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第2章 对称与旋转
第1节 对称的性质
前言：对称与旋转是几何中常见问题，本节讨论关于对称的基本性质. 主要有有以下三点：(1) 对应角相等；(2) 对应边相等；(3) 对称点连线被对称轴垂直且平分. 如何选取恰当的性质帮助解题，不仅要了解知识点，也要了解与其相关配套的条件与问题.
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1 对应角相等
(1) 由对称得对应角相等，常常用在求角度的问题中.
引例1:如图, 在△ABC中, 点D是BC上的点,∠BAD=∠ABC=40°,将△ABD沿着AD 翻折得到△AED,则∠CDE= °.
解析: ∵∠BAD=∠ABC=40°, ∴∠ADC=80°,∠ADB=100°, ∴∠ADE=100°, ∴∠CDE=20°.
(2) 作特殊的对称会存在特殊角，有特殊角便是有特殊图形，利用特殊图形解决问题.
引例2:如图, 在矩形 ABCD 中, AD=3,M是CD上的一点,将△ADM沿直线AM对折得到△ANM,若AN平分∠MAB, 则折痕AM的长为( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 6
解析: 由题意可得: ∠DAM=∠MAN=NAB=30°,
∴选 B.
引例3: 如图, 在矩形ABCD中, AD=2. 将∠A 向内翻折,点A 落在 BC上, 记为A', 折痕为 DE. 若将∠B沿EA'向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B',则AB= .
解析: 由题意可得: ∠AED=∠DEA'=∠A'EB=60°,∴A'C=A'B=1, ∴AB=DC= , ∴AB=
2 对应边相等
涉及到求线段长度的问题，记得考虑：对应边相等.
引例4: 如图, 把三角形纸片折叠, 使点 A、点C都与点B重合,折痕分别为EF、DG,得到∠BDE=60°,∠BED=90°, 若DE=2, 则 FG的长为 .
解析: F、G分别是AB、BC中点,∴FG是AC边的中位线,∴FG= AC.∵DE=2,∴AE=BE=2 ,CD=BD=4,
引例5:如图, 把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠(点E、H在AD边上,点F、G在BC边上), 使点B和点 C落在 AD边上同一点P处，A点的对称点为A'点，D点的对称点为D'点,若∠FPG=90°,△A'EP的面积为4,△D'PH 的面积为1, 则矩形ABCD 的面积等于 .
解析: 两端往中间折叠, 则可得: A'P=D'P,∵∠FPG=90°, ∴∠A'PD'=90°, ∴△A'EP∽△D'PH ,
考虑两三角形面积分别是4和1，所以相似比为2：1，设AB=a, 则.
表示△D'PH 面积: 解得a=2, 又AB=2,∴矩形ABCD面积为
对称点连线相关
对称点连线被对称轴垂直且平分，连接对称点连线可得垂直，由垂直，或可得直角三角形，或可得三垂直全等或相似，或可用三角函数，可求线段长.
引例6: 如图, 将面积为32 的矩形 ABCD沿对角线BD折叠，点A 的对应点为点 P，连接AP交BC于点E. 若 则AP的长为 .
解析: 由对称可得 AP⊥BD, 则△ABE∽△DAB, 设 AB=x,由题意得： 代入得： 又矩形ABCD面积为 解得x=4, ∴AB=4, AD=8 记 AP与BD交点为H,则AB·AD=AH·BD, 代入解得:
引例7:如图, 在△ABC中, D是AC边上的中点, 连结BD, 把△BDC沿BD翻折, 得到△BDC', DC'与AB交于点E, 连结AC', 若AD=AC'=2, BD=3, 则点D到BC'的距离为( )
C.
解析: 连接CC', 则CC'⊥BD, 垂足记为F,
由DA=DC=DC', 可得∠AC'C=90°,
点D到BC'的距离等于点 D到BC的距离，
考虑用等积法. 过点D作DH⊥BC交BC于H点，则BD·CF=BC·DH, 代入解得: 故选B.
真题演练
1. 如图, 在Rt△ABC中, ∠BAC=90°,∠B=36°,AD 是斜边BC上的中线,将△ACD沿AD对折,使点C落在点F处, 线段DF与AB 相交于点 E, 则∠BED等于( )
A. 120° B. 108° C. 72° D. 36°
2. 如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠, 使点A落在点E处, 交BC于点F, 若∠ABD=48°,∠CFD=40°, 则∠E为( )
A. 102° B. 112° C. 122° D. 92°
3. 如图, 直线 EF是矩形 ABCD的对称轴,点P在 CD边上, 将△BCP 沿BP折叠, 点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处, 则线段AB的长是( )
A. 8 B. 8 C. 8 D. 10
4. 如图, 对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平. E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠, 使点A 的对应点A'落在 MN上.若CD=5, 则BE的长是 .
5. 如图,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点 A 落在EF上的点 A'处, 得到折痕BM, BM 与 EF 相交于点 N. 若直线 BA'交直线CD于点 O, BC=5, EN=1, 则 OD 的长为( )
6. 如图,在△ABC中,AB=4,BC=7,∠B=60°,点 D 在边 BC 上, CD=3, 连接AD. 如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点 E，那么点 E到直线 BD 的距离为 .
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7. 如图, 在矩形纸片ABCD中, AB=3, 点E在边 BC上, 将△ABE 沿直线AE 折叠, 点 B 恰好落在对角线AC上的点F处,若∠EAC=∠ECA,则AC的长是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 如图, 对折矩形纸片ABCD, 使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC=2，则线段EG的长度为 .
9. 如图, 在矩形ABCD中, AD=4,将∠A 向内翻折, 点A 落在 BC上, 记为A , 折痕为 DE. 若将∠B沿EA 向内翻折, 点B 恰好落在 DE上, 记为B , 则AB= .
10. 矩形纸片ABCD,长AD=8cm, 宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'、EA'，不再添加其它线段. 当图中存在 30°角时，AE 的长为 厘米.
11. 如图, 将矩形ABCD(纸片) 折叠, 使点B 与AD边上的点K 重合，EG为折痕； 点C与AD边上的点 K 重合, FH 为折痕. 已知∠1=67.5°, ∠2=75°, 则BC的长是 .
12. 把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A、D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD (单位: cm)为( )
13.如图, 把直角△ABO放置在平面直角坐标系中, 已知∠OAB=30°, B点的坐标为(0,2), 将△ABO沿着斜边 AB翻折后得到△ABC，则点C的坐标是( )
A. (2 ,4) B. (2,2 ）
C. ( ,3) D. ( ）
14. 如图,在矩形ABCD中,AB=3, BC=2,H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处, 连接AP, 则 tan∠HAP= .
15. 如图,在矩形ABCD中, 点E是CD的中点, 连接AE, 将△ADE沿直线AE折叠, 使点D落在点F处，则线段CF的长度是( )
A. 1 C.
16.如图,三角形纸片ABC, 点D是BC边上一点, 连接AD, 把△ABD沿着AD翻折, 得到△AED, DE与AC交于点G, 连接BE交AD于点 F. 若DG=GE, AF=3, BF=2, △ADG的面积为2, 则点F到BC的距离为( )
17. 如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF, 点E、F分别在边AD和边BC上. 连接BG, 交CD于点K, FG交CD于点H.
给出以下结论：
①EF⊥BG;
②GE=GF;
③△GDK和△GKH的面积相等;
④当点F与点C重合时, ∠DEF=75°.
其中正确的结论共有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
18. 在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处.折痕为AP.再将△PCQ、△ADQ分别沿 PQ、AQ 折叠, 此时点 C、D 落在AP上的同一点 R处. 请完成下列探究：
(1) ∠PAQ的大小为 °;
(2)当四边形APCD是平行四边形时，ABOR的值为 .
19.如图,在△ABC中,AB=4 ,∠B=45°,∠C=60°.
(1) 求BC边上的高线长.
(2) 点E为线段AB的中点, 点F在边AC上, 连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
①如图2, 当点P落在BC上时, 求∠AEP的度数.
②如图3, 连结AP, 当PF⊥AC时, 求AP的长.
20. 已知在△ABC中, AC=BC=m, D是AB边上的一点，将∠B 沿着过点 D 的直线折叠，使点 B 落在AC边的点P处(不与点A，C重合)，折痕交BC边于点 E.
(1) 特例感知 如图1, 若∠C=60°, D是AB的中点.
求证：
(2) 变式求异 如图2, 若 过点D作DH⊥AC于点H, 求DH和AP 的长;
(3) 化归探究 如图3, 若m=10, AB=12, 且当 AD=a时,存在两次不同的折叠，使点 B 落在 AC 边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围.
B.
解析: ∵∠B=36°, ∠BAC=90°, ∴∠C=54°,
∵点D是BC中点, ∴AD=CD, ∴∠DAC=∠C=54°,
∵△ADF≌△ADC, ∴∠DAF=∠DAC=54°,
∴∠EAF=108°-90°=18°, 又∠F=∠C=54°,
∴∠AEF=108°, ∴∠BED=108°, 故选 B.
B.
解析：在对称前后图形中找相等角. 在平行四边形ABCD中, AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBF,
根据折叠可得∠ADB=∠FDB, ∴∠DBF=∠FDB,
又∠DBF+∠FDB=∠CFD=40°, ∴∠DBF=∠FDB=20°,
∴∠ABC=∠ABD+∠FBD=68°, ∴∠E=∠A=112°,
故选 B.
A.
解析：根据图形位置的特殊性，寻找隐含条件.
根据点 Q在EF上且∠BQP=90°, ∴BA=BP,
∴∠ABQ=∠PBQ=∠CBP=30°,
∵BC=4 , ∴PC=4, PB=8,
∴AB=8, 故选 A.
解析: ∵A'B=AB=2BM , ∴∠BA'M=60°, 即BE的长为
解析: ∵A'B=2EB, ∴∠BA'E=30°, ∴∠A'BE=60°,
∴∠ABM=∠A'BM=30°, ∵EN=1,
又
故选 B.
解析: 过点E作EH⊥BC交BC于H点, ∵∠ADB=60°,∴∠ADC=120°, ∠BDE=60°, ∴DH= DE= 故点 E到直线BD的距离为
D.
解析: 由题意得: ∠BAE=∠CAE=∠ECA=30°,∴AC=2AB=6, 故选 D.
解析: ∵AG=2, AE=1, ∴EG=
2
解析: △A B D≌△A CD, ∴∠ADE=30°, 且点A 是BC中点，
故AB的值为2
或 或4
解析: 若∠ABE=30°, 则
若∠ABA'=30°, 则∠ABE=15°, 由 得
若∠AEB=30°, 则.
综上，AE的长为 或 或4 cm.
2
解析: ∵∠1=67.5°, ∴∠KEG=67.5°, ∠KEF=45°,∵∠2=75°, ∴∠KFH=75°, ∠KFE=30°,过点K作KP⊥BC交BC于P点,
设KP=x, 则. 解得x=1, 故BE=KE= , CF=KF=2,
故BC的长为
2. D.
解析: 如图, 易证AM=DN=4, MG=HN= 故选D.
32C.
解析：显然连接OC，通过特殊角求得C点坐标.
连接OC交AB于点D, 则OC⊥AB,
∴∠BOC=∠OAB=30°,
过点C作 CH⊥y轴交y轴于 H点, 则(CH= , OH=3,∴C点坐标为( , ), 故选C.
解析: 求tan∠HAP的值, 构造包含∠HAP 的直角三角形.连接BP, ∵HA=HP=HB, 可证∠APB=90°,
由对称性质可知: BP⊥HC,∴AP∥HC,∴∠HAP=∠BHC,
C.
解析：可以考虑构造包含CF的直角三角形.
连接DF, 则DF⊥AE, 垂足记为M, 则M是DF中点,
又点E是DC中点, 故ME是FC边中位线, ∴DF⊥FC,
由AD·DE=AE·DM , 得:
勾股定理得：
故选C.
B.
解析: ∵点G是DE中点, 且△ADG的面积是2, 由折叠可知BE⊥AD, 又BF=2,∴AD=4, ∴DF=1, ∴面积法可得点F到BC的距离为 ∴选B.
C.
解析：由对称的性质可得 EF⊥BG，故结论①正确；∵BG⊥平分EF, ∴GE=GF, 故结论②正确;
∵BG平分∠EGF, ∴GK不是△DHG的中线, 故△GDK和△GKH面积不等，结论③错误；
当F和点C重合时, ∠BFG=150°, ∴∠DEF=∠BFE= 故结论④正确； 综上，选C.
.解析: (1) ∠PAQ=30°;
(2) 若四边形APCD是平行四边形，
则
19. 解析: (1) 过点 A 作 AH⊥BC 交 BC 于点 H, 可得 ∴BC边上的高线长是4.
(2)①连接AP交EF于点O, 则点O是AP 中点, 若点 P在BC边上,则EF∥BC,∴∠AEF=∠B=45°,∴∠AEP=90°.②若 PF⊥AC, 则∠AFE=45°, ∴△AEF∽△ACB,
20. 解析: (1) 若∠C=60°, 则△ABC是等边三角形,
∵D 是 AB 中点, ∴DP=DB=DA, ∴△ADP 是等边三角形, 即
可证△ADH∽△ABC,
∴HP= ,∴AP=3 或
(3) 折叠后当点 B 与点 A 重合时, a最小(∵不与点A 重合, 取不到); 当DB⊥AC时, a最大(取不到). 可得a的取值范围是

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