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构造辅助圆
前言：最值必有动点，探寻最值可以分析点应在的位置，比如将军饮马、胡不归等，也可以追寻动点轨迹，直线与圆便是最常见的两种，但题目很少会直接告诉我们轨迹是什么，所以结合条件，分析动点轨迹是最值问题中一大难点. 本讲探究常见的轨迹是圆的情形，即构造辅助圆求最值.
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圆中最值
(1) 点-圆
若点 P是圆O外一点.
在圆O上确定一点Q使得PQ最大
分析: PQ=PO+OQ=PO+OM>PM在圆O上确定一点Q 使得PQ最小
分析: PQ+QO=PO引例 1：如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足OC=5，点P 为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B, 且OA=OB, ∠APB=90°, l不经过点 C, 则 AB 的最小值为 .
解析: 连接 OP, 根据△APB 为直角三角形且 O 是斜边 AB中点, 可得 OP 是 AB 的一半, 若AB 最小, 则 OP 最小即可. 连接 OC, 与圆 C交点即为所求点 P, 此时 OP 最小,∵OC=5, 圆半径r=3, ∴OP=2, ∴AB 的最小值为4.
(2) 线-圆
如图，分别在圆O和直线l上取点 M、N使得MN最大
分析：过点O作直线l的垂线，与圆O(点O上方)、直线l的交点即为M、N，此时MN最大.
如图，分别在圆O和直线l上取点M、N使得MN最小
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分析：过点O作直线l的垂线，与圆O(点O下方)、直线l的交点即为M、N，此时MN最小.
引例2：如图，已知直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C(0，1) 为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB, 则△PAB 面积最大值是 .
解析：过点C作AB的垂线，垂足记为H点，与圆C左上方交点即为点 P, ∵OA=4, OB=3, ∴AB=5, 又圆C半径为1, ∴△PAB 面积最大值为
(3) 圆-圆
分别在圆A和圆B上取点M、N，使得 MN最大
分析: MN=MA+AB+BN=PA+AB+BQ>PQ,∴MN>PQ.
分别在圆A和圆B上取点M、N，使得 MN最小
分析: AM+MN+NB=AB引例3: 如图, 在坐标系中分别以A(-2,3)、B(3,4)为圆心，以1和2为半径作圆A和圆B，MN分别是圆A和圆B 上的动点, P 是 x 轴上的动点, 则 PM+PN 的最小值是
解析：作圆A关于x轴的对称得圆A'，连接A'B，与圆A'、圆 B 交点分别为M'(与点 M 关于x轴对称)、N，此时有
∴PM+PN的最小值为
2 定义构造辅助圆
(1) 圆的定义：平面内到定点距离等于定值的所有点的集合.
(2) 构造辅助圆：若动点满足到定点距离等于定值，则动点轨迹是圆(或圆弧).
引例4: 如图, 在 Rt△ABC中, ∠C=90°,AC=6, BC=8, 点F在边AC上, 并且CF=2, 点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点 P 处，则点P到边AB距离的最小值是 .
解析: PF=CF=2, 可得P 点轨迹是以 F点为圆心, FC为半径的圆弧. 过F 点作 FH⊥AB，与圆的交点即为所求 P 点， 又FP=2, ∴PH= . ∴最小值是
3 定边对直角
(1) 圆周角定理推论； 直径所对的圆周角是直角.
(2) 定边对直角：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.
点P是动点, 且∠APB=90°, 其中 AB是一条定线段,则 P 点轨迹是以AB为直径的圆或圆弧.
引例5: 已知正方形ABCD边长为2, E、F分别是BC、CD上的动点, 且满足BE=CF, 连接AE、BF, 交点为P点, 则PC的最小值为 .
解析: 考虑BE=CF, 可得AE⊥BF, 即在运动过程中,∠APB=90°, ∴P 点轨迹是以AB 为直径的圆.
连接OC，与圆的交点即为P点，
∴PC的最小值为
引例6：如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5, AC=4. D是BC上的一个动点, 连接AD, 过点C作 CE⊥AD于E, 连接BE. 在点D移动的过程中, BE的最小值为 .
解析: 点 E是动点, ∠AEC=90°, 且AC是一条定线段,∴E 点轨迹是以AC为直径的圆弧.
当B、E、M共线时, BE取到最小值.
连接BC，勾股定理可得 ∴BE的最小值是
4 定边对定角
(1) 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.
(2) 定边对定角：一条定边所对角是定角，则这个角的顶点轨迹是圆弧.
点 P 是动点, 且∠APB=α是定值, 其中 AB 是一条定线段，以AB 为底边构造顶角为2α的等腰三角形，顶点记为O，则P点轨迹是以点O为圆心，OA为半径的圆弧.
(3) 特别地, 若∠P是特殊角:
①若∠P=30°, 以AB为边, 同侧构造等边△AOB, O即为圆心.
②若∠P=45°, 以AB为斜边, 同侧构造等腰直角△AOB,O即为圆心.
③若∠P=60°, 以AB为底, 同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.
④若∠P=120°, 以AB为底, 异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.
引例7: 如图, 等边△ABC边长为2, E、F分别是BC、CA上两个动点, 且BE=CF, 连接AE、BF,交点为P点, 则CP的最小值为 .
解析: 由 BE=CF 可推得△ABE≌△BCF, 可得∠APF=60°,但∠APF所对的边AF 是变化的. 考虑∠APB=120°, 其对边AB 是定值.
∴P 点轨迹是以点O为圆心的圆弧(构造OA=OB且∠AOB=120°). 当O、P、C共线时, ∴CP最小值是
5 问题设计
(1) 定边对直角：隐藏的定边
引例8：如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点 G，连接AG，则AG长的最小值为 .
解析：首先考虑整个问题中的不变量，仅有 AE=CF，BG⊥EF,但∠BGE所对的BE边是不确定的.重点放在AE=CF,可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点. ∠BGO为直角且 BO边为定直线, ∴G 点轨迹是以BO为直径的圆.
记BO中点为M点, 当A、G、M共线时, AG取到最小值，勾股定理可求 ∴AG长的最小值是.
(2) 定边对定角：动点轨迹长度探究
引例9:如图,等边△ABC中,AB=3,点D、E分别是边 BC, CA 上的动点, 且 BD=CE, 连接AD、BE交于点 F，当点 D 从点 B 运动到点 C时，则点 F 的运动路径的长度为 .
解析: 由题意得: △ABD≌△BCE,∴∠AFE=60°, ∠AFB=120°,如图，以AB为底边作顶角为120°的等腰△AOB，可得点 F轨迹是以点O为圆心，OA为半径的圆弧.
即点 F运动路径长为
(3) 视角转换：动静互逆
引例 10: (2019·益阳改编) 如图, 在平面直角坐标系 xOy中, 矩形 ABCD的边AB=4, BC=6. 若不改变矩形 ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D 始终在 y 轴的正半轴上随之上下移动. 连接OC，线段OC的最大值为 .
解析：动静互逆，保持矩形ABCD 不动，旋转坐标系，即定边AD对直角∠AOD, 可得点O轨迹, 如图, 当C、AD中点 M、O 共线时, OC 取到最大值5+3=8, 即 OC 的最大值为8.
真题演练
1. 如图, 在 Rt△AOB中, ∠A=30°, ⊙O的半径为1, 点P是AB边上的动点, 过点P作⊙O的一条切线PQ(其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为 .
2. 如图,在矩形ABCD中,E为AB的中点,P为BC边上的任意一点,把△PBE沿PE折叠,得到△PFE,连接CF.若AB=10,BC=12,则CF的最小值为 .
3. 如图, 在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°, M 是 AD 边的中点, N 是 AB 边上的一动点, 将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A'MN, 连接A'C, 则A'C长度的最小值是 .
4. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉. 把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,∠ABC=90°,点 M、N分别在射线BA、BC 上, MN长度始终保持不变, MN=4, E为 MN的中点,点D到BA、BC的距离分别为4和2. 在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 .
5. 如图, 已知等边△ABC 的边长为8,点P是AB边上的一个动点 (与点 A、B不重合).直线l是经过点 P 的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B 的对应点是点B'. 当PB=6时, 在直线l变化过程中, △ACB'面积的最大值是 .
6. 如图, 矩形 ABCD中, AB=4, BC=8, P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点,AE=2,△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ,连接PF、PD, 则PF+PD 的最小值是 .
7. 如图, 在矩形ABCD中, AB=1, P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于 BP所在的直线对称，连接PQ，当点 P从点A 运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为 .
8. 如图, E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点, 满足AE=DF, 连接CF交BD于点 G, 连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是 .
9. 如图, Rt△ABC中, AB⊥BC, AB=6,BC=4, P是△ABC内部的一个动点, 且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP 长的最小值是 .
10. 如图, 正方形ABCD的边长是4, 点E是AD边上一动点, 连接BE,过点A作AF⊥BE于点 F,点P是AD边上另一动点, 则 PC+PF的最小值为 .
11. 如图,△ABC为等边三角形, AB=2,若P 为△ABC 内一动点, 且满足∠PAB=∠ACP, 则线段 PB长度的最小值为 .
12. 在△ABC中, AB=4, ∠C=60°,∠A>∠B , 则BC的长的取值范围是 .
13. 在△ABC中, 若AB=6,∠ACB=45°.则△ABC的面积的最大值为 .
14. 如图,AB是圆O的直径,M、N是弧AB(异于A、B)上两点, C是弧MN上一动点, ∠ACB的角平分线交圆O于点 D, ∠BAC 的平分线交 CD于点 E, 当点 C从点 M 运动到点 N时，则C、E两点的运动路径长的比是
15. 如图,在矩形ABCD中, AB=4, BC=3,E、F分别为AB、CD边的中点. 动点P从点E出发沿 EA 向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ, 过点B作BH⊥PQ于点 H, 连接DH. 若点 P 的速度是点 Q 的速度的2倍，在点 P 从点 E 运动至点A 的过程中，线段PQ 长度的最大值为 ，线段 DH长度的最小值为 .
第4讲 构造辅助圆
2
解析: 连接OP、OQ, 则 当OP最小时，即PQ最小,当OP⊥AB时,可得OP 最小值为3,又OQ=1, ∴PQ的最小值为2
8.
解析：由题意可得点F轨迹是以E点为圆心，5为半径的圆弧, ∴CF的最小值为CE-BE=8, 即CF的最小值为8.
考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，可得MA'=MA=1, 所以A'轨迹是以M点为圆心, MA为半径的圆弧. 连接CM，与圆的交点即为所求的A'，此时A'C的值最小. 构造直角△MHC，勾股定理可得
∴最小值为
解析: 连接BE, 则 ∴点E轨迹是以点B为圆心，2为半径的圆弧，当B、E、D共线时，DE 取到最小值，最小值为
解析：考虑l是经过点 P 的直线，且△ABC沿直线l折叠，所以B'轨迹是以点 P 为圆心，PB 为半径的圆弧. 考虑△ACB'面积最大，因为AC是定值，只需B'到AC距离最大即可. 过P作作PH⊥AC交AC于H点，与圆的交点即为所求B'点，此时
∴△ACB'面积最大值是
解析：F点轨迹是以 E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点 D关于 BC对称点D', 连接PD', PF+PD化为PF+PD'.连接ED'，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理可得ED'=10, D'F=10-2=8, ∴PF+PD 的最小值是8.
解析：考虑点 P轨迹从A到D，点Q轨迹是以点B为圆心，BA为半径的圆弧，
故线段PQ扫过的面积为
-1.
解析: 根据条件可知: ∠DAG=∠DCG=∠ABE, ∴AG⊥BE,即∠AHB=90°，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧，当D、H、O共线时，DH取到最小值，
勾股定理得 即DH长度的最小值是
2.
∵∠PBC+∠PBA=90°,∠PBC=∠PAB,∴∠PAB+∠PBA=90°,
∴∠APB=90°,∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧.当O、P、C共线时，CP 取到最小值，勾股定理可得 CP=5-3=2, ∴CP长的最小值是2.
∠AFB=90°且AB 是定线段, 故F 点轨迹是以AB 中点O为圆心、AB为直径的圆. 考虑 PC+PF是折线段，作点C关于AD 的对称点C', 化 PC+PF为PC'+PF , 当C'、P、F、O共线时，取到最小值，勾股定理得 ∴PC+PF的最小值是
解析: 由∠PAB=∠ACP, 可得∠APC=120°, 可得 P 点轨迹, .7PB长度最小值为
解析：∠C=60°，即定边对定角. 故点 C的轨迹是以点O为圆心的圆弧(作AO=BO 且∠AOB=120°), 题意要求∠A>∠B, 即BC>AC, 故点C的轨迹如下图. 当BC为直径时, BC取到最大值 考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边,BC>AB=4.综上,BC长的取值范围是
解析: ∵AB=6, ∠ACB=45°, 以AB为边, 在同侧作等腰直角△AOB, 则点 C 轨迹是以 O为圆心, OA 为半径的圆弧,连接CO,当CO⊥AB时,△ABC的高CH最大,面积最大,最大面积为
:1.
解析：分别考虑 C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧 MCN，其对应圆心角为∠MON, 半径为OM(或ON).
再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连接BE, BE平分∠ABC, 可得: ∠AEB=135°.
考虑到∠AEB 是定角，其对边 AB 是定线段，根据定边对定角, 所以E点轨迹是个圆, 考虑到∠ADB=90°, 所以D 点即为圆心，DA 为半径. E点轨迹所对的圆心角为∠MDN，是∠MON的一半，所以C、E两点轨迹圆半径之比为1： 圆心角之比为2：1，所以弧长比为 :1.
解析：当点P到达A 点时，PQ长度最大，最大值是3 连接EF与PQ交于点M, ∵PE=2FQ, ∴EM=2FM, 即点 M是 EF 靠近点 F 的三等分点, 连接 BM, 中点记为N, 则 H点轨迹是以点N为圆心，BM为直径的圆， 当D、H、N共线时取到DH最小值，最小值是

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