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专题12 反比例函数的图像和性质及其应用
准确描述反比例函数图像是双曲线，能说出双曲线的两个分支分别位于第一、三象限(当k> 0时)或第二、四象限(当k < 0时)，并且关于原点对称.
熟练掌握k对函数单调性的影响。当k> 0时，在每个象限内y随的增大而减小;当k< 0时，在每个象限内y随x的增大而增大.
通过自主绘制反比例函数图像、观察图像特征并总结函数性质的过程，培养学生的自主探究能力.
学会类比一次函数的学习方法来研究反比例函数，如类比一次函数图像的绘制方法来绘制反比例函数图像，类比一次函数的性质研究反比例函数性质等，提高学生的类比分析能力.
一般地，如果两个变量、y之间的关系可以表示成y=k/x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。
因为y=k/x是一个分式，所以自变量x的取值范围是x≠0。
反比例函数的其他书写形式：（1）xy=k（x≠0）；（2）y=kx-1（x≠0）
（1）当 时，两支曲线分别位于第一、三象限内；
当 时，两支曲线分别位于第二、四象限内；
两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
（2）图象的画法（三步法）
① ；
② ：在平面直角坐标系中标出点（一般标5个点，称为5点作图法）。
③ ：用平滑的曲线连接点。
（1）反比例函数的性质
当k＞0时，图象分别位于 象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而 ；
当k＜0时，图象分别位于 象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而 ；
（2）反比例函数k的几何意义
在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 |；
（3）反比例函数的对称性
反比例函数图象是 ，对称中心是 ；反比例函数的图象也是 ，其对称轴为y=x或y=-x；反比例函数图象上的点关于坐标 对称。
【经典例题1】（2023·广西百色·一模）下列函数中，不是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（2024·湖南株洲·一模）下列关系中，成反比例函数关系的是（　　）
A．圆的面积与它的半径之间的关系
B．用频率估计概率时，概率与频率的关系
C．电压一定时，电流与电阻之间的关系
D．小明的身高与年龄之间的关系
【变式训练1-2】（2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
x … 1 2 4 …
y … 4 2 1 …
y与x的函数关系有以下3个描述：
①可能是一次函数关系；
②可能是反比例函数关系；
③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【经典例题2】（2024·河北秦皇岛·一模）反比例函数，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，则
【变式训练2-1】（2024·湖南株洲·一模）若函数是y关于x的反比例函数，则 ．
【变式训练2-2】已知反比例函数的图像在第一、三象限，则的值为 ．
【经典例题3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知反比例函数的图像经过，则
【变式训练3-1】（2023·江苏淮安·模拟预测）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ．
【变式训练3-2】（2024·青海果洛·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ．
【经典例题4】（2024·广东惠州·三模）综合探究
请根据学习函数的经验，将下列探究函数的图象与性质的过程补充完整：
(1)函数的自变量的取值范围是__________．
(2)下表列出了与的几组对应值，请写出其中的值__________，__________；
0 2 3 4
2 1
(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以（2）表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)根据图象直接写出时的取值范围：__________．
【变式训练4-1】（2024·宁夏中卫·一模）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：

x … 0 1 2 …
y … 3 2 m …
(1)绘制函数图象．
①列表：上表是x与y的几组对应值，其中______；
②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
(2)探究函数性质．
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）．
①函数图象关于原点对称；（ ）
函数图象与直线没有交点；（ ）
②请写出该函数图象的变化趋势 ．
【变式训练4-2】（2024·湖南株洲·一模）已知反比例函数，且当时，．
(1)求a的值；
(2)在图中画出该函数图象．
【经典例题5】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ．
【变式训练5-1】如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 ．
【变式训练5-2】（2023·甘肃定西·二模）如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的纵坐标为4，第一象限的双曲线上有一点，过点P作轴交直线于点Q．

(1)直接写出k的值及点B的坐标；
(2)求线段的长．
【经典例题6】（2024·海南海口·一模）若反比例函数（k是常数）的图象在第二、第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】（2024·湖北荆门·模拟预测）已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为 ．
【变式训练6-2】（2024·贵州贵阳·二模）如图是反比例函数图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是 ．
【经典例题7】（2024·广东·模拟预测）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限
C．图象经过点 D．图象关于直线对称
【变式训练7-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，图象在第四象限
【变式训练7-2】（2023·辽宁沈阳·二模）已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A．点在函数图象上
B．随的增大而减小
C．该函数的图象分布在第一、三象限
D．若点和在该函数图象上，则
【经典例题8】（2024·湖南·模拟预测）在反比例函数 的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练8-1】（2024·山东济南·模拟预测）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-2】（2022·山东济宁·一模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数的图象上的两个点，若，则、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【经典例题9】（2024·广东·模拟预测）已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练9-1】（2024·天津·模拟预测）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练8-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ．
【经典例题10】（2024·湖北·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则△ABC的面积等于 ．
【变式训练10-1】（2024·福建福州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰的直角边和斜边交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接，，若，则的面积为 ．
【变式训练10-2】（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边，于，，则的面积为 ．
【经典例题11】（2023·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数的图象上，连接，将绕B点顺时针旋转得到，且，交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为 ．
【变式训练11-1】（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，将直角向右平移到位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数的图象经过与的交点，连接并延长交轴于点，若的面积为3，则的值是 ．
【变式训练11-2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边△AOB和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知△ABC的面积为，则k的值为 ．
【经典例题12】（2024·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由．
【变式训练12-1】（2023·四川乐山·模拟预测）如图，点在反比例函数，点B在y轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且．
(1)点B的坐标为 ___________，点D的坐标为 ___________，点C的坐标为 ___________（用含m的式子表示）；
(2)求k的值和直线的表达式．
【变式训练12-2】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，且．
(1)求，的值；
(2)连接，求△ABC的面积．
【经典例题13】（2023·四川绵阳·模拟预测）若，则函数和的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【变式训练13-1】（2024·湖南娄底·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数与（k为常数，）的大致图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练13-2】（2023·浙江宁波·一模）如图所示，满足函数和的大致图象是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【经典例题14】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【变式训练14-1】（2024·山西·二模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式训练14-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【经典例题15】（2023·河北·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，．
(1)分别求出两个函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)连接、，求的面积．
【变式训练15-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连结．
(1)求k、b的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大．
【变式训练15-2】（2024·四川乐山·一模）如图，直线：与双曲线相交于点，将直线向上平移个单位得到，直线与双曲线相交于、两点（点在第一象限），交轴于点，连接．
(1)求双曲线和线段所在直线的解析式；
(2)求四边形的面积．
【经典例题16】（2024·广东·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，．
(1)求k的值．
(2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形 若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练16-1】（2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点．
(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求的面积．
(2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练16-2】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，函数的图像过点和点．
(1)求和的值；
(2)将直线向上平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题17】（2024·宁夏固原·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，且，．
(1)求的值；
(2)求一次函数的表达式；
(3)在直线上是否存在一点(不与点重合)，使与△AOB的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练17-1】（2024·河南周口·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，B．

(1)求k，b的值和点 B 的坐标；
(2)直接写出不等式 的解集；
(3)在x轴上是否存在一点 P 使得 若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练17-2】（2024·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在x轴上是否存在点P，使的面积等于的面积的3倍．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题18】（2024·贵州毕节·三模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内相交于点A，将正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，与反比例函数的图象在第一象限内相交于点，连接．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)在x轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练18-1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．

(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长．
【变式训练18-2】（2024·贵州贵阳·一模）如图，反比例函数 的图像与直线交于两点，已知的坐标为，直线的表达式为．

(1)求反比例函数的表达式和直线的表达式；
(2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标及的周长最小值．
【经典例题19】（2023·四川达州·模拟预测）如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)连接并延长与反比例函数的图象交于另一点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与△AOB相似，求点的坐标．
【变式训练19-1】（2023·山东泰安·二模） 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、两点，与轴、轴分别交于、两点，且点的坐标为．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)求△AOB的面积．
(3)点为反比例函数图像上的一个动点，轴于，是否存在以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练19-2】（2024·广东清远·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．
(1)______，______，点A的坐标为______，点C的坐标为______；
(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
【经典例题20】（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练20-1】（2024·甘肃酒泉·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．
(1)求k，m的值；
(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【经典例题21】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（ ）
A．月份的利润为万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元
C．月份该厂利润达到万元
D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元
【变式训练21-1】（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（ ）
A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为
C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为
【变式训练21-1】（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．当时，
B．I与R的函数关系式是
C．当时，
D．当时，I的取值范围是
【经典例题22】（2023·江苏南京·模拟预测）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数图像是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练22-1】（2024·辽宁·模拟预测）在化学课上，老师教同学们配制食盐溶液，若有食盐，则溶液的浓度y与加水后溶液质量x之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练22-1】．（2024·浙江杭州·二模）甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用时间y（单位：h）表示为汽车平均速度x单位：）的函数，则此函数的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【经典例题23】（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为．
(1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系，
(2)求电流关于电路中的电阻的函数关系；
(3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？
【变式训练23-1】（2023·广东阳江·一模）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为．
(1)求动力F与动力臂l的函数关系式．
(2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？
【变式训练23-2】（2024·山西大同·模拟预测）根据牛顿第二定律，物体所受的力F与物体的质量m，物体的加速度a有如下关系：．所以，当物体所受的力F一定时，物体的加速度a是它的质量m的反比例函数，其函数表达式为．请解答下列问题：
(1)在光滑的地面上摆着两辆一样的小车，一辆是空车，另一辆装有石头．用同样大小的力，向同一个方向，推这两辆小车哪辆车的加速度大，为什么？
(2)已知小车的质量，用F（单位：）的力推空车时，测得．求当这辆小车上装石块时，用F（单位：）推车，加速度a的值．
【经典例题24】（2024·浙江台州·模拟预测）某导线的电阻与温度t（单位：）（在一定范围内）满足反比例关系，通电后下表记录了发热材料温度从上升到的过程中电阻与温度的数值：
… 10 15 20 30 …
… 6 4 3 2 …
(1)根据表中的数据，求出R与t之间的函数解析式；
(2)当温度超过，或低于时，导线性能不佳，某一时刻测得电阻为，请判断此时导线性能是否正常．
【变式训练24-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)当时，求与的关系式；
(2)大棚里栽培的蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天最适合生长的时间有多长？
【变式训练24-2】（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
【经典例题25】（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示，
(1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式；
(2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？
【变式训练25-1】（2022·山东青岛·模拟预测）某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图．
(1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式；
(2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？
(3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？
(4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？
【变式训练25-2】（2023·吉林松原·模拟预测）世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度．是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)求的值，并解释它的实际意义．中小学教育资源及组卷应用平台
专题12 反比例函数的图像和性质及其应用
准确描述反比例函数图像是双曲线，能说出双曲线的两个分支分别位于第一、三象限(当k> 0时)或第二、四象限(当k < 0时)，并且关于原点对称.
熟练掌握k对函数单调性的影响。当k> 0时，在每个象限内y随的增大而减小;当k< 0时，在每个象限内y随x的增大而增大.
通过自主绘制反比例函数图像、观察图像特征并总结函数性质的过程，培养学生的自主探究能力.
学会类比一次函数的学习方法来研究反比例函数，如类比一次函数图像的绘制方法来绘制反比例函数图像，类比一次函数的性质研究反比例函数性质等，提高学生的类比分析能力.
一般地，如果两个变量、y之间的关系可以表示成y=k/x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。
因为y=k/x是一个分式，所以自变量x的取值范围是x≠0。
反比例函数的其他书写形式：（1）xy=k（x≠0）；（2）y=kx-1（x≠0）
（1）当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；
当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内；
两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
（2）图象的画法（三步法）
①列表；
②描点：在平面直角坐标系中标出点（一般标5个点，称为5点作图法）。
③连线：用平滑的曲线连接点。
（1）反比例函数的性质
当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；
当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大；
（2）反比例函数k的几何意义
在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|；
（3）反比例函数的对称性
反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图象也是轴对称图形，其对称轴为y=x或y=-x；反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。
【经典例题1】（2023·广西百色·一模）下列函数中，不是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】、是反比例函数，此选项不符合题意；
、是一次函数，不是反比例函数，此选项符合题意；
、是反比例函数，此选项不符合题意；
、是反比例函数，此选项不符合题意；
【变式训练1-1】（2024·湖南株洲·一模）下列关系中，成反比例函数关系的是（　　）
A．圆的面积与它的半径之间的关系
B．用频率估计概率时，概率与频率的关系
C．电压一定时，电流与电阻之间的关系
D．小明的身高与年龄之间的关系
【答案】C
【详解】解：A．圆的面积与半径的关系，即，是二次函数关系，故此选项不符合题意；
B．用频率估计概率时，概率与频率的关系为，是正比例函数关系，故此选项不符合题意；
C．电压一定时，电流与电阻之间的关系为，电流与电阻之间的关系是反比例函数关系，故此选项符合题意；
D．小明的身高与年龄之间没有特定关系，故此选项不符合题意；
【变式训练1-2】（2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
x … 1 2 4 …
y … 4 2 1 …
y与x的函数关系有以下3个描述：
①可能是一次函数关系；
②可能是反比例函数关系；
③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确；
三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数图象上，故②正确；
【经典例题2】（2024·河北秦皇岛·一模）反比例函数，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，则
【答案】
【详解】解：在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减少，
且，
【变式训练2-1】（2024·湖南株洲·一模）若函数是y关于x的反比例函数，则 ．
【答案】5
【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数，
∴且，
解得，．
【变式训练2-2】已知反比例函数的图像在第一、三象限，则的值为 ．
【答案】3
【详解】解：∵反比例函数，
∴，
解得：，
∵它的两个分支分别在第一、三象限，
∴，即，
则．
【经典例题3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知反比例函数的图像经过，则
【答案】4
【详解】解：把代入，
即，
【变式训练3-1】（2023·江苏淮安·模拟预测）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ．
【答案】
【详解】解：设反比例函数的解析式是，
反比例函数经过点，，即，
反比例函数经过点，，
【变式训练3-2】（2024·青海果洛·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ．
【答案】
【详解】∵函数的图象经过点和，
，，
【经典例题4】（2024·广东惠州·三模）综合探究
请根据学习函数的经验，将下列探究函数的图象与性质的过程补充完整：
(1)函数的自变量的取值范围是__________．
(2)下表列出了与的几组对应值，请写出其中的值__________，__________；
0 2 3 4
2 1
(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以（2）表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)根据图象直接写出时的取值范围：__________．
【答案】(1)(2)，(3)见解析(4)或
【详解】（1）解：由题意知，，解得，，
（2）解：将代入得，，
将代入得，，解得，，经检验是原分式方程的解，
故答案为：，；
（3）解：作图象如下；
（4）解：由图象可知，的解集为或，
故答案为：或．
【变式训练4-1】（2024·宁夏中卫·一模）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：

x … 0 1 2 …
y … 3 2 m …
(1)绘制函数图象．
①列表：上表是x与y的几组对应值，其中______；
②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
(2)探究函数性质．
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）．
①函数图象关于原点对称；（ ）
函数图象与直线没有交点；（ ）
②请写出该函数图象的变化趋势 ．
【答案】(1)①1，②③见详解(2)①；，②每一个分支上，函数值y随x的增大而减小
【详解】（1）解：①时，，
②如图：
，
∴A即为的点；
③补充图象如图：

（2）解：根据函数图象可得：
①图象关于对称，故“函数图象关于原点对称”的说法错误，应为：，
时，无意义，函数图象与直线没有交点，应为．
故答案为： ；．
②该函数图象的变化趋势：每一个分支上，函数值y随x的增大而减小．
【变式训练4-2】（2024·湖南株洲·一模）已知反比例函数，且当时，．
(1)求a的值；
(2)在图中画出该函数图象．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：把，代入得，，
解得；
（2）解：由（1）知反比例函数的解析式为，
∴当时，，
描点，连线，则该函数图象如图所示．
【经典例题5】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称，
∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为
【变式训练5-1】如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵点A与B关于原点对称，
∴B点的坐标为．
【变式训练5-2】（2023·甘肃定西·二模）如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的纵坐标为4，第一象限的双曲线上有一点，过点P作轴交直线于点Q．

(1)直接写出k的值及点B的坐标；
(2)求线段的长．
【答案】(1)，(2)6
【详解】（1）解：在双曲线交于，且的纵坐标为4，即，
坐标为，
代入直线，可得，解得，
又、关于原点对称，点的坐标为．
（2）解：点在双曲线上，
代入，可得点的坐标为．
轴，且点在直线上，
可设点的坐标为．
代入，得点的坐标为．．
【经典例题6】（2024·海南海口·一模）若反比例函数（k是常数）的图象在第二、第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限，，
【变式训练6-1】（2024·湖北荆门·模拟预测）已知：多项式是一个完全平方式，且反比例函数的图象位于二、四象限，k的值为 ．
【答案】
【详解】解：多项式是一个完全平方式，，
反比例函数的图象位于第二、四象限，，
解得：，
【变式训练6-2】（2024·贵州贵阳·二模）如图是反比例函数图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：∵反比例函数y＝图象的一支位于第二象限，
∴，解得
【经典例题7】（2024·广东·模拟预测）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限
C．图象经过点 D．图象关于直线对称
【答案】D
【详解】解：对于反比例函数，∵．
∴该函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A，B错误；把代入中，得，
∴图象不经过点，故选项C错误．
反比例函数的图象关于直线对称，故选项D正确．
【变式训练7-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，图象在第四象限
【答案】C
【详解】解：A.、把代入得，，则不在图象上，故A错误；
B、∵，∴图象位于第一、三象限，故B错误；
C、∵，∴当时，随的增大而减小，故C正确；
D、∵，当时，图象在第一象限，故D错误．
【变式训练7-2】（2023·辽宁沈阳·二模）已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A．点在函数图象上
B．随的增大而减小
C．该函数的图象分布在第一、三象限
D．若点和在该函数图象上，则
【答案】C
【详解】A、当时，，∴点不在函数图象上，故该选项不正确；
B、∵，在每个象限内，随的增大而减小，故该选项不正确；
C、∵，∴该函数的图象分布在第一、三象限，故该选项正确；
D、∵，∴随的增大而减小，∵，∴，故该选项不正确；
【经典例题8】（2024·湖南·模拟预测）在反比例函数 的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：时，，
反比例函数在二、四象限，
，解得：
【变式训练8-1】（2024·山东济南·模拟预测）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵在反比例函数中，
∴反比例函数图象在第一，三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴这两个点在第三象限，
∴，解得：
【变式训练8-2】（2022·山东济宁·一模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数的图象上的两个点，若，则、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得，
∵，∴反比例函数y＝的图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少，
∵，∴
【经典例题9】（2024·广东·模拟预测）已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴函数（k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，
∵，∴，，∴．
【变式训练9-1】（2024·天津·模拟预测）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：；∴．
【变式训练8-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：根据，且，∴即，解得
【经典例题10】（2024·湖北·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ．
【答案】1
【详解】解：如图，延长交轴于，连接、，
轴，
，
，
【变式训练10-1】（2024·福建福州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰的直角边和斜边交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接，，若，则的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，作轴于，
，
∵为等腰直角三角形，，∴点为的中点， ∴，
∵点、是反比例函数上的点，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴
【变式训练10-2】（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边，于，，则的面积为 ．
【答案】
【详解】∵对角线的中点，且点，∴，
∵点在反比例函数图象上，∴，
∴反比例函数解析式为，当时，，当时，，
∴，，
∴
【经典例题11】（2023·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数的图象上，连接，将绕B点顺时针旋转得到，且，交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为 ．
【答案】18
【详解】解：过点B作轴于点M，作垂直y轴，交延长线于点N，则四边形是矩形，
∵，的面积为，∴，
∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，
∵，∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，设，，，
，∵点B在反比例函数上，∴．
【变式训练11-1】（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，将直角向右平移到位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数的图象经过与的交点，连接并延长交轴于点，若的面积为3，则的值是 ．
【答案】6
【详解】解：设的长为，则
当时，点的坐标为，∴，
又是直角三角形，且∴
∵∴
∵∴∴∴
∴
【变式训练11-2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的面积为，则k的值为 ．
【答案】
【详解】解：连接，
，
∵等边和菱形的边、都在x轴上，
∴，，轴，
∴，∴四边形是菱形，
∵的面积为，∴，∴，
∵反比例函数的图象经过点C，∴，解得：
【经典例题12】（2024·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【详解】（1）解：把代入，得，解得，反比例函数的表达式为．
（2）解：，函数图象位于第二、四象限，点，，都在反比例函数的图象上，，，．
【变式训练12-1】（2023·四川乐山·模拟预测）如图，点在反比例函数，点B在y轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且．
(1)点B的坐标为 ___________，点D的坐标为 ___________，点C的坐标为 ___________（用含m的式子表示）；
(2)求k的值和直线的表达式．
【答案】(1)，，(2)4，
【详解】（1）解：由题意得：，，
由平移可知：线段向下平移2个单位，再向右平移1个单位，
∵点，∴，
故答案为：，，；
（2）解：∵点A和点C在反比例函数的图象上，
∴，∴，∴，，∴，
设直线的表达式为：，∴，解得：，
∴直线的表达式为：．
【变式训练12-2】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，且．
(1)求，的值；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)；6(2)
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，．
又∵正比例函数的图象经过点，，解得，，．
（2）解：如解图，过点B作于点H．
由（1）可知，正比例函数的表达式为x，
反比例函数的表达式为．∵点C在正比例函数的图象上，且轴，，
∴点C的纵坐标为6．对于，当时，，
∴点C的坐标为，，点A的横坐标为4．
∵点A在反比例函数的图象上，∴点A的坐标为，
，，，．
【经典例题13】（2023·四川绵阳·模拟预测）若，则函数和的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【详解】解：A．反比例函数中，则，与一次函数中y随x的增大而增大相矛盾，故本选项不符合题意：
B．反比例函数中，则，与一次函数中y随x的增大而减小相矛盾，本选项不符合题意；
C．反比例函数中，则，而一次函数与y轴交于上方，，与前边的相矛盾，故本选项不符合题意；
D．反比例函数中，则，与一次函数中y随x的增大而减小相一致，且与y轴交于下方，故本选项符合题意．
【变式训练13-1】（2024·湖南娄底·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数与（k为常数，）的大致图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【详解】解：可化为，
当时，经过第一、二、四象限，经过第一、三象限；
当时，经过第一、三、四象限，经过第二、四象限；
【变式训练13-2】（2023·浙江宁波·一模）如图所示，满足函数和的大致图象是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】B
【详解】解：，
函数过点，
故不合题意；
当时，函数过第一、三、四象限，函数在一、三象限；
当时，函数过第一、二、四象限，函数在二、四象限；
故符合题意；
【经典例题14】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【详解】解：根据所给的函数图象可知，
图象在直线右侧，且在轴左侧的部分，
一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即，
图象在直线右侧的部分，
一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
即．所以当或时，．
【变式训练14-1】（2024·山西·二模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：由图像知，当或时，一次函数的图像在反比例函数的图像上方，即
【变式训练14-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【详解】解： 观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为或．
【经典例题15】（2023·河北·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，．
(1)分别求出两个函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)连接、，求的面积．
【答案】(1)，(2)或(3)
【详解】（1）解：∵反比例函数过点，∴，解得，．
∴反比例函数的解析式为．
∵直线过点，，∴，解得，．
∴一次函数的解析式为．
（2）解：∵一次函数与反比例函数的交点为，根据函数图象可得当时，或
（3）解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别，
∵，，
∴，
∵反比例数，
∴
又∵
∴．
【变式训练15-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连结．
(1)求k、b的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大．
【答案】(1)的值为，的值为1(2)3(3)经过点的一次函数解析式为（答案不唯一）
【详解】（1）解：把点、代入得，，
解得，，
，，
把，代入中得：
，解得，即的值为，的值为1；
（2）解：直线与轴交于点，
，的面积为：；
（3）解：当时，，，
则设经过点的一次函数解析式为，
随的增大而增大，，
经过点的一次函数解析式为（答案不唯一）．
【变式训练15-2】（2024·四川乐山·一模）如图，直线：与双曲线相交于点，将直线向上平移个单位得到，直线与双曲线相交于、两点（点在第一象限），交轴于点，连接．
(1)求双曲线和线段所在直线的解析式；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)，线段所在直线的解析式；(2)．
【详解】（1）解：∵是与的交点，
∴，∴．把代入，得．
∴双曲线的解析式为，
∵直线：，∴将直线向上平移个单位得到：，
联立与得，解得或（舍去），
∴，设线段所在直线的解析式，把，代入得
解得，
∴线段所在直线的解析式；
（2）解：由（1）得：，当时，，∴，
如图，过作轴于，过作轴于，
∵，，，，
∴．
【经典例题16】（2024·广东·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，．
(1)求k的值．
(2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形 若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)10(2)存在，或或或或
【详解】（1）对于，当时，．
∴，∴，
设点B的横坐标为t，则
∵，∴，解得．
∴，把代入中，得∴．
（2）由（1）得，则反比例函数解析式为，
联立，解得或，
∴，．
设，则
，，．
①若，即，∴，解得．此时点E的坐标为．·
②若，即，∴，解得，
此时点E的坐标为或
③若，即，∴，解得，
此时点E的坐标为或，
综上所述，x轴上存在一点或或或或，使为等腰三角形．
【变式训练16-1】（2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点．
(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求的面积．
(2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①， ；②(2)或或
【详解】（1）解：①将代入 得： ，
解得：；
∴反比例函数的表达式为： ；∴，即：；
将、代入得：，解得：，
∴一次函数的表达式为：
②设一次函数与轴交于点，如图所示：
由得；∴∴
（2）解：设点，，则，解得：；
，则，解得：或（舍）；
，则，解得：；
综上所述：点P的坐标为或或
【变式训练16-2】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，函数的图像过点和点．
(1)求和的值；
(2)将直线向上平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；(2)；(3)点的坐标为或或
【详解】（1）解：函数的图像过点和点，
，解得：，，；
（2）解：由（1）可知，，，
设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，
过点作轴，交轴于点，交于点，
设，则，，
，即，
解得：，（舍），，
直线由直线沿轴向左平移得到，设直线的解析式为，
将代入得：，解得：，
直线的解析式为；
（3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下：
直线交轴于点，交轴于点，
令，则；令，则，解得：，
，，
，，
是等腰直角三角形，
①当点为直角顶点时，此时，，
过点作轴于点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点在第二象限，
；
②当点为直角顶点时，此时，，
过点作轴于点，
同①理可得，，
，，
，
点在第二象限，
；
③当点为直角顶点时，此时，，
过点作轴于点，轴于点，
，
四边形是矩形，
，即，
，
，
在和中，
，
，
，，
矩形是正方形，
，
，
，
，
点在第二象限，
；
综上可知，第二象限内存在点，使得为等腰直角三角形，点的坐标为或或．
【经典例题17】（2024·宁夏固原·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，且，．
(1)求的值；
(2)求一次函数的表达式；
(3)在直线上是否存在一点(不与点重合)，使与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)一次函数的解析式为(3)存在，点的坐标为
【详解】（1）解：(1)因为点和点在反比例函数的图象上，所以，解得．
（2）由（1）知，点的坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，，解得，
所以一次函数的解析式为．
（3）存在．因为与的面积相等，且，，三个点都在直线上，
又因为点不与点重合，
所以点是线段的中点．
因为点坐标为，点坐标为，所以，解得，
所以点的坐标为．
【变式训练17-1】（2024·河南周口·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，B．

(1)求k，b的值和点 B 的坐标；
(2)直接写出不等式 的解集；
(3)在x轴上是否存在一点 P 使得 若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)或(3)存在，或
【详解】（1）解：把分别代入一次函数与反比例函数，
∴解得：，
∴一次函数与反比例函数，联立解得：∴．
（2）解：由图象可得：的解集为：或．
（3）解： 存在；理由如下：由（1）得：直线与轴的交点坐标为，
∴，
∵，∴，
设，
∴，解得：，∴或．
【变式训练17-2】（2024·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在x轴上是否存在点P，使的面积等于的面积的3倍．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)4(3)存在，点P的坐标为或
【详解】（1）解：将点代入得：，解得，
故反比例函数的表达式为：；
将点代入得：，故点，
将点，代入得，解得，故一次函数解析式为；
（2）解：由一次函数可知，当时，当时，所以，，
则的面积的面积的面积；
（3）解：存在，点P的坐标为或；
∵的面积等于的面积的3倍．
∴，即，∴，
∴点P的坐标为或．
【经典例题18】（2024·贵州毕节·三模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内相交于点A，将正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，与反比例函数的图象在第一象限内相交于点，连接．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)在x轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在，
【详解】（1）正比例函数的图象向下平移3个单位长度后的函数表达式为，
把点代入，得，∴．
把点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式为；
（2）存在．理由：联立正比例函数和反比例函数得，
解得或∵点A在第一象限，∴．
作点关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，即为所求，
∴．设直线的函数表达式为
把，代入，得解得
∴直线的函数表达式为
令，则，解得，∴．
∴在x轴上存在点，使得的周长最小．
【变式训练18-1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．

(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为(2)或(3)
【详解】（1）解：点在一次函数的图象上，，点的坐标为．
点在反比例函数为常数且的图象上，，反比例函数的表达式为．联立直线与反比例函数的表达式，得：，
解得：或，
点的坐标为．
（2）解：∵，∴，
∴观察函数图象可知：当或时，一次函数的图象在（为常数且）的图象的下方，
∴时，的取值范围为：或．
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，如图所示．
点，
点．
设直线的表达式为，
则，解得：，
直线的表达式为．令中，令，则，
点的坐标为．
，，．
，，
的周长．
【变式训练18-2】（2024·贵州贵阳·一模）如图，反比例函数 的图像与直线交于两点，已知的坐标为，直线的表达式为．

(1)求反比例函数的表达式和直线的表达式；
(2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标及的周长最小值．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，直线 的表达式为
(2)点的坐标为 ，最小值为
【详解】（1）解：∵将点代入反比例函数，
可得，解得
∴反比例函数的表达式为 ，
将点代入，
可得，解得，
∴直线的表达式为；
（2）如图，作点关于轴的对称点，连接， 交轴于点，连接，

此时且的周长最小，
∵反比例函数 的图像与直线交于两点，
∴联立方程组，解得或，
∴，
∵，
∴，
设直线的表达式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的表达式为 ，
令，得，
∴点的坐标为，
∴的周长的最小值为．
【经典例题19】（2023·四川达州·模拟预测）如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)连接并延长与反比例函数的图象交于另一点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】(1)，(2)，
【详解】（1）解：将点代入反比例函数中，，
反比例函数的解析式为：；将代入一次函数中，，
，直线的解析式为：．
（2）解：，，
当点落在轴的正半轴上，
则，
与不可能相似．
当点落在轴的负半轴上，
若，则．
，
，
．若，则．
，
．
，，
．
综上所述：点的坐标为，．
【变式训练19-1】（2023·山东泰安·二模） 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、两点，与轴、轴分别交于、两点，且点的坐标为．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)求的面积．
(3)点为反比例函数图像上的一个动点，轴于，是否存在以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)(3)存在，P点的坐标为或或或
【详解】（1）解：将点分别代入和 中，
得：，，解得：，，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，连接、，联立，解得：或，
，，
在一次函数中，令，则，解得：，
，，；

（3）解：假设存在，使以、、为顶点的三角形与相似，
在一次函数中，令，则，
，，
设点，则，
，，
若，
，即，解得：，
的坐标为或；若，
，即，解得：，
的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或．

【变式训练19-2】（2024·广东清远·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．
(1)______，______，点A的坐标为______，点C的坐标为______；
(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
【答案】(1)，，，(2)点P的坐标为或
【详解】（1）解：将代入，得，
∴．将代入，得，∴．
如图，过点A作轴于点D，则．

∵点A，B关于原点O对称，∴，∴．
又∵，∴，∴，∴．
（2）解：由（1）可知，，．
当点P在x轴的负半轴上时，，
∴．
又∵，
∴与不可能相似．
当点P在x轴的正半轴上时，．
①若，则，
∵，∴，∴；
②若，则，
又∵，，
∴，∴．
综上所述，点P的坐标为或．
【经典例题20】（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)存在，或或
【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为，
是正方形，
，，，，
，
在和中，，
，
，，
，
，在反比例函数图象上，
，反比例函数解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
根据（1）中求点坐标，同理可得点坐标，
设直线解析式为，
代入点坐标得：，
解得：，
直线解析式为：，
设， ，
当为平行四边形的对角线时，
得：，即：，解得：， ；
当为平行四边形的对角线时，得：，即：，
解得：， ；
当为平行四边形的对角线时，得：，即：，
解得：， ；
综上所述，符合条件的点有3个，坐标为或或．
【变式训练20-1】（2024·甘肃酒泉·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．
(1)求k，m的值；
(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【答案】(1)，(2)点的坐标是
【详解】（1）解： ，
直线过点 解得：
直线的解析式为
点的横坐标为2
反比例函数的图象过点C
∴反比例函数的解析式为；
（2）轴即
当时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形
直线交轴于点
设，则
①当点在点上方时： 解得：（舍去） ∴
②当点E在点上方时： 解得：（舍去）
综上所述，点的坐标是
【经典例题21】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（ ）
A．月份的利润为万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元
C．月份该厂利润达到万元
D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元
【答案】D
【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
∵当时，，
月份的利润为万元，正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意；
C、设一次函数解析式为：，则，解得：，
故一次函数解析式为：，
当时，，解得：，
∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意．
D、当时，，解得：，
∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意．
【变式训练21-1】（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（ ）
A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为
C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为
【答案】C
【详解】解：∵，∴玻璃加热速度为，故A选项不合题意；
由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点可得，，
∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是，故B选项不合题意；
∴设玻璃温度上升时的函数表达式为，由题可得，在正比例函数图象上，
代入点可得，，∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是，
∴将代入，得，∴将代入，得，
∴，∴能够对玻璃进行加工时长为，故C选项符合题意；
将代入得，，∴，
∴玻璃从降至室温需要的时间为，
故D选项不符合题意．
【变式训练21-1】（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．当时，
B．I与R的函数关系式是
C．当时，
D．当时，I的取值范围是
【答案】D
【详解】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，∴，∴，
∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意，
当时，，
∵，∴I随R增大而减小，∴当时，，
当时，，
当时，的取值范围是，
故A、C不符合题意，D符合题意．
【经典例题22】（2023·江苏南京·模拟预测）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意有：，
所以，故与之间是反比例函数，其图象在第一象限．
【变式训练22-1】（2024·辽宁·模拟预测）在化学课上，老师教同学们配制食盐溶液，若有食盐，则溶液的浓度y与加水后溶液质量x之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解∶根据题意，得，即．
∴函数图象为双曲线在第一象限的部分．
【变式训练22-1】．（2024·浙江杭州·二模）甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用时间y（单位：h）表示为汽车平均速度x单位：）的函数，则此函数的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【详解】解：，
，符合反比例函数的一般形式，且速度和时间均为正数，
图象应为双曲线在第一象限的一支．
【经典例题23】（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为．
(1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系，
(2)求电流关于电路中的电阻的函数关系；
(3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？
【答案】(1)(2)(3)接入电路的滑动变阻器的电阻为．
【详解】（1）解：由题意可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和，电路中的电阻；
（2）解：由欧姆定律可知，，
由题意可知，小灯泡的电阻为，当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为，
，解得：，即电源的电压为，
电流关于电路中的电阻的函数关系为；
（3）解：电流表的读数为，，
解得：，
答：接入电路的滑动变阻器的电阻为．
【变式训练23-1】（2023·广东阳江·一模）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为．
(1)求动力F与动力臂l的函数关系式．
(2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？
【答案】(1)动力F与动力臂l的函数关系式为(2)小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为
【详解】（1）依题意，得．∴．
答：动力F与动力臂l的函数关系式为．
（2）当时，解得．
∵小华最多能使出的力，∴．
答：小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为．
【变式训练23-2】（2024·山西大同·模拟预测）根据牛顿第二定律，物体所受的力F与物体的质量m，物体的加速度a有如下关系：．所以，当物体所受的力F一定时，物体的加速度a是它的质量m的反比例函数，其函数表达式为．请解答下列问题：
(1)在光滑的地面上摆着两辆一样的小车，一辆是空车，另一辆装有石头．用同样大小的力，向同一个方向，推这两辆小车哪辆车的加速度大，为什么？
(2)已知小车的质量，用F（单位：）的力推空车时，测得．求当这辆小车上装石块时，用F（单位：）推车，加速度a的值．
【答案】(1)空车的加速度大，理由见解析(2)a的值为
【详解】（1）解：空车的加速度大．
理由：根据牛顿第二定律，物体的加速度a和质量m成反比例，当F为定值时，物体的加速度a随质量m的增大而减小．因为装有石头小车的质量大于空车的质量，所以空车的加速度大．
（2）解：由题意，得．
∵当时，．
∴．
∴函数表达式是．
∵车上装石块时．
∴．
∴．
∴加速度a的值为．
【经典例题24】（2024·浙江台州·模拟预测）某导线的电阻与温度t（单位：）（在一定范围内）满足反比例关系，通电后下表记录了发热材料温度从上升到的过程中电阻与温度的数值：
… 10 15 20 30 …
… 6 4 3 2 …
(1)根据表中的数据，求出R与t之间的函数解析式；
(2)当温度超过，或低于时，导线性能不佳，某一时刻测得电阻为，请判断此时导线性能是否正常．
【答案】(1)(2)导线性能正常
【详解】（1）解：设，
当时，， ，；
（2）解：当时，，
，导线性能正常．
【变式训练24-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)当时，求与的关系式；
(2)大棚里栽培的蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天最适合生长的时间有多长？
【答案】(1)；(2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时．
【详解】（1）解：设双曲线解析式为：，
，，与的关系式为：；
（2）解：设的解析式为：，
把，代入中得：，解得：，
的解析式为：，
当时，，解得：，
把代入，得：，解得：，．
答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时．
【变式训练24-2】（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
【答案】(1)(2)不能，见解析
【详解】（1）解：设的函数表达式为，则：
，，的函数表达式为，当时，，
可设部分双曲线的函数表达式为，
由图象可知，当时，，，
部分双曲线的函数表达式为；
（2）解：在中，令，
可得：，解之可得：，
晚上到第二天早上的时间间隔为，，
某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升），
某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行．
【经典例题25】（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示，
(1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式；
(2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？
【答案】(1)当时，；当时，(2)能超过130分钟，见解析
【详解】（1）解：从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，
∴，
当时，设y与x之间的函数关系式为，
∵经过点，∴，解得，
∴；
当时，y与x之间的函数关系式为，
∵经过点，∴，解得，即；
（2）解：令，解得，令，解得，
∴一次服药后的有效视角为：（分钟），超过分钟．
【变式训练25-1】（2022·山东青岛·模拟预测）某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图．
(1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式；
(2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？
(3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？
(4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？
【答案】(1)；(2)(3)(4)
【详解】（1）解：当时，由题意设，将代入得：
，故在扩建改造期间的函数关系式为：；
当时，当时，，则；
即扩建改造工程完工后与之间的函数关系式为：；
（2）扩建改造工程完工后，当时，即：，解得：，
∴扩建改造工程完工后从第16个月开始，该企业月利润才能不低于190万元；
（3）扩建改造工程完工后，当时，
即：，解得：，则，
∴扩建改造工程完工后经过9个月，该企业月利润才能不低于174万元；
（4）对于，当时，，
对于，当时，，
所以资金紧张期的有第3、4、5、6、7、8、9这7个月，该厂资金紧张期共有7个月．
【变式训练25-2】（2023·吉林松原·模拟预测）世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度．是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)求的值，并解释它的实际意义．
【答案】(1)(2)，且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为：，
将代入可得：，与之间的函数表达式为；
（2）解：点在反比例函数上，，
解得：，，
且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为．

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