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第11节 托勒密定理的应用
前言：对于邻边相等、对角互补的四边形，可构造旋转型全等，当再弱化条件时，比如只有对角互补，便不再有旋转全等，但可以有旋转相似，探讨四边形边与对角线关系，即托勒密定理.
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托勒密定理
(1) 定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.
即在四边形ABCD中, 若A、B、C、D四点共圆,则AC·BD=AB·CD+AD·BC.
证明: 在线段BD上取点E, 使得∠BAE=∠CAD,∵∠ABE=∠ACD, ∴△AEB∽△ADC, ∴AB=EB,即AC·BE=AB·CD,
当∠BAE=∠CAD时, 可得: ∠BAC=∠EAD,
∵∠ACB=∠ADB, △ABC∽△AED,
即AC·DE=AD·BC,
∴AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC,
∴AC·BD=AB·CD+AD·BC.
(2) 推广(托勒密不等式)：对于任意凸四边形ABCD，有AC·BD≤AB·CD+AD·BC
证明: 如图1, 在平面中取点 E 使得∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠ACD, ∴△ABE∽△ACD, 即AC·BE=AB·CD①,
连接DE, 如图2,
又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE,
∴△ABC∽△AED,
即AC·DE=AD·BC②,
将①+②得: AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC,
∴AC·BD≤AC·(BE+DE)=AB·CD+AD·BC
即AC·BD≤AB·CD+AD·BC,
当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号.
定理的应用
(1) 当△ABC是等边三角形时,
如图1，当点D在AC 上时，根据托勒密定理有：DB·AC=AD·BC+AB·CD, ∵AB=AC=BC,结论: DB=DA+DC.
证明: 在 BD上取点E使得DE=DA, 由题意得:△AEB∽△ADC, △AED∽△ABC,利用对应边成比例, 可得: DB=DA+DC.
如图2, 当点D在BC上时, 结论: DA=DB+DC.
(2) 当△ABC是等腰直角三角形，
如图3，当点D在弧BC上时，根据托勒密定理：
AD·BC=AB·CD+AC·BD, 又AB:AC:BC=1:1: 代入可得结论：
如图4，当点 D在弧AC上时，根据托勒密定理：
AD·BC=AB·CD+AC·BD
又AB:AC:BC=1:1:
代入可得结论：
思考发现
以上两种实则是“邻边相等”、“对角互补”的四边形旋转构造，虽然定理不可直接运用，但可将证明方法应用在此类问题中.
模型总结
(3) 四边形ABDC是圆O的内接四边形, 当△ABC是一般三角形时, 若记 BC: AC: AB=a: b: c.根据托勒密定理可得: a·AD=b·BD+c·CD
引例:(1) 方法选择
如图1，四边形ABCD是圆O的内接四边形，连接AC、BD，AB=BC=AC. 求证: BD+AD+CD.
小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM=AD，连接AM…小军认为可用补短法证明：延CD至点N，使得DN=AD…请你选择一种方法证明.
(2) 类比探究
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【探究1】
如图2,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC、BD,BC 是圆O的直径, AB=AC. 试用等式表示线段AD、BD、CD之间的数量关系，并证明你的结论.
【探究2】
如图3，四边形ABCD是圆O的内接四边形，连接AC、BD. 若BC是圆O的直径, ∠ABC=30°, 则线段AD、BD、CD之间的等量关系式是 .
(3) 拓展猜想
如图4，四边形ABCD是圆O的内接四边形，连接AC、BD.若 BD 是圆O的直径, BC:AC:AB=a:b:c, 则线段AD、BD、CD之间的等量关系式是 .
解析:(1)按小颖的思路: 在 DB上截取DM=DA,则△ADM是等边三角形, ∴∠BAM=60°-∠CAM=∠CAD,在△AMB 和△ADC中,
∴△AMB≌△ADC(SAS),
∴MB=DC, ∴BD=DM+BM=AD+CD.
∴BD=AD+CD.
按小军的思路：延长CD至点N使得DN=DA，同理可证△ABD≌△CAN, ∴BD=CN,又CN=CD+DN=CD+DA,∴BD=AD+CD.
(2)【探究1】在 BD 上取点 E使得BE=CD,
∵AB=AC, ∠ABE=∠ACD, ∴△ABE≌△ACD,
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴可得
【探究 2】根据∠ABC=30°可得AC:AB:BC=1: :2, 由托勒密定理可知：
(3) 由托勒密定理可知: b·BD=a·AD+c·CD.
真 题 演 练
1. 已知△ABC内接于圆O, ∠BAC的平分线交圆O于点D, 连接DB、DC.
(1) 如图1, 当∠BAC=120°时, 请直接写出线段AB、AC、AD之间满足的等量关系式： ；
(2)如图2, 当∠BAC=90°时, 试探究线段AB、AC、AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
(3) 如图3, 若BC=5, BD=4, 求 的值.
2. 数学课上，张老师出示了问题：如图1, AC、BD是四边形ABCD的对角线, 若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°, 则线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E, 使BE=CD, 连接AE, 证得△ABE≌△ADC, 从而容易证明△ACE 是等边三角形, 故 AC=CE, 所以AC=BC+CD.小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°, 使AB与AD 重合, 从而容易证明△ACF是等边三角形, 故AC=CF, 所以AC=BC+CD.
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
(1) 小颖提出：如图4，如果把
“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为
“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=90°”, 其它条件不变，那么线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系 针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明.
(2) 小华提出：如图5，如果把
“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”, 其它条件不变，那么线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系 针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.
3.问题背景:
如图1,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究线段AC、BC、CD之间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处, 点B、C分别落在点A、E处(如图2),易证点 C、A、E在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直角三角形，所以 从而得出结论：
简单应用：
(1)在图1中,若 则 CD= .
(2)如图3,AB是圆O的直径,点 C、D在圆上, AD=BD,若AB=13, BC=12, 求CD的长.
拓展规律：
(3)如图4, ∠ACB=∠ADB=90°, AD=BD,若AC=m,BC=n(m(4)如图5, ∠ACB=90°, AC=BC, 点P为AB的中点, 若点E满足 CE=CA, 点Q为AE的中点,则线段PQ与AC的数量关系是 .
第11节 托勒密定理的应用
1.解析: (1) 由∠BAC=120°可得∠BDC=60°, 又AD 平分∠BAC,∴BD=CD,即△BCD是等边三角形.∴AD=AB+AC.
(2) 过点B作BE⊥AD交AD于点E,
易证△BED∽△BAC,∴DE∠=BDE,即DE·BC=AC·BD,
易证△BEA∽△BDC,∴△E=△ABC,即AE·BC=AB·CD,
∴DE·BC+AE·BC=AC·BD+AB·CD,
∴AD·BC=AB·CD+AC·BD.
若∠BAC=90°, 则∠BDC=90°, 又BD=CD,∴△BCD 是等腰直角三角形, ∴BD:CD:BC=1:1:
即
(3)CD=BD=4,根据托勒密定理,可得5AD=4AB+4AC,
解析：(1) 结论:
证明:过点B作BE⊥AC交AC于点E,易证△BEC∽△BAD,△BEA∽△BCD.
∴ AB:AD:BD=1:1:2cosα, ∴2cosα·AC=BC+CD.
3.解析：(1)根据 代入数据可得：CD=3.
(2)由(1)中结论可知 CD=AC+BC,∵AB=13,BC=12,∴连接AC, 可得AC=5, 代入可得:
(3)根据∠ACB=∠ADB=90°,可得A、B、C、D四点共圆,∴AD·BC=AC·BD+CD·AB, 代入可得:
故
(4)情况一:如下左图,连接CP、CQ,则∠CQA=∠CPA=90°,∴A、C、P、Q四点共圆,
∴AP·CQ=PQ·AC+AQ·PC, 设CP=a, 则AP=a,
代入得：
解得： 又
情况二：如上右图，同理可求
综上，PQ 与 AC 的数量关系是 或

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