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第9节 费马点问题
前言：在上一节共点旋转问题中，我们发现，可以通过构造旋转，改变几何图形中线段的位置，由新的位置关系得到线段之间的数量关系，而费马点问题，完全一样的思路.
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费马点认识
(1)费马点: 在△ABC 内找点 P, 使得PA+PB+PC最小.
结论: 点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则 PA+PB+PC值最小，P 点称为该三角形的费马点.
(2) 如何画出费马点
(1)如图,分别以△ABC中的AB、AC为边,作等边△ABD、等边△ACE.
(2) 连接CD、BE, 交于点P, 点P 即为费马点.
(3) 以BC为边作等边△BCF, 连接AF, 必过点 P,有∠APB=∠BPC=∠CPA=120°.
△ABC需满足最大角∠BAC<120°,若∠BAC≥120° ,则如下图，此时点A 即为△ABC的费马点.
费马点证明
求最小值可以考虑：两点之间线段最短. 需要考虑如何能改变 PA、PB、PC的位置，使其能形成共线的情况，方法是构造旋转！
以下给出证明：
∵∠APB=120°, ∴∠APE=60°,如下左图, 在PE边取点Q使得PQ=AP,则△APQ是等边三角形.
∴△APC≌△AQE, PC=QE.
∴PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE,BE的长即为PA+PB+PC的最小值.
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作为对比，如上右图，在三角形ABC内任取一点P，作同样构造, 显然, PA+PB+PC=BP+PQ+QE>BE.
费马点求值
在上面的证明中可得 PA+PB+PC的最小值即为BE ，且BE=AF=CD.
引例1:问题背景: 如图1, 将△ABC绕点A逆时针旋转 60°得到△ADE, DE 与 BC 交于点 P, 可推出结论: PA+PC=PE.
问题解决: 如图2, 在△MNG中, MN=6, ∠M=75°, MG=4 , 点O 是△MNG 内一点, 则点O 到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 .
解析: 以 MG为边作等边△MHG, 连接NH, 则NH的长即为点O到三个顶点距离之和的最小值.
过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点,
根据∠NMG=75°, ∠GMH=60°, 可得∠HMQ=45°,
∴△MHQ 是等腰直角三角形, ∴MQ=HQ=4,
真题演练
1. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,P是△ABC内一点, 则PA+PB+PC的最小值为 .
2. 如图, 已知矩形ABCD, AB=4, BC=6, 点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为
3. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D 是 BC边上一动点, 连接AD, 把AD 绕点 A 逆时针旋转90°, 得到AE, 连接CE、DE. 点F是DE的中点, 连接CF.
(1) 求证:
(2)如图2所示, 在点 D 运动的过程中, 当 BD=2CD时,分别延长CF、BA, 相交于点G, 猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
(3) 在点 D 运动的过程中，在线段 AD 上存在一点 P，使PA+PB+PC的值最小. 当PA+PB+PC 的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长.
4. (1)【操作发现】
如图1, 将△ABC绕点A 顺时针旋转60°, 得到△ADE, 连接BD, 则∠ABD= 度.
(2)【类比探究】
如图2, 在等边三角形ABC 内任取一点 P, 连接 PA、PB、PC，求证：以PA、PB、PC的长为三边必能组成三角形.
(3)【解决问题】
如图3，在边长为 的等边三角形ABC 内有一点 P，∠APC=90°, ∠BPC=120°, 求△APC的面积.
(4)【拓展应用】
如图4 是 A、B、C三个村子位置的平面图，经测量AC=4，BC=5, ∠ACB=30°, P 为△ABC内的一个动点, 连接PA、PB、PC. 求PA+PB+PC的最小值.
5. 小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一点 P 与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小.
【特例】如图1, 点P为等边△ABC的中心, 将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE, 从而有DE=PC, 连接PD得到PD=PA, 同时. ∠ADP+∠ADE=180°, 即 B、P、D、E四点共线, 故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE. 在△ABC中, 另取一点 P'，易知点P'与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P'、D'、E四点不共线, 所以P'A+P'B+P'C>PA+PB+PC, 即点P到三个顶点距离之和最小.
【探究】(1)如图2, P为△ABC内一点,∠APB=∠BPC=120°, 证明PA+PB+PC的值最小;
【拓展】(2)如图3,△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=30°,且点 P 为△ABC 内一点，求点 P 到三个顶点的距离之和的最小值.
第9节费马点问题
1.
解析: 过点 D 作 DH⊥BA 交 BA 的延长线于 H 点, 根据勾股定理， ∴最小值即为
2.
解析: 分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG,连接FG, 可得△AMD≌△AGF, ∴MD=GF
∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
过F作FH⊥BC交BC于H点,
∴最小值为
解析: (1) 由题意可证得△ADB≌△AEC,
∴∠ACE=∠ABD=45°, ∴∠DCE=90°, ∵点F是DE中点, 即
过点G作GH⊥BC交BC于点 H, ∵CE=BD=2DC,∴GH=2HC, ∵∠B=45°, ∴GH=BH, ∴BH=2HC,∴H、D重合,设CD=a,则.
(3) 当点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时,PA+PB+PC最小, 若AP=m,
则
4. 解析: (1) ∠ABD=60°.
(2) 如图, 以AP为边作等边△APQ, 连接CQ,∵∠BAC=60°=∠PAQ, ∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC,即∠BAP=∠CAQ, 在△APB和△AQC中,
∴△APB≌△AQC(SAS)
∴PB=QC, 又PA=PQ,
∴△PCQ即为以 PA、PB、PC的长为边的三角形.
(3) 如图, 由题意可得: ∠AQC=∠APB=150°,又∠AQP=∠APQ=60°,∴∠PQC=90°,∠CPQ=30°,设CQ=x,则 解得： ∴△APC的面积为
(4) 如图, 以AC为边作等边△ACM, 连接BM, 则BM的长即为PA+PB+PC的最小值, ∵CM=AC=4, BC=5, 故PA+PB+PC的最小值为
解析: (1) 如图, 作AD使得∠PAD=60°交 BP 延长线于点D, 延长PD至点E使得DE=PC, 则△ADE≌△APC, 又
△APD是等边三角形, ∴PD=PA,
∴PA+PB+PC=BP+PD+DE=BE, 在△ABC内任取其他一点P'，同样构造可得
∴PA+PB+PC的值最小.
(2) 如图, 以AC为边构造等边△ACM, 连接BM, 则BM的值即为点P到三个顶点距离之和的最小值，∵∠ACB=30°，∠ACM=60°, ∴∠BCM=90°, 又CM=AC=6, BC=8,
故点 P 到三个顶点距离之和的最小值为10.

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