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第12课时　电磁感应
【知识网络】
热点一　楞次定律与法拉第电磁感应定律的应用
1.感应电流方向的判断方法
2.感应电动势大小的求法
情境图 研究对象 表达式
回路(不一定闭合) 三种形式 E＝ E＝n E＝
一段直导线(或等效直导线) E＝Blv
绕一端转动的一段导体棒 E＝Bl2ω
绕与B垂直的轴转动的导线框 从图示时刻计时 e＝NBSωcos ωt
3.通过回路截面的电荷量q＝Δt＝Δt＝。q仅与n、ΔΦ和回路总电阻
R总有关，与时间长短无关，与Φ是否均匀变化无关。
例1 (2024·北京卷，6)如图1所示，线圈M和线圈P绕在同一个铁芯上，下列说法正确的是(　　)
图1
A.闭合开关瞬间，线圈M和线圈P相互吸引
B.闭合开关，达到稳定后，电流表的示数为0
C.断开开关瞬间，流过电流表的电流方向由a到b
D.断开开关瞬间，线圈P中感应电流的磁场方向向左
例2 (多选)(2024·安徽合肥联考)如图2甲所示，一圆形金属线圈上半部分处于匀强磁场中，线圈匝数为n，线圈固定不动。t＝0时匀强磁场的磁感应强度的方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间t变化的关系图像如图乙所示，已知线圈的半径为r，线圈总电阻为R，则(　　)
图2
A.线圈中的感应电流的方向在t0时刻发生改变
B.线圈受到的安培力方向始终竖直向上
C.t＝0时刻，线圈受到的安培力大小为
D.0～t0时间内通过导线某横截面的电荷量为
训练1 (多选)(2024·陕西西安模拟预测)用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r R)的圆环，圆环竖直向下落入如图3所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B。圆环在加速下落过程中某一时刻的速度为v，忽略电感的影响，下列说法正确的是(　　)
图3
A.下落过程圆环中磁通量不变
B.此时圆环受到竖直向上的安培力作用
C.此时圆环的加速度大小为－g
D.如果径向磁场足够深，则圆环的最大速度为
vm＝
热点二　电磁感应中的电路和图像问题
例3 在如图4甲所示的电路中，电阻R1＝R2＝R，单匝圆形金属线圈半径为r1，线圈导线的电阻也为R，半径为r2(r2＜r1)的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图乙所示，图线与横、纵轴的交点坐标分别为t0和B0，其余导线的电阻不计。t＝0时闭合S，至t1时刻，电路中的电流已稳定，下列说法正确的是(　　)
图4
A.线圈中产生的感应电动势的大小为
B.电容器下极板带负电
C.t0时间内通过R1的电荷量为
D.稳定后线圈两端的电压为
训练2 (多选)(2024·江西萍乡二模)如图5所示，光滑平行金属导轨左端接一定值电阻R，水平置于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨上有一质量为m，电阻为R的导体棒ab以初速度v0向右运动，已知导体棒长度为d，导轨间距为L，导轨电阻不计，导体棒的瞬时速度为v，所受安培力大小为F，流过导体棒的电荷量为q，导体棒两端的电压U，下列描述各物理量随时间t或位移x变化的图像正确的是(　　)
图5
热点三　电磁感应中的动力学和能量问题
例4 (2024·浙江杭州二模)如图6所示，固定的一对长金属导轨，间距为L＝0.5 m，其水平部分与倾斜部分均足够长。导轨的水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B1，其左侧连接了电源G。导轨的倾斜部分倾角θ＝37°且处于平行斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨上正对的P、Q两处各有一小段用绝缘材料制成，长度不计。质量均为m＝0.25 kg的导电杆甲、乙静止在导轨上，均与导轨垂直，甲与导轨摩擦不计，电阻R1＝ Ω，乙的电阻R2＝ Ω。某时刻起电源G开始工作，输出恒定电流I0＝0.5 A，经t0＝3 s，使甲运动到P、Q处，电源G立即停止工作。当甲越过P、Q瞬间，再对其施加一个沿导轨水平向右的恒力F＝1.6 N，此时乙恰好开始运动。已知B1＝B2＝1 T，不计除导电杆外所有电阻，不计回路自身激发磁场，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g＝10 m/s2，求：
图6
(1)甲通过P、Q时的速度大小；
(2)乙与倾斜导轨间的动摩擦因数；
(3)电源G输出的总能量。
拓展 如图7所示，为回收部分能量，在倾斜导轨下方接上开关S和C＝0.1 F的电容器，开始时电容器不带电，现闭合开关S，其他条件不变，已知在甲通过P、Q后10 s内位移为102 m，产生的焦耳热为49 J，此时电容器已达到最大稳定电压。当电容器电压为UC时，其储能为EC＝CU。忽略电磁辐射，求此过程中，乙上产生的焦耳热(该结果保留3位有效数字)。
图7
训练3 (多选)(2024·湖南模拟预测)如图8所示，两条电阻不计的光滑平行导轨AED和BFC与水平面成θ角，平行导轨之间间距为L，一劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在O点，弹簧中心轴线与轨道平行，另一端与质量为m、电阻为R1的导体棒相连接，导轨的一端连接定值电阻R2，匀强磁场垂直穿过导轨平面ABCD，AB到CD距离足够大，磁感应强度大小为B0，O点到AB的距离等于弹簧的原长，导体棒从AB位置静止释放，到达EF位置时速度达到最大，AB到EF距离为d，导体棒始终与轨道良好垂直接触，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
图8
A.导体棒在AB位置时，加速度为gsin θ
B.到达EF时导体棒最大速度为
C.下滑到最低点的过程中导体棒机械能先增大后减小
D.导体棒最终可以回到AB位置
1.(2024·江苏卷，10)如图9所示，在绝缘的水平面上，有闭合的两个线圈a、b，线圈a处在垂直纸面向里的匀强磁场中，线圈b位于右侧无磁场区域，现将线圈a从磁场中匀速拉出，线圈a、b中产生的感应电流方向分别是(　　)
图9
A.顺时针，顺时针 B.顺时针，逆时针
C.逆时针，顺时针 D.逆时针，逆时针
2.(2024·广东卷，4)电磁俘能器可在汽车发动机振动时利用电磁感应发电实现能量回收，结构如图10甲所示。两对永磁铁可随发动机一起上下振动，每对永磁铁间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，磁场中，边长为L的正方形线圈竖直固定在减震装置上。某时刻磁场分布与线圈位置如图乙所示，永磁铁振动时磁场分界线不会离开线圈。关于图乙中的线圈，下列说法正确的是(　　)
图10
A.穿过线圈的磁通量为BL2
B.永磁铁相对线圈上升越高，线圈中感应电动势越大
C.永磁铁相对线圈上升越快，线圈中感应电动势越小
D.永磁铁相对线圈下降时，线圈中感应电流的方向为顺时针方向
3.(2024·湖南卷，4)如图11，有一硬质导线Oabc，其中是半径为R的半圆弧，b为圆弧的中点，直线段Oa长为R且垂直于直径ac。该导线在纸面内绕O点逆时针转动，导线始终在垂直纸面向里的匀强磁场中。则O、a、b、c各点电势关系为(　　)
图11
A.φO>φa>φb>φc B.φO<φa<φb<φc
C.φO>φa>φb＝φc D.φO<φa<φb＝φc
4.(2024·浙江6月选考，13)如图12所示，边长为1 m、电阻为0.04 Ω的刚性正方形线框abcd放在匀强磁场中，线框平面与磁场垂直。若线框固定不动，磁感应强度以＝0.1 T/s均匀增大时，线框的发热功率为P；若磁感应强度恒为0.2 T，线框以某一角速度绕其中心轴OO′匀速转动时，线框的发热功率为2P，则ab边所受最大的安培力为(　　)
图12
A. N B. N C.1 N D. N
5.(多选)(2024·黑吉辽卷，9)如图13，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好。ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度为g。两棒在下滑过程中(　　)
图13
A.回路中的电流方向为abcda
B.ab中电流趋于
C.ab与cd加速度大小之比始终为2∶1
D.两棒产生的电动势始终相等
基础保分练
1.(2024·安徽芜湖二模)用材料相同粗细均匀的导线做成如图1所示的单匝线圈，线圈构成一个闭合回路。左侧小圆的半径为2d，中间大圆的半径为3d，右侧小圆的半径为d，左侧两圆连接处缺口的长度可忽略不计，右侧两圆错开相交连通(麻花状)，将线圈固定在与线圈所在平面垂直的磁场中，磁感应强度大小为B＝B0＋kt，式中的B0和k为常量，则线圈中感应电动势的大小为(　　)
图1
A.14πd2k B.12πd2k C.6πd2k D.4πd2k
2.(2024·河北石家庄二检)为了使在磁场中转动的绝缘轮快速停下来，小明同学设计了以下四种方案：图2甲、乙中磁场方向与轮子的转轴平行，图甲中在轮上固定闭合金属线圈，图乙中在轮上固定未闭合金属线圈；图丙、丁中磁场方向与轮子的转轴垂直，图丙中在轮上固定一些闭合金属线框，图丁中在轮上固定一些细金属棒。四种方案中效果最好的是(　　)
图2
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.电磁制动原理是通过线圈与磁场的作用使物体做减速运动。如图3所示，某列车车底安装的电磁体产生磁场可视为匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向下。同种材料制成的粗细均匀的闭合正方形线框abcd，边长为L1，MN长为L2(L2＞L1)，若当列车MN部分刚越过ab时，速度大小为v，则ab两端的电势差Uab等于(　　)
图3
A.BL1v B.BL2v C.－BL1v D.－BL2v
4.(多选)(2024·河北石家庄质检)如图4甲所示，线圈A的匝数为50、电阻为3 Ω，在线圈A内加垂直线圈平面的磁场，t＝0时刻磁场方向垂直纸面向里，穿过线圈A的磁通量按图乙变化。电阻不计、间距为0.5 m的足够长水平光滑金属导轨MN、PQ通过开关S与线圈A相连，两导轨间存在垂直纸面的匀强磁场(图中未画出)。现将长度为0.5 m、电阻为1 Ω的导体棒ab垂直轻放在导轨MN、PQ上。t＝0时刻，闭合开关S，导体棒ab向右加速运动达到最大速度5 m/s后匀速运动，导体棒ab与导轨始终接触良好。下列说法正确的是(　　)
图4
A.t＝0时刻，线圈A产生的感应电动势为5 V
B.t＝0时刻，线圈A中的感应电流为2.5 A
C.两导轨间磁场的磁感应强度大小为2 T
D.两导轨间磁场的方向垂直MNQP平面向外
5.(2024·北京海淀区高三期末)如图5所示，两根足够长的平行金属导轨位于水平的xOy平面内。导轨与x轴平行，左端接有电阻R。在x≥0的一侧存在竖直向下的磁场，磁感应强度B随空间位置均匀变化，满足B＝B0＋kx(k＞0且为常量)。一金属杆与导轨垂直放置，且接触良好，在外力作用下沿x轴正方向匀速运动。t＝0时金属杆位于x＝0处，不计导轨和金属杆的电阻。下列关于金属杆两端的电压U和所受安培力F大小的图像可能正确的是(　　)
图5
6.(多选)如图6所示，竖直固定的光滑圆弧形金属导轨PQ半径为r，O为圆心，P、O之间用导线连接阻值为R的电阻。粗细均匀的轻质金属棒的一端通过铰链固定在O点，另一端连接质量为m的金属小球，小球套在导轨PQ上。初始时刻金属棒处于水平位置，小球、金属棒与导轨始终接触良好。过圆心O的水平线下方分布着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。已知重力加速度为g，金属棒总电阻为2R，小球、导轨及导线电阻不计，不计一切摩擦阻力。现将小球由静止释放，第一次运动到最低点时小球速度大小为v，在此过程中下列说法正确的是(　　)
图6
A.小球运动到最低点时，金属棒产生的感应电动势为Brv
B.小球运动到最低点时，金属棒两端的电压为
C.通过电阻R的电荷量为
D.电阻R上产生的焦耳热为mgr－mv2
7.如图7甲所示，间距为L＝1 m的长直平行金属导轨PQ、MN水平放置，其右端接有阻值为R＝1.5 Ω 的电阻，一阻值为r＝0.5 Ω、质量为m＝0.2 kg、长度为L的金属棒ab垂直导轨放置于距导轨右端d＝2 m处，与两导轨保持良好接触。整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小随时间变化的情况如图乙所示。在0～1.0 s 内金属棒ab保持静止，1.0 s后金属棒在水平外力的作用下运动，使回路的电流为零。导轨电阻不计，重力加速度g＝10 m/s2，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，下列说法正确的是(　　)
图7
A.动摩擦因数需等于0.5
B.前2 s内通过电阻R的电荷量为2 C
C.1 s后金属棒做匀加速直线运动
D.第2 s内金属棒的位移为1 m
提能增分练
8.(多选)(2024·重庆模拟预测)如图8所示，两个完全相同的竖直光滑圆形金属导轨平行放置，圆轨道半径为r，导轨电阻忽略不计；导轨组最低点为A，最右端为C，最高点为D，导轨组一端连接电阻R。空间中分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。金属棒垂直于导轨所在平面，在A 点以垂直于导轨的初速度v0开始运动，恰能通过D点，金属棒电阻忽略不计，重力加速度为g。则金属棒从A运动到D的过程中(　　)
图8
A.金属棒的速度先减小后增大
B.金属棒在AC间运动时间小于在CD间运动时间
C.金属棒从A运动到C过程中，电阻R生热大于－mgr
D.若撤去磁场，金属棒初速度不变，则一定能通过D点
9.(多选)(2024·河北沧州模拟预测)如图9所示，两间距为L、倾角为θ＝30°的平行光滑导轨下端接一个阻值为R的定值电阻，在与导轨垂直的边界MN、PQ之间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。由绝缘轻质杆连接的金属棒a、b垂直于导轨放置，从某位置由静止释放，轻质杆刚好匀速进入磁场区域。a、b两金属棒的质量均为m、电阻分别为R、2R，两金属棒间的距离为d，磁场宽度为2d，重力加速度为g。已知两个电动势相同的电源并联时电动势等于其中一个电源的电动势，内阻为两个电源内阻的并联电阻，下列说法正确的是(　　)
图9
A.在两金属棒进入磁场区域的过程中，D点电势高于C点电势
B.初始时a棒与MN的距离为
C.在两金属棒进入磁场区域的过程中，电阻R产生的热量为mgd
D.在金属棒b进入磁场区域瞬间，金属棒a的加速度为0
10.(2024·北京卷，18)如图10甲所示为某种“电磁枪”的原理图。在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R。开关闭合前电容器的电荷量为Q。
图10
(1)求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I；
(2)求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a；
(3)在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。
培优高分练
11.(2023·广东卷，14)光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域 Ⅰ 和 Ⅱ ，宽度均为h，其俯视图如图11(a)所示，两磁场磁感应强度随时间t的变化如图(b)所示，0～τ时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为2B0和B0，一电阻为R、边长为h的刚性正方形金属框abcd，平放在水平面上，ab、cd边与磁场边界平行，t＝0时，线框ab边刚好跨过区域 Ⅰ 的左边界以速度v向右运动，在τ时刻，ab边运动到距区域 Ⅰ 的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图(a)中的虚线框所示，随后在τ～2τ时间内， Ⅰ 区磁感应强度线性减小到0, Ⅱ 区磁场保持不变，2τ～3τ时间内， Ⅱ 区磁感应强度也线性减小到0。求：
图11
(1)t＝0时线框所受的安培力F；
(2)t＝1.2τ时穿过线框的磁通量Φ；
(3)2τ～3τ时间内，线框中产生的热量Q。
热点一　楞次定律与法拉第电磁感应定律的应用
1.感应电流方向的判断方法
2.感应电动势大小的求法
情境图 研究对象 表达式
回路(不一定闭合) 三种形式 E＝ E＝n E＝
一段直导线(或等效直导线) E＝Blv
绕一端转动的一段导体棒 E＝Bl2ω
绕与B垂直的轴转动的导线框 从图示时刻计时 e＝NBSωcos ωt
3.通过回路截面的电荷量q＝Δt＝Δt＝。q仅与n、ΔΦ和回路总电阻
R总有关，与时间长短无关，与Φ是否均匀变化无关。
例1 (2024·北京卷，6)如图1所示，线圈M和线圈P绕在同一个铁芯上，下列说法正确的是(　　)
图1
A.闭合开关瞬间，线圈M和线圈P相互吸引
B.闭合开关，达到稳定后，电流表的示数为0
C.断开开关瞬间，流过电流表的电流方向由a到b
D.断开开关瞬间，线圈P中感应电流的磁场方向向左
答案　B
解析　闭合开关瞬间，根据安培定则可知线圈M中突然产生向右的磁场，根据楞次定律可知，线圈P中感应电流的磁场方向向左，因此线圈M和线圈P相互排斥，A错误；线圈M中的磁场稳定后，线圈P中的磁通量也不再变化，则线圈P产生的感应电流为0，电流表示数为0，B正确；断开开关瞬间，线圈M中向右的磁场瞬间减为0，根据楞次定律可知，线圈P中感应电流的磁场方向向右，根据安培定则可知流过电流表的方向由b到a，C、D错误。
例2 (多选)(2024·安徽合肥联考)如图2甲所示，一圆形金属线圈上半部分处于匀强磁场中，线圈匝数为n，线圈固定不动。t＝0时匀强磁场的磁感应强度的方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间t变化的关系图像如图乙所示，已知线圈的半径为r，线圈总电阻为R，则(　　)
图2
A.线圈中的感应电流的方向在t0时刻发生改变
B.线圈受到的安培力方向始终竖直向上
C.t＝0时刻，线圈受到的安培力大小为
D.0～t0时间内通过导线某横截面的电荷量为
答案　CD
解析　由题意可知0～t0磁场方向垂直纸面向里，线圈中的磁通量逐渐减小，t0～2t0磁场方向垂直纸面向外，线圈中的磁通量逐渐增大，根据楞次定律可知线圈中的感应电流方向始终为顺时针方向，故A错误；t0时刻安培力的方向会发生改变，故B错误；根据法拉第电磁感应定律可得线圈中感应电动势的大小为E＝n＝n·，根据闭合电路欧姆定律可得，线圈中电流大小为I＝＝，t＝0时刻，线圈受到的安培力大小为F＝nILB0＝，故C正确；0～t0时间内通过导线某横截面的电荷量为q＝I·t0＝，故D正确。
训练1 (多选)(2024·陕西西安模拟预测)用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r R)的圆环，圆环竖直向下落入如图3所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B。圆环在加速下落过程中某一时刻的速度为v，忽略电感的影响，下列说法正确的是(　　)
图3
A.下落过程圆环中磁通量不变
B.此时圆环受到竖直向上的安培力作用
C.此时圆环的加速度大小为－g
D.如果径向磁场足够深，则圆环的最大速度为
vm＝
答案　BD
解析　由题意可知，圆环下落过程中切割磁感线产生感应电流，则磁通量一定变化，故A错误；根据右手定则，圆环中有(俯视)顺时针方向的感应电流，根据左手定则可知，圆环受到的安培力竖直向上，阻碍圆环的运动，故B正确；圆环落入磁感应强度为B的径向磁场中，产生的感应电动势E＝Blv＝B·2πRv，圆环的电阻R0＝ρ，电流I＝，圆环所受的安培力大小为F＝BI·2πR＝，由牛顿第二定律得mg－F＝ma，其中质量m＝dV＝d·2πR·πr2，联立解得a＝g－，故C错误；当圆环做匀速运动时，安培力与重力大小相等，加速度为零，速度最大，有a＝g－＝0，解得vm＝，故D正确。
热点二　电磁感应中的电路和图像问题
例3 在如图4甲所示的电路中，电阻R1＝R2＝R，单匝圆形金属线圈半径为r1，线圈导线的电阻也为R，半径为r2(r2＜r1)的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图乙所示，图线与横、纵轴的交点坐标分别为t0和B0，其余导线的电阻不计。t＝0时闭合S，至t1时刻，电路中的电流已稳定，下列说法正确的是(　　)
图4
A.线圈中产生的感应电动势的大小为
B.电容器下极板带负电
C.t0时间内通过R1的电荷量为
D.稳定后线圈两端的电压为
答案　D
解析　由法拉第电磁感应定律知感应电动势为E＝＝S＝，A错误；由楞次定律知圆形金属线圈中的感应电流方向为顺时针方向，金属线圈相当于电源，电源内部的电流从负极流向正极，则电容器的下极板带正电，上极板带负电，B错误；由闭合电路欧姆定律得感应电流为I＝＝，t0时间内通过R1的电荷量为q＝It0＝，C错误；稳定后线圈两端的电压为U＝I(R1＋R2)＝，D正确。
电磁感应中电路问题的解题流程
训练2 (多选)(2024·江西萍乡二模)如图5所示，光滑平行金属导轨左端接一定值电阻R，水平置于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨上有一质量为m，电阻为R的导体棒ab以初速度v0向右运动，已知导体棒长度为d，导轨间距为L，导轨电阻不计，导体棒的瞬时速度为v，所受安培力大小为F，流过导体棒的电荷量为q，导体棒两端的电压U，下列描述各物理量随时间t或位移x变化的图像正确的是(　　)
图5
答案　AC
解析　根据牛顿第二定律有F＝ILB＝ma，根据法拉第电磁感应定律有E＝BLv，其中I＝，解得F＝＝ma，可知导体棒的速度逐渐减小，且加速度逐渐减小，初始时刻安培力大小为，故A正确，D错误；根据欧姆定律可知U＝BLv＝BLv，则电压的最大值为BLv0，故B错误；根据电流的定义式有q＝Δt＝Δt＝＝，则q与x成正比，故C正确。
热点三　电磁感应中的动力学和能量问题
例4 (2024·浙江杭州二模)如图6所示，固定的一对长金属导轨，间距为L＝0.5 m，其水平部分与倾斜部分均足够长。导轨的水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B1，其左侧连接了电源G。导轨的倾斜部分倾角θ＝37°且处于平行斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨上正对的P、Q两处各有一小段用绝缘材料制成，长度不计。质量均为m＝0.25 kg的导电杆甲、乙静止在导轨上，均与导轨垂直，甲与导轨摩擦不计，电阻R1＝ Ω，乙的电阻R2＝ Ω。某时刻起电源G开始工作，输出恒定电流I0＝0.5 A，经t0＝3 s，使甲运动到P、Q处，电源G立即停止工作。当甲越过P、Q瞬间，再对其施加一个沿导轨水平向右的恒力F＝1.6 N，此时乙恰好开始运动。已知B1＝B2＝1 T，不计除导电杆外所有电阻，不计回路自身激发磁场，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g＝10 m/s2，求：
图6
(1)甲通过P、Q时的速度大小；
(2)乙与倾斜导轨间的动摩擦因数；
(3)电源G输出的总能量。
答案　(1)3 m/s　(2)　(3) J
解析　(1)对甲导电杆进行分析，根据牛顿第二定律有I0LB1＝ma1
根据速度公式有v0＝a1t0
解得v0＝3 m/s。
(2)甲导电杆刚刚通过P、Q时的感应电动势
E1＝BLv0
此时的感应电流I1＝
解得I1＝0.8 A
根据右手定则确定电流从上往下看，方向为逆时针，根据左手定则可知，乙导电杆所受安培力方向垂直于斜面向上，且大小为F1＝I1LB2
解得F1＝0.4 N
此时乙恰好开始运动，则有mgsin θ＝μ(mgcos θ－F1)
解得μ＝。
(3)根据能量守恒定律知，电源G输出的总能量
E＝mv＋IR1t0
解得E＝ J。
拓展 如图7所示，为回收部分能量，在倾斜导轨下方接上开关S和C＝0.1 F的电容器，开始时电容器不带电，现闭合开关S，其他条件不变，已知在甲通过P、Q后10 s内位移为102 m，产生的焦耳热为49 J，此时电容器已达到最大稳定电压。当电容器电压为UC时，其储能为EC＝CU。忽略电磁辐射，求此过程中，乙上产生的焦耳热(该结果保留3位有效数字)。
图7
答案　96.5 J
解析　对甲分析，在拉力作用下，先向右做加速度减小的变加速运动，最后做匀速直线运动，则有F＝I2LB1
感应电流I2＝
解得v1＝12 m/s
对甲分析，根据动能定理有
Fx甲＋W安＝mv－mv
根据功能关系有＝Q甲＋Q乙＋CU
其中UC＝B1Lv1
解得Q乙＝96.5 J。
1.电磁感应综合问题的解题思路
2.求解焦耳热Q的三种方法
(1)焦耳定律：Q＝I2Rt，适用于电流恒定的情况。
(2)功能关系：Q＝W克安(W克安为克服安培力做的功)。
(3)能量转化：Q＝ΔE(其他能的减少量)。
训练3 (多选)(2024·湖南模拟预测)如图8所示，两条电阻不计的光滑平行导轨AED和BFC与水平面成θ角，平行导轨之间间距为L，一劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在O点，弹簧中心轴线与轨道平行，另一端与质量为m、电阻为R1的导体棒相连接，导轨的一端连接定值电阻R2，匀强磁场垂直穿过导轨平面ABCD，AB到CD距离足够大，磁感应强度大小为B0，O点到AB的距离等于弹簧的原长，导体棒从AB位置静止释放，到达EF位置时速度达到最大，AB到EF距离为d，导体棒始终与轨道良好垂直接触，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
图8
A.导体棒在AB位置时，加速度为gsin θ
B.到达EF时导体棒最大速度为
C.下滑到最低点的过程中导体棒机械能先增大后减小
D.导体棒最终可以回到AB位置
答案　AB
解析　导体棒在AB位置只受重力和支持力，由mgsin θ＝ma，解得a＝gsin θ，故A正确；到达EF时速度达到最大，合力为0，受力分析可得mgsin θ－kd－B0IL＝0，其中I＝，解得到达EF时导体棒最大速度为v＝，故B正确；由于电路中焦耳热增加，弹簧弹性势能增加，根据能量守恒定律知，导体棒机械能不断减小，故C错误；整个过程中焦耳热增加，所以导体棒与弹簧组成的系统机械能减少，不能回到AB位置，故D错误。
1.(2024·江苏卷，10)如图9所示，在绝缘的水平面上，有闭合的两个线圈a、b，线圈a处在垂直纸面向里的匀强磁场中，线圈b位于右侧无磁场区域，现将线圈a从磁场中匀速拉出，线圈a、b中产生的感应电流方向分别是(　　)
图9
A.顺时针，顺时针 B.顺时针，逆时针
C.逆时针，顺时针 D.逆时针，逆时针
答案　A
解析　将线圈a匀速拉出磁场的过程中，穿过线圈a的磁通量垂直纸面向里且不断减小，则由楞次定律可知，线圈a中的感应电流在其内部产生的磁场垂直纸面向里，在其外部产生的磁场垂直纸面向外，由安培定则可知，线圈a中产生的感应电流方向为顺时针，C、D错误；由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律可知，线圈a中产生的感应电流大小不变，线圈a被拉出磁场，与线圈b的距离逐渐减小，则穿过线圈b的磁通量垂直纸面向外且不断增大，由楞次定律与安培定则可知线圈b中的感应电流为顺时针方向，A正确，B错误。
2.(2024·广东卷，4)电磁俘能器可在汽车发动机振动时利用电磁感应发电实现能量回收，结构如图10甲所示。两对永磁铁可随发动机一起上下振动，每对永磁铁间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，磁场中，边长为L的正方形线圈竖直固定在减震装置上。某时刻磁场分布与线圈位置如图乙所示，永磁铁振动时磁场分界线不会离开线圈。关于图乙中的线圈，下列说法正确的是(　　)
图10
A.穿过线圈的磁通量为BL2
B.永磁铁相对线圈上升越高，线圈中感应电动势越大
C.永磁铁相对线圈上升越快，线圈中感应电动势越小
D.永磁铁相对线圈下降时，线圈中感应电流的方向为顺时针方向
答案　D
解析　根据图乙可知此时穿过线圈的磁通量为0，故A错误；根据法拉第电磁感应定律可知永磁铁相对线圈上升越快，磁通量变化越快，线圈中感应电动势越大，故B、C错误；永磁铁相对线圈下降时，根据楞次定律可知线圈中感应电流的方向为顺时针方向，故D正确。
3.(2024·湖南卷，4)如图11，有一硬质导线Oabc，其中是半径为R的半圆弧，b为圆弧的中点，直线段Oa长为R且垂直于直径ac。该导线在纸面内绕O点逆时针转动，导线始终在垂直纸面向里的匀强磁场中。则O、a、b、c各点电势关系为(　　)
图11
A.φO>φa>φb>φc B.φO<φa<φb<φc
C.φO>φa>φb＝φc D.φO<φa<φb＝φc
答案　C
解析　由几何关系可知Oa＝R，Ob＝R，Oc＝R，根据E＝Bl2ω可得EOa＝BR2ω，EOb＝B·5R2ω＝BR2ω，EOc＝B·5R2ω＝BR2ω，又EOa＝φO－φa，EOb＝φO－φb，EOc＝φO－φc，结合右手定则可知φO>φa>φb＝φc，C正确。
4.(2024·浙江6月选考，13)如图12所示，边长为1 m、电阻为0.04 Ω的刚性正方形线框abcd放在匀强磁场中，线框平面与磁场垂直。若线框固定不动，磁感应强度以＝0.1 T/s均匀增大时，线框的发热功率为P；若磁感应强度恒为0.2 T，线框以某一角速度绕其中心轴OO′匀速转动时，线框的发热功率为2P，则ab边所受最大的安培力为(　　)
图12
A. N B. N C.1 N D. N
答案　C
解析　
5.(多选)(2024·黑吉辽卷，9)如图13，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好。ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度为g。两棒在下滑过程中(　　)
图13
A.回路中的电流方向为abcda
B.ab中电流趋于
C.ab与cd加速度大小之比始终为2∶1
D.两棒产生的电动势始终相等
答案　AB
解析　两导体棒均向下运动，穿过闭合回路的磁通量增加，根据楞次定律和安培定则可知回路中的电流方向为abcda，A正确；如图，对两导体棒受力分析，对ab棒有2mgsin 30°－2ILBcos 30°＝2ma1，对cd棒有mgsin 30°－ILBcos 30°＝ma2，可得a1＝a2＝－，则a1∶a2＝1∶1。初始时两导体棒均做加速运动，闭合回路的电动势增大，电流增大，导体棒受到的安培力增大，导体棒的加速度减小，最终加速度为零，此时I＝＝，B正确；由B项分析可知两导体棒加速阶段加速度大小之比为a1∶a2＝1∶1，最终加速度均为零，C错误；由于两棒的加速度大小始终相等，则两导体棒的速度大小始终相等，但两部分磁场的磁感应强度大小为两倍的关系，根据E＝BLv可知，两导体棒产生的电动势大小之比始终为2∶1，D错误。
基础保分练
1.(2024·安徽芜湖二模)用材料相同粗细均匀的导线做成如图1所示的单匝线圈，线圈构成一个闭合回路。左侧小圆的半径为2d，中间大圆的半径为3d，右侧小圆的半径为d，左侧两圆连接处缺口的长度可忽略不计，右侧两圆错开相交连通(麻花状)，将线圈固定在与线圈所在平面垂直的磁场中，磁感应强度大小为B＝B0＋kt，式中的B0和k为常量，则线圈中感应电动势的大小为(　　)
图1
A.14πd2k B.12πd2k C.6πd2k D.4πd2k
答案　B
解析　根据楞次定律可知，左侧小圆和中间大圆产生的感应电流方向相同，而右侧小圆产生的感应电流方向与左侧小圆和中间大圆的相反，根据法拉第电磁感应定律可得线圈中感应电动势的大小为E＝E左＋E中－E右＝S左＋S中－S右＝kπ(2d)2＋kπ(3d)2－kπd2＝12πd2k，故B正确。
2.(2024·河北石家庄二检)为了使在磁场中转动的绝缘轮快速停下来，小明同学设计了以下四种方案：图2甲、乙中磁场方向与轮子的转轴平行，图甲中在轮上固定闭合金属线圈，图乙中在轮上固定未闭合金属线圈；图丙、丁中磁场方向与轮子的转轴垂直，图丙中在轮上固定一些闭合金属线框，图丁中在轮上固定一些细金属棒。四种方案中效果最好的是(　　)
图2
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案　C
解析　题图甲、乙，当轮子转动时，穿过线圈的磁通量都是不变的，不会产生感应电流，则不会有磁场力阻碍轮子的转动，A、B错误；题图丙，在轮上固定一些闭合金属线框，线框长边与轮子转轴平行，当轮子转动时会产生感应电动势，形成感应电流，则会产生磁场力阻碍轮子转动，C正确；题图丁，在轮上固定一些细金属棒，当轮子转动时会产生感应电动势，但是不会形成感应电流，即不会产生磁场力阻碍轮子转动，D错误。
3.电磁制动原理是通过线圈与磁场的作用使物体做减速运动。如图3所示，某列车车底安装的电磁体产生磁场可视为匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向下。同种材料制成的粗细均匀的闭合正方形线框abcd，边长为L1，MN长为L2(L2＞L1)，若当列车MN部分刚越过ab时，速度大小为v，则ab两端的电势差Uab等于(　　)
图3
A.BL1v B.BL2v C.－BL1v D.－BL2v
答案　C
解析　若当列车MN部分刚越过ab时，由楞次定律知，正方形线框abcd产生的感应电流方向为abcd方向。ab相当于电源，电源内部电流从负极指向正极，a点电势低于b点电势。线框中产生的感应电动势E＝BL1v，ab两端的电势差Uab＝－E＝－BL1v，C项正确。
4.(多选)(2024·河北石家庄质检)如图4甲所示，线圈A的匝数为50、电阻为3 Ω，在线圈A内加垂直线圈平面的磁场，t＝0时刻磁场方向垂直纸面向里，穿过线圈A的磁通量按图乙变化。电阻不计、间距为0.5 m的足够长水平光滑金属导轨MN、PQ通过开关S与线圈A相连，两导轨间存在垂直纸面的匀强磁场(图中未画出)。现将长度为0.5 m、电阻为1 Ω的导体棒ab垂直轻放在导轨MN、PQ上。t＝0时刻，闭合开关S，导体棒ab向右加速运动达到最大速度5 m/s后匀速运动，导体棒ab与导轨始终接触良好。下列说法正确的是(　　)
图4
A.t＝0时刻，线圈A产生的感应电动势为5 V
B.t＝0时刻，线圈A中的感应电流为2.5 A
C.两导轨间磁场的磁感应强度大小为2 T
D.两导轨间磁场的方向垂直MNQP平面向外
答案　AC
解析　t＝0时刻，根据法拉第电磁感应定律可得线圈A产生的感应电动势E＝n＝50× V＝5 V，线圈A中的感应电流I＝＝ A＝1.25 A，A正确，B错误；由题意可知导体棒ab最后匀速运动，则E＝BLv，解得B＝＝ T＝2 T，C正确；根据楞次定律可知，线圈A产生的感应电流由a指向b，则导体棒ab向右切割磁感线产生的感应电流由b指向a，根据右手定则可知两导轨间磁场的方向垂直MNQP平面向里，D错误。
5.(2024·北京海淀区高三期末)如图5所示，两根足够长的平行金属导轨位于水平的xOy平面内。导轨与x轴平行，左端接有电阻R。在x≥0的一侧存在竖直向下的磁场，磁感应强度B随空间位置均匀变化，满足B＝B0＋kx(k＞0且为常量)。一金属杆与导轨垂直放置，且接触良好，在外力作用下沿x轴正方向匀速运动。t＝0时金属杆位于x＝0处，不计导轨和金属杆的电阻。下列关于金属杆两端的电压U和所受安培力F大小的图像可能正确的是(　　)
图5
答案　B
解析　金属杆内阻不计，则金属杆两端电压U与其切割磁感线产生的电动势E大小相等，经过时间t金属杆匀速移动距离x，如图所示
U＝E＝BLv＝
U－t图像与U－x图像均是纵截距为正、斜率也为正的倾斜直线，A错误，B可能正确；
F＝BIL＝＝
F－t图像与F－x图像均为曲线，C、D错误。
6.(多选)如图6所示，竖直固定的光滑圆弧形金属导轨PQ半径为r，O为圆心，P、O之间用导线连接阻值为R的电阻。粗细均匀的轻质金属棒的一端通过铰链固定在O点，另一端连接质量为m的金属小球，小球套在导轨PQ上。初始时刻金属棒处于水平位置，小球、金属棒与导轨始终接触良好。过圆心O的水平线下方分布着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。已知重力加速度为g，金属棒总电阻为2R，小球、导轨及导线电阻不计，不计一切摩擦阻力。现将小球由静止释放，第一次运动到最低点时小球速度大小为v，在此过程中下列说法正确的是(　　)
图6
A.小球运动到最低点时，金属棒产生的感应电动势为Brv
B.小球运动到最低点时，金属棒两端的电压为
C.通过电阻R的电荷量为
D.电阻R上产生的焦耳热为mgr－mv2
答案　BC
解析　当小球运动到最低点时，金属棒切割磁感线产生的感应电动势为E＝Br＝B·r＝，金属棒两端的电压为U＝E＝，A错误，B正确；此过程中回路中的平均感应电动势为＝，回路中的平均电流为＝，此过程通过电阻R的电荷量为q＝Δt，联立解得q＝＝＝，C正确；根据能量守恒定律可知，回路中产生的总焦耳热为Q＝mgr－mv2，电阻R上产生的焦耳热为Q′＝Q＝－mv2，D错误。
7.如图7甲所示，间距为L＝1 m的长直平行金属导轨PQ、MN水平放置，其右端接有阻值为R＝1.5 Ω 的电阻，一阻值为r＝0.5 Ω、质量为m＝0.2 kg、长度为L的金属棒ab垂直导轨放置于距导轨右端d＝2 m处，与两导轨保持良好接触。整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小随时间变化的情况如图乙所示。在0～1.0 s 内金属棒ab保持静止，1.0 s后金属棒在水平外力的作用下运动，使回路的电流为零。导轨电阻不计，重力加速度g＝10 m/s2，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，下列说法正确的是(　　)
图7
A.动摩擦因数需等于0.5
B.前2 s内通过电阻R的电荷量为2 C
C.1 s后金属棒做匀加速直线运动
D.第2 s内金属棒的位移为1 m
答案　D
解析　在0～1.0 s内，由法拉第电磁感应定律可得电动势为E＝Ld＝2 V，由闭合电路欧姆定律得电流的大小为I＝＝1 A，由金属棒静止可知最大静摩擦力大于等于安培力，即μmg≥ILB1，解得μ≥0.5，故A错误；0～1 s内电流恒定为1 A，1～2 s内电流为零，前2 s内通过电阻R的电荷量为q＝It＝1 C，故B错误；由法拉第电磁感应定律知，1 s后回路磁通量不变，t＝1 s时，磁通量为Φ1＝B1dL＝2 Wb，t>1 s，磁通量为Φ2＝B2L(d－x)＝t(2－x)，Φ1＝Φ2，解得x＝2－，金属棒不是做匀加速直线运动，故C错误；由x＝2－知金属棒第2 s内的位移为x＝1 m，故D正确。
提能增分练
8.(多选)(2024·重庆模拟预测)如图8所示，两个完全相同的竖直光滑圆形金属导轨平行放置，圆轨道半径为r，导轨电阻忽略不计；导轨组最低点为A，最右端为C，最高点为D，导轨组一端连接电阻R。空间中分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。金属棒垂直于导轨所在平面，在A 点以垂直于导轨的初速度v0开始运动，恰能通过D点，金属棒电阻忽略不计，重力加速度为g。则金属棒从A运动到D的过程中(　　)
图8
A.金属棒的速度先减小后增大
B.金属棒在AC间运动时间小于在CD间运动时间
C.金属棒从A运动到C过程中，电阻R生热大于－mgr
D.若撤去磁场，金属棒初速度不变，则一定能通过D点
答案　BCD
解析　金属棒从A运动到D的过程中，重力和安培力一直对金属棒做负功，金属棒的速度一直减小，金属棒在AC间的平均速率大于在CD间的平均速率，由于金属棒在AC间与CD间通过的路程相等，则金属棒在AC间运动时间小于在CD间运动时间，故A错误，B正确；金属棒恰能通过D点，在D点有mg＝m，解得vD＝，金属棒从A运动到D过程中，根据能量守恒定律可得mv－mv＝mg·2r＋Q总，解得Q总＝－mgr，由于金属棒从A运动到D的过程中，金属棒的速度一直减小，则金属棒产生的电动势一直减小，感应电流一直减小，安培力一直减小，根据对称性可知，金属棒在AC间克服安培力做功大于在CD间克服安培力做功，即在AC间产生的焦耳热大于在CD间产生的焦耳热，则金属棒从A运动到C过程中，电阻R生热满足Q>＝－mgr，故C正确；若撤去磁场，金属棒初速度不变，则金属棒运动过程只克服重力做功，所以金属棒到达D点时的速度比存在磁场时的大，所以金属棒一定能通过D点，故D正确。
9.(多选)(2024·河北沧州模拟预测)如图9所示，两间距为L、倾角为θ＝30°的平行光滑导轨下端接一个阻值为R的定值电阻，在与导轨垂直的边界MN、PQ之间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。由绝缘轻质杆连接的金属棒a、b垂直于导轨放置，从某位置由静止释放，轻质杆刚好匀速进入磁场区域。a、b两金属棒的质量均为m、电阻分别为R、2R，两金属棒间的距离为d，磁场宽度为2d，重力加速度为g。已知两个电动势相同的电源并联时电动势等于其中一个电源的电动势，内阻为两个电源内阻的并联电阻，下列说法正确的是(　　)
图9
A.在两金属棒进入磁场区域的过程中，D点电势高于C点电势
B.初始时a棒与MN的距离为
C.在两金属棒进入磁场区域的过程中，电阻R产生的热量为mgd
D.在金属棒b进入磁场区域瞬间，金属棒a的加速度为0
答案　ACD
解析　在金属棒a穿过磁场区域的过程中，由右手定则可知流过电阻R的电流方向为D→R→C，所以D点电势高于C点电势，故A正确；设初始时金属棒a与磁场边界MN的距离为x，金属棒下滑过程由动能定理有2mgxsin 30°＝×2mv2，金属棒a进入磁场后切割磁感线产生的电动势E＝BLv，此时流过金属棒a的电流Ia＝＝，对两金属棒受力分析有BIaL＝2mgsin 30°，解得x＝，故B错误；在两金属棒进入磁场区域的过程中，两金属棒减少的机械能为ΔE＝2mgsin 30°·d＝mgd，此过程中电阻R和金属棒b并联部分产生的热量Q并＝ΔE＝mgd，此过程中电阻R产生的热量QR＝Q并＝mgd，故C正确；在金属棒b进入磁场区域瞬间，两个金属棒的速度没有变化，所以此时电源的电动势E＝BLv，此时流过电阻R的电流IR＝＝＝，此时金属棒a、b所受安培力的合力F安合＝BIRL，此时对金属棒a、b整体受力分析并结合牛顿第二定律有F安合－2mgsin 30°＝2ma，解得a＝0，故D正确。
10.(2024·北京卷，18)如图10甲所示为某种“电磁枪”的原理图。在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R。开关闭合前电容器的电荷量为Q。
图10
(1)求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I；
(2)求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a；
(3)在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。
答案　(1)　(2)　(3)见解析图
解析　(1)开关闭合前电容器的电荷量为Q，则电容器两极板间电压为U＝
闭合开关瞬间，通过导体棒的电流为I＝
联立解得I＝。
(2)闭合开关瞬间，对导体棒由牛顿第二定律有BIL＝ma
结合(1)问解得a＝。
(3)由(2)中结论可知，随着电容器放电，电容器所带电荷量不断减少，导体棒的加速度不断减小，当电容器两极板间的电压与导体棒产生的感应电动势相等，即回路中电流减为0时，导体棒不受安培力作用，加速度为0，此后导体棒做匀速运动，其v－t图线如图所示。
培优高分练
11.(2023·广东卷，14)光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域 Ⅰ 和 Ⅱ ，宽度均为h，其俯视图如图11(a)所示，两磁场磁感应强度随时间t的变化如图(b)所示，0～τ时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为2B0和B0，一电阻为R、边长为h的刚性正方形金属框abcd，平放在水平面上，ab、cd边与磁场边界平行，t＝0时，线框ab边刚好跨过区域 Ⅰ 的左边界以速度v向右运动，在τ时刻，ab边运动到距区域 Ⅰ 的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图(a)中的虚线框所示，随后在τ～2τ时间内， Ⅰ 区磁感应强度线性减小到0, Ⅱ 区磁场保持不变，2τ～3τ时间内， Ⅱ 区磁感应强度也线性减小到0。求：
图11
(1)t＝0时线框所受的安培力F；
(2)t＝1.2τ时穿过线框的磁通量Φ；
(3)2τ～3τ时间内，线框中产生的热量Q。
答案　(1)，方向水平向左　(2)B0h2，方向垂直纸面向里　(3)
解析　(1)由题图可知t＝0时线框切割磁感线的感应电动势为
E＝2B0hv＋B0hv＝3B0hv
则感应电流大小为I＝＝
所受的安培力为
F＝2B0h＋B0h＝
方向水平向左。
(2)在τ时刻，ab边运动到距区域 Ⅰ 的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，则t＝1.2τ时， Ⅰ 区磁感应强度B＝1.6B0，此时穿过线框的磁通量为Φ＝1.6B0h·h－B0h·h＝B0h2
方向垂直纸面向里。
(3)2τ～3τ时间内， Ⅱ 区磁感应强度也线性减小到0，
则有E′＝＝S＝·h2＝
感应电流大小为I′＝＝
则2τ～3τ时间内，线框中产生的热量为Q＝I′2Rτ＝。(共67张PPT)
第12课时　电磁感应
专题四　电路与电磁感应
知识网络
目 录
CONTENTS
突破高考热点
01
课时跟踪训练
03
链接高考真题
02
突破高考热点
1
热点二　电磁感应中的电路和图像问题
热点一　楞次定律与法拉第电磁感应定律的应用
热点三　电磁感应中的动力学和能量问题
热点一　楞次定律与法拉第电磁感应定律的应用
1.感应电流方向的判断方法
2.感应电动势大小的求法
图1
B
例1 (2024·北京卷，6)如图1所示，线圈M和线圈P绕在同一个铁芯上，下列说法正确的是(　　)
A.闭合开关瞬间，线圈M和线圈P相互吸引
B.闭合开关，达到稳定后，电流表的示数为0
C.断开开关瞬间，流过电流表的电流方向由a到b
D.断开开关瞬间，线圈P中感应电流的磁场方向向左
解析　闭合开关瞬间，根据安培定则可知线圈M中突然产生向右的磁场，根据楞次定律可知，线圈P中感应电流的磁场方向向左，因此线圈M和线圈P相互排斥，A错误；线圈M中的磁场稳定后，线圈P中的磁通量也不再变化，则线圈P产生的感应电流为0，电流表示数为0，B正确；断开开关瞬间，线圈M中向右的磁场瞬间减为0，根据楞次定律可知，线圈P中感应电流的磁场方向向右，根据安培定则可知流过电流表的方向由b到a，C、D错误。
图2
CD
例2 (多选)(2024·安徽合肥联考)如图2甲所示，一圆形金属线圈上半部分处于匀强磁场中，线圈匝数为n，线圈固定不动。t＝0时匀强磁场的磁感应强度的方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间t变化的关系图像如图乙所示，已知线圈的半径为r，线圈总电阻为R，则(　　)
图3
BD
训练1 (多选)(2024·陕西西安模拟预测)用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r R)的圆环，圆环竖直向下落入如图3所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B。圆环在加速下落过程中某一时刻的速度为v，忽略电感的影响，下列说法正确的是(　　)
热点二　电磁感应中的电路和图像问题
图4
D
例3 在如图4甲所示的电路中，电阻R1＝R2＝R，单匝圆形金属线圈半径为r1，线圈导线的电阻也为R，半径为r2(r2＜r1)的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图乙所示，图线与横、纵轴的交点坐标分别为t0和B0，其余导线的电阻不计。t＝0时闭合S，至t1时刻，电路中的电流已稳定，下列说法正确的是(　　)
电磁感应中电路问题的解题流程
图5
AC
训练2 (多选)(2024·江西萍乡二模)如图5所示，光滑平行金属导轨左端接一定值电阻R，水平置于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨上有一质量为m，电阻为R的导体棒ab以初速度v0向右运动，已知导体棒长度为d，导轨间距为L，导轨电阻不计，导体棒的瞬时速度为v，所受安培力大小为F，流过导体棒的电荷量为q，导体棒两端的电压U，下列描述各物理量随时间t或位移x变化的图像正确的是(　　)
热点三　电磁感应中的动力学和能量问题
(1)甲通过P、Q时的速度大小；
(2)乙与倾斜导轨间的动摩擦因数；
(3)电源G输出的总能量。
图6
解析　(1)对甲导电杆进行分析，根据牛顿第二定律有
I0LB1＝ma1
根据速度公式有v0＝a1t0
解得v0＝3 m/s。
(2)甲导电杆刚刚通过P、Q时的感应电动势E1＝BLv0
解得I1＝0.8 A
根据右手定则确定电流从上往下看，方向为逆时针，根据左手定则可知，乙导电杆所受安培力方向垂直于斜面向上，且大小为F1＝I1LB2
解得F1＝0.4 N
此时乙恰好开始运动，则有mgsin θ＝μ(mgcos θ－F1)
图7
答案　96.5 J
解析　对甲分析，在拉力作用下，先向右做加速度减小的变加速运动，最后做匀速直线运动，则有F＝I2LB1
解得v1＝12 m/s
对甲分析，根据动能定理有
解得Q乙＝96.5 J。
1.电磁感应综合问题的解题思路
2.求解焦耳热Q的三种方法
(1)焦耳定律：Q＝I2Rt，适用于电流恒定的情况。
(2)功能关系：Q＝W克安(W克安为克服安培力做的功)。
(3)能量转化：Q＝ΔE(其他能的减少量)。
图8
训练3 (多选)(2024·湖南模拟预测)如图8所示，两条电阻不计的光滑平行导轨AED和BFC与水平面成θ角，平行导轨之间间距为L，一劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在O点，弹簧中心轴线与轨道平行，另一端与质量为m、电阻为R1的导体棒相连接，导轨的一端连接定值电阻R2，匀强磁场垂直穿过导轨平面ABCD，AB到CD距离足够大，磁感应强度大小为B0，O点到AB的距离等于弹簧的原长，导体棒从AB位置静止释放，到达EF位置时速度达到最大，AB到EF距离为d，导体棒始终与轨道良好垂直接触，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
答案　AB
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2
A
1.(2024·江苏卷，10)如图9所示，在绝缘的水平面上，有闭合的两个线圈a、b，线圈a处在垂直纸面向里的匀强磁场中，线圈b位于右侧无磁场区域，现将线圈a从磁场中匀速拉出，线圈a、b中产生的感应电流方向分别是(　　)
图9
A.顺时针，顺时针 B.顺时针，逆时针
C.逆时针，顺时针 D.逆时针，逆时针
解析　将线圈a匀速拉出磁场的过程中，穿过线圈a的磁通量垂直纸面向里且不断减小，则由楞次定律可知，线圈a中的感应电流在其内部产生的磁场垂直纸面向里，在其外部产生的磁场垂直纸面向外，由安培定则可知，线圈a中产生的感应电流方向为顺时针，C、D错误；由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律可知，线圈a中产生的感应电流大小不变，线圈a被拉出磁场，与线圈b的距离逐渐减小，则穿过线圈b的磁通量垂直纸面向外且不断增大，由楞次定律与安培定则可知线圈b中的感应电流为顺时针方向，A正确，B错误。
D
2.(2024·广东卷，4)电磁俘能器可在汽车发动机振动时利用电磁感应发电实现能量回收，结构如图10甲所示。两对永磁铁可随发动机一起上下振动，每对永磁铁间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，磁场中，边长为L的正方形线圈竖直固定在减震装置上。某时刻磁场分布与线圈位置如图乙所示，永磁铁振动时磁场分界线不会离开线圈。关于图乙中的线圈，下列说法正确的是(　　)
图10
A.穿过线圈的磁通量为BL2
B.永磁铁相对线圈上升越高，线圈中感应电动势越大
C.永磁铁相对线圈上升越快，线圈中感应电动势越小
D.永磁铁相对线圈下降时，线圈中感应电流的方向为顺时针方向
解析　根据图乙可知此时穿过线圈的磁通量为0，故A错误；根据法拉第电磁感应定律可知永磁铁相对线圈上升越快，磁通量变化越快，线圈中感应电动势越大，故B、C错误；永磁铁相对线圈下降时，根据楞次定律可知线圈中感应电流的方向为顺时针方向，故D正确。
C
A.φO>φa>φb>φc B.φO<φa<φb<φc
C.φO>φa>φb＝φc D.φO<φa<φb＝φc
图11
C
图12
解析
AB
5.(多选)(2024·黑吉辽卷，9)如图13，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好。ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度为g。两棒在下滑过程中(　　)
图13
课时跟踪训练
3
B
1.(2024·安徽芜湖二模)用材料相同粗细均匀的导线做成如图1所示的单匝线圈，线圈构成一个闭合回路。左侧小圆的半径为2d，中间大圆的半径为3d，右侧小圆的半径为d，左侧两圆连接处缺口的长度可忽略不计，右侧两圆错开相交连通(麻花状)，将线圈固定在与线圈所在平面垂直的磁场中，磁感应强度大小为B＝B0＋kt，式中的B0和k为常量，则线圈中感应电动势的大小为(　　)
基础保分练
图1
A.14πd2k B.12πd2k C.6πd2k D.4πd2k
C
2.(2024·河北石家庄二检)为了使在磁场中转动的绝缘轮快速停下来，小明同学设计了以下四种方案：图2甲、乙中磁场方向与轮子的转轴平行，图甲中在轮上固定闭合金属线圈，图乙中在轮上固定未闭合金属线圈；图丙、丁中磁场方向与轮子的转轴垂直，图丙中在轮上固定一些闭合金属线框，图丁中在轮上固定一些细金属棒。四种方案中效果最好的是(　　)
图2
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
解析　题图甲、乙，当轮子转动时，穿过线圈的磁通量都是不变的，不会产生感应电流，则不会有磁场力阻碍轮子的转动，A、B错误；题图丙，在轮上固定一些闭合金属线框，线框长边与轮子转轴平行，当轮子转动时会产生感应电动势，形成感应电流，则会产生磁场力阻碍轮子转动，C正确；题图丁，在轮上固定一些细金属棒，当轮子转动时会产生感应电动势，但是不会形成感应电流，即不会产生磁场力阻碍轮子转动，D错误。
C
3.电磁制动原理是通过线圈与磁场的作用使物体做减速运动。如图3所示，某列车车底安装的电磁体产生磁场可视为匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向下。同种材料制成的粗细均匀的闭合正方形线框abcd，边长为L1，MN长为L2(L2＞L1)，若当列车MN部分刚越过ab时，速度大小为v，则ab两端的电势差Uab等于(　　)
图3
AC
4.(多选)(2024·河北石家庄质检)如图4甲所示，线圈A的匝数为50、电阻为3 Ω，在线圈A内加垂直线圈平面的磁场，t＝0时刻磁场方向垂直纸面向里，穿过线圈A的磁通量按图乙变化。电阻不计、间距为0.5 m的足够长水平光滑金属导轨MN、PQ通过开关S与线圈A相连，两导轨间存在垂直纸面的匀强磁场(图中未画出)。现将长度为0.5 m、电阻为1 Ω的导体棒ab垂直轻放在导轨MN、PQ上。t＝0时刻，闭合开关S，导体棒ab向右加速运动达到最大速度5 m/s后匀速运动，导体棒ab与导轨始终接触良好。下列说法正确的是(　　)
图4
A.t＝0时刻，线圈A产生的感应电动势为5 V
B.t＝0时刻，线圈A中的感应电流为2.5 A
C.两导轨间磁场的磁感应强度大小为2 T
D.两导轨间磁场的方向垂直MNQP平面向外
B
5.(2024·北京海淀区高三期末)如图5所示，两根足够长的平行金属导轨位于水平的xOy平面内。导轨与x轴平行，左端接有电阻R。在x≥0的一侧存在竖直向下的磁场，磁感应强度B随空间位置均匀变化，满足B＝B0＋kx(k＞0且为常量)。一金属杆与导轨垂直放置，且接触良好，在外力作用下沿x轴正方向匀速运动。t＝0时金属杆位于x＝0处，不计导轨和金属杆的电阻。下列关于金属杆两端的电压U和所受安培力F大小的图像可能正确的是(　　)
图5
解析　金属杆内阻不计，则金属杆两端电压U与其切割磁感线产生的电动势E大小相等，经过时间t金属杆匀速移动距离x，如图所示
BC
6.(多选)如图6所示，竖直固定的光滑圆弧形金属导轨PQ半径为r，O为圆心，P、O之间用导线连接阻值为R的电阻。粗细均匀的轻质金属棒的一端通过铰链固定在O点，另一端连接质量为m的金属小球，小球套在导轨PQ上。初始时刻金属棒处于水平位置，小球、金属棒与导轨始终接触良好。过圆心O的水平线下方分布着磁感应强度大小为B、
图6
方向垂直纸面向里的匀强磁场。已知重力加速度为g，金属棒总电阻为2R，小球、导轨及导线电阻不计，不计一切摩擦阻力。现将小球由静止释放，第一次运动到最低点时小球速度大小为v，在此过程中下列说法正确的是(　　)
D
7.如图7甲所示，间距为L＝1 m的长直平行金属导轨PQ、MN水平放置，其右端接有阻值为R＝1.5 Ω 的电阻，一阻值为r＝0.5 Ω、质量为m＝0.2 kg、长度为L的金属棒ab垂直导轨放置于距导轨右端d＝2 m处，与两导轨保持良好接触。整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小随时间变化的情况如图乙所示。在0～1.0 s 内金属棒ab保持静止，1.0 s后金属棒在水平外力的作用下运动，使回路的电流为零。导轨电阻不计，重力加速度g＝10 m/s2，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，下列说法正确的是(　　)
图7
A.动摩擦因数需等于0.5
B.前2 s内通过电阻R的电荷量为2 C
C.1 s后金属棒做匀加速直线运动
D.第2 s内金属棒的位移为1 m
BCD
提能增分练
8.(多选)(2024·重庆模拟预测)如图8所示，两个完全相同的竖直光滑圆形金属导轨平行放置，圆轨道半径为r，导轨电阻忽略不计；导轨组最低点为A，最右端为C，最高点为D，导轨组一端连接电阻R。空间中分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。金属棒垂直于导轨所在平面，在A 点以垂直于导轨的初速度v0开始运动，恰能通过D点，金属棒电阻忽略不计，重力加速度为g。则金属棒从A运动到D的过程中(　 　)
图8
A.金属棒的速度先减小后增大
B.金属棒在AC间运动时间小于在CD间运动时间
D.若撤去磁场，金属棒初速度不变，则一定能通过D点
9.(多选)(2024·河北沧州模拟预测)如图9所示，两间距为L、倾角为θ＝30°的平行光滑导轨下端接一个阻值为R的定值电阻，在与导轨垂直的边界MN、PQ之间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。由绝缘轻质杆连接的金属棒a、b垂直于导轨放置，从某位置由静止释放，轻质杆刚好匀速进入
图9
磁场区域。a、b两金属棒的质量均为m、电阻分别为R、2R，两金属棒间的距离为d，磁场宽度为2d，重力加速度为g。已知两个电动势相同的电源并联时电动势等于其中一个电源的电动势，内阻为两个电源内阻的并联电阻，下列说法正确的是(　 　)
答案　ACD
10.(2024·北京卷，18)如图10甲所示为某种“电磁枪”的原理图。在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R。开关闭合前电容器的电荷量为Q。
图10
(1)求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I；
(2)求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a；
(3)在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。
解析　(1)开关闭合前电容器的电荷量为Q，
(2)闭合开关瞬间，对导体棒由牛顿第二定律有BIL＝ma
(3)由(2)中结论可知，随着电容器放电，电容器所带电荷量不断减少，导体棒的加速度不断减小，当电容器两极板间的电压与导体棒产生的感应电动势相等，即回路中电流减为0时，导体棒不受安培力作用，加速度为0，此后导体棒做匀速运动，其v－t图线如图所示。
培优高分练
图11
(1)t＝0时线框所受的安培力F；
(2)t＝1.2τ时穿过线框的磁通量Φ；
(3)2τ～3τ时间内，线框中产生的热量Q。
解析　(1)由题图可知t＝0时线框切割磁感线的感应电动势为
E＝2B0hv＋B0hv＝3B0hv
所受的安培力为
方向水平向左。
(3)2τ～3τ时间内， Ⅱ 区磁感应强度也线性减小到0，

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