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第5讲 坐标系中的面积计算
前言：计算几何图形的面积是中考常见题型之一，尤其三角形面积，由计算引发出比如求面积的最大值、已知面积求解析式等问题，铅垂法与等积变形，在计算面积的问题中将发挥巨大作用.
知 识 导 航
铅垂法
求三角形的面积是几何题中常见问题之一，方法较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，而在坐标系中求三角形面积，最常用当为铅垂法.
引例 1: 在平面直角坐标系中, 已知A (1, 1)、B (7, 3)、C(4, 7), 求△ABC的面积.
解析: 如图, 过点 C作 CD⊥x轴交AB于点D,分别过A、B作CD的垂线，垂足分别记为E、F.
由题意得: AE+BF=6.
根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为：
由点C坐标(4，7) 可得D点横坐标为4，将4代入直线AB解析式得D 点纵坐标为2，∴D点坐标为(4, 2), CD=5,
∴S△ABC=15.
思路概括
(1) A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”；
(2) 过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”.
公式：
解题的关键在于求得D 点坐标.
所谓“铅垂法”实则就是割补法，对于此类求坐标系中的三角形面积形成了一套完整的解法，即已知三角形三个顶点坐标即可求此三角形面积，取名“铅垂法”.注意：用时需先证明..
引例2：如图，已知抛物线. 经过A (-5, 0)、B (-4, - 3) 两点, 与x轴的另一个交点为C.
(1) 求该抛物线的表达式；
(2) 点P为该抛物线上一动点(与点 B、C不重合)，设点P 的横坐标为t. 当点 P 在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值.
解析：(1)将点A、B坐标代入解析式，得： (2) 过点 P作 PQ⊥x轴分别交直线BC、x轴于点 Q、F,过点 B作BE⊥PQ交PQ于点E,则
由B、C坐标可得BE+CF=3, 直线BC解析式: y=x+1,由题意得 则点Q(t,t+1),
当 时，PQ取到最大值 , 此时△BCP 面积最大,
∴△PBC面积最大值为
思考：在像引例2这种求面积最值的问题中，一般选取两定点作水平宽，若第3个点并不在两定点之间，则铅垂高该如何作
方法总结
铅垂法本质即割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，确定出其对应的铅垂高！
(1) 取AC作水平宽, 过点 B作BD⊥x轴交直线AC于点D，BD 即对应的铅垂高，
(2) 取BC作水平宽, 过点A作铅垂高AD.
2 最值、定值、等值
引例3：如图，抛物线 与x轴交于 A、B 两点(点A 在点B左侧)，与y轴交于点 C，连接 BC，抛物线在线段BC上方部分取一点 P, 连接 PB、PC.
(1) 最值问题:
①当△PBC面积最大时，求面积最大值及 P点坐标.
解析：当点 P 坐标为 时，△PBC面积取到最大值，最大值为2
②过点P作PH⊥BC交BC于点 H, 求PH最大值.
思路 1: 由 H ,可得当△PBC 面积最大时，PH的值最大，
解得： 即 PH的最大值为
思路2: 过P点作PQ⊥x轴交 BC于Q点,
则
(k为BC的k)
(2) 定值问题:
若点 P在抛物线上且△PBC面积为3时，求点 P 的横坐标.
思路1：铅垂法列方程解
根据B、C两点坐标得直线BC解析式: y=-x+3,
设点P坐标为
过点 P作 PQ⊥x轴交BC于点Q,
则点Q坐标为(m, - m+3),
解得：
∴点P的横坐标为1或2或 或
思路2：构造等积变形
同底等高三角形面积相等.取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2.
在y轴上取点Q 使得 CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的 P点.
当点Q坐标为(0, 5) 时, PQ解析式为: y=-x+5,联立方程： 答案同思路1.
当点Q坐标为 (0, 1) 时, PQ解析式为: y=-x+1,联立方程： 答案同思路1.
(3) 等值问题:
若点 P 在抛物线上且△PBC 的面积等于△BOC 的面积，求点 P 的横坐标.
思路1：化等值问题为定值问题
由题意可得 即求点P使得
思路2：等积变形
过点O作BC的平行线，与抛物线交点即为所求 P 点；
作点O关于点 C的对称点O'，过点O'作BC的平行线，若与抛物线有交点，则交点即为所求 P 点.
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3 四边形面积
对于特殊四边形，考虑面积公式，对于一般四边形，连接对角线即可分为两个三角形，求两三角形面积之和即可.
引例4 已知抛物线 经过点A (2, 0)、B (-4, 0), 与y轴交于点 C.
(1) 求这条抛物线的解析式；
(2) 如图，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点 P 的坐标.
解析：
(2)若连接BC, 可得定△ABC和动△BPC, 只需△BPC面积最大，四边形ABPC的面积便最大.
∵A (2, 0)、B (-4, 0)、C(0, - 4),
设P 点坐标为
连接BC, 则直线BC的解析式为y=-x-4,
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q,
则Q点坐标为(m, - m-4),
当m=-2时, PQ取到最大值2, 此时△BPC面积最大,即四边形ABPC面积最大, 此时P点坐标为(-2, - 4).
真 题 演 练
1. 在平面直角坐标系中，将二次函数 的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧), OA=1, 经过点A的一次函数y= kx+b (k≠0) 的图像与y轴正半轴交于点 C, 且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5.
(1) 求抛物线和一次函数的解析式；
(2) 抛物线上的动点 E 在一次函数的图像下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标.
2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A(-2,0)、点B(4,0),与y轴交于点C(0，8)，连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到 B(不含O 点和 B点)，且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点 P、D、E.
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 作PF⊥BC, 垂足为F, 当直线l运动时, 求Rt△PFD面积的最大值.
3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 (a>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧), 经过点A的直线l：y= kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D, 且CD=4AC.
(1) 直接写出点 A 的坐标，并用含 a的式子表示直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示).
(2) 点E 为直线l下方抛物线上一点，当△ADE 的面积的最大值为 时，求抛物线的函数表达式；
4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线 与x轴交于另一点C(-1, 0).
(1) 求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点 P，使 若存在，请求出点 P的坐标，若不存在，请说明理由；
5. 在坐标系中, 直线 与x轴交于点A，与y轴交于点 B，抛物线 经过点A、B.
(1) 求a、b满足的关系式及c的值.
(2)如图,当 时，在抛物线上是否存在点 P，使△PAB的面积为1 若存在，请求出符合条件的所有点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由.
6. 抛物线L: 经过点A (0, 1), 与它的对称轴直线x=1交于点B.
(1) 直接写出抛物线L的解析式；
(2) 如图1，过定点的直线 与抛物线L交于点 M、N. 若△BMN的面积等于1, 求k的值.
7. 如图, 抛物线 的图像过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).
(1) 求抛线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得 的周长最小，若存在，请求出点 P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
(3)在(2) 的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合)，使得 若存在，请求出点 M的坐标； 若不存在，请说明理由.
第5讲 坐标系中的面积计算
1.解析：(1) 抛物线解析式：
一次函数解析式：
(2)显然, 当△ACE面积最大时, 点E并不在AC之间. 已知A(-1,0)、c(0, ),设点E坐标为 过点E作EF⊥x轴交直线AD于F点，F点横坐标为m，代入一次函数解析式得
当 时，EF 取到最大值
∴当 E 点坐标为 时，得△ACE 面积最大值为2
2.解析：
(2) 根据B、C两点坐标得直线BC解析式: y=-2x+8,设点P坐标为 则点D坐标为(m,-2m+8),故线段
当m=2时, PD取到最大值4,
3.解析: (1) 点A坐标为(-1,0), 点D坐标为(4,5a),可得直线l的解析式为: y= ax+a.
(2) 用铅垂法根据最大面积反求参数a.
设E 点坐标为
作EF⊥x轴交AD于F点, 则F点坐标为(m, am+a),
∴当 时，EF最大值为
△ADE面积最大值为 解得：
∴抛物线解析式为：
4.解析:(1)由题意得点A坐标为(4,0),点B坐标为(0,-2), 可得抛物线解析式为y=a(x+1)(x-4), 将点B (0, -2) 代入得: ∴抛物线解析式为
(2) 过点O作AB的平行线，由题意得解析式为 与抛物线的交点即为满足条件的P点，令 解得： 即 取点Q(0, - 4), 过点Q作AB的平行线，由题意得解析式为 与抛物线的交点即为满足条件的P点，令 解得： 即P (2,-3).综上，P点坐标为 或 或(2,-3).
5.解析: (1) 点 A 坐标为(-2, 0), 点 B 坐标为 (0, 2),代入解析式可得: c=2, 4a-2b+2=0.
∴b=2a+1, c=2.
(2) 考虑A、B水平距离为2, △PAB的面积为1,∴对应的铅垂高为1.
当a=-1时, 可得b=-1, 抛物线解析式为 取点C(0, 3) 作AB的平行线, 其解析式为: y=x+3,联立方程 解得x=-1,
∴点P 坐标为 (-1, 2).
取点D (0, 1) 作AB的平行线, 其解析式为: y=x+1,联立方程 解得 点P 坐标为( 点P 坐标为
综上所述, P点坐标为 (-1, 2) 或( 或
6.解析: (1) 解析式:
(2) 考虑到直线过定点Q(1, 4), 且M、N均为动点, 考虑用割补法：
分别过M、N作对称轴的垂线，垂足分别记为 G、H，
考虑
联立方程：
化简得
解得： (舍).故k的值为-3.
7.解析：(1) 抛物线解析式为：
(2)作点C关于对称轴的对称点C' (2, 3), 连接AC', 与对称轴交点即为所求P点，可得P 点坐标为(1，2)，△PAC的周长最小值为
(3)过点C作AP平行线: y=x+3, 与抛物线交点即为M点，联立方程： 解得：x =0(舍), ∴M 点坐标为(1, 4);
记AP与y轴交点为Q点, 则Q(0, 1)作点C关于Q点的对称点D(0, - 1), 过点D作AP的平行线: y=x-1, 与抛物线在x轴上方部分的交点即为所求M点，
联立方程：
解得： (舍).
∴M 坐标为
综上, M点坐标为(1, 4) 或

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