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第6节 半角模型
前言：如果说手拉手侧重在旋转本身，三垂直侧重在模型构造，半角模型则更多地体现在题型变化. 半角模型一般条件如下：(1) 角含半角；(2) 邻边相等；(3)对角互补. 其中邻边相等与对角互补，以正方形为背景即可，至于角含半角，是明面上的半角模型，可替换为其他条件，模型条件的等价条件，亦是模型的重点.
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模型认识
如图,在四边形ABCD中,∠BAD+∠BCD=180°,AB=AD,点E、F分别在 BC、CD上, 且
求证: EF=BE+DF.
证明: 延长CD至点G使得DG=BE,
∵∠BAD+∠BCD=180°, ∴∠B+∠ADC=180°,又∠ADC+∠ADG=180°, ∴∠B=∠ADG,在△ABE和△ADG中,
∴∠BAE=∠DAG,
即∠GAF=∠EAF, 又AE=AD,
∴△EAF≌△GAF(SAS)
∴EF=GF=DF+DG=DF+BE,即EF=BE+DF.
正方形中的半角
如图, 在正方形ABCD中, E、F分别在BC、CD上,且∠EAF=45°, 连接EF.
结论1: EF=BE+DF.
若E、F分别在 CB、DC延长线上时, 则EF=DF-BE .
总结反思 作辅助线时， 时而截长， 时而补短， 截长、补短只是形式， 关键点在于已知半角的情况下， 构造相应的另一个半角， 此处通过旋转即可得另一半角. 若想要将一个三角形恰好地旋转到另一位置， 需要：邻边相等， 对角互补. 正方形可满足要求.
结论2: 连接AD, 与AE、AF分别交于 M、N.则
模型进阶
结论3：若 则点F是CD边中点. 反之亦然.
引例1:如图1,已知四边形ABCD是正方形,将△DAE, △DCF分别沿DE、DF向内折叠得到图2, 此时DA与DC重合A、C都落在G点),若GF=4,EG=6,则DG的长为 .
解析: 从∠EDF=45°考虑到半角模型,从4和6之间的关系考虑结果： 显然正方形边长为12, ∴DG=12.
引例2: 如图, 在△ABC中,tan∠BAC=1, AD⊥BC于点 D,若BD=6, CD=4, 则△ABC的面积是 .
解析： 面积为60.
结论4: AE平分∠BEF, AF平分∠DFE.
引例3：如图，在直角坐标系中，以坐标原点O(0, 0)、A(0, 4)、B(3, 0) 为顶点的 Rt△AOB, 其两个锐角对应的外角角平分线相交于点 P，且点 P恰好在反比例函数 的图像上，则k的值为( )
A. 36 B. 48 C. 49 D. 64
解析: 过点 P分别作PM、PN、PQ垂直于y轴、x轴、AB, 则△PMA≌△PQA, △PNB≌△PQB,∴∠APB=45°, AB=AM+BN, 又OM=ON,∴AM=2, BN=3, OM=ON=6, ∴k=36. ∴选A.
模型总结
在正方形ABCD中, 条件∠EAF=45°等价于:
(1) EF=BE+DF;
且
(3) EA平分∠BEF或FA平分∠DFE.
以上在正方形中有其一则可推其他结论.
引例4：如图，在边长为1 的正方形ABCD中, 动点E、F分别在边AB、CD上, 将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点 M始终落在边AD上(点M不与点A、D重合), 点C落在点N处, MN与CD交于点 P,设BE=x.
(1)当 时，求x的值；
(2)随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化 如变化，请说明理由； 如不变，请求出该定值；
解析:(1) BE=x, 则AE=1-x, 在 Rt△AEM中, 代入得： 解得： 故x的值为
(2)不变.
连接BM、BP, 过点B作BH⊥MP交MP于点H,
∠BME+∠BMH=90°, ∠EBM+∠BMA=90°,又∠BME=∠EBM, ∴∠BMH=∠BMA,
∴△BAM≌△BHM,
∴AM=HM, BA=BH,连接BP, 则△BHP≌△BCP,
∴HP=CP, ∴MP=MH+HP=AM+CP,
∴C△PDM=DM+DP+MP=DA+DC=2.
∴△PDM的周长不变，周长始终是2.
模型拓展
结论5: A、B、E、N四点共圆, A、D、F、M四点共圆.
结论6: M、N、F、E四点共圆.
证明: ∵∠MEF=∠MFN, ∴M、N、F、E四点共圆.
结论7: △MAN∽△MDA, △NAM∽△NBA.
结论8: 连接AC, 则△AFC∽△AMB, △AEC∽△AND.且
结论9: △AFE∽△AMN. 且 由结论6可得∠ANM=∠AEF, ∠AMN=∠AFE.
∴△AFE∽△AMN.
由结论8可得：
真题演练
1. 如图, 正方形ABCD的边长为2, 点 E、F分别在边 AD、CD上, 若∠EBF=45°, 则△EDF 的周长等于 .
2. 如图,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点 F,连接EF,过点A作AH⊥EF, 垂足为 H, 将△ADF 绕点A顺时针旋转90°得到△ABG, 若BE=2, DF=3, 则AH的长为 .
3. 如图,正方形ABCD中, AB=6,G是BC的中点. 将△ABG沿AG对折至△AFG, 延长GF交DC于点E, 则DE的长是( )
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5
4.如图,在正方形ABCD中, E是BC边上的一点, BE=4,EC=8,将正方形边AB沿AE折叠到AF,延长EF交DC于 G,连接AG、FC, 现在有如下4个结论:①∠EAG=45°; ②FG=FC; ③FC∥AG;④S△GFC=14.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 如图,已知正方形ABCD的边长为a, E为CD边上一点(不与端点重合) ，将△ADE沿AE 对折至△AFE, 延长EF交 边BC于点 G, 连接AG, CF.
给出下列判断: ①∠EAG=45°; ②若. 则AG∥CF;③若E为CD的中点，则△GFC的面积为 ④若CF=FG,则 ⑤BG·DE+AF·GE=a .
其中正确的是 . (写出所有正确判断的序号)
6. 如图, 在正方形ABCD中, E、F分别是BC、CD上的点, 且∠EAF=45°, AE、AF分别交 BD于M、N, 连按EN、EF、有以下结论:
①AN=EN; ②当AAF时, ③BE+DF=EF;④存在点 E、F, 使得NF>DF. 其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图, 在矩形ABC中, AB=2, BC=4, 点E、F分别在BC、CD上,若AE= , ∠EAF=45°,则AF的长为 .
8. 如图, 四边形ABCD中, AD∥BC,∠BCD=90°,AB=BC+AD,∠DAC=45°,E为CD上一点,且∠BAE=45°, 若CD=4, 则△ABE的面积为( )
A. B. C. D.
9. 已知如图, 在正方形中, AD=4, E、F分别是 CD、BC上的一点, 且∠EAF=45°, EC=1, 将△ADE绕点 A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合, 连接 EF,过点B作BM∥AG,交AF于点M,则以下结论:①DE+BF=EF, 正确的是( )
A. ①②③ B. ②③④
C. ①③④ D. ①②④
10.如图1, 在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点 F,连接EF,过点A作AH⊥EF, 垂足为H.
(1) 如图2, 将△ADF 绕点 A 顺时针旋转90°得到△ABG.
①求证: △AGE≌△AFE;
②若BE=2, DF=3, 求AH的长.
(2)如图3, 连接BD交AE于点 M, 交AF于点 N. 请探究并猜想：线段BM、MN、ND之间有什么数量关系 并说明理由.
11.在矩形ABCD的CD边上取一点 E,将△BCE沿BE翻折，使点 C恰好落在AD边上点F处.
(1) 如图1, 若BC=2BA, 求∠CBE的度数;
(2)如图2, 当AB=5, 且AF·FD=10时, 求BC的长;
(3)如图3, 延长EF, 与∠ABF的角平分线交于点 M, BM交AD于点N, 当NF=AN+FD时, 求 的值.
12.如图, 正方形ABCD的对角线相交于点O, 点 M, N分别是边BC, CD上的动点(不与点B, C, D重合), AM, AN分别交BD于点 E, F, 且∠MAN始终保持45°不变.
(1) 求证:
(2) 求证: AF⊥FM;
(3)请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM 写出你的探索结论，并加以证明.
13.问题背景: 如图 1, 在四边形 ABCD中, ∠BAD=90°, ∠BCD=90°, BA=BC, ∠ABC=120°,∠MBN=60°, ∠MBN绕 B 点旋转, 它的两边分别交 AD、DC于 E、F. 探究图中线段AE、CF、EF之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接 BG, 先证明△BCG≌△BAE, 再证明△BFG≌△BFE,可得出结论，他的结论就是 ；
探究延伸1: 如图2, 在四边形ABCD中, ∠BAD=90°, ∠BCD=90°, BA=BC, ∠ABC=2∠MBN, ∠MBN绕B点旋转. 它的两边分别交 AD、DC于 E、F，上述结论是否仍然成立 请直接写出结论(直接写出“成立”或者“不成立”)，不要说明理由；
探究延伸2: 如图3,在四边形ABCD中, BA=BC, ∠BAD+∠BCD=180°, ∠ABC=2∠MBN, ∠MBN绕B 点旋转. 它的两边分别交 AD、DC于 E、F. 上述结论是否仍然成立 并说明理由；
实际应用：如图 4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处.舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 100 海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E、F处. 且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 70°. 试求此时两舰艇之间的距离.
第6节 半角模型
1.解析：根据半角模型结论可知EF=AE+CF，∴△EDF的周长等于DA+DC=4, 故△EDF的周长为4.6.
2.解析: EF=BE+DF=5, 设正方形边长为x, 则 CE=x-2,CF=x-3, 勾股定理得: 解得x=6或-1(舍), 故AH=AB=6, AH的长为6.C.
3.解析: ∵AG平分∠BGE, 且 故选 C.
4. B.
解析: ①③正确, 选 B.
5. ①②④⑤
解析: 结论①正确, 易证△ADE≌△AFE,△AFG≌△ABG,
结论②正确，若 则G是BC中点, GC=GF,∴∠GCF=∠GFC, 又∠CFG+∠GFC=∠FGB,∴∠GFC=∠FGA, ∴AG∥CF.
结论③错误, ∠FGB=2∠FGA, ∴∠FGC=∠FGA, ∴AG∥CF.若E为CD中点,则 有
结论④正确, 若GF=FC, 则DE=BG, 不妨设DE=BG=x, 则GE=2x, EC=GC=a-x, 由△ECG是等腰直角三角形, 可得： 解得：
结论⑤正确, 正方形面积是a , AF·GE 是五边形 ABGED的面积,故证明△GEC面积为BG·DE 即可.设BG=m,DE=n,则 EG=m+n, CG=a-m, CE=a-n, 根据勾股定理可得:
化简得：
综上所述，正确的是①②④⑤.
6.B.
解析: 根据∠EAN=45°=∠EBN, ∴A、B、E、N 四点共圆,∴∠ANE+∠ABE=180°, 又∠ABE=90°,
∴∠ANE=90°, ∴△ANE 是等腰直角三角形, ∴AN=EN,故结论①正确；
不妨设正方形边长为1, 设CE=x, 则CF=x, BE=DF=1-x,由半角模型可得 EF=BE+DF, ∴EF=2-2x, 在 Rt△CEF 中,
代入得： 解得：
故结论②错误；
由半角模型可得: BE+DF=EF, 故结论③正确;
易证△DNF∽△BNA, ∴NEA=DFBA,即
在△ABN中, 显然AN≤AB,
∴在△DNF中, NF≤DF,
故结论④错误.
综上，正确的①③，故本题选B.
7.
解析: 如图, 延长AB 至点M使得 BM=2, 延长DC 至点 N使得 CN=2,连接MN,则四边形AMND 是正方形,∵BE=1,
∴MG=2, 即点G是MN中点,
8. D.
解析: 过点 B 作 BH⊥AD 交 AD 于点 H, 则 DH=BC, 设BC=x, 则AB=x+4, AH=4-x,
在 Rt△AHB中, ,代入解得: x=1,
即BC=1,考虑∠BAE=45°, 过点A作AF⊥AD交CB 延长线
于点 F，则四边形 ADCF 是正方形，由半角模型可得：
BE=BF+DE=3+DE, 设DE=y, 则 CE=4-y, 在 Rt△BCE 中,
代入得：
解得：
故选 D.
9. D.
解析：结论①显然正确；
设BF=x, 则EF=3+x, CF=4-x, 勾股定理得:
解得： 故结论②正确；
故结论③错误；
∵BM∥AG, ∴△FBM∽△FGA, 且
故结论④正确； 综上所述，选D.
解析: (1) ①∵∠EAF=45°, ∴∠BAE+∠DAF=45°,∵△ADF≌△ABG, ∴∠DAF=∠BAG,
∴∠BAE+∠BAG=45°, 即∠EAG=45°,在△AGE和△AFE中,
②AH=6.
证明略.
11. 解析:(1)BF=BC=2BA, ∴∠AFB=30°, ∴∠CBF=30°,又BE平分∠CBF, ∴∠CBE=15°.
(2) 由题意得:△EDF∽△FAB, ∴ AB·DE=AF·FD=10, ∴DE=2, CE=3,
(3) 过点 M作MP⊥BA交 BA 延长线于点 P, 由题意得:△BPM≌△BFM,∠FNM=∠PMN=∠FMN,∴FN=FM=PM,设 AB=1, BC=m, 则 由勾股定理得： 解得：
12. 解析: (1) ∵∠EAF=45°=∠EBM, ∴△AEF∽△BEM,
∴∠EMF=∠EBA=45°, ∴∠AFM=90°,
∴△AFM是等腰直角三角形，
(2) ∵∠AFM=90°, ∴AF⊥FM.
(3) ∠AMN=∠AMB, ∠FMN=∠AMN-45°,∠BAM=90°-∠AMB=90°-∠AMN,若∠FMN=∠BAM, 则∠AMN-45°=90°-∠AMN ,解得: ∠AMN=67.5°, 此时∠BAM=22.5°,∴当∠BAM为22.5°时, ∠FMN=∠BAM.
13.解析: 问题背景: EF =AE+CF.
探究延伸1：成立.
探究延伸2：成立.
延长DA 至点G使得AG=CF, ∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠BGA=180°, ∴∠BAG=∠C,
在△BAG和△BCF中,
∴△BAG≌△BCF(SAS), ∴BG=BF, ∠ABG=∠CBF,
∵∠ABC=2∠MBN,
∴∠GBE=∠GBA+∠ABE=∠CBF+∠ABE=∠MBN,在△BGE和△BFE中,
∴△BGE≌△BFE(SAS), ∴EG=EF, ∴EF=AE+CF.
(4)由题意可得： (海里), (海里),
∴EF=AE+BF=90+120=210 (海里), 即两舰艇之间的距离为210海里.

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