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河北省衡水市 2023-2024 学年高一上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题 ： > 0，3 + 3 > 0，则 的否定是( )
A. ≤ 0，3 + 3 > 0 B. > 0，3 + 3 < 0
C. ≤ 0，3 + 3 ≤ 0 D. > 0，3 + 3 ≤ 0
2 2, ≤ 2
2.已知函数 ( ) = { 1 ，则 ( ( 3)) =( )
, > 2
2
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 5 5 9
3.折扇图1在我国已有三千多年的历史，它常以字画的形式体现我国的传统文化.图2为其结构简化图，设扇
1 2
面 ， 间的圆弧长为 1， ， 间的圆弧长为 2 = 1，当弦长 为 = 2√ 3，圆弧所对的圆心角为 = ，2 3
则扇面字画部分的面积为( )
4 2
A. B. C. D.
3 3 3
+
4.已知2 = 0，则 =( )
cos sin
3
A. 1 B. C. 2 D. 3
2
5.函数 ( ) = ln√ | | + 1 + 在[ , ]上的大致图象为( )
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A. B.
C. D.
6.已知 = 2 43, = 0.648, = 3 ，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.函数 ( ) = ln( 2 4 + 5)的减区间为( )
A. ( ∞, 1) B. ( ∞, 2) C. (2, +∞) D. (5, +∞)
8.已知函数 ( ) = |log2 |，正实数 ， 满足 < ，且 ( ) = ( )，若 ( )在区间[
2, ]上的最大值为2，
则 、 的值分别为( )
√ 2 1 1 1
A. , √ 2 B. , 2 C. , 2 D. , 4
2 4 2 4
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设0 < < ，且 + = 2，则( )
A. 1 < < 2 B. 2 > 1
1 2 3+2√ 2
C. < 1 D. + ≥
2
10.某同学利用二分法求函数 ( ) = + 2 6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
(2) ≈ 1.307 (2.5) ≈ 0.084 (2.5625) ≈ 0.066
(2.625) ≈ 0.215 (2.75) ≈ 0.512 (3) ≈ 1.099
则函数 ( ) = + 2 6的零点的近似值(精确度0.1)可取为( )
A. 2.49 B. 2.52 C. 2.55 D. 2.58
1
11.已知 = ，0 ≤ ≤ ，则下列选项中正确的有( )
5
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4 4
A. = B. =
5 3
7 12
C. + = D. =
5 25
1
12.把函数 = 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 个单位
2 3
长度，得到函数 = ( )的图象，则( )
A. 函数 ( )的最小正周期为

B. 函数 ( )的图象关于直线 = 对称
12

C. 函数 ( )图象的一个对称中心为( , 0)
12
D. 函数 ( )在[0, ]上有2个零点
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。
13.已知集合 = { 2,0,2,4}， = { || 3| ≤ }，若 ∩ = ，则 的最小值为______．
+ 1, < 1 ( ) ( )
14.已知函数 ( ) = { 2 ，对 1， 2 ∈ ( 1 ≠ )，有
1 2
2 < 0，则实数 的取值范围 2 , ≥ 1 1 2
是______．
1
15.把函数 = ( )图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位
2 3

长度，得到函数 = sin( )的图像，则函数 = ( )的解析式 ( ) = ______．
4
√ 3
16.已知函数 ( ) = 2 ( ) + ，求函数 ( )在区间[0, ]上的单增区间为______．
3 2 2
四、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知集合 = { | 2 ≤ ≤ 5}， = { | + 1 ≤ ≤ 2 1}．
7
(1)当 = 时，求( ) ∩ ； 2
(2)命题 ： ∈ ，命题 ： ∈ ，若 是 的必要条件，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数 = ( )是 上的偶函数，且当 ≤ 0时， ( ) = + 1(1 )．
2
(1)求 (1)的值；并求出函数 = ( )的表达式，并直接写出其单调区间(不需要证明)；
(2)若 ( ) + 2 < 0，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)

已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0)的部分图象如图所示．
6
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(1)求函数的解析式；

(2)求函数 ( )在区间[ , ]上的最大值和最小值．
4 6
20.(本小题12分)
近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不
断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5 ，然而，这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记
录，海外增长同样强劲.今年，华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机
.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产 (千部)手机，需另投入成本 ( )万元，
10 2 + 200 , 0 < < 40
且 ( ) = { 10000 .由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能
801 + 9500, ≥ 40

全部销售完．
(1)求出2023年的利润 ( )(万元)关于年产量 (千部)的函数关系式(利润=销售额 成本)；
(2)2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
21.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = √ 3 + cos2 ．
2
(Ⅰ)求函数 ( )的最小正周期及单调递增区间；
(Ⅱ)将函数 ( )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数 ( )的图象．若关于 的方程

( ) = 0，在区间[0, ]上有实数解，求实数 的取值范围．
2
22.(本小题12分)
布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔，简单
地讲就是对于满足一定条件的连续函数 ( )，存在点 0，使得 ( 0) = 0，那么我们称该函数为“不动点”
函数，而称 0为该函数的一个不动点.现新定义：若 0满足 ( 0) = 0，则称 0为 ( )的次不动点．
(Ⅰ)求函数 ( ) = |2 + 1|的次不动点；
(Ⅱ)若函数 ( ) = (9 3 3
1)在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】5
2
14.【答案】[ , 0)
3
1
15.【答案】sin( + )
2 12
5 11
16.【答案】[0, ]，[ , ]
12 12
7 9
17.【答案】解：(1) ∵当 = 时， = { | ≤ ≤ 6}，且 = { | < 2或 > 5}， 2 2
∴ ( ) ∩ = { |5 < ≤ 6}；
(2) ∵命题 ： ∈ ，命题 ： ∈ ， 是 的必要条件，
+ 1 ≤ 2 1
∴ ，可得 + 1 > 2 1或{ + 1 ≥ 2 ，解得 ≤ 3，
2 1 ≤ 5
∴实数 的取值范围为( ∞, 3]．
18.【答案】解：(1) ∵ = ( )是 上的偶函数，且当 ≤ 0时， ( ) = + 1(1 ) = log2(1 )，
2
∴当 > 0时， < 0，
( ) = ( ) = + 1(1 + ) = log2(1 + )，
2
∴ (1) = 1 1 = 2；
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(1 ), ≤ 0
∴ ( ) = { 2 ；
2(1 + ), > 0
∵ = 与 = log2(1 )在( ∞, 0]上均为增函数，
∴ ( )在( ∞, 0]上为增函数，又 = ( )是 上的偶函数，
∴ ( )在(0, +∞)上为减函数．
∴ ( )的增区间为( ∞, 0]，减区间为(0, +∞)；
(2)由 ( ) + 2 < 0，得 ( ) < 2 = (1)，①
∵ = ( )是 上的偶函数，且 ( )在(0, +∞)上为减函数，
∴ ①可化为 (| |) < (1) | | > 1，
∴ > 1或 < 1，
1
∴ > 10或0 < < ．
10
1
即实数 的取值范围为(0, ) ∪ (10, +∞)．
10
19.【答案】解：(1)由函数图象观察可知： = 1，
2 2
函数的周期 = 2( ) = ，由周期公式可得： = = 2，
3 6

∴函数 ( )的解析式为： ( ) = sin(2 + )．
6

(2) ∵ ∈ [ , ]，
4 6

∴ 2 + ∈ [ , ]，
6 3 2
√ 3
∴ ≤ sin(2 + ) ≤ 1，
2 6
√ 3
则当 = 时， ( )取得最小值 ；
4 2

当 = 时， ( )取得最大值1．
6
20.【答案】解：(1) ( ) = 800 ( ) 300，
当0 < < 40时， ( ) = 800 (10 2 + 200 ) 300 = 10 2 + 600 300，
10000 10000
当 ≥ 40时， ( ) = 800 (801 + 9500) 300 = + 9200，

10 2 + 600 300,0 < < 40
所以 ( ) = { 10000 ．
+ 9200, ≥ 40

(2)当0 < < 40时， ( ) = 10 2 + 600 300 = 10( 30)2 + 8700，
当 = 30时， ( ) = 8700；
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10000 10000
当 ≥ 40时， ( ) = + 9200 = ( + ) + 9200 ≤ 9000，

当且仅当 = 100时等号成立，
所以当 = 100时， ( ) = 9000，
所以当2023年年产量为100千部时，企业获得最大利润，最大利润为9000万元．
1 √ 3 1
21.【答案】解：(Ⅰ) ( ) = √ 3 + cos2 = 2 + 2 = sin(2 + )，
2 2 2 6
2
∴函数 ( )的最小正周期为 = = ，
2

由 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ， ∈ ，
2 6 2

∴ + ≤ ≤ + ， ∈ ，
3 6

故函数 ( )的单调递增区间为[ + , + ]， ∈ ，
3 6

(Ⅱ)将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到 ( ) = sin( + )，
6

∵ 0 ≤ ≤
2
2
∴ ≤ ≤ ，
6 3
1
∴ ≤ sin( + ) ≤ 1，
2 6
1
∴ ≤ ( ) ≤ 1
2

∴关于 的方程 ( ) = 0，在区间[0, ]上有实数解，
2
即图象 ( )与 = ，有交点，
1
∴ ≤ ≤ 1，
2
1
故 的取值范围为[ , 1]．
2
22.【答案】解：(Ⅰ)设函数 ( ) = |2 + 1|的次不动点为 ，则|2 + 1| = ，即 ≤ 0，
1
将等式两边平方整理得 = 或 = 1，均符合题意，
3
1
故函数 ( ) = |2 + 1|的次不动点为 和 1．
3
(Ⅱ)设函数 ( ) = 13(9 3 )在[0,1]上的不动点和次不动点分别为 和 ，
由 ( ) = 可得 (9 3 1) = ，即9 3 13 = 3
，化简得 = 3 +1 3， ∈ [0,1]，
因为 = 3 +1 3在 ∈ [0,1]时为增函数，
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故0 ≤ 3 +1 3 ≤ 6，即 ∈ [0,6]，
再由 ( ) = 可得log3(9
3 1) = ，
即9 3 1 = 3 ，化简得 = 3 +1 3 2 +1， ∈ [0,1]，
因为 = 3 +1 3 2 +1在 ∈ [0,1]时为增函数，
26 26
故0 ≤ 3 +1 3 2 +1 ≤ ，即 ∈ [0, ]，
3 3
综上所述，实数 的取值范围为[0,6]．
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