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2024-2025学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的最小值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
2．已知一个不透明的袋子里有2个白球，3个黑球，1个红球．现从中任意取出一个球，（　　）
A．恰好是白球是必然事件 B．恰好是黑球是不确定事件
C．恰好是红球是不可能事件 D．摸到白球、黑球、红球的可能性一样大
3．已知4x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　）
A． B． C． D．x＝3，y＝4
4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直径．则∠DAB的度数是（　　）
A．35° B．55° C．65° D．70°
6．如图，在△ABC中，D，E分别为边AC，AB上的点，∠ADE＝∠ABC，若AB＝2AD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，以AD长为半径画弧，恰好交BC边于中点E，若AD＝2，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，连接AE交BD于点F，求BF的长（　　）
A． B．4 C． D．
9．如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在4s时落地，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝at2+20t（a为常数，a≠0）．有下列结论：
①a值为﹣5；
②小球的飞行高度最高可达到21m；
③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到15m．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．若DA＝DF，∠ABC＝α，∠DFC＝β，则下列结论正确的是（　　）
A．α+4β＝540° B．α+4β＝450° C．α+2β＝360° D．α+2β＝270°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若∠A是锐角，cosA＝，则∠A＝　 　．
12．一只不透明的袋中，装有3枚白色棋子和n枚黑色棋子，除颜色外其余均相同．若小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%，则n的值可能是 　 　．
13．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2a，则AC＝　 　（结果用含a的代数式表示）．
14．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，若⊙O的直径是，则DE的长为 　 　．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，﹣m），C（2，n），D（3，﹣m），其中m，n为常数，则的值为 　 　．
16．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EF＝x mm，EG＝y mm．
（1）y＝ 　 　；（用含x的式子表示）
（2）这个矩形的最大面积是 　 　mm2．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加x m，设增加的面积是y m2．
（1）求x与y之间的函数关系式．
（2）若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加多少米？
18．早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“A．虾饺，B．干蒸烧卖，C．艇仔粥，D．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同）
（1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是 　 　；
（2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率．
19．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
20．如图大楼AB的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°．已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG＝37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到0.1m）
（1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD．
（2）求旗杆的AC高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
21．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax+2a（a为常数）．
（1）当抛物线经过点（2，6）时，求a的值；
（2）当a＝1时，
①若y随x的增大而减小，则x的取值范围为 　 　；
②若0≤x≤4，则函数的最大值为 　 　，最小值为 　 　．
22．如图，在菱形ABCD中，点G在边CD上，连线AG并延长交BC的延长线于点F，连结BD交AF于点E，连结CE．
（1）求证：EC2＝EF EG；
（2）若AB＝6，＝3，求CF的长．
23．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线y＝﹣x+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
24．如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：BD＝ED；
（2）连接AD与OC、BC分别交于点F、H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的最小值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【点拨】利用二次函数的性质即可解决问题．
【解析】解：∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，有最小值，
∵顶点坐标（1，2），
∴y的最小值为2，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，当a＞0时，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当a＜0时，因为图象有最高点，所以函数有最大值．
2．已知一个不透明的袋子里有2个白球，3个黑球，1个红球．现从中任意取出一个球，（　　）
A．恰好是白球是必然事件 B．恰好是黑球是不确定事件
C．恰好是红球是不可能事件 D．摸到白球、黑球、红球的可能性一样大
【点拨】根据得到各种球的可能性判断相应事件即可．
【解析】解：A、恰好是白球是随机事件，错误，不符合题意；
B、恰好是黑球是不确定事件，正确，符合题意；
C、恰好是红球是随机事件，错误，不符合题意；
D、摸到白球、黑球、红球的可能性不一样大，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查的是可能性的大小，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．
3．已知4x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　）
A． B． C． D．x＝3，y＝4
【点拨】利用比例的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、∵＝，
∴3x＝4y，
故A不符合题意；
B、∵＝，
∴xy＝12，
故B不符合题意；
C、∵＝，
∴4x＝3y，
故C符合题意；
D、∵4x＝3y，
∴＝，
∴设x＝3k，y＝4k，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用勾股定理算出AC，再结合求解，即可解题．
【解析】解：如图所示：
根据勾股定理可得AC＝＝＝，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握余弦的定义是解题的关键．
5．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直径．则∠DAB的度数是（　　）
A．35° B．55° C．65° D．70°
【点拨】由AB＝BC，∠ABC＝110°，根据等腰三角形的性质，可求得∠C的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
【解析】解：∵AB＝BC，∠ABC＝110°，
∴∠C＝35°，
∴∠D＝∠C＝35°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠D＝90°﹣35°＝55°．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．如图，在△ABC中，D，E分别为边AC，AB上的点，∠ADE＝∠ABC，若AB＝2AD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】证明△DAE∽△BAC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【解析】解：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABC，
∴△DAE∽△BAC，
∴S△ADE：S△ACB＝（）2，
∵AB＝2AD，
∴S△ADE：S△ACB＝1：4，
∴＝1：3．
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，以AD长为半径画弧，恰好交BC边于中点E，若AD＝2，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据E为BC的中点可知BE＝BC＝1，故可得出∠BAE＝30°，可求出∠DAE＝60°，所以∠BAE＝30°，BE＝AE＝1，AB＝，再分别求出扇形EAD和矩形ABCD、△ABE的面积，即可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝2，
∴AD＝BC＝2，
∵以AD长为半径画弧，恰好交BC边于中点E，
∴AD＝AE＝2，BE＝BC＝1，
∴BE＝AE，
∴∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝60°，AB＝，
∴阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形DAE＝2×﹣×1×﹣＝﹣．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，连接AE交BD于点F，求BF的长（　　）
A． B．4 C． D．
【点拨】利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解答即可得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB＝90°，AD＝BC＝3，
∴BD＝＝＝5．
∵E为DC的中点，
∴DE＝CD，
∴DE＝AB，
∴．
∴BF＝BD＝．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
9．如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在4s时落地，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝at2+20t（a为常数，a≠0）．有下列结论：
①a值为﹣5；
②小球的飞行高度最高可达到21m；
③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到15m．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】依据题意，小球在4s时落地，从而可得h＝a×42+20×4＝0，即可求出a，进而可以判断①；依据题意，h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，故当t＝2时，h取得最大值为20，故可判断②；又令h＝﹣5（t﹣2）2+20＝15，从而求出t后即可判断③．
【解析】解：由题意，小球在4s时落地，
∴h＝a×42+20×4＝0．
∴a＝﹣5，故①正确．
∴h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20．
∴当t＝2时，h取得最大值为20，故②错误．
又令h＝﹣5（t﹣2）2+20＝15，
∴t＝1或3．
∴小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到15m，故③正确．
综上，①③正确共2个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
10．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．若DA＝DF，∠ABC＝α，∠DFC＝β，则下列结论正确的是（　　）
A．α+4β＝540° B．α+4β＝450° C．α+2β＝360° D．α+2β＝270°
【点拨】由∠DAE+∠DAB＝180°，∠DCB+∠DAB＝180°，得∠DAE＝∠DCB，所以∠DAE＝∠DAC＝∠DBC，则∠DAC＝∠DBC＝∠DCB，因为DA＝DF，所以∠BFC＝∠DFA＝∠DAC＝∠DBC＝∠DCB，可证明△DAF∽△DBC，得∠ADB＝∠BDC，再由∠ADB＝∠ACB，∠BDC＝∠BAC，推导出∠ACB＝∠BAC，所以∠BDC＝∠BAC＝（180°﹣α），则∠DBC＝∠DCB＝（180°﹣∠BDC）＝45°+α，因为∠DFC＝180°﹣∠BFC＝180°﹣∠DBC＝135°﹣α，所以β＝135°﹣α，则α+4β＝540°，可判断A正确，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵∠DAE+∠DAB＝180°，∠DCB+∠DAB＝180°，
∴∠DAE＝∠DCB，
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝∠DBC，
∴∠DAC＝∠DBC＝∠DCB，
∵DA＝DF，
∴∠BFC＝∠DFA＝∠DAC＝∠DBC＝∠DCB，
∵∠DAC＝∠DBC，∠DFA＝∠DCB，
∴△DAF∽△DBC，
∴∠ADB＝∠BDC，
∴∠ADB＝∠ACB，∠BDC＝∠BAC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∵∠ABC＝α，∠DFC＝β，
∴∠BDC＝∠BAC＝（180°﹣∠ABC）＝（180°﹣α），
∴∠DBC＝∠DCB＝（180°﹣∠BDC）＝90°﹣×（180°﹣α）＝45°+α，
∵∠DFC＝180°﹣∠BFC＝180°﹣∠DBC＝180°﹣（45°+α）＝135°﹣α，
∴β＝135°﹣α，
∴α+4β＝540°，
故A正确，
故选：A．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、同角的补角相等、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠DBC＝∠DCB及∠ACB＝∠BAC是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若∠A是锐角，cosA＝，则∠A＝　45°　．
【点拨】根据∠A是锐角，cosA＝，即可求得∠A的度数．
【解析】解：∵∠A是锐角，cosA＝，
∴∠A＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握几个特殊角的三角函数值．
12．一只不透明的袋中，装有3枚白色棋子和n枚黑色棋子，除颜色外其余均相同．若小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%，则n的值可能是 　12　．
【点拨】根据黑色棋子的概率公式＝80%，列出方程求解即可．
【解析】解：不透明的布袋中的棋子除颜色不同外，其余均相同，共有（n+3）个棋子，其中黑色棋子n个，
根据古典型概率公式知：P（黑色棋子）＝＝80%，
解得n＝12，
经检验，n＝12是分式方程的解．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
13．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2a，则AC＝　（﹣1+）a　（结果用含a的代数式表示）．
【点拨】用AC表示出BC，然后根据黄金分割点的定义列方程求解即可．
【解析】解：∵AC＞BC，AB＝2a，
∴BC＝AB﹣AC＝2a﹣AC，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC2＝AB BC，
∴AC2＝2a（2a﹣AC），
整理得，AC2+2aAC﹣4a2＝0，
解得AC＝（﹣1+）a，AC＝（﹣1﹣）a（舍去）．
故答案为：（﹣1+）a．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割点的定义并列出关于AC的方程是解题的关键．
14．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，若⊙O的直径是，则DE的长为 　1　．
【点拨】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，由AD平分∠BAC，得出△BDC是等腰直角三角形，求出BD＝CD＝1，由角平分线的定义得出∠DBC+∠EBC＝∠BAD+∠ABE，由三角形外角的性质得出∠DBE＝∠BAD+∠ABE，进而得出∠DBE＝∠DEB，即可得出DE＝DB＝1．
【解析】解：如图，连接CD，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，即BC＝，
∴∠BDC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴，
∴BD＝CD，∠DBC＝∠BAD，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝＝＝1，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠DBC+∠EBC＝∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE＝∠BAD+∠ABE，
∵∠DEB＝∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆，掌握圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识是解决问题的关键．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，﹣m），C（2，n），D（3，﹣m），其中m，n为常数，则的值为 　　．
【点拨】将A、B、D的坐标代入y＝ax2+bx+c（a≠0），求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．
【解析】解：将A（0，m），B（1，﹣m），D（3，﹣m）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），
得：，
∴
∴y＝mx2﹣mx+m，
把C（2，n）代入，
得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握方程组的求解是解题的关键．
16．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EF＝x mm，EG＝y mm．
（1）y＝ 　80﹣x　；（用含x的式子表示）
（2）这个矩形的最大面积是 　2400　mm2．
【点拨】（1）证△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解；
（2）矩形EGHF的面积S＝xy，根据（1）中y与x的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系，根据函数的性质即可求解；
【解析】解：（1）∵矩形EGHF，
∴EF∥BC，AD⊥EF，EF＝GH＝x mm，DK＝EG＝y mm
∴△AEF∽△ABC．
∴，即，
∴；
故答案为：80﹣x．
（2）设矩形EGHF的面积为S，则S＝xy，
∴S＝x（80﹣x）＝﹣（x﹣60）2+2400，
当x＝60时，S有最大值为2400，
∴这个矩形的最大面积是2400mm2．
故答案为：2400．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质：对应边的比等于对应高的比，同时考查了二次函数最值的求法．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加x m，设增加的面积是y m2．
（1）求x与y之间的函数关系式．
（2）若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加多少米？
【点拨】（1）根据题意可以得到y与x之间的函数关系式；
（2）将y＝72代入（1）中的函数关系式，即可解答本题．
【解析】解：（1）由题意可得，
y＝（20+x）（14+x）﹣20×14
化简，得
y＝x2+34x，
即x与y之间的函数关系式是：y＝x2+34x；
（2）将y＝72代入y＝x2+34x，得
72＝x2+34x，
解得，x1＝﹣36（舍去），x2＝2，
即若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加2米．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18．早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“A．虾饺，B．干蒸烧卖，C．艇仔粥，D．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同）
（1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是 　　；
（2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率．
【点拨】（1）根据题意即可求解；
（2）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解．
【解析】解：（1）∵共有四种茶点，
∴如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是：，
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：
由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种，
∴P（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）＝．
【点睛】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键．
19．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
【点拨】（1）这部分证明∠AEO＝∠ACB＝90°，可得结论．
（2）利用勾股定理求出半径r，再求出OE，利用三角形的中位线定理可得结论．
【解析】（1）证明：∵AD＝DC，
∴＝，
∴OD⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝∠ACB，
∴OD∥BC．
（2）解：∵OD⊥AC，
∴AE＝EC＝5，
设OA＝OD＝r，
在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝52+（r﹣4）2，
∴r＝，
∴OE＝r﹣DE＝﹣4＝，
∵AE＝EC，AO＝OB，
∴BC＝2OE＝．
【点睛】本题考查垂径定理，平行线的判定，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图大楼AB的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°．已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG＝37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到0.1m）
（1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD．
（2）求旗杆的AC高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
【点拨】（1）在Rt△DEG中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H，根据题意可得：DB＝32m，则EH＝GB＝48m，然后在Rt△CEH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解析】解：（1）在Rt△DEG中，∠EDG＝37°，DE＝20m，
∴EG＝DE sin37°≈20×0.60＝12.0（m），
DG＝DE cos37°≈20×0.80＝16.0（m），
∴斜坡ED的铅直高度EG约为12.0m，水平宽度GD约为16.0m；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H，
由题意得：DB＝32m，
∴EH＝GB＝GD+DB＝16+32＝48（m），
在Rt△CEH中，∠CEH＝30°，
∴CH＝EH tan30°＝48×＝16（m），
∴AC＝CH+BH﹣AB＝16+12﹣37≈2.7（m），
∴旗杆的AC高度约为2.7m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax+2a（a为常数）．
（1）当抛物线经过点（2，6）时，求a的值；
（2）当a＝1时，
①若y随x的增大而减小，则x的取值范围为 　x＜1　；
②若0≤x≤4，则函数的最大值为 　10　，最小值为 　1　．
【点拨】（1）将点（2，6）代入y＝x2﹣2ax+2a即可求解；
（2）由抛物线的解析式可确定对称轴和开口方向，据此即可求解．
【解析】解：（1）将点（2，6）代入y＝x2﹣2ax+2a得：
6＝22﹣2a×2+2a，
解得：a＝﹣1；
（2）当a＝1时，y＝x2﹣2x+2，
①抛物线的对称轴为直线：，
∵抛物线开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
②若0≤x≤4，
则当x＝1时，函数有最小值，最小值为y＝12﹣2×1+2＝1；
当x＝4时，函数有最大值，最大值为y＝42﹣2×4+2＝10；
故答案为：①x＜1；②10，1．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的最值、增减性等知识点．熟记相关结论即可．
22．如图，在菱形ABCD中，点G在边CD上，连线AG并延长交BC的延长线于点F，连结BD交AF于点E，连结CE．
（1）求证：EC2＝EF EG；
（2）若AB＝6，＝3，求CF的长．
【点拨】（1）证明△FEC∽△CEG，可得出结论；
（2）设GC＝x，则CF＝3x，DG＝6﹣x，证明△ADG∽△FCG，得出方程求解即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线，
∴由对称性可得∠DAE＝∠DCE．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，
∴∠DCE＝∠F，
∵∠FEC＝∠CEG，
∴△FEC∽△CEG，
∴＝，
∴EC2＝EF EG；
（2）解：由（1）可知△FEC∽△CEG，
∴∵AD∥CF，
∴△ADG∽△FCG，
∴＝，
∴＝，
解得x＝4，
经检验，x＝4是分式方程的解，
∴CF＝3x＝12．
【点睛】本题主要考查菱形的性质以及相似三角形的判定和性质，熟记菱形的性质以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线y＝﹣x+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
【点拨】（1）①、易得火箭第二级的引发点的坐标为（9，3.6），分别代入抛物线的解析式和直线的解析式可得a和b的值；
②、把①中得到的抛物线的解析式整理成顶点式，可得火箭运行的最高点的坐标，取纵坐标减去1.35km即为相应的高度，把所得高度分别代入①中得到的两个函数解析式，求得合适的x的值，相减即为两个位置间的距离；
（2）假设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．用a表示出火箭第二级的引发点的坐标，把火箭第二级的引发点的坐标和（15，0）代入直线解析式可得火箭落地点与发射点的水平距离恰好为15km时a和b的值，进而结合抛物线开口向下可得a的取值范围．
【解析】解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6），
∴81a+9＝3.6．
解得：a＝﹣．
∵y＝﹣x+b经过点（9，3.6），
∴3.6＝﹣×9+b．
解得：b＝8.1；
②由①得：y＝﹣x2+x
＝﹣（x2﹣15x+）+
＝﹣（x﹣）2+（0≤x≤9）．
∴火箭运行的最高点是km．
∴﹣1.35＝2.4（km）．
∴2.4＝﹣x2+x．
整理得：x2﹣15x+36＝0．
解得：x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3．
由①得：y＝﹣x+8.1．
∴2.4＝﹣x+8.1．
解得：x＝11.4．
∴11.4﹣3＝8.4（km）．
答：这两个位置之间的距离为8.4km；
（2）当x＝9时，y＝81a+9．
∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）．
设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．
∴y＝﹣x+b经过点（9，81a+9），（15，0）
∴．
解得：．
∴﹣＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
【点睛】本题考查二次函数的应用．比火箭运行的最高点低的高度，要从求得的两个函数解析式去考虑合适的自变量的取值；求火箭落地点与发射点的水平距离超过15km时a的取值范围，需要求出火箭落地点与发射点的水平距离恰好是15km时a的值．
24．如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：BD＝ED；
（2）连接AD与OC、BC分别交于点F、H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
【点拨】（1）如图1中，连接BC．由点D是弧BC的中点，则DC＝BD∠DCB＝∠DBC，证明∠E＝∠DCE，则DC＝ED，即可得到结论；
（2）①如图2中，根据等腰三角形的性质得到∠CFH＝∠CHF，根据三角形外角的性质得到∠ACO＝∠OBC，求得∠OCB＝∠OBC，得到，推出AC＝BC，证明△ACH≌△BCE（ASA），即可得到结论；
②连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x，利用勾股定理构建方程求得，再利用三角形中位线定理即可得到答案．
【解析】（1）证明：如图1中，连接BC，
∵点D是弧BC的中点．
∴，
∴DC＝BD，∠DCB＝∠DBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠E＝∠DCE，
∴DC＝ED，
∴BD＝ED；
（2）①证明：如图2中，
∵CF＝CH，
∴∠CFH＝∠CHF，
∵∠CFH＝∠CAF+∠ACF，∠CHA＝∠BAH+∠ABH，
∵∠CAD＝∠BAH，
∴∠ACO＝∠OBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴AC＝BC，
∵∠ACH＝∠BCE＝90°，∠CAH＝∠CBE，
∴△ACH≌△BCE（ASA），
∴CH＝CE；
②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x，
．
∵，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OC＝OB，
∴OD⊥BC，CG＝BG，
在Rt△OCG和Rt△BGD中，OC2﹣OG2＝BD2﹣BG2，
则有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，
∴，
即，
∵OA＝OB，
∴OG是△ABC的中位线，
∴，
∴．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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