资源简介

第3节 折叠所成特殊图形
前言：折叠问题不仅在于如何折叠，也关注折叠之后的图形，如形成了像直角三角形等特殊图形，利用特殊图形的性质，是解决问题的关键，以及，注意考虑是否存在多种情况.
中小学教育资源及组卷应用平台
知 识 导 航
成直角三角形
考虑两点：
(1) 折叠后形成的直角结论如何与勾股定理、相似、三角函数结合运用；
(2) 当未确定哪个角为直角时考虑是否需要分类讨论.
引例:如图,在Rt△ABC的纸片中,∠C=90°,AC=5, AB=13. 点D在边BC上, 以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB', AB'与边 BC交于点 E. 若△DEB'为直角三角形，则BD的长是 .
解析：分类讨论.
情况1: 当. 时，此时点E与C重合，根据角平分线定理可得： 代入数据可得： (或用勾股定理可求)
情况2：当 时，
过点B'作B'H ⊥AC交AC的延长线于H点, 设CD=x,则B'H=x, CH=DB'=DB=12-x,
Rt△AHB'满足:
代入得： 解得x=5或12(舍),∴BD=7.
综上所述，BD 的长是 或7.
真 题 演 练
1. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, 点E在AC边上. 将∠A 沿直线BE 翻折, 点A 落在点 A'处,连接A'B, 交AC于点 F. 若A'E⊥AE, cosA= 则 = .
2.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,对角线AC，BD相交于点 O，点P为边AD上一动点，连接OP, 以OP为折痕,将△AOP折叠, 点A的对应点为点 E,线段PE与OD相交于点 F.若△PDF为直角三角形，则DP的长为 .
3. 如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC, 点 M、N分别是边 BC、AB上的动点, 沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B'始终落在边AC上，若△MB'C为直角三角形, 则BM 的长为 .
4. 如图, 已知Rt△ABC中, ∠B=90°, 点 M、N分别在线段AC、AB 上,将△ANM沿直线 MN折叠，使点A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上, 当△DCM 为直角三角形时, 折痕 MN 的长为
5. 如图, 在菱形ABCD中, 点E、F分别在边AD、BC上, 将四边形AEFB沿EF翻折, 使AB 的对应线段 MN经过顶点 C, 当 MN⊥BC时, 的值是 .
第3节 折叠成特殊图形
1.
解析: 设AC=4m, 则AB=5m, BC=3m, ∵A'E⊥AC, BC⊥AC, ∴A'E∥BC, ∴∠A'=∠FBC , ∴cos∠FBC=
又
2.1或
解析: 若∠DPF=90°, 则∠APO=45°, AP=4+3=7, DP=1;若∠PFD=90°过点O作OH⊥AD交AD于点H,则OF=OH=3, 综上，DP 的长为1或
或1.
解析：若 则M为BC中点,∴ 若∠MB'C=90°, 则MB=MB'=1.
综上，BM的长为 或1.
4. 或
解析：分类讨论.
情况一: 当∠CDM=90°时, 如下左图,
又AB⊥BC, ∴MD∥AB, ∴∠DNB=∠MDN=60°,∴∠ANM=∠DNM=60°, ∴△AMN是等边三角形,
情况二: 如上右图, 当∠DMC=90°时, 作NH⊥AB交AC于H点, 可解得:
综上所述，MN的值为 或
5.
解析： 设BC=9a, 则BF=FN=5a, CF=4a, CN=3a.延长NM交AD于点 H, 则∠NHA=90°,

展开更多......

收起↑