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第4节 弧中点的构造
前言：纵观中考题中的圆的综合题，有些问题出现得很多，比如切线的判定，有些是条件出现得很多，比如本节所要介绍的“弧中点”，对于常见条件，总结其常用的处理方法，有助于高效解题.
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与垂径定理相关
若点P是AB中点, 连接OP, 则OP⊥AB.
若过点P作MN∥AB, 则MN是⊙O的切线.
变换条件: 连接BP、AP, 若∠BPN=∠A, 则MN是⊙O的切线.
引例1:如图, BD为△ABC外接圆⊙O的直径, 且∠BAE=∠C.
(1) 求证: AE与⊙O相切于点A;
(2) 若 求AD的长.
解析:(1) 如图, 连接OA交BC于点H,
∵BD是直径, ∴∠BAD=90°,
∵∠BAC=∠D=∠OAD, 且∠OAD+∠OAB=90°,
∴∠BAE+∠OAB=90°, ∴∠OAE=90°,
∴OA⊥AE,
∴AE与圆O相切于点A.
(2) ∵AE∥BC, ∴OA⊥BC, ∴点A是弧BC中点,
又.
勾股定理得: AH =1, 设半径为 r, 则 OB=r, OH=r-1,
在 Rt△OHB中,
代入得： 解得: r=4,
∴BD=2r=8, 在Rt△ABD中,
勾股定理可得：
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与圆周角定理相关
若点P是AB中点, 点 C是圆上一点, 则∠PCA=∠PCB.
特别地, 若点 P是半圆中点, 则∠PCA=∠PCB=45°.
若连接PA、PB, 则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB.
可得: △PDA∽△PAC; △PDB∽△PBC.
可得: △CAP∽△CDB; △CAD∽△CPB.
引例2: 如图, AD 是△ABC的外接圆⊙O的直径, 点 P在BC延长线上, 且满足∠PAC=∠B.
(1) 求证: PA是⊙O的切线;
(2)弦CE⊥AD交 AB 于点 F, 若AF·AB=12, 求AC的长.
解析: (1) ∵∠B=∠D, 且∠ADC+∠CAD=90°,
∴∠PAC+∠CAD=90°, 即AD⊥AP,
∴PA是⊙O的切线.
(2)∵AD⊥CE, ∴AE=AC, ∴∠ACE=∠ADC,
∵∠ADC=∠ABC, ∴∠ACE=∠ABC,
∴△AFC∽△ACB, ∴AFC=ACB,
∴AC =AF·AB=12, ∴AC=2
∴AC的长为2
真 题 演 练
1. 如图, 在四边形ABCD中, 以AB为直径的半圆O经过点C、D. AC与BD相交于点 E, , 分别延长AB、DC相交于点 P, PB=BO, 则BO的长是 .
2.如图, ⊙O是△ABC的外接圆, ∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D 作直线DF∥BC.
(1) 判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若 求BD的长.
3.如图, 四边形ABCD内接于⊙O, 点E在BC的延长线上，且
(1) 求证: DE是⊙O的切线;
(2)若. 当 时, 求AC的长.
4. 如图, AB 是⊙O的直径, C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.
(1) 求证: ∠CAD=∠CAB;
(2)若 求CD的长.
5.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,点H是 的内心，AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点 D, 连结DB.
(1) 求证: DH=DB;
(2) 过点 D 作 BC 的平行线交 AC、AB 的延长线分别于点E、F, 已知CE=1, ⊙O的直径为5.
①求证: EF为⊙O的切线;
②求DF的长.
6. 如图, AB是⊙O的直径, 点C为BD的中点, CF为⊙O的弦, 且CF⊥AB, 垂足为E, 连接BD交CF于点G, 连接CD、AD、BF.
(1) 求证:
(2) 若AD=BE=2, 求BF的长.
7. 如图,△ABC内接于⊙O, AD平分∠BAC交BC边于点E,交⊙O于点D,过点A作AF⊥BC于点 F,设⊙O的半径为R, AF=h.
(1)过点D作直线. 求证: MN是⊙O的切线;
(2)求证: AB·AC=2R·h;
(3) 设∠BAC=2α, 求 的值(用含α的代数式表示).
8.已知: AB为⊙O 的直径, 延长AB 到点P,过点 P作⊙O的切线,切点为C,连接AC,且.
(1) 求∠P的度数;
(2) 若点 D 是弧 AB 的中点, 连接 CD交 AB 于点 E, 且DE·DC=20, 求⊙O的面积. (π取3.14)
9. 如图, M、N是以AB为直径的⊙O上的点，且 弦 MN交 AB 于点 C, BM平分 于点F.
(1) 求证: MF 是⊙O的切线;
(2) 若 求CM的长.
10.如图1, 在△ABC中, AB=AC, ⊙O是△ABC的外接圆, 过点 C 作∠BCD=∠ACB 交⊙O 于点 D,连接AD交 BC于点 E, 延长 DC至点 F, 使 CF=AC, 连接AF.
(1) 求证: ED=EC;
(2) 求证: AF 是⊙O的切线;
(3)如图2, 若点 G 是△ACD 的内心, BC·BE=25, 求BG的长.
11. 如图, 在 Rt△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F, 连接OF交AD于点 G.
(1) 求证: BC是⊙O的切线;
(2)设AB=x, AF=y, 试用含x, y的代数式表示线段AD的长；
(3) 若 求DG的长，
第4节 弧中点的构造
1.4
解析: ∵CD =CE·CA, ∴△CED∽△CDA,
∴∠CDE=∠CAD, ∴CD=BC, 连接OC, 则OC⊥BD,
易证△POC∽△PAD,∴答D=PO= , ∴PC=4
易证△PBC∽△PDA, 代入得：
解得: r=4, ∴BO的长是4.
解析: (1) 相切.
∵AD平分∠BAC, ∴点D 是弧BC中点,连接OD, 则OD⊥BC, 又∵DF∥BC, ∴OD⊥DF,∴DF是圆O的切线.
(2) 连接CD, 可证△AEB∽△CED,
代入得： 解得： ∴BD的长为
(1) 如图, 连接BD, ∵∠BAD=90°, ∴BD是直径,
∵∠BAC=∠BDC, ∠BDC+∠CBD=90°,
∴∠BAC+∠CBD=90°, 又∠DEC=∠BAC,
∴∠DEC+∠CBD=90°, ∴∠BDE=90°, 即BD⊥DE,
∴DE是圆O的切线.
(2)∵BD⊥DE,AC∥DE,∴BD⊥AC,∴D是弧AC中点,易证△BAD≌△BCD,∴AC=AB=8,记BD与AC交点为H,射影定理可得：
代入可得: CD=4, ∴BD=4
易证△DHC∽△DCB, 可得: 代入得： 解得：
故AC的长为
解析: (1) 连接OC, 则OC⊥DC, ∵AD⊥DC,∴OC∥AD,∴∠DAC=∠ACO,又OA=OC,∠ACO=∠CAB,∴∠CAD=∠CAB;
(2) 连接CB, 则∠ACB=90°, 又∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB, 设 AD=2m, 则 AB=3m,代入得： 解得: m=2, ∴AD=4, ∴CD的长为：2
解析: (1) 连接BH,
易证
∴∠BHD=45°,又∠BDH=90°,∴△BDH是等腰直角三角形,∴DH=DB.
(2)①连接OD, ∵AD平分∠BAC, ∴D是弧BC中点,
∴OD⊥BC, ∵EF∥BC, ∴OD⊥EF,
∴EF是圆O的切线.
②记BC与OD交点为 M点, 则DM=CE=1,
∴DF的长为
6.解析:(1)由题意可得:∠CDB=∠CFB,∠CGD=∠BGF,连接BC, ∵点C是弧BD中点, ∴CD=BC,又BC=BF, ∴CD=BF, ∴△BFG≌△CDG (AAS).
(2) 考虑到DC=CB=BF, ∴BD=CF,设半径为r，则 故 解得: r=1(舍) 或3,
解析:(1)连接OD,∵AD平分∠BAC,∴弧BD=弧CD,∴OD⊥BC,∵MN∥BC,∴OD⊥MN,∴MN是圆O的切线.
延长DO与圆交于点Q, 连接AQ, ∵AF⊥BC, DQ⊥BC, ∴AF∥DQ, ∴∠EAF=∠ADQ, ∴△AFE∽△DAQ, 即AE·AD=AF·DQ, 连接CD,易证△ACD∽△AEB,∴∠CE=ADAB,即AE·AD=AB·AC,∴AB·AC=AF·DQ, ∴AB·AC=2R·h.
(3)延长BA至点G使得BG=AC,又∠DBG=∠DCA,DB=DC,∴△DBG≌△DCA, AB+AC=AB+BG=AG,
过点D作DH⊥AG交AG于点H, 则H是AG中点,
8. 解析: (1) 连接OC, 则∠OAC=∠OCA,.
∵AC=CP, ∴∠CAP=∠CPA, 又CP 是圆O的切线,则OC⊥CP, ∴∠OAC+∠OCA+∠P=90°, ∴∠P=30°.故∠P 的度数是30°.
(2) 连接BC, 易证△DEB∽△DBC,
即DB =DE·DC=20, ∴DB=2
解析: (1) 连接 OM, 则 OM=OB, ∴∠OBM=∠OMB,
∵MB 平分∠ABD, ∴∠OBM=∠FBM, ∴∠OMB=∠FBM,
∵∠BMF+∠FBM=90°, ∴∠FMB+∠OMB=90°,即∠OMF=90°, ∴MF是圆O的切线.
(2) ∵点N是弧AB中点, ∴∠ABN=45°=∠BMN,
易证 代入得：
解得：
故CM的长为
10.解析: (1) 易证∠EDC=∠ECD, ∴ED=EC.
(2) 连接OA, 则OA⊥BC,
∵∠BAD=∠ADC, ∴AB∥CD,
又CF=AC=AB, ∴四边形ABCF是平行四边形.
∴AF∥BC, ∴OA⊥AF, ∴AF是圆O的切线.
(3)易证△BEA∽△BAC,∴BA =BE·BC=25,∴BA=5,连接AG,∠BAG=∠BAE+∠DAG,∠BGA=∠BCA+∠CAG,又∠BAE=∠BCA, ∠DAG=∠CAG,
∴∠BAG=∠BGA, ∴BA=BG, ∴BG=5.
11. 解析: (1) 连接OD, ∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,又OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA, ∴AC∥OD, ∵AC⊥BC, ∴OD⊥BC,
∴BC是圆O的切线.
解得: r=5,
易证
故DG的长为

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