子探测器”由加速、偏转和收集三部分组成，其原理可简化为如图11所示。辐射状的加速电场区域 Ⅰ 边界为两个同心平行的网状金属扇形弧面，O1为圆心，圆心角θ为120°，外圆弧面AB与内圆弧面CD间的电势差为U0，M为外圆弧的中点。紧靠O1右侧有一圆形匀强磁场区域 Ⅱ ，圆心为O2，半径为L，磁场方向垂直于纸面向外且磁感应强度大小B＝。在磁场区域下方相距L处有一足够长的收集板PNQ。已知MO1O2和PNQ为两条平行线，且与O2、N连线垂直。假设太空中飘浮着质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们能均匀地吸附到AB弧面并经电场从静止开始加速，然后从O1进入磁场，并最终到达PNQ板被收集，忽略一切万有引力和粒子间的作用力。求：
图11
(1)粒子经电场加速后，进入磁场时的速度v的大小；
(2)粒子在磁场中运动的轨迹半径r；
(3)粒子到达收集板沿PQ方向的长度。
增分培优4　动态圆模型　磁聚焦与磁发散模型
旋转圆 适用条件 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，半径一定，速度方向不同
应用方法 将半径为r＝的圆绕入射点进行旋转，从而找出临界条件 旋转圆的圆心在以入射点P为圆心、半径r＝的圆上
例1 (多选)(2024·安徽芜湖二模)如图1甲所示，在x轴及其上方存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向不断地发射速度大小均为v＝1×106 m/s、质量为m＝1×10－15 kg、带电荷量为q＝1×10－9 C的同种带电正粒子。在x轴上距离原点1 m处垂直于x轴放置一个长度为1 m、厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板P(粒子一旦打在金属板P上立即被接收)。现观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力。π＝3，则被薄金属板接收的粒子运动的时间可能为(　　)
图1
A.1.1×10－6 s B.1.4×10－6 s C.2.5×10－6 s D.4.6×10－6 s
答案　ABD
解析　如图甲所示，由观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，可知粒子做圆周运动的半径为1 m，结合r＝，可知磁感应强度为B＝1 T，打在P左侧下端的粒子在磁场中偏转的角度是60°，此时运动时间最短，可得被薄金属板接收的粒子在磁场运动的最短时间(被P左侧接收到的粒子在磁场中运动的最短时间)
　
tmin＝T＝·＝1×10－6 s，被P左侧接收到的粒子在磁场中运动时间最长，粒子轨迹对应的圆心角为90°，此时运动时间t2＝T＝·＝1.5×10－6 s，被P右侧接收到的粒子在磁场中运动时间最短的粒子轨迹对应的圆心角为270°，此时粒子运动时间t3＝T＝·＝4.5×10－6 s，打在P右侧下端的粒子在磁场中运动的时间最长，此时粒子轨迹对应的圆心角为300°，如图乙所示，最长时间tmax＝T＝·＝5×10－6 s，粒子能被P接收时，粒子在磁场中运动时间应满足tmin≤t≤t2，或t3≤t≤tmax，故A、B、D正确。
放缩圆 适用条件 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同
应用方法 以入射点P为定点，轨迹圆的圆心位于粒子处于入射点时所受洛伦兹力所在的射线PP′上，将半径放缩作轨迹圆，粒子轨迹与磁场边界相切是恰好不射出磁场的临界状态
例2 如图2所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、dc的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量均为m、电荷量均为q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子重力和粒子间的相互作用。则下列分析中正确的是(　　)
图2
A.粒子带负电
B.从M点射出粒子的速率一定大于从N点射出粒子的速率
C.从M点射出粒子在磁场中所用时间一定小于从N点射出粒子所用时间
D.所有粒子中射出磁场时所用的最短时间为
答案　D
解析　粒子做逆时针的匀速圆周运动，根据左手定则可知，粒子带正电，A错误；根据qvB＝m，得v＝，从M点射出粒子的圆半径更小，则速度更小，B错误；由t＝T＝·，粒子运动周期相同，运动轨迹对应的圆心角θ越大，粒子运动时间越长，由几何关系可知，当运动轨迹的弦与bc圆弧相切时，θ最小，运动时间最短，如图所示，Ob等于R，由几何关系可知，此时运动轨迹对应的圆心角为120°，则最短时间为tmin＝·＝，M、N两点具体位置未知，则无法判断从M点射出粒子所用时间和从N点射出粒子所用时间的大小关系，C错误，D正确。
平移圆 适用条件 粒子的入射点位置不同但在同一直线上，速度大小、方向均一定
应用方法 轨迹圆的半径相同，将半径为r＝的圆沿入射点所在的直线进行平移，从而找到临界条件 轨迹圆的所有圆心在一条直线上
例3 如图3所示，有一等腰直角三角形AOC，直角边长为3d，AOC区域范围内(包含边界)存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为＋q的粒子可在直角边AO上的不同位置垂直边界、垂直磁场射入，入射速度大小为，D、E是AO边界上的两点(图中未画出)，AD＝EO＝0.5d，不计粒子重力，则(　　)
图3
A.粒子在磁场做圆周运动的半径为2d
B.粒子距A点(＋1)d处射入，恰好不从AC边界出射
C.从D点射入的粒子，在磁场中运动的时间为
D.从E点射入的粒子，在磁场中运动的时间为
答案　D
解析　由洛伦兹力提供向心力，可得qvB＝m，解得r＝＝d，故A错误；粒子刚好不出磁场区域的运动轨迹如图甲所示。
恰好与AC相切，根据几何关系可得，此时入射点到A的距离为x＝(－1)d，即入射点到A点距离大于(－1)d的粒子都不从AC边界出射，故B错误；从D点射入的粒子，运动轨迹为半圆，如图乙所示，在磁场中运动的时间为t＝＝，从E点射入的粒子运动轨迹如图乙所示，由几何关系可知cos θ＝＝0.5，即圆心角为60°，粒子在磁场中运动的时间为t′＝T＝，故C错误，D正确。
磁聚焦与磁发散 成立条件：磁场区域圆的半径等于轨迹圆的半径r＝ 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射速度方向平行
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行
例4 (2024·辽宁朝阳二模)如图4所示的直角坐标系，在横轴下方有一半径为R的圆形磁场区域，与x轴相切于坐标原点。在－R＜y＜0的范围内沿y方向均匀分布着大量质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，它们以平行于x轴的相同初速度射入圆形磁场区域，均恰能由O点射入第一象限的矩形磁场区域OPQN内，矩形磁场区域的长度为其宽度的2倍。已知在矩形磁场区域内运动时间最长的粒子转过的圆心角为，两磁场区域的磁感应强度大小均为B，不计粒子重力。求：
图4
(1)粒子的初速度v0；
(2)矩形磁场区域的宽度a；
(3)从PQ边射出的粒子数与射入磁场的总粒子数的比。
答案　(1)　(2)R　(3)
解析　(1)设粒子在磁场区域内做匀速圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律，有qv0B＝
因为入射的粒子均由O点进入第一象限，是磁聚焦模型，有r＝R
解得v0＝。
(2)设在矩形区域内运动时间最长的粒子其速度方向与y轴正方向夹角为θ
由题意知，其轨迹与PQ边刚好相切，由几何关系得rsin θ＋rcos θ＝2a
rsin θ＋a＝r
解得a＝R，sin θ＝。
(3)设在矩形区域内运动时间最长的粒子，其射入圆形磁场区域时的纵坐标为－y1，由几何关系得
R－y1＝Rsin θ
所求粒子占比为
代入数据得＝。
1.(多选)如图1所示，在边长为L的正方形区域ABCD内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m，电荷量为q的带电粒子(不计重力)，分别以相同的速率v从A点沿不同方向垂直磁场方向射入磁场，当沿AC方向射入时，垂直于BC边射出磁场。则粒子(　　)
图1
A.带负电
B.运动速率v＝
C.在磁场中运动的最长时间tm＝
D.在磁场中运动的最长时间tm＝
答案　BC
解析　由左手定则可知粒子带正电，选项A错误；根据粒子的运动轨迹可知r＝L，由qvB＝m，可得v＝，选项B正确；从C点射出的粒子在磁场中运动的时间最长，圆弧所对应的圆心角为60°，则最长时间为tm＝·＝，选项C正确，D错误。
2.(多选)如图2所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B＝。现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t(不计重力)。则下列判断中正确的是(　　)
图2
A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
B.该匀强磁场的磁感应强度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为d
D.粒子进入磁场时速度大小为
答案　ABC
解析　带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T，即为T＝t，则得周期为T＝4t，故A正确；由 T＝4t，R＝，
T＝，得B＝＝，故B正确；运动时间最长的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有＋rsin ＝d，解得r＝d，故C正确；根据粒子在磁场中运动的速度为v＝，周期为T＝4t，半径为r＝d，联立可得v＝，故D错误。
3.(多选)如图3所示，a、b是直线上间距为4d的两点，也是半圆直径的两个端点，c位于ab上，且ac＝d，直线上方存在着磁感应强度大小为B、垂直于半圆平面的匀强磁场(未画出)，其中半圆内部没有磁场。一群比荷为k的同种带电粒子从a、c之间以相同的速率垂直于ab射入圆弧区域，所有粒子都能通过b点，不计粒子间的相互作用和粒子的重力，则(　　)
图3
A.粒子的速率为2dBk
B.粒子的速率为dBk
C.从c点射入的粒子在磁场中运动的时间为
D.从c点射入的粒子在磁场中运动的时间为
答案　AD
解析　画出粒子的运动轨迹如图甲所示，由几何关系可知，四边形eO1bO为菱形，可知粒子运动的轨迹半径为r＝2d，根据qvB＝m可得粒子的速率为v＝2dBk，A正确，B错误；粒子从c点射入时，其轨迹如图乙所示，由几何关系可知，粒子运动的轨迹圆心正好在圆弧ab上，可知粒子在磁场中转过的角度为240°，则运动时间t＝T＝＝，C错误，D正确。
4.(2024·江西南昌一模)如图4所示，在PM和QK之间有大量相同的带电粒子以同一速度沿水平方向射入以O点为圆心、半径为R的圆形匀强磁场区域，该磁场方向垂直纸面向外，PM与圆心O在同一水平直线上，PM和QK间的距离为0.5R。已知所有粒子均从O点正下方的N点射出圆形磁场区域，立即进入下方垂直于纸面向里的匀强磁场，并都能打到水平挡板的下表面，挡板的左侧紧贴N点。已知下方磁场的磁感应强度是上方磁场的2倍。不计粒子重力及粒子间的相互作用。挡板下表面有粒子打到的区域长度为(　　)
图4
A.R B.R C.R D.R
答案　C
解析　根据题意，由于所有带电粒子均从O点正下方的N点射出圆形磁场区域，画出带电粒子的运动轨迹如图所示，入射方向垂直于圆形磁场直径，且从同一点射出，则轨迹半径等于磁场圆的半径，有qvB＝m，解得v＝；粒子进入下方磁场，半径R′＝＝R，由几何关系可得挡板下表面有粒子打到的区域长度ΔL＝2R′－2R′sin 60°＝R，C正确。
5.(多选)(2024·四川绵阳高三诊断)如图5所示，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场分布在以O为圆心、R为半径的圆形区域内，MNCA是矩形，MN为圆形磁场的直径，AM＝R，AC为一感光板、M处有一粒子源，能沿纸面向圆内不同方向以相同速率均匀发射质子(质量为m，电荷量为q，重力不计)。已知沿MO方向射入磁场的质子，经磁场偏转后，恰好打到感光板上C处。不计质子间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
图5
A.质子的速度大小为
B.射入磁场的质子有一半打在感光板上
C.能打到感光板上的质子在磁场中运动的最长时间为
D.若电子以的速率从N点沿NO方向射入磁场，则电子会打在感光板上
答案　BC
解析　沿MO方向射入磁场的质子，经磁场偏转后，恰好打到感光板上C处，则由几何关系有tan θ＝＝，可得θ＝60°，质子在磁场中运动的轨迹圆的圆心恰好在A点，由几何关系有轨迹半径r＝MA＝R，又qvB＝m，解得v＝，故A错误；在MN右侧射入磁场的质子均可以到达感光板，在MN左侧射入磁场的质子均无法到达感光板，即射入磁场的质子有一半打在感光板上，故B正确；由于质子在磁场中运动的轨迹半径是一定的，在能打到感光板上的质子中，打到C点的质子在磁场中运动的时间最长，为t＝·＝，故C正确；由于电子的质量远小于质子的质量，在速率相同的情况下，电子在磁场中运动的轨迹半径r′ r，所以其从N点沿NO方向射入后不会打在感光板上，故D错误。
6.(多选)如图6，长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场中(磁场空间足够大、图中未画出)，磁感应强度为B。挡板左侧O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为＋q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知图中初速度与ON夹角为60°时发射的粒子恰好经过N点，ON＝a，ON⊥MN。不计粒子重力，不考虑粒子的反弹和粒子间的相互作用。则(　　)
图6
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为a
B.挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C.能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的
D.挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a
答案　CD
解析　所有粒子运动的轨道半径都相等，当粒子初速度与ON夹角为60°时，粒子运动轨迹如图中1所示，
由几何关系可知2rcos 30°＝a，可得r＝a，故A错误；当轨迹刚好与MN相切时，粒子能打到板上长度最大，如图轨迹2，设速度方向与ON夹角为θ，由几何关系可得rsin θ＋r＝a，可得sin θ＝－1，则挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为l＝rcos θ＝a，故B错误；要使粒子打在右侧，有两个临界条件，如图中的轨迹1、3，由几何关系可知1、3的初速度夹角为α＝60°，则能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的n＝＝，故C正确；如图粒子1打在MN上的点与O1N、O1M组成顶角为60°的等腰三角形，所以由几何关系可知板的右侧被粒子击中的竖直长度为y＝r＝a，故D正确。
7.(多选) (2024·河南名校模拟)某个粒子分析装置的简化示意图如图7所示，在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出)中，有一圆心为O、半径为R的圆形无磁场区域，在圆形边界的P点处有一α粒子发射源，可在图示∠GPH＝90°范围内沿纸面随机向磁场区域发射速度大小相同的α粒子，在圆经过P点的直径上，固定一长度为2R的荧光挡板， α粒子击中荧光挡板后被吸收并发出荧光。已知PG与直径QP延长线的夹角为30°，α粒子的质量为m，电荷量为q。不计α粒子的重力和粒子间的相互作用，当α粒子的速度为v＝时，下列说法正确的是(　　)
图7
A.所有进入圆形区域的α粒子均垂直击中荧光挡板
B.荧光挡板上α粒子打到的区域长度为R，且击中荧光挡板的α粒子的位置均匀分布
C.α粒子在磁场中运动的最长时间为
D.α粒子在无磁场区域运动的最长时间为
答案　AD
解析　α粒子在磁场中运动的轨迹半径为r＝＝R，
则从P点射出的α粒子运动的轨迹如图，由几何关系可知，四边形O′MOP为菱形，可知O′M水平，则从M点进入圆形区域的粒子速度竖直向下，垂直击中荧光挡板，选项A正确；沿着PG方向射出的粒子打到挡板上的位置最远，由几何关系可知，最远点与P点的距离为2R－Rsin 30°＝R，并且从O到P，距P点越近，粒子数量越多，粒子分布不均匀，选项B错误；沿着PH方向射出的粒子在磁场中运动的时间最长，由几何关系可知粒子在磁场中转过的角度为330°，则最长时间t＝·＝，选项C错误；水平向左射出的α粒子在无磁场区域运动的时间最长，为t′＝＝，选项D正确。
8.(多选) (2024·黑龙江哈尔滨市模拟)如图8所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2 m，O为BC的中点，磁感应强度B＝0.25 T，一群质量m＝1×10－7 kg，电荷量q＝－2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×
103 m/s垂直于BO，从BO之间射入磁场区域，带电粒子不计重力，则(　　)
图8
A.在AC边界上有粒子射出的长度为(－1)m
B.C点有粒子射出
C.在AB边界上有粒子射出的长度为1 m
D.磁场中运动时间最长粒子从底边距B点(－1)m处入射
答案　ACD
解析　粒子在磁场中偏转，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，粒子在磁场中运动的轨道半径为R＝＝ m＝1 m，作出粒子在磁场中的运动轨迹图，如图所示。由图可知，能从AC边射出的粒子长度为＝R－R＝(－1)m，故A正确；粒子不可能到达C点，故B错误；由图可知，在AB边界上有粒子射出的长度为BF＝R＝1 m，故C正确；磁场中运动时间最长粒子运动半个圆周，轨迹与AB、AC相切，由图可知从底边距B点(－1)m处入射，故D正确。
9.(多选)(2024·山东青岛模拟预测)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图9，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(　　)
图9
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)r
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为r
答案　BC
解析　根据磁聚焦原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为r0，有qvB0＝m，解得B0＝，要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子在正方形区域磁场中的轨迹半径2r0，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有qvB1＝m，解得B1＝＝B0，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确； 如图所示，磁场区域的最小面积为Smin＝2(π－2)r，C正确，D错误。
10.(2024·广西柳州三模)如图10所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，OO′连线与ad边平行，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成θ＝53°角方向以不同的初速度v射入磁场，已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 53°＝0.8，不计粒子重力和粒子间的相互作用。
图10
(1)求恰好从O′点射出磁场的粒子的速度大小；
(2)要使粒子从ad边离开磁场，求初速度v的取值范围。
答案　(1)　(2)＜v≤
解析　(1)从O′点射出磁场的粒
子的运动轨迹如图甲
根据几何关系可知运动半径为r＝
根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
解得v＝。
(2)当粒子轨迹与ad边相切时，如图乙所示
设此时初速度为v01，轨道半径为r1，由几何关系可得
r1＋r1sin 53°＝0.4l
又qv01B＝m，解得v01＝
若粒子运动轨迹能与cd边相切，如图丙所示
设此时初速度为v02，轨道半径为r2，由几何关系可得
r2＋r2cos 53°＝l
解得r2＝l
O2a＝l－r2＝l
又O2a＝＝0.3l，两次计算结果不一致
可知粒子轨迹不能与cd边相切，从d点射出时速度最大，如图丁所示。根据几何关系可知
r2′cos θ＋r2′cos α＝l
r2′sin θ－r2′sin α＝0.4l
解得r2′＝l
根据洛伦兹力提供向心力有qv02B＝m
解得v02＝
综上可得11.(2024·辽东南协作体联考)“太空粒子探测器”由加速、偏转和收集三部分组成，其原理可简化为如图11所示。辐射状的加速电场区域 Ⅰ 边界为两个同心平行的网状金属扇形弧面，O1为圆心，圆心角θ为120°，外圆弧面AB与内圆弧面CD间的电势差为U0，M为外圆弧的中点。紧靠O1右侧有一圆形匀强磁场区域 Ⅱ ，圆心为O2，半径为L，磁场方向垂直于纸面向外且磁感应强度大小B＝。在磁场区域下方相距L处有一足够长的收集板PNQ。已知MO1O2和PNQ为两条平行线，且与O2、N连线垂直。假设太空中飘浮着质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们能均匀地吸附到AB弧面并经电场从静止开始加速，然后从O1进入磁场，并最终到达PNQ板被收集，忽略一切万有引力和粒子间的作用力。求：
图11
(1)粒子经电场加速后，进入磁场时的速度v的大小；
(2)粒子在磁场中运动的轨迹半径r；
(3)粒子到达收集板沿PQ方向的长度。
答案　(1)　(2)L　(3)L
解析　(1)粒子经电场加速，根据动能定理有qU0＝mv2
解得粒子进入磁场时的速度大小v＝。
(2)根据洛伦兹力提供带电粒子做圆周运动的向心力，有qvB＝m
解得粒子在磁场中运动的轨迹半径r＝L。
(3)所有从AB圆弧面进入的粒子进入磁场时的速度大小相等，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径相等且等于磁场圆的半径，相同的带电粒子从同一点以相同的速率入射，则出射方向相同，且出射方向垂直于入射点所在的直径。它们经过磁场后都从磁场边界垂直于PNQ方向射出，最终到达PNQ板被收集，带电粒子的运动轨迹如图所示。
从各个带电粒子的运动轨迹可以看出，轨迹1对应的粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最小，所以从A点进入的粒子到达收集板的最左端，根据几何知识可知该粒子的速度方向偏转了30°，轨迹1、2对应的粒子打在板上位置的距离
x12＝L－r(1－cos 30°)＝L
根据几何关系可得轨迹2、3对应的粒子打在板上位置的距离x23＝rcos 30°＝L
粒子到达收集板沿PQ方向的长度d＝x12＋x23＝L。(共46张PPT)
增分培优4　动态圆模型　磁聚焦与磁发散模型
专题三　电场与磁场
目 录
CONTENTS
增分培优
01
课时跟踪训练
02
增分培优
1
图1
ABD
例1 (多选)(2024·安徽芜湖二模)如图1甲所示，在x轴及其上方存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向不断地发射速度大小均为v＝1×106 m/s、质量为m＝1×10－15 kg、带电荷量为q＝1×10－9 C的同种带电正粒子。在x轴上距离原点1 m处垂直于x轴放置一个长度为1 m、厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板P(粒子一旦打在金属板P上立即被接收)。现观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力。π＝3，则被薄金属板接收的粒子运动的时间可能为(　 　)
A.1.1×10－6 s B.1.4×10－6 s C.2.5×10－6 s D.4.6×10－6 s
放缩圆 适用条件 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同
应用方法
以入射点P为定点，轨迹圆的圆心位于粒子处于入射点时所受洛伦兹力所在的射线PP′上，将半径放缩作轨迹圆，粒子轨迹与磁场边界相切是恰好不射出磁场的临界状态
图2
D
例2 如图2所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、dc的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量均为m、电荷量均为q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子重力和粒子间的相互作用。则下列分析中正确的是(　　)
图3
D
带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射速度方向平行
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行
图4
(1)粒子的初速度v0；
(2)矩形磁场区域的宽度a；
(3)从PQ边射出的粒子数与射入磁场的总粒子数的比。
解析　(1)设粒子在磁场区域内做匀速圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律，
(2)设在矩形区域内运动时间最长的粒子其速度方向与y轴正方向夹角为θ
由题意知，其轨迹与PQ边刚好相切，由几何关系得
rsin θ＋rcos θ＝2a
rsin θ＋a＝r
(3)设在矩形区域内运动时间最长的粒子，其射入圆形磁场区域时的纵坐标为
－y1，由几何关系得
R－y1＝Rsin θ
课时跟踪训练
2
BC
1.(多选)如图1所示，在边长为L的正方形区域ABCD内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m，电荷量为q的带电粒子(不计重力)，分别以相同的速率v从A点沿不同方向垂直磁场方向射入磁场，当沿AC方向射入时，垂直于BC边射出磁场。则粒子(　　)
基础保分练
图1
ABC
图2
AD
3.(多选)如图3所示，a、b是直线上间距为4d的两点，也是半圆直径的两个端点，c位于ab上，且ac＝d，直线上方存在着磁感应强度大小为B、垂直于半圆平面的匀强磁场(未画出)，其中半圆内部没有磁场。一群比荷为k的同种带电粒子从a、c之间以相同的速率垂直于ab射入圆弧区域，所有粒子都能通过b点，不计粒子间的相互作用和粒子的重力，则(　　)
图3
C
4.(2024·江西南昌一模)如图4所示，在PM和QK之间有大量相同的带电粒子以同一速度沿水平方向射入以O点为圆心、半径为R的圆形匀强磁场区域，该磁场方向垂直纸面向外，PM与圆心O在同一水平直线上，PM和QK间的距离为0.5R。已知所有粒子均从O点正下方的N点射出圆形磁场区域，立即进入下方垂直于纸面向里的匀强磁场，并都能打到水平挡板的下表面，挡板的左侧紧贴N点。已知下方磁场的磁感应强度是上方磁场的2倍。不计粒子重力及粒子间的相互作用。挡板下表面有粒子打到的区域长度为(　　)
图4
BC
图5
CD
图6
解析　所有粒子运动的轨道半径都相等，当粒子初速度与ON夹角为60°时，粒子运动轨迹如图中1所示，
图7
ACD
8.(多选) (2024·黑龙江哈尔滨市模拟)如图8所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2 m，O为BC的中点，磁感应强度B＝0.25 T，一群质量m＝1×10－7 kg，电荷量q＝－2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×103 m/s垂直于BO，从BO之间射入磁场区域，带电粒子不计重力，则(　　 )
图8
9.(多选)(2024·山东青岛模拟预测)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图9，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(　　)
图9
10.(2024·广西柳州三模)如图10所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，OO′连线与ad边平行，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成θ＝53°角方向以不同的初速度v射入磁场，已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 53°＝0.8，不计粒子重力和粒子间的相互作用。
图10
(1)求恰好从O′点射出磁场的粒子的速度大小；
(2)要使粒子从ad边离开磁场，求初速度v的取值范围。
解析　(1)从O′点射出磁场的粒
子的运动轨迹如图甲
可知粒子轨迹不能与cd边相切，从d点射出时速度最大，如图丁所示。根据几何关系可知
r2′cos θ＋r2′cos α＝l
r2′sin θ－r2′sin α＝0.4l
图11
(1)粒子经电场加速后，进入磁场时的速度v的大小；
(2)粒子在磁场中运动的轨迹半径r；
(3)粒子到达收集板沿PQ方向的长度。
(3)所有从AB圆弧面进入的粒子进入磁场时的速度大小相等，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径相等且等于磁场圆的半径，相同的带电粒子从同一点以相同的速率入射，则出射方向相同，且出射方向垂直于入射点所在的直径。它们经过磁场后都从磁场边界垂直于PNQ方向射出，最终到达PNQ板被收集，带电粒子的运动轨迹如图所示。
从各个带电粒子的运动轨迹可以看出，轨迹1对应的粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最小，所以从A点进入的粒子到达收集板的最左端，根据几何知识可知该粒子的速度方向偏转了30°，轨迹1、2对应的粒子打在板上位置的距离
根据几何关系可得轨迹2、3对应的粒子打在板上位置的距离

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