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第2节 弦图的构造
前言：在证明勾股定理的时候，我们认识了“外弦图”，以此为起点，可作进一步的探究.
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弦图的构造
如图, 有△AED≌△BFA≌△CGB≌DHC.
稍作变形, 若DE⊥AF, 则可得: △DAE≌△ABF.
一般地,在正方形ABCD中,若MN⊥PQ,则必有MN=PQ.
思路1: 分别将 PQ、MN平移至 AF、DE 位置(作平行线)证明AF=DE即可.
思路2: 过点 P作 PE⊥BC, 过点N作 NF⊥AB交AB 于点F, 可证△PEQ≌△NFM.
反之, 若已知PQ=MN, 但不一定存在PQ⊥MN.
如下: EF=PQ=MN, 但EF不与MN垂直.
由位置关系可推数量关系，
但由数量关系未必可推位置关系.
引例1:如图,已知正方形ABCD 的边长为5,点 E、F分别在AD、DC上, AE=DF=2, BE与AF相交于点G, 点H为BF的中点, 连接GH, 则 GH的长为 .
解析: ∵AE=DF, ∴△BAE≌△ADF, ∴∠ABE=∠DAF,
∵∠DAF+∠BAG=90°, ∴∠ABE+∠BAG=90°,
∴∠AGB=90°. ∵DF=2, ∴CF=3,
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模型变式
(1) 弦图与对称：对称点连线被对称轴垂直且平分.
沿 MN折叠, 则AA'=MN 且 AA'⊥MN.
(2)弦图与辅助圆：垂足H轨迹是个圆弧(定边对直角)
以AD中点M为圆心，MA为半径的圆弧，点A、O为圆弧两端点.
(3) 弦图与四点共圆: C、D、H、F四点共圆.
连接 DF, 取 DF 中点 N, 以点 N为圆心, DN为半径作圆, C、D、H、F四点共圆.
特别地, 若E、F分别是AB、BC中点, 连接CH,则CH=CD.
证明: ∵∠CHD=∠CFD=∠AED=∠CDE, ∴CH=CD.
(4) 矩形中的弦图构造：
在矩形ABCD 中, E、F分别是AB、BC上的点, 且AF⊥DE, 则
证明：由题意得：△ABF∽△DAE,
引例2:如图, 在矩形ABCD中, AB=2,BC=3, 若点E是边CD的中点, 连接AE, 过点B作BF⊥AE交AE于点 F, 则BF的长为( )
解析: ∵AD=3, DE=1, ∴AE=
可得: △ADE∽△BFA,
代入解得：
解得：
∴选B.
引例3:在正方形ABCD中, E是边CD上一点(点 E不与点 C、D 重合), 连结BE.
【感知】如图1, 过点A作AF⊥BE交BC于点F. 易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)
【探究】如图2, 取BE的中点M, 过点M作FG⊥BE交BC于点 F, 交AD于点G.
(1) 求证: BE=FG.
(2) 连结CM, 若CM=1, 则FG的长为 .
【应用】如图3, 取BE的中点 M, 连结 CM. 过点C作CG⊥BE交AD于点 G, 连结EG、MG. 若CM=3, 则四边形 GMCE的面积为 .
解析:(1) 过点A作AP∥GF,则四边形APFG是平行四边形, ∴AP=FG, 又∵GF⊥BE, ∴AP⊥BE,由题意得△ABP≌△BCE, ∴AP=BE, ∴BE=FG.
(2) 如图, 若CM=1, 则BE=2CM=2, ∴FG=BE=2.
(3) 若CM=3, BE=6, ∵CG⊥BE, ∴CG=6,考虑四边形 GMCE对角线互相垂直，
故四边形GMCE是面积为9.
真题演练
1.如图, 正方形纸片ABCD边长为12,E是边 CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点 B，得到折痕BF，点F在AD上, 若DE=5, 则 GE的长为 .
2.如图,E是矩形ABCD的边CB上的一点,AF⊥DE于点F, AB=3, AD=2, CE=1. 求DF的长度.
3.如图,正方形ABCD中, E是BC上的一点, 连接AE, 过B点作 BH⊥AE, 垂足为点 H, 延长BH交CD于点 F, 连接AF.
(1) 求证: AE=BF.
(2) 若正方形边长是5, BE=2, 求AF 的长.
4.如图,正方形ABCD中, G为BC边上一点， 于E, 于F, 连接DE.
(1) 求证:
(2) 若AF=1, 四边形ABED的面积为6, 求EF的长.
5. 已知: 如图,正方形ABCD中, P是边BC上一点， 垂足分别是点E、F.
(1)求证: EF=AE-BE;
(2)连接BF, 如果 求证: EF=EP.
6.如图, 在正方形ABCD中, AB=4, 点G在边BC上,连接AG,作. 于点 E,BF⊥AG于点 F,连接BE、DF, 设
(1) 求证:
(2) 求证:
(3)若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点 E、F所经过的路径与边AB 围成的图形的面积.
7. 如图1, 在正方形ABCD中, 点E是AB边上的一个动点(点E与点A、B不重合)，连接CE，过点B作BF⊥CE于点G, 交AD于点 F.
(1) 求证: △ABF≌△BCE;
(2) 如图2, 当点E运动到AB中点时, 连接DG,求证: DC=DG;
(3) 如图3,在(2) 的条件下, 过点 C作 CM⊥DG于点H, 分别交AD、BF于点M、N, 求 的值.
8. 如图,在正方形ABCD中, 点G在边BC上(不与点B、C重合), 连结AG, 作DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F, 设
(1) 求证: AE=BF.
(2) 连结BE, DF, 设∠EDF=α, ∠EBF=β.
求证: tanα=k·tanβ.
(3) 设线段AG与对角线 BD 交于点 H, △AHD 和四边形CDHG的面积分别为S 和S , 求 的最大值.
9. (1) 证明推断: 如图1, 在正方形ABCD中, 点E、Q分别在边BC、AB上, DQ⊥AE于点O, 点 G、F分别在边 CD、AB上, GF⊥AE.
①求证: DQ=AE;
②推断： 的值为 ；
(2)类比探究: 如图(2),在矩形ABCD中, (k为常数). 将矩形ABCD 沿GF折叠, 使点A 落在 BC边上的点E处, 得到四边形FEPG, EP交CD于点 H,连接AE 交 GF于点 O. 试探究 GF与AE 之间的数量关系，并说明理由；
(3) 拓展应用: 在(2) 的条件下, 连接 CP, 当 时，若 求CP 的长.
10. 如图, 边长为1的正方形ABCD中,点K在AD上, 连接BK,过点A, C作BK的垂线, 垂足分别为M, N, 点O是正方形ABCD的中心, 连接OM, ON.
(1)求证: AM=BN.
(2) 请判定△OMN的形状，并说明理由.
(3) 若点 K 在线段 AD 上运动(不包括端点), 设 AK=x,△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式(写出x的范围); 若点 K 在射线 AD 上运动, 且△OMN 的面积为 ，请直接写出AK长.
1.
解析: 易证△ADE≌△BAF, ∴AF=DE=5, BF=13,
记AE 与 BF交点为 H, 又 故 GE的长为
2.解析: ∵∠CDE+∠ADF=90°, ∠DAF+∠ADF=90°,∴∠CDE=∠DAF,又∠C=∠AFD=90°,∴△AFD∽△DCE,∴∠DCE=∠DDE, ∵DC=3, CE=1, ∴DE= +3 = 代入得：
3.解析: (1) 易证: △ABE≌△BCF, ∴AE=BF.
(2) CF=BE=2, DF=3, ∴AF= +3 =
4.解析:(1) 证明略;
(2) 设AE=x, 则DF=x,
解得： (舍),
∴AE=3, 又AF=1, ∴EF=2.
5. 解析: (1) 易证△DFA≌△AEB, ∴AF=BE,
∵EF=AE-AF, ∴EF=AE-BE.
(2) ∵△DFA≌△AEB, ∴AF=BE, ∴BF=AFF=DFAD,
∴△BEF∽△DFA,易证△BEP∽△DFA,∴△BEF∽△BEP,又BE是公共边, ∴△BEF≌△BEP, ∴EF=EP.
6解析: (1) 易证△DEA≌△AFB, ∴AE=BF.
即tanα=k·tanβ.
(3) 由题意可得E 点轨迹是以AD中点为圆心、AD为直径的圆弧，F点轨迹是以 AB 中点为圆心、AB 为直径的圆弧，如图所示，与AB 边围成的图形面积等于△AOB 的面积(点O为对角线交点)， 即点E、F所经过的路径与边AB围成的图形的面积为4.
7解析: (1) ∵∠ABF+∠CBG=90°, ∠BCE+∠CBG=90°,∴∠ABF=∠BCE,
在△ABF和△BCE中,
∴△ABF≌△BCE(ASA).
(2) ∵∠CDF=∠CGF=90°, 故 C、D、F、G四点共圆,连接CF，取中点O，点O即为圆半径.
∴∠DGF=∠DCF,∵点F是AD边中点,∴∠FCD=∠FBA=∠BCE,∴∠DGF=∠BCE,
∴∠DGC=∠DCG,∴DG=DC.
(3) tan∠DGC=tan∠DCG=2, ∴tan∠GCN= 不妨设 则.BG=a,CG=2a,∴NG=a, CN= a,又 易证
8解析: (1) 易证△AED≌△BFA, ∴AE=BF.
AE=BF=a·tan∠BAG= ak, ∴EF=a-ak=(1-k)a. ∴tanα=k·tanβ.
(3) 设正方形边长为单位1, 则BG=k, CG=1-k,易证△BHG∽△DHA, ∴MH=BGAD=k,
连接DG, 则 又 即 又
当 时，取到最大值
∴当 时， ,的最大值为
9.(1) ①易证△DAQ≌△ABE, ∴DQ=AE.
②易证四边形DGFQ是平行四边形，
∴FG=DQ, ∴FG=AE, ∴GFEE=1.
(2) 如图, 过点F作FM⊥CD交CD边于 M点,
易证
∵PG∥EF,CG∥BF,易证∠CFP=∠BFE,∴tan∠BFE=
∴BF=4, AF=EF=5, BE=3,过点 P 作 PQ⊥BC 交 BC 延长线于点 Q, 易证△FBE∽△EQP,
代入得： 解得：
10. 解析: (1) 易证△BMA≌△CNB, ∴AM=BN;(2) 等腰直角三角形.
连接OB, 易证△OAM≌△OBN, ∴OM=ON,∠MON=∠AOB=90°, ∴△OMN是等腰直角三角形.
C
(3) 若AK=x, 则
即
若点 K 在线段 AD 上, 令 解得： (舍); 若点 K 在线段 AD 延长线上, 则 令 解得： (舍).
综上，AK的值为3或

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