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秘密★考试结束前
丽江市2025届高中毕业生复习统一检测
数学试卷
（全卷四个大题，共19个小题，共6页；满分150分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷。考生必须在答题卡上解题作答。答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效。
2．考试结束后，请将答题卡交回。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（ ）
A． B．1 C． D．5
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．充要条件
5．已知函数，则下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．某同学掷一枚正方体骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为2，方差为0.4，可判断这组数据的众数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．样本数据的下四分位数是17
B．在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为10，平均值为9，第二层的样
本量为20，平均值为12，则所抽样本的平均值为11
C．若随机变量，则
D．若随机变量，若，则
10．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．直线是函数的图象的一条对称轴
C．若时，恒成立，则实数m的取值范围为
D．将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平
移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，
则实数t的取值范围为
11．已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（ ）
A．若，则的面积为
B．使为直角三角形的点有6个
C．的最大值为
D．若，则的最大、最小值分别为和
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在中内角所对的边分别为，且，，，则 ．
13．的展开式中的系数为 （用数字作答）．
14．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若，求函数在上的最值.
16．（本小题满分15分）
已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列．
（2）若 求满足条件的最大整数n．
17．（本小题满分15分）
如图，四边形与均为菱形，且，
（1）求证：平面平面
（2）求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
甲 乙 丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束. 已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为.
（1）若，求比赛结束时，三人总积分的分布列与期望；
（2）若，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙
的最优指定策略.
19．（本小题满分17分）
已知双曲线的两条渐近线方程为为上一点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程；
（3）过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线的距离的最大值．
丽江市2025届高中毕业生复习统一检测
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C D A B C
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ABD AC BCD
【解析】
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 或
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
解：（1）由函数，可得.....（1分）
可得..................................（2分）
且 ..................................（3分）
所以切线的斜率为，切点为，..................................（4分）
则所求切线方程为. ..............................（5分）
（2）由（1），当时，可得...............................（6分）
当时，，函数在上单调递减，.......................（7分）
当时，，函数在上单调递增，.......................（8分）
而，..................................（9分）
， ..................................（10分）
， ..................................（11分）
故所求最大值为， ..................................（12分）
最小值为. ..................................（13分）
16. （本小题满分15分）
， .................................（2分）
可得，.................................（3分）
又由，所以，.................................（5分）
所以数列表示首项为，公比为的等比数列. ........................（6分）
（2）由（1）可得，所以 ........（8分）
...............................................（11分）
，因为函数为单调递增函数，....（12分）
............................（15分）
17.（本小题满分15分）
解：（1）设AC与BD相交于点O，连接FO， ..................................（1分）
∵四边形ABCD为菱形，，..................................（2分）
且O为AC中点，，，..................................（3分）
又，平面BDEF，
∴平面BDEF，..................................（5分）
又平面，所以平面平面. ............................（6分）
（2）
连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且，
为等边三角形，
∵O为BD中点，∴，又，，平面ABCD，
平面ABCD．故OA，OB，OF两两垂直，.................................（7分）
∴建立空间直角坐标系，如图所示， ..................................（8分）
设，∵四边形ABCD为菱形，，．
为等边三角形，∴．
，
∴，， ............................（10分）
设平面ABF的法向量为，则
令，解得， ...........................（12分）
设AD与平面ABF所成角为，则AD与平面ABF所成角的正弦值为：
．.......................（15分）
18.（本小题满分17分）
解：（1）由题意可知，X= 4 , 6 , 8. ..................................（1分）
当两场比赛后结束，也即第一局的其中1人连续获得两场胜利，有两种情况，此时，， ........................（2分）
当三场比赛后结束，即第一局比赛的2人均未获胜，轮空者获胜，共有两种情况，
此时，； ................................（3分）
当四场比赛后结束，前三局比赛，甲乙丙三人各赢1场，进行第四场比赛，共有2种情况，
此时，； ................................（4分）
所以三人总积分的分布列为:
4 6 8
0.5 0.25 0.25
所以. .................（6分）
（2）设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，为“第一局乙对甲最终乙获胜”，为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，则有：
已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为.
其中包含三种情况:
第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜；
第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；
第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，
故；.......................（8分）
同理可得
；............（10分）
；...............（11分）
显然，
故， ..............（13分）
， ........................（15分）
由于，
故，
所以；
故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局. .............................（17分）
19.（本小题共17分）
解：（1）由题意可得，，解得，..................................（2分）
所以双曲线的方程为. ..........................（3分）
（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，
代入可得，......（5分）
当时，即时，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点，
即直线的方程为，......（6分）
当时，，
即，可得，此时直线与双曲线相切，
直线的方程为；...................................（8分）
显然，当直线斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足；
综上所述，与双曲线仅有1个公共点的直线有3条：
，，. ...............（9分）
（3）当直线的斜率不存在时，则与重合，又，即，
所以，，此时直线的方程为，
则到的距离为；.................................（10分）
当直线的斜率为0时，则与重合，，，
此时直线的方程为，则到的距离为；................（11分）
当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，
设，
直线的方程为，
联立可得，
，
由韦达定理可得，则，..........................（12分）
所以，
所以，..........................（13分）
联立可得，
，
由韦达定理可得，则, .......................（14分）
所以，所以，
则
，，
所以直线的方程为，......................（15分）
即，
所以，即，
故直线过定点，..................（16分）
当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；
当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；
当时，的横坐标均为，此时，直线的方程为，
过点；
综上所述，直线过定点.
所以点到直线的距离的最大值为, .......（17分）
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