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人教版
数学 八年级
下
第十六章 二次根式
16.1.1二次根式的概念
1.理解二次根式的概念.
2.掌握二次根式有意义的条件，会求使二次根式有意义时字母的取值范围.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
学习目标
问题1 什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根
如果（≥0），那么称为a的算术平方根.用(表示.
问题3 什么数有算术平方根
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
情境导入
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)如图 的图片为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m．
(2)如图 的图片为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．
图
图
知识点一 二次根式的概念
知识讲解
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s）与开始落下的高度h(单位：m）满足关系h =5t2，如果用含有h的
式子表示t，那么t为_____．
知识讲解
问题1 这些式子分别表示什么意义？
分别表示2，S，3， 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是：
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
知识讲解
一般地，我们把形如 (的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a≥0
注意：a可以是数，也可以是一个含有字母的式子，但前提是被开方数a必须大于或等于0.
知识讲解
注意：识别二次根式的方法
是否含有二次根式
不是二次根式
被开方数是否为非负数
是二次根式
否
否
是
是
知识讲解
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
知识讲解
例2 (1)下列式子是二次根式的是(　C　)
A. B. C. D.
C
(2)下列各式一定属于二次根式的是( )
A. B. C. D.
(3)下列一定是二次根式的是(　D　)
A.－12 B. C. D.
B
D
知识讲解
知识点2　二次根式有意义的条件(被开方数≥0)
二次根式无意义
字母表示
无意义
被开方数为非负数
被开方数为负数
条件
二次根式有意义
知识讲解
(1)单个二次根式如 有意义的条件:A≥0；
(2)多个二次根式相加如 有意义的条件：
(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件:A≥0且B≠0.
知识讲解
例1 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：(1)∵无论x为何实数，
∴当x=1时， 在实数范围内有意义.
(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为何实数， 在实数范围内都无意义.
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组，凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
(1)
知识讲解
例2 要使下列式子在实数范围内有意义，求x的取值范围。
解 (1)由，得当时在实数范围内有意义.
(2)由，得当时，在实数范围内有意义
(1)；
(2)；
(3).
(3)由，得当时，
在实数范围内有意义.
知识讲解
例3 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；
(2).
解： (1)由，得.
当时，
在实数范围内有意义.
(2)由，得
当时，
在实数范围内有意义.
知识讲解
例4 要使下列式子在实数范围内有意义，求x的取值范围.
(1)；
(2).
解：(1)由，得.
当时，
在实数范围内有意义.
(2)由，，
得且.
当且时，
在实数范围内有意义.
知识讲解
1.下列各式是二次根式的是( )
A
A. B. C. D.
2.二次根式中，字母x的取值可以是(　D　)
A. x＝0 B. x＝1 C. x＝2 D. x＝5
D
随堂练习
3.代数式有意义的条件是(　C　)
A.x≠1 B.x≥0 C.x≥0且x≠1 D.0≤x≤1
4.代数式有意义时，x应满足的条件为(　D　)
A. x≠1 B. x≥1 C. x＜1 D. x＞1
C
D
随堂练习
5.（1）当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
解：由题意，得 ,解得 .
（2）若式子有意义，求x 的取值范围.
由题意，得 , 解得 .
随堂练习
6.如果实数x，y满足y＝ 求2x＋y的立方根．
解：依题意，得x－3≥0，3－x≥0，
∴x＝3.
∴y＝2.
∴2x＋y＝2×3＋2＝8.
∴2x＋y的立方根为2.
随堂练习
带有二次根号
被开方数为非负数
二次根式
二次根式的概念
二次根式有意义的条件(被开方数≥0)
被开方数为非负数
课后小结
谢谢观看
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