资源简介

★ 启用前注意保密 试卷类型：B
2025 届广州市高三年级调研测试
数 学
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 则|z|=
A. B.3 c. D.5
2. 已知集合 则A∩B=
A.[-2,1] B.[-2,1) C.[1,2] D.(1,2]
3. 已知向量a=(0,5), b=(2,-4), 则向量a在向量b上的投影向量的坐标为
A.(-2,4) B.(4,-8) c.(-1,2) D.(2,-4)
4. 已知 sin(α+β)=3m, tanβ=2tanα, 则 sin(α-β)=
A.-m B. m C.0 D.2m
5. 已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取球两次，每次取一球，记第一次取出的球的数字是x，第二次取出的球的数字是y.若事件 为偶数”, 事件B=“x, y中有偶数且x≠y”, 则P(A|B)=
A. B. c. D.
数学试卷B 第1页(共4页)
6. 已知点 在函数f(x)= cos(ωx+φ)(ω>0, - π<φ<0)的图象上,若 恒成立，且f(x)在区间 上单调，则
7. 已知三棱锥P--ABC中, △PAB 是边长为2的等边三角形,PC=2, AC= 则三棱锥P-ABC的外接球表面积为
A.6π B.10π
8. 已知函数f(x)的定义域为R，且 贝
A.-4 B.4 C.0 D.-2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 一组数据x , x , …, - 1 是公差为d(d≠0)的等差数列, 去掉首末两项后得到一组新数据，则
A.两组数据的极差相同 B.两组数据的中位数相同
C.两组数据的平均数相同 D.两组数据的上四分位数相同
10. 已知抛物线 的准线l与圆 相切，P为C上的动点，N为圆M上的动点，过P作I的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是
A. r=1 B. 当△PFQ为正三角形时，直线PQ与圆M 相离
C.|PN|+|PQ|的最小值为. D. 有且仅有一个点P，使得| |PM|=|PQ|
11. 设直线y=t与函数 图象的三个交点分别为.A(a,t),B(b,t),C(c,t),且aA. f(x)图象的对称中心为(2,2) B. abc的取值范围为(0,12)
C. ac的取值范围为(0,4) D. c-a的取值范围为
数学试卷B 第2页(共4页)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正项等比数列{an}的前n项和为S ，且 则
13、已知双曲线 的右焦点为F，O为坐标原点，若在C的左支上存在关于x轴对称的两点P，Q，使得△PFQ为正三角形，且OQ⊥FP，则C的离心率为 .
14. 随机将1, 2, …, 2n(n∈N',n≥2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数, A组最大数为a,B组最大数为b,记ξ=|a-b|.当n=3时,ξ的数学期望E(ξ)= ; 若对任意n≥2, E(ξ)四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且
(1)求A;
(2) 若△ABC的外接圆半径为 且sinB=2sinC, 求△ABC的面积.
16. (15分)
如图1， 在棱长为2的正方体 中, Q , Q 分别为正方形ABCD,A B C D 的中心, 现保持平面ABCD不动, 在上底面A C 内将正方形A B C D 绕点Q 逆时针方向旋转45°，得到如图2所示的一个十面体ABCD--EFGH .
(1) 证明:
(2)设 的中点为O，求点O到平面DBE的距离；
(3) 求平面DBE与平面DBG所成角的余弦值.
数学试卷 B 第3页 (共4页)
17. (15分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为 长轴长与短轴长之和为6.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知M(-1,0), N(1,0), 点P为椭圆C上一点, 设直线PM与椭圆C的另一个交点为点B，直线PN与椭圆C的另一个交点为点D.设 求证：当点P在椭圆C上运动时， 为定值.
18. (17分)
已知函数
(1) 若直线y=-ax+b+1为曲线y=f(x)的一条切线, 求实数b的值;
(2) 若对任意的x∈R, 函数f(x)≥0恒成立, 且. 求实数a的值：
(3) 证明: 当n∈N°.且n≥2时,
19. (17分)
在正整数1, 2, …, n(n≥2)的任意一个排列.A:a , a ,……, 中，对于任意 i(1) 设排列B:2, 4, 1, 3和C:5, 3, 1, 4, 2, 试写出S(B), N(B), S(C),N(C)的值;
(2)对于正整数1, 2, …, n(n≥2)的所有排列A, 求满足S(A)=2的排列个数;
(3)如果把排列. 中两项 交换位置，而其余项的位置保持不变，那么就得到了一个新的排列A′，求证： 为奇数.
数学试卷B 第4页(共4页)
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数学试题参考答案及评分标准
评分说明：
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4. 只给整数分数. 选择题不给中间分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A A C B C A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的给6分，有选错的给0分。有两个正确选项的仅选其中一个给3分； 有三个正确选项的仅选其中一个给2分，仅选其中两个给4分。
9. BC 10. AC 11. ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 3" 14. , 2
说明：第14题第一空3分，第二空2分.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
只需展开，没化简也给1分
(1) 解: 依题意得 …1分
由正弦定理可得 sinAsinC+sinAcosC =sinB+sinC …………………………… 2分
= sin(A+C)+ sin C ……………………3分
= sin AcosC+ sin C(cosA+1).
得 sin Asin C= sin C(cosA+1), 因为 sin C>0, 所以. … …4分即 ……………………………………………5分
1
范围没写，答案对给分
因为A∈(0,π), 所以 即 ·6分
(2) 解：由正弦定理可得 得a=6, ……………………………7分
由sinB=2sinC, 得b=2c, ① …………………………………8分
由余弦定理可得 ② …… ……9分
联立①②可得 两个等式各1分 ·11分
所以△ABC的面积 答案对1分 13分
16. (15分)
(1)证法1:过点E,F分别作平面ABCD的垂线,分别交平面ABCD于点M,N,连接MN,则EM∥FN且EM=FN, …………………………………1分
则四边形EMNF 为平行四边形. …………………………… 2分
所以EF∥MN. …………………………… 3分
又EF 平面ABCD, MN 平面ABCD, 不写的扣分所以EF∥平面ABCD. ……………………………4分
证法2: 由条件知, 在旋转过程中平面A B C D ∥平面ABCD,此处1分即平面EFGH ∥平面ABCD.
又EF 平面EFGH , …………………………………………………3分
所以EF ∥平面ABCD. …………………………………………………4分
证法3：以点Q 为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，向量写对1分则 ………………1分
取平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1), ……………2分
因为 EF. n=0, EF 平面ABCD, ……………3分
所以EF∥平面ABCD. ……………………………………4分
(2) 解：以点Q 为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，B(1,1,0),E( ,0,2),D(-1,-1,0),O(0,0,1), 有写对就给分 5分 ·6分设平面 DBE的法向量为m=(x,y,z),
2
则 7
令x=1, 得
所以平面DBE的一个法向量为分 8
公式写对9分
10
(3)解:
设平面DBG的法向量为n=(x,y,z),
则 11
令x=1, 得
所以平面DBG的一个法向量为分 12
得分 14
15
17. (15分)
（1）解：因为椭圆C的长轴长与短轴长之和为6，则2a+2b=6, 1分
即a+b=3, ①
求对离心率1分
又因为结合可得②分 3
联立①②解得
5分
(2) 解法1: 设P(x ,y ),B(x ,y ),D(x ,y ),
当P在椭圆的长轴顶点时,由对称性可设P（2,0）,则B（-2,0）,D（-2,0） 6
3
只看结果显然 那么， ·7分
当P不在椭圆的长轴顶点时，设直线 PM 的方程为x= ty-1，
其中 只看结果 ·8分
联立 可得
显然Δ>0.
根据韦达定理可知 …9分
因为
所以 所以
只看结果 10分
只看结果
设直线 PN 的方程为x= my+1, 其中 ·11分
同理可得 …12分
所以
因为 ………………………13分
所以 只看结果 …14分
综上所述， 为定值. …15 分
解法2：椭圆
当直线PM，PN 中有一条直线斜率不存在，
4
不失一般性，考虑 PN的斜率不存在，取
则 直线 PM
F 肖去y，得
由韦达定理，
分 6
得 解得
由椭圆的对称性知，N为PD中点，
那么只看结果分 7
当直线PM，PN的斜率均存在，设.PM:y=k （x+1）,PN:y=k （x-1）,分 8
设
点P（x ,y ）代入椭圆,有得 9
联立 消去y，得
显然Δ>0.
由韦达定理 10
5
只看结果 ·11分
所以点
由 得( 得
只看结果 12分
联立消去y, 得(
由韦达定理，
由 得 得
所以
综上， 为定值.
解法3：椭圆
6
由 得(
得í分 7
把P(x ,y ), B(x ,y )代到椭圆C中，有
此处方程组为8分点
得 …9分
两式相减得分 10
因为得分 11
得
í分 12
把P(x ,y ),D(x ,y )代入到椭圆中，有
分 13
两式相减，得
得分 14
所以 15
18. (17分)
(1) 解: 设直线y=-ax+b+1与曲线f(x)相切的切点为(x ,y ),
7
又 ………………………1分
由条件得： 式子只要对一个就给1分…………………………··2分
解得 两个式子各1分 …4分
(2) 证明: 由 得b≥0. 只看结果…5分
当x=0时, f(0)=-b≥0, 得b≤0, 所以b=0.只看结果…………………………6分
所以.
由 得x= ln(a+l). 只看结果 ………………7分
当x∈(-∞, ln(a+1))时,f'(x)<0, f(x)单调递减;
讨论必须完整才给分
当x∈(ln(a+1),+∞)时, f'(x)>0, f(x) 单调递增； ·8分
所以 即a-(a+1) lnb+1)≥0, …9分
设g(a)=a-(a+1) lnb+1), g'(a)=-1nθ+1)
当a∈(-1,0)时, g'(a)>0, g(a)单调递增;
当a∈(0,+∞)时, g'(a)<0, g(a)单调递减;
所以g(a)≤g(0)=0, 当且仅当a=0等号成立, 完整才给分 10分
又g(a)≥0, 得g(a)=0, 所以a=0. ……11分
此不等式对就给12分
(3) 证明: 由(2)知, 令a=b=0, 得( 即e >x+l(x≠0). …12分
令 所以 …13分
所以 所以 …14分
所以 …15分
此不等式对就给15分 8
所以 …16分
所以 …17分
19. (17分)
每个等式1分(1) 解:S(B)=3, N(B)=3, S(C)=3, N(C)=7.……4分
(2) 解法1:
对于正整数1,2,…,n(n≥2)的所有排列A,
设其中满足S(A)=2的排列个数为 cn, 满足S(A)=1的排列个数为 bn.
考虑排列A中数字1的位置，当1在第n位时，要使得S(A)=2，则需要前面n-1位共产生2个顺序对； 当1在第n-1位时，要使得S(A)=2，则需要其它n-1位共产生1个顺序对； 当1在第n-2位时，要使得S(A)=2，则需要其它n-1位共产生0个顺序对；当1在其它位置时，不满足S(A)=2. 因此， 只看结果 ……………6分只看结果再考虑满足S(A)=1的排列个数，同理有 ·7分因为 所以 只看结果因此有 ·8分第一个等式对就给分因为 所以由累加法得 ··10分解法2：
先考虑一个特殊排列.A :n,n-1,…,2,1,此时 若把A 中相邻两项a+1,a交换位置为(a,a+1,其他项位置不变，得到新排列的顺序对数增加1个； 若把A 中不相邻的两项交换位置，其他项位置不变，如果该两项中间有k项，则得到新排列的顺序对数增加2k+1个，故要得到顺序数对个数为2的排列，可以对排列A 进行两次相邻项交换位置得到.
从A 中相邻项数对(n,n-1),(n-1,n-2),…,(3,2),(2,1) (共有n-1对) 中任选2对,共有 Ca-1种,其中选的2对相邻项数对有共同数字(如(k,k-1),(k-1,k-2))的有n-2种,没有共同数字的有 种.只看结果 ……………………………6分
9
若所选的两个相邻项数对没有相同数字，则分别把这两个相邻项数对里的两项交换位置，如把(m,m-1),(n,n-1)交换为(m-1,m),(n-1,n),其他项的位置不变，则新排列的顺序对个数为2.只看结果 ……………………………………………………………7分
若所选的两个相邻项数对有相同数字的，则可把((k,k-1),(k-1,k--2)交换位置为(k-1,k-2),(k-2,k)或者交换位置为((k-2,k),(k,k-1),其他项的位置不变，则新排列的顺序对个数为2.
这种情况有2(n-2)种, 只看结果 …………………………………………8分
综上，满足顺序对个数为2的排列个数为
第一个等式正确给分
…10分
解法3：
对正整数1，2，…，n的任意一个排列.A:a ,a ,…, an中, 记 bk (k=1,2,…,n)表示元素k在排列A中与元素k所在排列A中位置之前所有元素构成顺序数对的个数，显然
则
例如, 对排列A:1,3,2, 有
对正整数1，2，…，n的任意一个排列A:a ,a ,…, an,使S(A)=2的排列个数,
只需考虑 的解的个数. 只看结果…6分
因为
所以此方程的第一类解: 存在k∈{3,4,…,n}, 使得 其余b =0 (i≠k), 共有
组解； 只看结果 ………………………………………………………7分
此方程的第二类解: 存在i,j∈{2,3,…,n} (i只看结果所以此方程共有 组解. ·8分
下面说明每一组解恰对应唯一的一个排列.A:a ,a ,…, an
10
(i)若b =2 (k∈{3,4,…,n}),其余b =0 (i≠k),
则恰好对应唯一的满足 bk=2, S(A)=2的排列
A:n,(n-1),…,(k+1),(k-1),(k-2),k,…,2,1; 讨论不完整扣1分
(ii)若b =b,=1 (i,j∈{2,3,…,n} (i则恰好对应唯一的满足 的排列
A:n,(n-1),j,…,(j+1),(j-1),…,(i+1),(i-1),i,…,2,1
所以使S(A)=2的排列个数为 只看结果。 …10分
解法4：
将正整数1,2,…,n全逆序排列 A: n,(n-1),(n-2),…,2,1 , 显然S(A)=0, 为了使S(A)=2, 现需将A: n,(n-1),(n-2),…,2,1中的某些元素调换位置使得满足题意.
根据定义可知: 在S(A)=0的全逆序排列A: n,(n-1),(n-2),…,2,1中,将排列中的某一个元素k (k≠1)，从原先位置向右移动1个位置，就可以得到
A': n,(n-1),…(k+1),(k-1),k,(k-2),…,2,1, S(A')=1.
操作方式一：对某一个元素k (k≠1，2) 从原先位置向右移动2个位置，得到
A': n,(n-1),…(k+1),(k-1),(k-2),k,(k-3),…,2,1, !则
这种操作共有CH 种不同方法； 只看结果………………………………………………6分
操作方法二: 对两个元素i,j (i≠1,j≠1,i若对全逆序排列A: n,(n-1),(n-2),…,2,1中的某个元素向右移动次数超过2次得到新排列A", 根据定义, S(A")≥3; 对全逆序排列A: n,(n-1),(n-2),…,2,1(中的超过2个元素向右移动得到新排列A，同理可以判断S(A)≥3. ·只看结果· …9分
所以使S(A)=2的排列个数为 只看结果 …10分
(3) 证法1:
由定义可知， 同理有 …11分
两个式子对一个就给分
11
因此[S(A)-S(A')]=-[N(A)-N(A')],
则 只看结果…12 分
下证S(A)-S(A')为奇数:
(i)当a ,a,相邻时,排列A'为(a ,a ,…,a -1, ai+1,a ,a + ,…, an,此时排列A'与排列A相比，仅是多了或者少了一个顺序对，所以S(A)-S(A')=±1为奇数；正负1各给1分…14分
(ii) 当a ,a 不相邻时, 设a ,a 之间有m项, 记排列
A:a ,a ,…,a ,k ,k ,…, km,a ,…, an.
先将a 向右移动一个位置，得到排列.
由 (i) 知S(A )与S(A)的奇偶性不同; …………………………………15分
再将a 向右移动一个位置, 得到排列A :a ,a ,…,a ,k ,k ,a ,k ,…, km,a,,…, an,由 (i) 知S(A )与S(A )的奇偶性不同; …………………………………16分
以此类推，a 共向右移动m次，得到排列 Am:a ,a ,……,a - ,k ,k ,…… km,a ,a ,……, an;
再将a，每次向左移动一个位置，共向左移动m+1次，
得到排列.A :a ,a ,……,a ,k ,k ,…, km,a ,…, an,即为排列A'，
由(i) 可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的顺序对个数的奇偶性发生变化，而排列A经过2m+1次的前后两数交换位置，可以得到排列A'，所以排列A与排列A'的顺序对个数的奇偶性不同，所以S(A)-S(A')为奇数.
综上，[S(A)-S(A')]·[N(A)-N(A')] 为奇数. …………………………………17分
证法2：
对于排列. A: a ,a ,……a - ,a ,……,a ,a +1……, an- , an(i(m∈N)个元素, 记作k ,k ,…, km,互换a 与a，位置后得到排列
A': a ,a ,……a - ,a,,k ,……, km,a ,a +1……, an- , an,根据定义可知S(A)-S(A')等于排列
K: a ,k ,…, km, aj与K': a,,k ,……, km, ai的S(K)-S(K'), ………………………………12分
12
不妨设 则(a , a,)形成一个顺序对, (a,,a )形成一个逆序对,
在排列K：a ,k ,……, km, aj中, 记a;与k ,……, km中元素形成顺序对的个数为s，则a 与
中元素形成逆序对的个数为(m-s); 记a,与k ,……, km'中元素形成顺序对的个数为
t, 则a,与 中元素形成逆序对的个数为(m-t)，………………14分
所以在 中, a 与 中元素形成顺序对的个数为( 与 中元素形成顺序对的个数为(m-t).
于是 1为奇数
所以S(A)-S(A')为奇数. ………………………………………………………………………16分
又
所以N(A)-N(A')=S(A')-S(A)=-[S(A)-S(A')]为奇数
从而[S(A)-S(A')]·[N(A)-N(A')]为奇数. …………………………………………………17分
13

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