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第5节 圆中相似
前言：在圆的综合题中，总是少不了相似的影子，由圆周角定理等可得圆中潜在诸多相等角，而两组角相等即可得相似.了解常见的圆中相似，有助于更快找到解题突破口.
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常见相似
(1) 射影定理
如图, AB是直径, CD⊥AB.
结论：
(2) 母子型相似
如图, 若∠ABD=∠C.
结论: △ABD∽△ACB, AB =AD·AC.
(3)弧中点相似
点P是AB 中点，点C是优弧AB 上任意一点.
结论: △PDA∽△PAC; △PDB∽△PBC.
(4) 圆幂定理
相交弦定理：PA·PB=PC·PD;
切割线定理：
割线定理: PA·PB=PC·PD.
注：圆幂定理结论用前需先证明.
引例1:如图, AB为⊙O的直径, AB=4, C为半圆AB的中点，P为AC 上一动点，延长BP至点Q，使BP·BQ=AB .若点 P 由A 运动到 C，则点 Q 运动的路径长为 .
解析: 由BP·BQ=AB , ∴△BPA∽△BAQ,
∴∠BAQ=∠BPA=90°, 即AQ⊥AB, 当点 P与点 C重合时,此时AQ的长即为点Q运动路径长，即AQ=AB=4.
常见问题
直接证明相似的问题并不多，常以线段关系作为问题，与相似相关的问题有：
(1)线段求值；
(2) 证明乘积关系，
如证 AD或AB·AC=AD·AE;
(3) 乘积求值, 如求AB·AC 的值;
(4) 比例求值, 如求4B/L的值;
解题关键在于找到那组恰当的相似，分析问题中线段所在的三角形，寻找可能的相似.
若问题中的线段并无相关相似，考虑转化线段或转化比例.
引例2：如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C, 连接AC、BC. 将△ABC沿AB翻折后得到△ABD.
(1) 试说明点D在⊙O上;
(2) 在线段AD的延长线上取一点E，使 求证: BE为⊙O的切线;
(3)在(2)的条件下, 分别延长线段AE、CB相交于点 F,若BC=2, AC=4, 求线段EF的长.
解析:(1)连接OC、OD, 则OD=OC=r, ∴点D在⊙O上.
(2) ∵AD=AC, ∴AB =AD·AE ,
∴△ADB∽△ABE,
∴∠ABE=∠ADB=90°, ∴BE⊥AB,
∴BE是⊙O的切线.
(3) 连接CD, 则CD⊥AB, 垂足记为H,
∵BD=BC=2, AD=AC=4, 且BD =AD·DE,
∵DC⊥AB, BE⊥AB, ∴△FEB∽△FDC,
设EF=x, 则 解得：
∴EF的长为
引例3:如图, AB是⊙O 的直径, 弦CD⊥AB于点E, 点F是⊙O上一点, 且AC=CF, 连接FB、FD, FD交AB于点N.
(1) 若AE=1, CD=6, 求⊙O的半径;
(2) 求证: △BNF为等腰三角形;
(3) 连接FC并延长, 交BA的延长线于点 P, 过点 D作⊙O的切线，交BA的延长线于点 M.
求证: ON·OP=OE·OM .
解析:(1) ∵CD=6, ∴CE=3, 设半径为r,连接OC, 则OC=r,
由题意可得：
解得: r=5,
故圆O的半径为5.
(2) 连接BC、AC,∵DA=AC=CF, ∴AC∥DF,
∵AB是直径, ∴∠ACB=90°, 即BC⊥AC,
∴BC⊥DF, 又BC平分角ABF,
∴∠BNF=∠BFN,
∴△BNF为等腰三角形.
(3) 连接OD, 则OD⊥DM,
由题意得△BNC≌△BFC,
∴∠BNC=∠BFC,
∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB,
又∠BOC=∠FBC,
∴∠OCB=∠FBC,
∴OC∥BF, ∴∠PCO=∠PFB,
∴∠ONC=∠OCP,
∴△ONC∽△OCP,
∴ON·OP=OE·OM .
真 题 演 练
1. 如图, 已知AB是⊙O的直径,CB⊥AB, D为圆上一点, 且AD∥OC,连接CD、AC、BD,AC与BD交于点 M.
(1) 求证: CD为⊙O的切线;
(2)若 求 的值.
2. 如图,AB是⊙O的直径, 点E为线段OB上一点(不与O、B重合), 作EC⊥OB, 交⊙O于点 C, 作直径CD, 过点C的切线交 DB 的延长线于点 P, 作AF⊥PC于点F, 连接CB.
(1) 求证: AC平分∠FAB;
(2) 求证:
(3)当. 且 时，求劣弧BD的长度.
3. 已知AD为⊙O的直径, BC为⊙O的切线，切点为 M，分别过A、D两点作 BC的垂线，垂足分别为B、C, AD的延长线与BC相交于点 E.
(1) 求证: △ABM∽△MCD;
(2) 若AD=8, AB=5, 求ME的长.
4. 如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与 M，N重合), PQ⊥MN, NE平分∠MNP, 交 PM于点E, 交PQ于点F.
(2) 若 则
5.如图, 在△ABC中, ∠BAC=90°, 点E在 BC边上, 且CA=CE, 过A、C、E三点的⊙O交AB于另一点 F, 作直径 AD, 连结 DE 并延长交 AB 于点 G, 连结CD、CF.
(1) 求证: 四边形 DCFG是平行四边形.
(2) 当 时，求⊙O的直径长.
6. 如图, △ABC内接于⊙O, AB=AC, 过点 A 作 AD∥BC, 与∠ABC的平分线交于点D, BD与AC交于点E, 与⊙O交于点 F.
(1) 求∠DAF的度数;
(2) 求证:
(3) 求证: AD是⊙O的切线.
7. 如图, AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点, D 是弧 BC的中点, BC与AD、OD 分别交于点 E、F.
(1) 求证: DO∥AC;
(2) 求证:
(3)若 求 的值.
8. 如图, 在 中， D是AC上一点, 过B、C、D三点的⊙O交AB于点E, 连接ED、EC, 点F是线段AE上的一点, 连接FD, 其中∠
(1) 求证: DF是⊙O的切线;
(2) 若D是AC的中点, 求DF的长.
9.如图,已知BC⊥AC, 圆心O在AC上, 点 M 与点 C分别是AC与⊙O的交点, 点 D 是 MB 与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且
(1) 求证: PD 是⊙O的切线;
(2) 若AD=12, AM=MC, 求 的值.
10.如图,△ABC中, AB=AC, 以AB为直径的⊙O 交 BC于点 D, 交AC 于点 E, 过点 D作 FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点 G.
(1) 求证: FG是⊙O的切线;
(2)若tan∠C=2, 求. 的值.
11. 如图, PA是⊙O的切线, A 是切点, AC是直径, AB是弦, 连接PB、PC, PC交AB 于点 E,且PA=PB.
(1) 求证: PB是⊙O 的切线;
(2) 若∠APC=3∠BPC, 求 的值.
12. 如图,线段AB是⊙O的直径, 弦CD⊥AB于点 H, 点 M是CBD上任意一点, AH=2, CH=4.
(1) 求⊙O的半径r的长度;
(2) 求sin∠CMD;
(3) 直线 BM交直线 CD于点E, 直线MH交⊙O于点 N,连接BN交 CE于点F, 求HE·HF的值.
第5节 圆中相似
解析: (1) ∵AB 是直径, ∴AD⊥BD,
∵AD∥OC, ∴OC⊥BD,
连接OD, 易证△OBC≌△ODC, ∴∠ODC=∠OBC=90°,∴CD是圆O的切线.
(2) 记OC与BD交点为H, 易证( 设AD=a, 则(
代入得： 解得：
2. 解析: (1) ∵AF⊥PF, OC⊥PF, ∴AF∥OC,∴∠FAC=∠ACO, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA,∴∠FAC=∠OAC, ∴AC平分∠FAB.
(2) 易证△ACF≌△ACE, ∴∠ACF=∠ACE,
∵∠ACE+∠BCE=90°, ∠ACE+∠BCP=90°,
∴∠BCE=∠BCP, 延长CE与BD交于点Q,易证CQ=CP, 在Rt△BCQ中,
根据射影定理可得：BC =CE·CQ, ∴BC =CE·CP.
(3) 易证
△OBC是等边三角形, ∴∠BOD=120°,
∴弧 ∴弧BD的长为
解析: (1)∵AD是直径, ∴∠AMD=90°,又∠ABM=∠DCM=90°, 易证△ABM∽△MCD.
,
易证△EDC∽△EOM, ∴BD=DCM,设ED=x,
代入得： 解得: x=12,
易证EM =ED·EA (切割线定理),
∴EM =12×20=240, ∴EM=4
故 ME的长度为
解析: (1) 由题意得: △PFN∽△MEN,
(2)由射影定理可得：PN =NQ·NM ,∴NQ=PM,设MQ=1,NQ=k, 则 由勾股定理得： 解得： (舍);
解析: (1) 连接AE, ∵∠BAC=90°, ∴CF 是圆 O的直径, 又CA=CE, ∴AE⊥CF, ∵AD是直径, ∴AE⊥DE,∴CF∥DG,又∠DCA=∠CAF=90°, ∴∠DCA+∠CAF=180°,∴CD∥AB, ∴四边形DCFG是平行四边形.
(2) 易证 CD=GF=AF, ∴DC: BG=3: 2,易证
∴CE=6, CA=6, AB=8, CD=3, ∴AD=3 ∴圆O的直径长为3
6. 解析: (1) ∵AD∥BC, ∴∠ABC+∠BAD=180°,
∵∠ABC=72°, ∴∠BAD=108°,
∵∠BAC=36°, ∠CAF=∠CBF=36°, ∴∠DAF=36°.
(2) 易证△AEF∽△DEA,
(3) ∵△AEF∽△DEA, ∴∠EAD=∠EFA=72°,连接OA、OB、OC, 易证△AOB≌△AOC (SSS),
∴∠COA=∠BOA=18°, ∴∠OAD=18°+72°=90°,∴OA⊥AD, ∴AD 是圆O的切线.
解析: (1) ∵点D是弧BC中点, ∴OD⊥BC,∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°, ∴AC⊥BC,∴DO∥AC.
(2) ∵∠DCB=∠DAC, ∴△DEC∽△DCA,
(3) 思路1: 连接BD, 则BD=CD, ∠DBC=∠DAC,设DE=a, 则DB=2a, DC=2a, DA=4a,
又∠CDA=∠ABC, ∴sin∠CDA=
思路2： 则
即 可得
解析:(1)连接BD、DE,∵∠BCD=90°, ∴BD 是直径,
∵∠DCE+∠BCE=90°, ∠FDE=∠DCE, ∠EDB=∠ECB,
∴∠FDE+∠EDB=90°, ∴∠FDB=90°, 即FD⊥DB.
∴DF是圆O的切线.
(2) 过点F作FH⊥AC交AC于H点,易证△FHD∽△DCB, 设FH=x, 则 解得： 又∠A=30°, ∴AH= x, 解得： ∴DF的长为
解析: (1) 连接OP、OD、CD,
∴△AMD∽△AOP, ∴∠ADM=∠APO, ∴OP∥MD,
又点O是MC中点, ∴点P是BC中点,在Rt△BCD中,
易证△POD≌△POC, ∴∠PDO=∠PCO=90°,∴PD是圆O的切线.
易证△AMD∽△ADC, 设AM=x, 则AC=2x,则x·2x=12 ,解得：x=6 , ∴AM=MC=6
设 MD=m, 则( 的值为
10. 解析: (1) 连接 OD, 则 OD=OB, ∴∠ODB=∠OBD,∵AB=AC, ∴∠C=∠ABC, ∴∠C=∠ODB, ∴AC∥OD,.又∵FG⊥AC, ∴FG⊥OD, ∴FG是圆O的切线.
(2) 连接AD, tan∠ABC=tan∠C=2, ∴ADB=2,易证 即 的值为
11. 解析: (1) 连接OB、OP, 易证△POA≌△POB,∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴OB⊥PB, ∴PB是圆O的切线.
(2)记OP与AB交点为H,设OH=a,连接BC,则BC=2a,
∵∠APC=3∠BPC, ∴∠OPC=∠BPC,
∵OP⊥AB, BC⊥AB, ∴OP∥BC, ∴∠OPC=∠BCP,
∴∠BPC=∠BCP, ∴AP=BP=BC=2a,
由射影定理得: PA =PH·PO, 设PH=x,
代入得： 解得：
易证△PHE∽△CBE,
12. 解析: (1) 如图1中, 连接OC.
∵AB⊥CD, ∴∠CHO=90°,在Rt△COH中, ∵OC=r, OH=r-2, CH=4,
(2) 如图1中, 连接OD.
∵AB⊥CD, AB是直径,
∴∠CMD=∠COA, ∴sin∠CMD=sin∠COA==
(3) 如图, 连接AM.
∵AB 是直径, ∴∠AMN=90°, ∴∠MAB+∠ABM=90°,
∵∠E+∠ABM=90°, ∴∠E=∠MAB,
∴∠MAB=∠MNB=∠E,
∵∠EHM=∠NHF, ∴△EHM∽△NHF, ∴EN=HMF,
∴HE·HF =HM·HN,
∵HM·HN=AH·HB (相交弦定理),
∴HM·HF=AH·HB=2×8=16.

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