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数轴上的动点问题压轴题专项练习
【知识梳理】
1. 数轴上两点间的距离
即为这两点所表示的数的 ，也即用右边的数减去左边的数的差. 即数轴上两点间的距离= .
2. 点在数轴上运动
由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度. 这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标. 即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为 ；向右运动b个单位后所表示的数为 .
3. 数轴是数形结合的产物
分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系.
4. 动点问题的解题步骤
(1) 列点：将已知点用具体的数表示，未知动点用含t的式子表示 (数形结合)
①点的左右移动：数轴上的点向 移动用减法，移动几个单位长度就 几，
向 移动用加法，移动几个单位长度就 几.
②点的表示：通常用含t的式子表示数轴上的动点，可根据动点的位置、速度和移动的方向将点表示出来.
(2) 列线：利用两点间距离的表示方法将线段用具体的数或式子表示出来(转化思想)
数轴上两点之间的距离三种表示方式：
①如果两个点所表示的数的大小已知，直接用
②如果两个点所表示的数的大小未知，则用 ；
③动点的起始点和终止点之间的线段可以用 .
(3) 列式：解决数轴上的动点问题的一个重要方法就是方程法，可以根据题目中的线段之间的数量关系，列出方程并解方程(方程思想)
5. 动点问题的常用工具
①中点公式：如图，数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，且B为A、C中点，则
②解绝对值方程: |a|=b, 则a= |a |=|b|, 则a = |x-a |+|x-b |=c
③分类讨论思想：
【专题过关】
题型一：动点规律探究
1. 如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数-2021将与圆周上的数字( )重合.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为1和0，若正方形纸板ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2021 对应的点是( ).
A. D B. C C. B D. A
3. 如图，将直径为1个单位长度的圆从原点处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，使圆上的点A从原点运动至数轴上的点 B，则点 B 表示的数是 .
4. 正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别是0、1，若正方形ABCD绕顶点沿逆时针方向连续翻转，第一次翻转后点D所对应的数为-1，第二次翻转后点C所对应的数为-2，则翻转2023次后点C所对应的数是 ( )
A. - 2021 B. - 2022 C. - 2023 D. - 2024
5. 一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第2023次落下时，落点处对应的数为( )
A. - 1012 B. 1012 C. - 2023 D. 2023
6. 如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数-2023将与圆周上的数字 重合.
7. 如图，圆的周长为4个单位长. 数轴每个数字之间的距离为1个单位长，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上(如圆周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合…)，则数轴上表示-2020的点与圆周上表示数字 的点重合.
题型二：两点间的距离表示
1、(1)在数轴上到表示-2的点距离为5的点所表示的有理数是 ； (2)点A为数轴上表示-1的点，若将点A沿数轴一次平移一个单位，平移两次后到达点B，则点B表示的数是 .
2、已知表示互为相反数的两个数的点A，B在数轴上的距离是 10，其中点A在点B的左侧. 现在点A沿着数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C的位置. 设点A的运动速度为每秒1.5个单位长度，求点C在数轴上表示的数.
3、如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN. 我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即MN=n-m.
请用上面的知识解答下面的问题：
如图，在数轴上点A 表示数a，点B表示数b，点C表示数c，满足
(1)a= , b= , c= ;
(2)若将数轴折叠，使得A 点与C点重合，则点B 与数 表示的点重合；
(3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A 与点 B之间的距离表示为AB. 则. (用含t的代数式表示)
4、如图，在数轴上点A表示的有理数为-8，点B 表示的有理数为12，点P从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点 P到达点B 后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t(单位：秒).
(1)当 时，点P 表示的有理数是 ；
(2)当点P与点 B 重合时,
(3)①在点P 由点A 到点 B的运动过程中，点P与点A 的距离是 ，点P 表示的有理数是 .(用含t的代数式表示)； ②在点P 由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离是 .(用含t的代数式表示)
题型三、已知线段长或线段关系求时间问题 (单动点)
1. 在数轴上，点A表示的数为 ，点M 以每秒3个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右运动经过 秒，点M 与原点O的距离为6个单位长度.
2.如图，已知点A在数轴上表示的数为. ，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段AB上一点，且， 动点 P 从点A出发以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，若 ，则运动时间为 秒.
3. 如图，在数轴上点A表示的有理数为-8，点B 表示的有理数为12，点P从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点 P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t(单位：秒). 当 时，
4. 如图，A，B为数轴上的两点，点A 表示的数为- ，点B表示的数为- . 现有一只电子蚂蚁从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动.
(1)经过t秒后，用含t的代数式表示电子蚂蚁所在的位置表示的数.
(2)当t为何值时，电子蚂蚁所在的位置到点A的距离为2
5. 如图，在数轴上点A表示的有理数为-6，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上由A向B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动.
(1)求当运动时间为1秒时点P表示的有理数；
(2)当点 P与点B重合时，求运动时间；
(3)当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，直接写出运动时间.
6. 已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x. 当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为( )
和 和 和
7. 如图，在数轴上，点A 表示的数是10，点B表示的数为50，点P 是数轴上的动点. 点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是2：3时，点P表示的数是 .
题型四、已知线段长求时间问题 (双动点)
1.如图，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，点A与B点之间的距离记作AB.已知( 则 若点M 以每秒1个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点B出发沿数轴向左运动，设运动时间是t秒. 当点M 与点N之间的距离是8时，则t的值为( )秒.
B. 1 或7 或
2. 如图，在数轴上，点A表示的数是-12，点B 表示的数是2，AB表示点A与点B之间的距离. 若P从点A出发，M从点B出发，P、M同时向数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度，当P、M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为 ( )
A. 7.5秒 B. 8.5秒 C. 5.5秒或8.5秒 D. 7.5秒或8.5秒
3. 如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B 表示的数为b，满足 动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒. 若点 P、Q同时出发，点P 与点 Q间的距离为4个单位长度时，点P运动的时间t为( )
A. 2 C. 2或 D. 2或
4. 如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B是数轴上一点，且
(1)若点 M, N分别是线段AO,BO的中点, 求线段MN的长;
(2)若动点 P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动. 若点 P、Q同时出发，问点P运动多少秒时，P与Q相距5个单位长度
5. 点P，Q分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是2个单位长度/s、4个单位长度/s，它们运动的时间为 ts.
(1)如果点 P，Q都向左运动，当点Q追上点P时，求点 P 对应的数；
(2)如果点 P, Q在点A, B之间相向运动, 当 时，求点 P 对应的数.
6. 如图，已知在数轴上有三个点A、B、C，O是原点，满足( 动点 P 从点 O 出发向右以每秒2cm的速度匀速运动； 同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为v； 运动时间为t.
(1)求：点P 从点O运动到点 C时，运动时间t的值.
(2)若Q的速度v为每秒3cm, 那么经过多长时间 P, Q 两点相距30cm
7. 已知a是最大的负整数，b是-5的相反数，且a、b分别是点A、B、在数轴上对应的数.
(1)求a、b的值, 并在数轴上标出点A、B.
(2)若动点P 从点A 出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点 B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，若运动t秒后，点P 可以追上点Q，求t的值
8. 如图，点M 、N均在数轴上，点M 所对应的数是- ，点N在点M 的右边，且距M 点4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点.
(1)直接写成点N 所对应的数为 .
(2)当点P到点M 、N的距离之和是6个单位长度时，求出此时点P所对应的数；
(3)若点P、Q分别从点M 、N出发，且均沿数轴向左运动，点P以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度匀速运动.若点P先出发5秒时点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q分别对应的数.
9. 如图，数轴上有两个点A，B，分别表示的数是-3，6. 请回答以下问题：
(1)点A 与点 B之间的距离为 ；
(2)若点 P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度向右做匀速运动，点Q 从点 B出发，以每秒3个单位长度的速度向右做匀速运动，P，Q两点同时出发，设运动的时间为t秒.
①当点 P 运动多少秒时，点P 和点 Q 重合
②当点 P 运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为3个单位长度
10. 如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为-8，4，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点B 以每秒2个单位长度的速度向左运动. 如果设运动时间为t秒，解答下列问题：
(1)运动前线段AB的长为 ；运动1秒后线段AB的长为 ；
(2)求t为何值时，点A 与点 B 恰好重合；
(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值； 若不存在，请说明理由.
11. 如图,数轴上有A、B、C三个点, A、B、C对应的数分别是a、b、c,且满足 动点 P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒.
(1)求a、b的值;
(2)若点 P到A 点的距离是点 P到B点的距离的2倍，求点 P 对应的数；
(3)当点 P运动到B点时，点Q从点A 出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A. 在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4 请说明理由.
题型五、已知线段关系求时间问题 (双动点)
1. 如图, 在数轴上A 点表示数a, B点表示数b, 且a, b满足|
(1)求A、B两点之间的距离；
(2)点C在A点的左侧，D在B点的左侧，AC为14个单位长度，BD为8个单位长度，求点C与点D之间的距离；
(3)在(2)的条件下，动点P以3个单位/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点Q以2个单位长度/秒的速度从D点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P、点Q到点C的距离相等.
2. 如图，数轴上点A，B表示的数分别为-40，50. 现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A 向B 运动，另一动点Q 以3个单位每秒的速度从点 B向A 运动. 当. 时，运动的时间为( )
A. 15秒 B. 25秒 C. 15秒或25秒 D. 15秒或20秒
3. 如图，数轴上点A表示的数为-4，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒 当 时，
4. 数轴上点A 表示的数是1，点B 表示的数是. 原点为O，若点A 和点 B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，t秒后，点A运动到点 C，点B运动到点 D，当( 时，则 秒.
5. 如图，数轴上点A表示的数为6，点A在点B的右边，且A与B的距离是10，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒.
(1)点B 表示的数是 ;
(2)点P表示的数是 (用含t的代数式表示)；点Q 表示的数是 (用含t的代数式表示)；
(3)若点 P与点 Q 相距6个单位长度，则t的值为 ；
(4)若 , 则t的值为 ;
6. 在数轴上点A 表示的数是6，点B位于点A 的左侧，与点A的距离是12个单位长度.
(1)点B 表示的数是 .
(2)动点P从点B出发，沿着数轴向右以每秒2个单位长度的速度运动. 经过多少秒，点P到A，B两点的距离相等.
(3)在(2) 的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴向左，以每秒1个单位长度的速度运动. 经过多少秒，点Q到点 B的距离是点 P到点A 距离的2倍
7. 在数轴上，点A，B，C所表示的数分别为-9，x，7，动点P是从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 秒.
【问题提出】
(1) AC的长度是 ，运动t秒后，点P表示的数是 ，当点P在A. C两点间时，请用含t的式子表示CP的长度是 ；
【问题探究】
(2) 若 求x的值；
【拓展应用】
(3)在(2)的条件下，若动点Q从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点P、Q同时出发，当CP+CQ=10时，请直接写出t的值.
8. 如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分别为a，b，已知. ，原点O是线段AB上的一点，且(
(2)若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，当t为何值时，
9. 如图, 点 C在射线AB上, 且在点A、B之间, 动点P从C出发. 以每秒1个单位长度的速度沿射线CB向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线AB运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动. 当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为t(s).
(2)当点 P 是线段BC的中点时, 求PQ的长.
(3)求PQ的长 (用含 t的代数式表示).
(4)当 时，直接写出t的值.
10. 阅读下列材料，并回答问题：
我们知道|a|的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点的距离，那么 |的几何意义又是什么呢 我们不妨考虑一下a，b取特殊值时的情况，比如考虑|9-(-3)|的几何意义，在数轴上分别标出表示-3和9的点A, B (如图所示), A, B两点间的距离是 12, 而| ，因此不难看出 |就是数轴上表示-3和9两点间的距离.
(1)根据 |的几何意义可知| (填“>”“ <”“ =” );
(2)说出|x-2|的几何意义，并求出当| 时x的值.
(3)点P、点Q为数轴上的两个动点，点P从A点以3个单位长度每秒的速度向右运动，点Q同时从B点以2个单位长度每秒的速度向左运动，设运动时间为t秒，若 求时间t的值.
题型六、判断定值问题 (双动点)
1. 点A、B在数轴上所表示的数如图所示，P是数轴上一点：
(1)将点B在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点P，求出A、P两点间的距离是多少个单位长度.
(2)若点B在数轴上移动了m个单位长度到点P，且A、P两点间的距离是4，求m的值.
(3)若点M为AP的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化 若发生变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度.
2. 如图，已知数轴上的点A 对应的数为6，B是数轴上的一点， 且 ，动点P从点 A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒(
(1)数轴上点B对应的数是 ，点P对应的数是 ，. (用t的式子表示)；
(2)动点Q从点B与点P同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点P可以追上点Q
(3)M是AP的中点，N是PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化 若有变化，说明理由； 若没有变化，请你画出图形，并求出MN的长.
3. 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且. ，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒.
(1)写出数轴上点B表示的数； 点P表示的数(用含t的代数式表示)
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上Q
(3)若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化 若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长.
4. 已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达A点，再从A点向右移动12个单位长度到达B点. 点C是线段AB的中点.
(1)点C表示的数是 ；
(2)若动点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点Q，M分别从点C、B出发，分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动. 设运动时间为t秒.
①当 时, 求QM-PQ的值;
②试探索：QM-PQ的值是否随着时间t的变化而改变 请说明理由.
5. 数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美的结合，如：数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A，B两点之间的距离为. 如图所示，点A，B，C为数轴上的三个点，表示的数分别为a,b,c, 满足 且b为 的倒数. 动点M ，P分别从点A，B出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，动点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，三个动点同时出发，设运动的时间为t秒( 请回答下列问题：
(1)直接写出a,b,c的值:
(2)当MN=3时, 求t的值;
(3)在运动过程中，PM-CN的值是否发生变化 若发生变化，请用含t的式子表示； 若不发生变化，请求出PM-CN的值.
6. A，B是数轴上的两点 (点B在点A的右侧)，点A表示的数为 ，点P为数轴上的一个动点，其对应的数为x.
(1)数轴上点B表示的数是 ；
(2)若 求x的值；
(3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒. 请问在运动过程中，3PB-PA的值是否随着时间t的变化而改变 若变化，请说明理由； 若不变，请求出3PB-PA的值.
7. 已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为-1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x. 点A与点 P之间的距离表示为AP，点B 与点 P之间的距离表示为BP.
(1)若. 则.
(2)若 则. 若 则
(3)若点 P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A 以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发. 设运动时间为t秒，试判断：4BP-AP的值是否会随着t的变化而变化 请说明理由.
8. 如图，已知点A和点B在数轴上对应的有理数分别为a和b，且(
(1)填空:
(2)有一动点 P从点A 出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度，……，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第101次时，求点 P 所对应的有理数；
(3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B 以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点 D从原点开始以每秒 个单位长度的速度向左运动且点 D一直在点A 的右侧，运动时间为t秒，在运动过程中，BD-2AD的值始终保持不变，求m的值.
9. 已知多项式 中，四次项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，且a、b、c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从原点O出发，沿OC方向以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动(点P、Q分别运动到点C、O时停止运动)，两点同时出发.
(1)分别求a、b、c的值;
(2)若点Q运动速度为3个单位/s，经过多长时间P、Q两点相距7个单位长度；
(3)当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB 的中点E、F，试问 的值是否变化，若变化，求出其范围； 若不变，求出其值.
10. 如图，在数轴上点A表示的数是a，点C表示的数是c，且
(1)直接写出a、c的值,
(2)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A、C在数轴上运动，点A、C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，设它们的运动时间为t秒.
①若点A 向右运动, 点C向左运动, AB=2BC, 求t的值;
②若点A 向左运动，点C向右运动，在原点右侧有一点P，问是否存在t的值使得关系式 成立 若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由.
11. 已知二项式 中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，且a，b在数轴上对应的点分别为A，B，点C为数轴上任意一点，对应的数为c.
并在数轴上标出A，B；
(2)当点C为线段AB的三等分点时，求c的值；
(3)在(2) 的条件下，若点C离点B较近时，点P、Q、M分别从点A、B、C同时向左运动，其速度分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度. 是否存在常数k，使 为定值，若存在，求k的值； 若不存在，请说明理由.
12. 如图：在数轴上点A表示数-3，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒(
(1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：AB表示点A到点B之间的距离，运动之前，AB的距离为 ，A点与C点的中点为D，则点D表示的数为 ；运动t秒后，点A表示的数为 (用含t的式子表示)；
(2)若t秒钟过后，点C是线段AB的中点，求t值；
(3)当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使mBC-2AB的值为定值 若存在，求m的值，若不存在，请说明理由.
13. 已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C， 且满足(
(1)分别求a,b,c的值;
(2)若点D在数轴上对应的数为x，点A与点D之间的距离表示为AD，点B与点C之间的距离表示为BC(提示：点B在点C的右侧时， 请求出x的值；
(3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得3AC-k·AB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变 若存在，求出k的值； 若不存在，请说明理由.
14.【背景知识】
数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合. 已知结论：数轴上点A、B表示的数分别为a、b, 则A、B两点之间的距离AB=|a-b|; 线段AB的中点表示的数为
【知识运用】
(1) 点A、B表示的数分别为a、b, 若a与 互为倒数，b与-7互为相反数. 则A、B两点之间的距离为 ；线段AB的中点表示的数为 .
【拓展迁移】
(2)在(1)的条件下，动点P从点A出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，点M 是线段PQ的中点.
①点M 表示的数是 (用含t的代数式表示)；
②在运动过程中，点A、P、Q中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间t；
③线段PQ、AM 的长度随时间t的变化而变化，当点Q在点P左侧时，是否存在常数m，使mPQ+AM 为定值 若存在，求常数m及该定值； 若不存在，请说明理由.
15. 如图, 点O为原点, A、B为数轴上两点, 且
(1)点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距2个单位长度
(2)点A、B以(1)中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位/秒的速度也同时向右运动，是否存在常数m，使得 为定值，若存在，请求出m值以及这个定值； 若不存在，请说明理由.
16. 已知数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离为AB=|a-b|，线段AB的中点表示的数为
若点A、B、O在数轴上对应的数为a、6、0，且关于x的多项式 是二次三项式，点M 、N分别从点A、O出发，同时向右匀速运动，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为1个单位长度/秒，设运动的时间为t秒(t>0).
(1)直接写出a= .
(2)①用含t的代数式表示：t秒后，点M 表示的数为 ，点N表示的数为 .
②当BM =2BN, 求t的值;
(3)若点P为线段BN的中点，Q为线段AM的中点，M、N在运动的过程中，2PQ-MN 的值会随着t的改变而改变，请求出当t满足什么条件时，2PQ-MN 有最大值，最大值是多少
题型七、往返运动问题
1. 如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a； B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且关于x的多项式( 是七次二项式.
(2)点P、Q是数轴上的两个动点，点P 从点A 出发沿数轴向右运动，同时点Q从点 B 出发沿数轴向右运动.且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点Q与点P的速度分别为每秒几个单位；
(3)若P、Q两点同时以 (2)中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向左运动，且点 P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟，P、Q两点相距6个单位长度.
2. 如图，数轴上的A，B两点分别表示有理数a，b，O为原点，且a、b满足 请回答下列问题：
(2)若点 P从点A 出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P 到点A的距离是点 P到点 B距离的3倍；
(3)数轴上还有一点C表示的数为30，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A. 求点P和点 Q 运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4.
3. 如图，AB=40，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在线段AB上来回运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度在线段AB上来回运动(掉头时间忽略不计).当P第一次回到点A时两个点同时停止运动，当点P运动 秒时，点Q恰好是AP的中点.
4. 如图, 数轴上点A、C对应的数分别为a、c, 且a、c满足 点 B 对应的数为-3.
(1)求a、c的值;
(2)点A，B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，当A，B两点到原点O的距离相等时，求t的值；
(3)在(2) 的条件下，若点 B运动到点C处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A 运动至点C处后又以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点 C运动，当点B 停止运动时，点A随之停止运动，在此运动过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上表示的数是 .
4. 如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为-10和20，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向一直匀速运动，点Q同时从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒.
(1)分别求当t=1及 时，对应的线段PQ的长度；
(2)当PQ=4时，求所有符合条件的t的值. 并求出此时点Q所对应的数；
(3)若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，速度变为每秒3个单位长度. 到达点A时，再次改变运动方向，沿数轴的正方向一直运动. 速度变为每秒4个单位长度，在点Q的整个运动过程中，是否存在合适的t值，使得 若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请明理由.
5. 如图，已知数轴上点A表示的数为-4，B、C是数轴上原点右侧的点，其中， B是AC的中点.
(1)点B 表示的数是 ，点C 表示的数是 ；
(2)动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，多少秒后点M与点C相距3个单位长度
(3)动点P、R分别从点A、B同时出发，分别以每秒2个、1个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1.5个单位长度的速度向左匀速运动，每当两动点相遇时，相遇的两动点会立即以原速往相反方向运动，令运动时间为t，当 时，求t的值.
6. 已知数轴上两点A、B对应的数分别为-3、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.
(1)若点 P到点 A, 点B 的距离相等, 求点 P 对应的数.
(2)数轴上是否存在点 P，使点 P到点A、点B的距离之和为6 若存在，请求出x的值； 若不存在，说明理由.
(3)点A、点B 分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动. 当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A 与点 B 重合时，点P 所经过的总路程是多少
7. 思考并解答下列问题：
(1)已知数轴上有M、N两点，点M与原点的距离为4，M、N两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是 .
(2)在纸面上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示-1的点与表示5的点重合，若数轴上E、F两点之间的距离是8(E在F左侧)，且E、F两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是 ，点F表示的数是 ；
(3)数轴上点A表示数8，点B 表示数-8，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B 以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少 点C在整个运动过程中，移动了多少单位
8. 如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上位于A左侧一点，且AC=8.
(1)直接写出数轴上点 C 表示的数；
(2)动点 P 从B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒, 动点 R从点 C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时 P，R两点会相遇.
(3)动点 P 从B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒, 动点 R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动. 若P，Q，R三点同时出发，当点P遇上点R后立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动. 求点 P 从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度
9. 如图，在数轴上记原点为点O，已知点C表示数c，点D 表示数d，且c，d满足 我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母表示，如：点C与点 D之间的距离记作CD.
(1)求CD的值;
(2)若甲、乙两动点分别从C，D同时出发向右运动，甲的速度为每秒3个单位，乙的速度为每秒1个单位，当甲和乙重合时，甲，乙停止运动. 当甲到达原点O时，动点丙从原点O出发，以每秒4个单位长度的速度也向右运动，当丙追上乙后立即返向甲运动，遇到甲后再立即返向乙运动，如此往返，直到点甲、乙、丙全部相遇就停止运动，设此过程中丙的速度大小不变求在此过程中丙行驶的总路程，以及丙停留的最后位置在数轴上所对应的有理数：
(3)动点A从C出发，以每秒2个单位速度往x轴的正方向运动，同时动点B从D出发，以每秒3个单位速度向点C方向运动，到达C点后立即沿x轴的正方向运动，且点B速度大小不变，设运动时间为t秒，是否存在t值，使得OA=OB 若存在，直接写出t的值：若不存在，说明理由.
题型八、变速运动问题
1.已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B之间的距离记为： 或 请回答问题：
(1)当a=-3,b=1时,
(2)设点 P 在数轴上对应的数为x，若| 则
(3)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为 若点 P 表示的数是8，现在甲从点M出发，以每秒1个单位长度的速度一直向右运动，同时乙从点 P出发，以每秒3个单位长度的速度向点N运动，当乙到达点N时立即折回，然后以每秒2个单位长度的速度向右运动，问当经过多少秒时，甲乙相距2个单位长度
2. 如图，一条数轴上点A 表示. 点 B 表示10, 点C表示20. 动点P 从点A 出发, 以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速； 同时，动点Q从点C出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B 运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速. 设运动的时间为t秒.
(1)当 秒时，点P运动到O点.
(2) 当 秒时，
3.已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B之间的距离记为|AB|，定义： 或|b-a|,请回答问题:
(1)设点 M在数轴上对应的数为x，点N在数轴上对应的数为y，若 则
(2)设数轴上点 P 对应的数为p，且| 求p的值；
(3)如图，点A，B，C是数轴上的三点，点A表示的数为4，点C 表示的数为 ，点B 表示的数是9. 现甲从点A出发，以每秒2个单位长度的速度一直向右运动，同时乙从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向点C运动，当乙到达点C时休息3秒后立即折回，再以每秒3个单位长度的速度向右运动时，此时甲以每秒1个单位长度的速度继续向右运动. 问：当经过多少秒时，甲、乙相距2个单位长度
4. 如图: 数轴上A, B, C三点分别表示的数为-4、4、7, 点P表示的数为x.
【阅读材料】：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记为|a-b| (或|b-a|)，数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之和记为|x-a|+|x-b|.
(1)填空: 若|x-1|=2, 则. 若| 则
(2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点P到点B、点C的距离之和为8；
(3)若点Q表示的数为y，当| 取最小值时，动点M 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向C点运动，当到达C点后立即以每秒1个单位长度的速度返回A点，动点N从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向A点运动，当到达A点后立即以每秒2个单位长度的速度返回C点，M、N同时开始运动，当经过多少秒时，点M、点N之间的距离正好等于点N到点Q、点C的距离之和.
5. 数轴上点A, B对应的数分别为a, b, 其中a, b满足 点P为数轴上一动点.
(2)若点P到点 A，B的距离之和为55，求P点对应的数；
(3)若点P从点A以2个单位每秒的速度向点B运动，到达点B后立即掉头，速度变为原来的3倍，当点P运动3秒后，点T与点Q同时出发，点T从A点以1个单位每秒的速度向左运动，点Q以5个单位每秒的速度从表示10的点C处向左出发，当点Q与点P相遇后，点Q的速度变为原来的2倍，并继续向左运动，直到点Q追上点T后所有点停止运动. 求点P运动多少秒时
题型九、折线数轴动点
1. 如图，数轴上，点A表示的数为-7，点B表示的数为-1，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”.我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位.动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半， “下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍.设运动的时间为t秒.问：
(1)动点P从点A 运动至D点需要时间为 秒；
(2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数：
(3)当点Q到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，求出它们在数轴上对应的数.
2. 数轴上点A表示-12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度. 动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点 B 后继续以原来的速度向正方向运动； 点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B 运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动. 设运动的时间为t秒.
(1) 当t=3秒时，求M，N两点在折线数轴上的和谐距离；
(2)当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
(3) 当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B 运动到点O期间速度变为原来的一半； 当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等 若存在，请直接写出t的取值； 若不存在，请说明理由.
3. 综合与实践：
如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”. 图中点A 表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位. 动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动； 点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A 处停止运动. 设运动的时间为t秒. 问：
(1)当点P运动2秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动10秒时，点Q在数轴上表示的数是 ;
(2)动点P从点A 运动至C点需要多少时间
(3)P、Q两点何时相遇 相遇时，求出相遇点M 所对应的数是多少
(4)在整个运动过程中，是否在线段OB上存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等 (若存在，请求出t的值； 若不存在，请说明理由)
4. 如图，点A、O、C、B为数轴上的点，O为原点，A表示的数是-8，C表示的数是2，B 表示的数是6.我们将数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后CB与AO处于水平位置，线段OC 处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数，记 为“折坡数轴”拉直后点A 和点 B 的距离； 即 其中AO、OC、CB代表线段的长度.
(1)若点 T为“折坡数轴”上一点，且 请求出点 T所表示的数；
(2)定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍，动点P从点A 处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动到点 O，再上坡移动，当移到点C时，立即掉头返回(掉头时间不计)，在点 P出发的同时，动点Q从点 B处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动到点C，再下坡到点O，然后再沿OA方向移动，当点P重新回到点A时所有运动结束，设点 P运动时间为t秒，在移动过程中：
①点P在第 秒时回到点A； (请给出详细解析过程)
②当t= 时. (可直接给出t的值)
5. 数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题. 如图1，在数轴上，点A 表示数-8，点C表示的数为2，点B 表示的数为6.
(1) 点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时，点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动，经过多久两点相遇
(2)如图2，我们将图1的数轴沿点O和点C各折一次后会得到一个新的图形，与原来相比，线段AO和CB仍然水平，线段OC 处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“坡数轴”，其中O为“坡数轴”原点，在“坡数轴”上，每个点对应的数就是把“坡数轴”拉直后对应的数. 记“坡数轴”上A 到B 的距离 为A和B 拉直后距离：即 其中AO、OC、CB代表线段长度. 在“坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍.
①点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位l秒的速度沿着“坡数轴”向左运动，经过多久，
②点P从A处沿“坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动，当移到点C时，立即掉头返回(掉头时间不计)，在P出发的同时，点Q从B 处沿“坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动，当P重新回到A点所有运动结束，设P 点运动时间为t秒，在移动过程中，何时 直接写出t的值.
6. 数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想, 并借助方程解决问题, 已知a、b为常数且满足|a+4|+|b-12|=0, 其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等.
(1)则a= , b= ;
(2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后CB与AO处于水平位置，线段OC 处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数. 记 为“折坡数轴”拉直后点 A 和点 B 的距离：即
其中AO、OC、CB代表线段的长度. 定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍.动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿CB方向移动，在点M出发的同时，动点N从点 B 处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回(掉头时间不计)，当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中：
①若M，N两点在点Q 处相遇，则点 Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少.
②在点N从点O 返回之前，是否存在某一时刻t，使得 若存在，请直接写出t的值； 若不存在，请说明理由.
7. 数轴上点A表示-8, 点B表示6, 点C表示12, 点D表示18. 如图, 将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”. 在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离. 例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为|-8-18|=26个单位长度. 动点M 从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动； 点M 从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以1.5个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动. 设运动的时间为t秒.
(1)当t=2秒时, M、N两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为 ; 当点M 、N都运动到折线段O-B-C上时，O、M两点间的和谐距离 (用含有t的代数式表示)；C、N两点间的和谐距离[ (用含有t的代数式表示)；t= 时，M、N两点相遇；
(2)当M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求t的值.
8. 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”.
探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”. 图中点A表示-9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为
素材2 动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动. 当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半.当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍.经过点C后立刻恢复初始速度.
问题解决：探索1 ：动点P从点A运动至点 B 需要多少时间
探索2 ： 动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数(用含t的代数式表示)；
探索3 ：动点P从点A 出发，运动至点D 的过程中某个时刻满足 时，求动点P运动的时间.
9. 如图①, 在直角三角形ABC中, B=90°, AB=6, BC=8, AC=10.
(1)动点E、F同时从A出发，E以每秒1个单位长度的速度沿折线A→B→C方向运动，F以每秒2个单位长度的速度沿折线A→C→B方向运动，经过 秒两点首次相遇，相遇时它们距点B 个单位长度；
(2)如图②，动点K从B出发，沿折线B→C→A(含端点B和A)，速度为每秒2个单位长度，到达A点停止运动，已知点B到AC的距离为 个单位长度，设点K的运动时间为t秒，当△ABK的面积为 时, 求t的值；
(3)如图③，将三角形ABC的顶点A与数轴原点重合，将数轴正半轴部分沿A→B→C折叠在三角形ABC的两边AB，BC上，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的距离. 例如点 M 和点N在折线数轴上的距离为|20-(-8)|=28个单位长度. 动点P从点M 出发, 以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点A运动到过点C期间，速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向数轴的正方向运动； 与此同时，动点Q从点N出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点C运动到点A期间速度变为3.5个单位/秒，过点A后继续以原来的速度向数轴的负方向运动，设运动时间为m秒. 在此运动过程中，P，A两点的距离与Q，C两点的距离是否会相等 若相等请直接写出m的值； 若不相等，请说明理由.
10. 如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D出各折一下，得到“折线数轴”. 图中点A表示-8，点B表示8, 点C表示16, 点D 表示24, 点E 表示28. 我们称点A和点E相距36个单位长度, 动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变. 当点 P运动到点E时P点P停止运动，当点Q运动到点A时点 Q 停止运动，设：运动时间为 t. 问：
(1)动点 P 从点 A 运动到 E 点需要 秒, 此时点 Q 对应的数是 ;
(2)P，Q两点在点M 出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少
(3)求当t为何值时，P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等.
题型十、三动点问题
1. 已知有理数a, b, c在数轴上对应的点分别为A, B, C,且 若点A, B, C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度，1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，当点A在点B左侧, 且AC长为6时, t的值为( )
B. 1 D. 2
2. 已知，如图所示，A、B是数轴上的两个点，点A 所表示的数为 ，点B 表示的数为7，动点 P 以每秒4个单位长度的速度从点 B向左运动，同时，动点Q、M从点A向右运动，且点M的速度是点Q速度的 当运动时间为4秒时，点M和点 P之间的距离是6个单位长度，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 .
3. 已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，-8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位.
(1) 若点M向右运动，同时点N向左运动，经过 秒M与点N相距54个单位；
(2) 若点M、N、P同时都向右运动, 经过 秒点 P到点 M, N的距离相等.
4. 距离是天文学、物理学、数学，甚至哲学中的热门话题. 唯有深入了解距离，才能更好地把握宇宙尺度，把握做人做事的分寸.
研究数轴我们发现：若点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B两点之间的距离为 已知如图，点O为原点，点A、B在数轴上对应的数分别为-2和6.
(1) ①A, B两点之间的距离为 ;
②点R是数轴上一点，若点 R到点A的距离为6(RA=6)，则点R在数轴上对应的数为 .
(2)数轴上有一动点T，当点 T以每秒1个单位长度的速度从O点向左匀速运动时，点A也以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B也以每秒6个单位长度的速度向左匀速运动，若它们同时出发，则几秒后T点到A、B两点的距离相等
5. 如图1，在数轴上从左到右依次是A、B、C三个点，且A、B两点位于原点O的两侧，A点所表示的数为-4 , 且OA=2OB, BC=3AB;
(1)求出数轴上点 B、C所表示的数；
(2)如图2，动点P从A点出发，以4个单位长度每秒的速度沿AC方向运动，到达C点后，立即掉头以原速返回； 与此同时，另一动点Q从B出发，以1.5个单位长度每秒的速度沿BC方向运动，到达 C后，点P、Q停止运动. 在运动过程中，点Q 的运动时间记为t(秒)， 当 时，求出满足条件的t的值；
(3)在第(2)问的条件下，有另一动点M与P、Q同时出发，从点C以3个单位长度每秒的速度沿CA方向运动，当点P停止运动时，点M停止运动. 在运动过程中，点Q的运动时间记为t(秒)，当P、Q、M三点中一点是另外两点的中点时，请直接写出满足条件的t的值.
题型十一、线段运动问题
1. 数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数. , 两条动线段PQ和MN, 如图，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始一直向右匀速运动，线段PQ同时以每秒2个单位的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到C时，线段PQ立即以相同的速度返回，当点P运动到点A时，线段MN，PQ立即同时停止运动，设运动时间为t秒(整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变，且点P总在点Q的左边，点M 总在点N的左边)
(1)当t为何值时，点Q和点N重合
(2)在整个运动过程中，线段PQ和MN重合部分长度能否为1，若能，请求出此时点P表示的数； 若不能，请说明理由.
2. 如图，数轴上点M ，N对应的实数分别为-6和8，数轴上一条线段AB从点M出发(刚开始点A与点M重合)，以每秒1个单位的速度沿数轴在M，N之间往返运动(点B到达点N立刻返回)，线段. 设线段AB 的运动时间为t秒.
(1)如图1，当t=2时，求出点A对应的有理数和点B与点N之间的距离；
(2)如图2，当线段AB从点M 出发时，在数轴上的线段CD从点N出发(D在C点的右侧，刚开始点D与点N重合)，以每秒2个单位的速度沿数轴在N，M之间往返运动(点C到达点M 立刻返回)，( 点P为线段AB的中点，点Q为线段CD的中点.
①当P点第一次到达原点O之前，若点P、点Q到数轴原点的距离恰好相等，求t的值；
②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当P，Q两点第一次在整点处重合时，请求出此时点C对应的数.
3. 初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒PQ、MN研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数-24，-10和12. 佳佳把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且 木棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动； 木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点Q运动到C时，木棒PQ立即以每秒2个单位的速度返回 (返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边)，当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为t秒.
(1)当t=8时，点N表示的数为 ，点P表示的数为 ；
(2)当0(3)点D为木棒PQ上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值 若存在，请直接写出这个定值和持续的总时长； 若不存在，请说理由.
4. 数学为人们提供了一种认识和探索现实世界的观察方式. 在数学综合实践活动课上，小明同学借助两根木棒PQ、MN研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数-24，-10和12.小明把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且PQ=3，MN=6. 木棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动； 木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，设运动时间为t秒.
(1)当t=9时, 点N 表示的数为 ,点P表示的数为 ;
(2)当点Q运动到C时，两根木棒立即同时停止运动，在整个运动的过程中，当线段PM 和线段QN的长度之和为11时，求出对应的t的值；
(3)当点Q运动到C时，木棒PQ立即以每秒2个单位的速度返回(返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边)，当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，点D为木棒PQ上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值 若存在，请求出这个定值和持续的总时长； 若不存在，请说明理由.
5. 已知关于x的方程( 是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a, b, c, 且a, c满足
(1)直接写出a, b, c的值;
(2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段AP的中点M到点CQ的中点N距离为3 若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段 线段 (点E在P的左边，点F在Q的左边)，当点P运动到点C时，线段EP立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段EP和FQ立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为EP的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由.
【专题过关】参考答案
题型一：动点规律探究
1.【答案】C
【详解】解：由题意知：圆的周长为4个单位长度.
∵1到-2021共有 2022 个单位长度,
∴当 ，则数轴上的数 将与圆周上的数字2重合.
故选: C.
2.【答案】D
【详解】解：有图可知，
旋转一次: B-2
再旋转一次：
再旋转一次：
再旋转一次：
依次循环
发现: A、B、C、D四个点依次循环,
∴2021对应的点为A.故答案为 D.
3.【答案】-π
【详解】解：∵直径为1 个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，
∴A 点滑动的距离为圆的周长=π，滑动后 A 点在原点的左边.
∴A 点对应的数是-π.
∴点 B 表示的数是-π
故答案为-π.
4.【答案】B
【详解】解: 由于2023÷4=505…3,
根据翻折规律以及所对应的数可得以下规律：
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 2021 2022 2023
数轴上最左侧的点 D C B A D C B A D C B
最左侧点对应的数 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 … -2021 -2022 -2023
所以第2023次翻转后，落在数轴最左侧的点是点B，此时点C在点B的右侧，因此点C所对应的数是-2022，故选: B.
5.【答案】B
【详解】解：由题可得：
1-2+3-4+5-6+…-2022+2023
=-1×1011+2023
=1012,
故答案选：B.
【点睛】本题考查了数轴与图形的变化，数轴上点的移动规律是“左加右减”，把数和点对应起来，数形结合是解答本题的关键.
6.【答案】0
【详解】解: 根据题意得: - 2023÷4=-505…3,
∵圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，
∴数轴上的0对应圆周上的1，
∴数轴上的数-2023将与圆周上的数字0重合，
故答案为： 0.
7.【答案】1
【详解】解：根据题意，数轴按逆时针方向环绕在圆上， 会和3重合, -3会和2 重合, -4会和 1 重合, -5又会和0重合，
所以这就形成了一个循环， 四个数一循环，
-1 到-2020之间一共2020 个点,
∴-2020 会和 1 重合.
故答案是： 1.
题型二：两点间的距离表示
1.(1)【答案】3或-7/-7或3
(2)【答案】-3或1或-1
2.【答案】点 C 在数轴上表示的数为-9.5
【详解】∵表示互为相反数的两个数的点A，B在数轴上的距离是 10，其中点A在点 B 的左侧
∴点A 表示的数为-5，点B 表示的数为5
∵点A沿着数轴先向右运动2秒，点A的运动速度为每秒1.5个单位长度，
∴2×1.5=3
∴-5+3=-2,
∵点A 再向左运动5秒到达点 C 的位置
∴5×1.5=7.5
∴-2-7.5=-9.5
∴点 C在数轴上表示的数为-9.5
3.【答案】(1)-2, 1, 8
(2)5
(3)3t+3, 10+5t, 7+2t
【分析】(1) 根据非负数的性质可得a，c的值，即可求解；
(2) 先求出对称点，即可得出结果；
(3) 先得出A，B，C表示的数，再根据两点间距离的表示方法计算即可；
【解析】(1)解:
∴a+2=0, c-8=0,
∴a=-2, c=8,
故答案为: - 2, 1, 8;
∴对称点为3，
∴3×2-1=5,
即点B与5表示的点重合；
(3) 由题意可得：
t秒后, 点A 表示的数为-2-2t, 点 B 表示的数为1 点 C 表示的数为8
∴
故答案为：
4.【答案】(1)-2
(3)①3t, - 8+3t; ②40-3t
【分析】(1)当t=2时，利用距离=速度×时间，计算出点P运动的距离，点A的坐标加上点P运动的距离，即可得到答案；
(2) 当点P与点B重合时，计算出点P运动的距离，根据时间=距离÷速度，即可得到答案；
(3)①在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离为：速度×时间，点P表示的有理数是：点A的坐标+点P运动的距离，即可得到答案，②在点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离是：点A与点B两点之间的距离--(点P运动的距离-点A与点B两点之间的距离)，即可得到答案，
【解析】(1) 解: 当t=2时,
点P移动的距离为：
此时点P表示的有理数为：
即t=2时点P表示的有理数为
故答案为: -2;
(2) 当点P与点B重合时，点P运动的距离为：
运动的时间 (秒),
即点P与点B重合时t的值为
故答案为：
(3) ①在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离为：3t，点P表示的有理数是：
故答案为: 3t, - 8+3t;
②在点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A 的距离是：
故答案为: 40-3t;
题型三、已知线段长求时间问题 (单动点)
1.【答案】3或7
【难度】0.85
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题
【分析】根据题意可得出点M在-6和6的时候与原点O的距离为6个单位长度，然后利用路程除以速度即可得出时间.
【详解】∵点M 与原点O的距离为6个单位长度，点A表示的数为-15.
∴M在-6和6的时候与原点O的距离都为6个单位长度·
∴-6-(-15)=9, 6+15=21,
∴9÷3=3, 21÷3=7,
故答案为：3或7.
【点睛】此题考查两点间的距离，数轴，解题关键在于得出点M 的位置.
2.【答案】 或
【难度】0.85
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. 由点A，B，C位置间的关系，可求出点C在数轴上表示的数为4，当运动时间为t秒时，点P在数轴上表示的数为-4+2t，根据PC=3，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论.
【详解】解：∵点A在数轴上表示的数为-4，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段AB上一点，且AC=2BC，
∵AB=8-(-4)=12,
∴点 C 在数轴上表示的数为8+(-4)=4.
当运动时间为t秒时，点P在数轴上表示的数为-4+2t，
∵PC=3,
∴|4-(-4+2t)|=3,
即8-2t=3或8-2t=-3,
解得： 或
∴点 P 运动 秒或 秒, PC=3,
故答案为： 或
3.【答案】 或10
分两种情况：①如果点P由点A 向点B运动，即 时，
②如果点P由点B向点A运动，即 时，
故当 或10时,
故答案为： 或10.
4.【答案】(1)2t-6
(2)t为1或3
【难度】0.85
【知识点】数轴上的动点问题、用代数式表示式、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴；
(1) 利用电子蚂蚁所在的位置表示的数=电子蚂蚁的运动速度×运动时间+点B表示的数，即可用含t的代数式表示出经过t秒后电子蚂蚁所在的位置表示的数；
(2)利用时间=路程÷速度，可求出电子蚂蚁到达点A所需时间，分电子蚂蚁在点A的左侧及电子蚂蚁在点A的右侧两种情况考虑，根据电子蚂蚁所在的位置到点A的距离为2，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论.
【详解】(1) 解：根据题意得：经过t秒后，电子蚂蚁所在的位置表示的数为
(秒).
当电子蚂蚁在点A的左侧，即 时，
解得：
当电子蚂蚁在点A的右侧，即 时，
解得：
答：当t为1或3时，电子蚂蚁所在的位置到点A的距离为2.
5.【答案】(1)-3
(2)4秒
(3)1秒或3秒或5秒或7秒
【难度】0.85
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数
【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程在数轴上的运用，掌握数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程与路程的运用是解题的关键.
(1) 根据点P的运动，“左减右加”的方法表示出点P，把时间代入即可求解；
(2) 先算出距离AB的长，再根据路程除以速度即可求解；
(3) 根据数轴两点之间距离的表示，分类讨论：出发时和返回时，当点P在原点左边时； 当点P在原点右边时；运用路程除以速度即可求解.
【详解】(1)解：点A表示的数是-6，点P从点A开始，以每秒3个单位长度向点B运动，运动时间为t，∴点P表示的数为
当运动时间为1秒时，
∴点P表示的有理数为-3；
(2)解:
∴12÷3=4 (秒),
∴点P与点B重合时，运动时间为4秒；
(3) 解：当点P从A点出发，在原点左边时，
(秒);
当点P从A 点出发，在原点右边时，
(秒);
当点P从B点返回，在原点右边时，
(秒);
当点P从B点返回，在原点左边时，
(秒);
∴当点P表示的有理数与原点的距离为3个单位长度时，运动时间为1秒或3秒或5秒或7秒.
5.【答案】C
【难度】0.65
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值方程
【分析】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及数轴的应用，明确如何借助用数轴上的点表示距离，是解题的关键. 当P在点A、B之间时的距离、当点 P到点A和点B的距离之和为7的点P的位置，借助含绝对值的式子分析求解即可.
【详解】解：由题意得：当P到点A、B的距离之和为7时，有
∵当点 P位于点A、B之间时，
∴将x从-1向左移动1.5个单位或从3向右移动1.5个单位，则有
此时 或
故选: C.
6.【答案】26或-70
【难度】0.65
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题
【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离. 可分为“当点 P运动到点A 右侧时”和“当点 P运动到点A左侧时”两种情况讨论，根据“点P到点A的距离与点 P到点B的距离比是2：3”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键.
【详解】解：∵在点 P 运动过程中，点P到点A的距离与点 P到点 B的距离比是2：3，
∴PA:PB=2:3,
当点 P 运动到点 A 右侧时，
∴此时点 P 表示的数是
当点 P 运动到点A 左侧时，
∴此时点 P 表示的数是
综上所述，点P 表示的数是26或.
故答案为：26或
题型四、已知线段长求时间问题 (双动点)
7.【答案】D
【难度】0.85
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.当运动时间为t秒时，点M在数轴上对应的数为t-2，点N在数轴上对应的数为-2t+10，根据MN=8，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论.
【详解】解：当运动时间为t秒时，点M在数轴上对应的数为t-2，点N在数轴上对应的数为-2t+10，
根据题意得：|-2t+10-(t-2)|=8,
即12-3t=8或3t-12=8,
解得： 或
故选: D.
8.【答案】C
【难度】0.65
【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题
【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论.
【详解】解：设运动时间为t，则t秒后点P 表示的数为-12-3t，点M表示的数为2-5t，
当点 P 在点 M左侧时, 2-5t-(-12-3t)=3,
解得: t=5.5;
当点 P 在点 M右侧时, - 12-3t-(2-5t)=3,
解得: t=8.5;
综上分析可知，当P、M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为5.5秒或8.5秒，
故选: C.
9【答案】D
【难度】0.65
【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上的动点问题、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键. 根据绝对值和偶次方的非负性，得到点A表示的数为6，点B 表示的数为-4，进而得出点P表示的数为6-6t，点Q表示的数为-4-3t，根据题意列一元一次方程，求出t的值即可.
【详解】解：
∴a-6=0, b+4=0,
∴点A 表示的数为6，点B 表示的数为.
由题意可知，点P表示的数为( ，点Q表示的数为
由题意得：
即
当 解得：
当 解得：
综上可知，点P与点Q间的距离为4个单位长度时，点P运动的时间t为2或
故选: D.
10【答案】(1)MN=7
(2)点P运动3秒或 秒时，P与Q相距5个单位长度
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了数轴及数轴的三要素(正方向、原点和单位长度).一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离公式的运用，关键是熟练掌握行程问题中的路程=速度×时间的运用.
(1) 根据点A表示的数为8，且. 得出 B 点表示的数，再利用中点的定义和求出MN；
(2) 设x秒时，P与Q相距5个单位长度，根据等量关系，列出方程求解即可.
【详解】(1) 解: ∵点A 表示的数为8, 且.
∴B 点表示的数是-6.
∵点M,N分别是线段AO,BO的中点,
∴M、N表示的数是4、-3,
∴MN=4+3=7.
(2) 解: 设x秒时, P与Q相距5个单位长度.
第一种情况：P与Q在相遇前相距5个单位长度.
2x+5+x=14, 解得x=3,
第二种情况：P与Q在相遇后相距5个单位长度.
2x-5+x=14,解得
答：点P运动3秒或 秒时，P与Q相距5个单位长度.
11【答案】(1)-40
或0
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题
【分析】本题综合考查了动点在数轴上的运动问题，其中涉及到了相遇行程问题，追及行程问题及列方程解应用题；
(1) 由追及时间等于路程差除以速度差，可求追及时间，从而问题得解；
(2)当PQ=8时，有两种情况：①P，Q相遇前； ②P，Q相遇后. 分别求出相应的时间，再求出对应的点P即可.
【详解】(1) 解: 设经过t秒时,
已知得：
∴当点Q追上点P时, - 12-2×14=-40
∴点P对应的数是-40.
(2) 解: 当PQ=8时, 有两种情况:
①P, Q相遇前,
此时点P对应的数是：
②P, Q相遇后,
此时点P对应的数是: - 12+2t=0.
综上所述，点P对应的数是 或0.
12【答案】(1)30秒
(2)t=6或t=18
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、数轴上的动点问题
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论.
(1)根据OA=AB=BC=20cm求得OC的长为60cm, 根据点P的速度为2cm/s, 求得点P从点O运动到点C的运动时间为30秒；
(2) 分点 P、Q相遇前和相遇后两种情形求解即可.
【详解】(1)解: ∵OA=AB=BC=20cm,
∴OC=20+20+20=60(cm),
60÷2=30 (秒),
答：点P 从点 O运动到点 C的运动时间为30秒；
(2) 解: 相遇前, 2t+3t=60-30=30,
解得t=6;
相遇后, 2t+3t=60+30=90,
解得
答: 经过6秒或18秒, P, Q两点相距30cm.
13【答案】 见解析
(2)运动3秒后，点P 可以追上点Q
【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上的动点问题、相反数的定义、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了相反数的定义，用数轴上点表示有理数，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，根据题意列出方程.
(1) 根据有理数的分类求出( ，根据相反数的定义可得 进而根据数轴上的点所表示数的特点在数轴上标出即可；
(2)根据数轴上点所表示数的特点分别表示出点 P、Q运动t秒后所表示的数，进而根据点P追上点Q，则两点所表示的数相同，列出方程，求解即可.
【详解】(1) 解: ∵a是最大的负整数, b是-5的相反数 ,
∴a=-1, b=5,
∵a、b分别是点A、B在数轴上对应的数，
∴将点 A、B标注在数轴上如下图：
(2) 解：由题意易得t秒后点 P 所表示的数为： 点 Q 所表示的数为
根据点 P追上点 Q，则两点所表示的数相同，可得
解得t=3,
即运动3秒后，点P 可以追上点Q.
14【答案】(1)1
(2)点P所对应的数是-4或2
(3)点P对应的数是-37，点Q对应的数是-35或点P对应的数是-45，点Q对应的数是-47
【难度】0.85
【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想.
(1) 根据两点间的距离公式即可求解；
(2)分两种情况：①点P在点M的左边； ②点P在点N的右边，进行讨论即可求解；
(3)分两种情况：①点P在点Q的左边，②点P在点Q的右边，进行讨论即可求解；
【详解】(1) 解: - 3+4=1, 故点N所对应的数是1;
(2) 解: (6-4)÷2=1,
①点P在点M的左边，
-3-1=-4,
②点P在点N的右边，
1+1=2,
故点P所对应的数是-4或2；
(3) 解: ①点P在点Q的左边,
(4+2×5-2)÷(3-2)=12÷1=12 (秒),
点P对应的数是-3-5×2-12×2=-37 , 点Q对应的数是-37+2=-35;
②点P在点Q的右边，
(4+2×5+2)÷(3-2)=16÷1=16 (秒),
点P对应的数是-3-5×2-16×2=-45, 点Q对应的数是-45-2=-47,
综上可知：点P对应的数是-37，点Q对应的数是-35或点P对应的数是-45，点Q对应的数是-47.
15【答案】(1)9
(2)①t=4.5; ②3秒或6秒
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴的知识，解题的关键是掌握数轴的知识，一元一次方程的应用.
(1) 利用数轴知识做即可；
(2) ①设未知数，应用一元一次方程方程求解即可；
②设未知数，应用一元一次方程方程，分情况解决所有的可能.
【详解】(1) 解: 由图可知: A与B之间距离为: 6-(-3)=6+3=9,
故答案为：9；
(2) 解: ①设点 P运动t秒时, 点 P 和点 Q 重合,
根据题意，得
-3+5t=6+3t,
解得t=4.5(秒),
答: 点 P 运动4.5秒时, 点 P 和点 Q 重合;
②设点 P运动t秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度，
P，Q之间的距离为3个单位长度有两种可能，
当Q在 P的右边时，根据题意得
试卷第15页，共91页
(秒),
当Q在P的左边时，根据题意得
(秒),
∴当点 P 运动3秒或6秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度.
16【答案】(1)12, 7
(2)2.4秒
(3)1.4秒或3.4秒
【难度】0.85
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键.
(1) 根据数轴上两点距离公式求解即可；
(2) t秒时点A表示的数为：-8+3t，点B表示的数为：4-2t，再根据A、B恰好重合列出方程求解即可；
(3) 根据题意分两种情况：当点A在点B左侧时，当点A在点B右侧时，得出方程求解即可.
【详解】(1) 解：由题意得运动前线段AB的长为
运动1秒后点A表示的数为-8+3=-5，点B表示的数为4-2=2，则运动1秒后线段AB的长为 故答案为: 12, 7;
(2) 解: 由题意可知: t秒时点A表示的数为: -8+3t, 点B表示的数为:
∴-8+3t=4-2t,
解得: t=2.4秒;
(3) 解：由题意可知：t秒时点A表示的数为： 点 B表示的数为：
当点A在点B左侧时，
解得t=1.4秒;
当点A在点B右侧时，
解得t=3.4秒;
故存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，t的值为1.4秒或3.4秒.
17【答案】(1)a=-24, b=-10
或4
(3)当Q 点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时, P、Q两点之间的距离为4
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的非负性，解题的关键是注意进行分类讨论.
(1) 根据非负数的性质求出a、b的值即可；
(2) 分两种情况：当点P在点B的左侧，当点 P在点 B 的右侧，分别求出结果即可；
(3)分四种情况：当P点在Q点的右侧，当P在Q点左侧时，当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，当Q点到达C点后，当P 点在 Q 点右侧时，分别列出方程求出结果即可.
【详解】(1)解:
∴a+24=0, b+10=0, c-10=0,
解得: a=-24, b=-10, c=10;
(2) 解: - 10-(-24)=14,
①点 P在AB之间,
点P的对应的数是
②点 P在AB的延长线上, AP=14×2=28,
-24+28=4,
点 P 的对应的数是4；
(3) 解：设在点Q 开始运动后第a秒时，P、Q两点之间的距离为4，
当P点在 Q点的右侧, 且Q 点还没追上P点时, 3a+4=14+a,
解得a=5;
当P在Q点左侧时, 且Q点追上P点后, 3a-4=14+a,解得a=9;
当Q点到达C点后, 当P点在Q点左侧时, 14+a+4+3a-34=34,
解得: a=12.5;
当Q点到达C点后, 当P点在Q点右侧时, 14+a-4+3a-34=34,
解得a=14.5,
综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4
题型五、已知线段关系求时间问题 (双动点)
18【答案】(1)18
(2)24
(3)10秒
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上动点问题，正确理解距离公式，把握动点的实质是解题的关键.
(1) 根据绝对值和平方式的非负性，由 得到 ，根据两点间的距离等于右边的数减去左边的数即 计算即可.
(2) 根据 确定 ，比较大小后，根据两点间的距离等于右边的数减去左边的数，计算即可.
(3)当P追上点Q时，点P、点Q到点C的距离相等，计算即可.
【详解】(1)解:
∵两点间的距离等于右边的数减去左边的数，
(2) 解: ∵A点表示数-12,B点表示数6,
(3) 解: ∵A点表示数-12,B点表示数6,D点表示数- 点表示数
设运动x秒时，点P、点Q到点C的距离相等，
当P追上点Q时，点P、点Q到点C的距离相等，
解得. (秒);
∴经过10秒，点P、点Q到点C的距离相等.
19【答案】D
【难度】0.65
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题
【分析】根据点A，B表示的数，分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，结合 即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论.
【详解】解：设运动的时间为 t 秒，
P、Q 相遇前,
依题意有
解得
P、Q相遇后,
依题意有
解得
故运动的时间为15秒或20秒.
故选: D.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，根据数量关系列出关于时间t的一元一次方程是解题的关键.
20【答案】2或6/6或2
【难度】0.85
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、用代数式表示式、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查数轴上点的运动，一元一次方程的应用. 根据题意 表示出线段长度，可列出方程求t的值.
【详解】解：∵数轴上点A 表示的数为 点 B 表示的数为16，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，
∴点P表示的数是： 点 Q表示的数是：
∴可列出方程为： 解得: t=2,t=6,
故答案为：2或6.
21【答案】5或
【知识点】数轴上的动点问题、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查数轴上动点问题以及一元一次方程的应用，根据题意表示出AC=2t，BD=5t，分以下两种情况讨论,当点D在点C右侧, 得到OC=2t+1, OD=5t-3, 当点D在点C左侧, 得到OC=2t+1, OD=3-5t,再结合“OD=2OC”建立方程求解，即可解题.
【详解】解: 由题知, AC=2t, BD=5t,
∵原点为O，
当点D在点C右侧，
有OC=2t+1, OD=5t-3,
∵OD=2OC,
∴5t-3=2(2t+1),
解得t=5,
当点D在点C左侧，
有OC=2t+1, OD=3-5t,
∵OD=2OC,
∴3-5t=2(2t+1),
解得
故答案为：5或
22【答案】(1)-4
(2)-4+t, 6-2t
或
或6
【难度】0.65
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、求一个数的绝对值、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，数轴动点问题，绝对值的意义，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程.
(1) 由AB的长结合点A 所在的位置可得出点 B 表示的数；
(2) 由点P，Q的出发点、速度及运动时间，可用含t的代数式表示出点 P，Q表示的数；
(3)由点P与点Q相距6个单位长度，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
(4) 由点 即可得出关于 t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论.
【详解】(1) 解: ，且点A在点B的右边，
∴点 B 表示的数为(
(2)解：∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴ P表示的数为 点Q表示的数为(
(3) 解: 依题意, 得:
即 或
解得： 或
答：若点P与点Q相距6个单位长度，则t的值为 或
(4) 解: 根据题意得,
解得 或
答：若 ，则t的值为6或
23【答案】(1)-6
(2)3秒
(3)4或 秒
【难度】0.85
【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键.
(1) 根据两点间的距离进行计算即可得到答案；
(2) 设经过t秒，点P到A，B的距离相等，根据题意得出一元一次方程，解方程即可得到答案；
(3) 设经过t秒，点到点的距离是点到点距离的2倍，分两种情况：当点P在点A的左侧时，当点P在点A的右侧时，分别得出一元一次方程，解方程即可得到答案.
【详解】(1) 解：因为在数轴上点A 表示的数是6，所以点A 到原点的距离为6，
因为点 B位于点A 的左侧，与点A 的距离是12个单位长度.
所以点B到原点的距离为6，
所以点B 表示的数为-6.
故答案为: -6;
(2) 解：设经过t秒，点P到A，B两点的距离相等，由题意：
解得: t=3.
答：经过3秒，点P 到AB的距离相等；
(3)解：经过t秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍. 由题意得：
当点 P在点A的左侧时，
2(12-2t)=12-t,
解得: t=4
当点 P在点A的右侧时，
2(2t-12)=12-t,
解得：
答：经过4或 秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍.
24【答案】(1) 16, - 9+4t, 16-4t; (2)x的值为-1; (3)t的值为2.8或6
【难度】0.65
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移，一元一次方程的应用；
(1) 由数轴上两点之间的距离得AC=7-(-9)，由数轴上点的平移得P表示的数是：-9+4t，由数轴上两点之间的距离得CP=7-(-9+4t), 即可求解;
(2) 由数轴上两点之间的距离得x-(-9)=7-x, 即可求解;
(3)①当08时，此时点P、Q在C的右侧时，同理可求；掌握数轴上两点之间的距离，能根据点 P、Q的不同位置进行分类讨论是解题的关键.
【详解】解: (1) AC=7-(-9)=16,
P表示的数是: - 9+4t,
CP=7-(-9+4t)
=16-4t;
故答案: 16, - 9+4t, 16-4t;
(2)∵AB=BC,
∴x-(-9)=7-x,
解得: x=-1,
∴x的值为-1;
(3) 由题意得
AB=BC=8,
①当0此时点 P、Q在C的左侧时，
∴P点表示的数是-9+4t,
Q点表示的数是-1+t，
∴CP=16-4t,
CQ=7-(-1+t)
=8-t,
∵CP+CQ=10,
∴16-4t+8-t=10,
解得: t=2.8;
②当4此时点Q在C的左侧时，点P在C的右侧时，
∴P点表示的数是-9+4t,
Q点表示的数是-1+t，
∴CP=-9+4t-7
=-16+4t,
CQ=8-t
∵CP+CQ=10,
∴-16+4t+8-t=10,
解得: t=6;
③当t>8时,
此时点 P、Q在C的右侧时，
∴P点表示的数是-9+4t,
Q点表示的数是-1+t，
∴CP=-9+4t-7
=-16+4t,
CQ=t-8
∵CP+CQ=10,
∴-16+4t+t-8=10,
解得: t=6.8;
∵6.8<8,
∴此种情况不存在；
综上所述：t的值为2.8或6.
25【答案】(1)-8,4
(2)当t为1.6或8时, 2OP-OQ=4;
【知识点】数轴上的动点问题、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】(1)由OA=2OB可知，将12平均分成三份，由图可知，A在原点的左边，B在原点的右边，从而得出结论；
(2)分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，求出代数式，分别代入2OP-OQ=4列式即可求出t的值.
【详解】(1) ∵AB=12, OA=2OB
∴AO=8,OB=4
∴A 点所表示的实数为-8，B点所表示的实数为4
∴a=-8,b=4
(2)当0由题意得：AP=2t,BQ=t
由(1) 得: AO=8,OB=4
∴OP=8-2t, OQ=4+t
∵2OP-OQ=4
∴2(8-2t)-(4+t)=4,解得：
当点 P与点Q 重合时，如图2
由题意得: AP=2t,BQ=t, AB=12
∴2t=12+t
解得: t=12;
当4由题意得：AP=2t,BQ=t,
由(1)得: AO=8,OB=4
∴OP=2t-8,OQ=4+t
∵2OP-OQ=4
则2(2t-8)-(4+t)=4
解得: t=8;
综上所述, 当t为1.6或8时, 2OP-OQ=4;
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值.
26【答案】(1)12
(2)6
(3)当0≤t≤6时, PQ=12-2t, 当6或 或
【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点.
(1) 根据AC=2BC, 以及AB=AC+BC=18即可求解;
(2) 先求出运动时间t的值，然后根据线段的和差关系求解即可；
(3) 分相遇前和相遇后两种情况讨论即可；
(4) 分相Q到达C点前，P、Q遇前和相遇后三种情况讨论即可.
【详解】(1) 解: ∵AB=18, AC=2BC,
故答案为: 12;
(2) 解: ∵点 P是线段BC的中点,
∴t=3,
∴AQ=3×3=9,
∴PQ=AC+CP-AQ=6;
(3)解: 当P、Q相遇时,
根据题意, 得3t=12+t,
解得t=6,
此时CP=CQ=6,
∴Q返回到点 C的时间为6÷3=2,
当0≤t≤6时, PQ=AB+CP-AQ=12+t-3=12-2,
当6综上, 当0≤t≤6时, PQ=12-2t, 当6(4) 解: 当Q 、C重合时, t=12÷3=4,
当0≤t≤4时, CQ=AB-AQ=12-3t, CP=t,
∵2CQ-CP=4,
∴2(12-3t)-t=4,
解得
当4∵2CQ-CP=4,
∴2(3t-12)-t=4,
解得
当6∵2CQ-CP=4,
∴2(24-3t)-t=4,
解得
综上，当t的值为 或 或 时， 2CQ-CP=4.
27【答案】(1)=
(2)|x-2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示2的点的距离； x=4或0
或
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值的意义、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值的意义、数轴、两点间的距离公式，理解题意利用数形结合与分类讨论思想是解答此题的关键.
(1) 根据绝对值的几何意义即可解答；
(2)|x-2|的几何意义是在数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离； 求|x-2|=2时x的值即为求数轴上与表示2的点距离是2的数；
(3)先用t表示出AP，BQ及PQ的值，再分①P、Q相遇之前； ②P、Q相遇之后两种情况进行讨论，根据AP+BQ=2PQ列出关于t的方程, 求出t的值即可.
【详解】(1) 根据|a-b|的几何意义可知|a-b|=|b-a|.
故答案为： =；
(2) |x-2|的几何意义是在数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离；
|x-2|=2,
x-2=2或x-2=-2,
解得: x=4或0;
(3)∵点P从A点以每秒3个单位的速度向右运动，点Q同时从B点出发以每秒2个单位的速度向左运动，∴AP=3t, BQ=2t.
设运动时间为t秒，则t秒时P点表示的数为-3+3t，Q点表示的数为9-2t.
分两种情况：
①P、 Q相遇之前, 此时PQ=9-2t-(-3+3t)=12-5t.
∵AP+BQ=2PQ,
∴3t+2t=2(12-5t), 解得
②

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