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金华青少年科学素养大赛数学试卷
一、选择题 (共 9 小题, 每小题 5 分, 满分 45 分)
1. 都是实数,且 ,则 之间的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
2.若证明命题: “对于任意实数 恒成立”是假命题,只需要举一个反例,则这个反例可以是( )
A. B. C. D.
3.如图,在 中, 为 的中点, ,则 的长为( )
A. B. C. D.
4.已知实数 满足 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.如图是七巧板图案,现将它剪拼成一个“风筝”造型, 过它的上下左侧五点作矩形 ,点 为 的中点,并且在矩形内右上角有一正方形 ,若点 在同一直线上,点 到 的距离与到 的距离相等,且 ,则 的长为 ( )
A. B. C. D.
6.正方形 中,点 是 的中点,点 是 上异于点 的点, ,则 的值是( )
A. 1 B. C. D.
7.已知实数 ,满足 ,则代数式 的值是 ( )
A. B. C. 3 D.
8.小明和爸爸计划从家出发去游泳馆,上午 8 点整小明先出发, 以 60 米/分的速度匀速步行, 途中不休息, 爸爸在上午 9 点 10 分从家出发, 沿同一路线, 以 300 米/分的速度匀速骑行到游泳馆, 每骑 5 分钟后休息 1 分钟, 最后, 爸爸比小明晚 5 分钟到达游泳馆,那么家距离游泳馆有( )
A. 4500 米 B. 5100 米 C. 5600 米 D. 6000 米
9.如图,在矩形 中,点 是边 上的一动点, 连结 ,将线段 绕着点 顺时针旋转 ,得到 ,连结 ,交 于点 ,若 ,则 长的最大值为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题 (共 6 小题, 每小题 5 分, 满分 30 分)
10.某同学用纸剪出了三种多边形,为凸四边形,凸五边形, 凸六边形, 每种至少剪出一个, 剪出的多边形边数之和为 111 , 那么剪出的多边形的所有内角中,直角的个数最多是_____.
11已知 ,满足 ,则使反比例函数 的图像经过二、四象限的 的概率是_____.
12.阅读理解: 对于三个数 ,用 表示三个数中的最小值. 例如: ,则 的最大值为_____.
13.如图,点 是半圆 上一点,将弧 沿弦 折叠交直径于点 ,再将弧 沿 翻折交 于点 ,连结 ,若 , 则线段 的长为_____.
14. 已知互不相等的实数 满足 ,则 _____.
15. 如图,已知在 Rt 中, ,点 为 的中点,连结 ,点 为平面内一点, ,连结 ,交 于点 ,且 则 的长为_____.
三、解答题 (共 4 题, 分值依次为 9 分、10 分、12 分和 14 分, 满分 45 分)
16. (本题 9 分)
对于两个多项式,若 ,满足下列两种情形之一: ; ② ; 则称多项式 为“较大” 多项式,多项式 为“较小” 多项式.对于两个多项式 和 ,若将 和 中 “较大” 多项式和 “较小” 多项式的差记作 ,则称这样的操作为一次 “佳选作差” 操作; 再对 和 进行 “佳选作差” 操作得到 ,以此类推,经过 次操作后得到的序列 称为 “佳选作差” 序列 . 现对 进行 次 “佳选作差” 操作得到 “佳选作差” 序列 ,
(1) 求 ;
(2)求 .
17. (本题 10 分)
将反比例函数 的图像绕着原点 顺时针旋转 得到新的双曲线图像 (如图 1 所示),若直线 轴, 为 轴上的一个定点,已知,图像 上的任意一点 到 的距离与直线 的距离之比为定值,记为 ,即 .
(1)若直线 经过点 , 点的坐标为(4,0),且 ,求双曲线 的解析式；
(2)如图 2,若直线 经过点 ,双曲线 的解析式为 ,且
为双曲线 在第一象限内图像上的动点,连接 为线段 上靠近点 的三等分点,连接 ,在点 运动的过程中,当 时,求点 的横坐标.
图 1 图 2
18.(本题 12 分)
已知二次函数 .
(1)当 时,函数的最大值与最小值之差为 2,求 的值；
(2)若 恒成立,求 的取值范围.
19.(本题 14 分)
已知: 是 的内接三角形,
(1)如图 1, 、 分别为 、 上的高线,交于点 ,若 , ,求 的半径;
(2)如图 2,分别作 、 的角平分线,交于点 ,作 ,交 于点 ,
连结 ,交 于点 ,若 ,求 的长.
图 1 图 2
全解全析
一、选择题 (共 9 小题, 每小题 5 分, 满分 45 分)
1. 解析：
,
,选 A.
2. . 解析：
当 时 ,选 D
3. . 解析：
如图,取 的中点 ,连结 ,
是中点, ,
,
,
,选 C.
4. . 解析：
令 ,
得 ,解得 ,
,选 B.
5.. 解析：
如图,过 做 的垂线,垂足分别为 ,
延长 过点 交 于 ,连结 ,
点 到 的距离与到 的距离相等, 四边形 是平行四边形, ,由左图七巧板中最大等腰直角三角形斜边长为 ,得最大等腰直角三角形的直角边长为 ,
点 为 的中点, ,
,选 C.
6.. 解析：
过 作 ,连结 ,
,
易证 ,
设 ,
点 是 的中点, ,
在 Rt 中,由勾股定理得 ,
解得 ,选 D.
7.. 解析：
,
,
原式
,选 A.
8.. 解析：
假如 A. 正确,则小明步行 分钟,则爸爸行走 分钟, , 不符合题意;
假如 B. 正确,则小明步行 分钟,则爸爸骑行用时 分钟,中间要休息 3 次共 3 分钟,所以总骑行时间是 分钟, ,符合题意.
选 B.
9.. 解析：
注意到, 的长度只与 的运动相关,故我们只需关注 这个条件,最直接利用这个条件的方法就是构造“一线三等角”模型. 故如图,在直线 上取两点 ,使得 ,即有 ,那么有 .
设 ,则 . 由 ,知 . 由 ,知 . 故而代入上述比例式有 ,解得 , 换元: ,则 ,当且仅当 取等号, 故 . 选 D.
二、填空题 (共 6 小题, 每小题 5 分, 满分 30 分)
10.. 解析：
凸多边形外角和 ,故外角最多有 4 个直角,也即内角最多有 4 个直角,具体来说凸四边形最多有 4 个直角, 凸五边形和凸六边形最多有 3 个直角, 那么剪凸四边形越多, 直角越多. 故可以剪 25 个凸四边形, 1 个凸五边形, 1 个凸六边形, 这种情况下总边数为 111 , 且直角数最多, 为 106 .
11 .. 解析：
依据 ,可设 中有 个为 个为-1,故而有 ,
解得 ,反比例函数 的图像经过二、四象限,即 的概率为 .
12.. 解析：
如图,分别作出 的图像,取其在下的部分 (如图红色部分) 即为 ,那么最大值就在 或 上取,联立方程可解得 , ,那么比较知最大值为 .
13.. 解析：
如图,连结 ,过点 作 于 ,点 作 于 . 由翻折的性质知 、
、 所对的弧都相等,故而 . 设 ,则 ,故 ,由射影定理, ,解得 ,故而 .
由面积公式, ,解得 ,那么 ,故 .
14.. 解析：
为了方便之后的计算,设 . 故 , 把 作为常数,解 和 ,得 ,代入得 ,去分母后化简得到 ,由题意只有 ,即 ,
所以 .
15.. 解析：
设 ,则 ,由平行线分线段成比例, ,得 ,故 ,在 中用余弦定理 ,解得 .
故 .
三、解答题 (共 4 题, 分值依次为 9 分、10 分、12 分和 14 分, 满分 45 分)
16. . 解析：
(1) ,
,故 余 .
(2)
17. . 解析：
图 1 图 2
(1)设
由 得 ,故 ,即 .
(2)由 为双曲线 在第一象限内图像上的动点,
设 ,
,双曲线 的解析式为 ,且 ,
,
为线段 上靠近点 的三等分点, ,
,故 ,
解得 或 不符合题意,舍去.
综上, .
18.. 解析：
(1) ,对称轴 ,
分类讨论: ① 当 时,即 ,
当 时, ; 当 时, ,即 ,解得 ,
不符合题意, 舍去.
② 当 时,即 ,
当 时, ; 当 时, ,即 ,解得 ,
不符合题意, 舍去.
③当 时,即 ,
当 时, ; 当 时, ,即 ,解得 或 不符合题意,舍去.
④当 时,即 ,
当 时, ; 当 时, ,即 ,
解得 或 不符合题意,舍去.
综上, 或 .
(2)分类讨论:
① 当 时,即 ,当 时, ,即 ,解得 ,故 .
② 当 时,即 ,
当 时, ,即 ,解得 ,不符合题意,舍去.
③当 时,即 ,
当 时, ,即 ,解得 ,故 .
综上, .
19.. 解析：
(1)由 、 分别为 、 上的高线易得 , , ,故 ,故在 Rt 中, ,
连结 并延长交 于点 ,连结 ,
,又 , ,故 的半径为 .
(2) 、 的角平分线,交于点 , ,
,
即 ,易得 ,
,
,
四点共圆,
四点共圆, ,
,
,
.

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