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第2讲 中点的构造
前言：中点是几何综合题常见条件之一，对中点的分析思路有三：倍长中线、直角三角形斜边中线、中位线. 结合具体条件，选择恰当的方法，必要时合理添加辅助线.
知 识 导 航
倍长中线
当出现中点条件时，可将中线延长一倍，即倍长中线.
作图分析：
如图1, 在△ABC中, AD是中线.
延长AD至点E使得DE=AD,
则△ADC≌△EDB.
线段关系: AC=BE, AC∥BE.
如图2, 在△ABC中, E 是AB 边一点, D 是BC中点,连接DE. 延长ED至点 F使得DF=DE,
则△BDE≌△CDF.
线段关系: BE=FC, BE∥FC.
解读：倍长中线后可得一组旋转型全等. 转化为两条线段平行且相等. 即转移了线段位置，探究几何图中线段间的数量关系，一般需先有位置关系.
引例1: 问题探究:
小红遇到这样一个问题: 如图1, △ABC中, AB=6,AC=4, AD是中线, 求AD 的取值范围. 她的做法是: 延长AD到E, 使DE=AD, 连接BE, 证明△BED≌△CAD, 经过推理和计算使问题得到解决.
(1) 小红证明△BED≌△CAD的判定定理是: ;
(2) AD 的取值范围是 ;
(3)如图2, AD 是△ABC的中线, 在AD 上取一点 F, 连结BF并延长交AC于点E, 使AE=EF.
求证: BF=AC.
解析:(1) SAS;
(2) 1(3) 延长AD至点M使得DM=DF, 连接CM,
在△BDF和△CDM中,
∴BF=CM, ∠BFD=∠M,
∵AE=EF, ∴∠EFA=∠EAF,
∴∠BFD=∠EFA=∠EAF,
∴∠M=∠EAF, ∴CM=CA, 又CM=BF,
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∴BF=AC.
2 斜边中线
定理：直角三角形斜边中线等于斜边一半.
如图1, 点 M是 Rt△ABC斜边AB中点, 则
如图2, 点M是AB中点, 则MA=MB=MC=MD,A、B、C、D四点共圆.
3中位线
(1) 中位线定理：三角形中位线平行且等于第三边的一半.
如图, 在△ABC中, E、F分别是AB、AC边中点.
则
(2) 中位线构造
如图, 在△ABC中, 点E是AB边中点.
构造:取AC中点F, 连接EF. 则EF∥BC, EF= BC.
如图, 在△ABC中, 点B是AE中点, 点C是AF中点.
构造: 连接EF. 则
如图, 在△ABC中, 点B是AE中点.
构造: 延长AC至点F使得CF=AC, 连接EF.
则BC∥EF,BC= EF.
引例2: 如图, 在四边形ABCD中,∠ABC=90°, AB=BC=2 E、F分别是AD、CD的中点, 连接BE、BF、EF. 若四边形ABCD 的面积为6,则△BEF的面积为( )
A. 2 B. C. D. 3
解析: 连接AC, 则AC=4, 分别过B、D作AC的垂线, 垂足分别为M、N，则
其中
在△BEF中, EF边上的高为
∴选C.
中点四边形
已知: 如图, E、F、G、H分别是四边形 ABCD 中AB、BC、CD、DA边的中点.
结论：四边形 EFGH是平行四边形，且
特别地，
若AC=BD, 则平行四边形 EFGH是菱形;
若AC⊥BD, 则平行四边形EFGH 是矩形.
引例3:如图, 任意四边形ABCD中, E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点, 对于四边形 EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是 ( )
A. 当E、F、G、H是各边中点, 且AC=BD时, 四边形 EFGH为菱形
B. 当E、F、G、H是各边中点, 且AC⊥BD时, 四边形 EFGH为矩形
C. 当E、F、G、H不是各边中点时, 四边形 EFGH可以为平行四边形
D. 当E、F、G、H不是各边中点时, 四边形 EFGH不可能为菱形
解析: 选D.
真 题 演 练
1.如图, 在正方形ABCD中, 对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18, 则OF的长为 .
2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AC、BD是对角线, E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点,连接EF、FG、GH、HE,则四边形 EFGH的形状是( )
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 正方形
3. 在△ABC中,AB=6,点D是AB的中点,过点 D 作 DE∥BC, 交 AC 于点 E, 点 M 在 DE 上, 且 当AM⊥BM时, 则BC的长为 .
4. 如图, 已知点E在正方形ABCD的边AB上, 以 BE为边向正方形 ABCD 外部作正方形 BEFG, 连接DF, M、N分别是 DC、DF的中点, 连接 MN. 若 AB=7,BE=5, 则 MN= .
5. 如图, 在平行四边形ABCD中, AB=5,BC=8. E是边BC的中点, F是平行四边形ABCD 内一点,且∠BFC=90°. 连接AF 并延长, 交 CD 于点 G. 若 EF∥AB, 则DG的长为( )
A. B. C. 3 D. 2
6. 如图, 矩形纸片ABCD, AB=6cm,BC=8cm, E 为边 CD上一点. 将△BCE 沿 BE 所在的直线折叠, 点 C 恰好落在 AD 边上的点 F 处, 过点 F 作 FM⊥BE, 垂足为点 M, 取 AF 的中点 N, 连接 MN, 则 MN= cm.
7. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x与双曲线 交于A、B两点, P是以点C(2, 2)为圆心，半径长 1 的圆上一动点，连结 AP，Q为 AP 的中点. 若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为( )
C. - 2
8. 如图,已知二次数 的图像与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点 C，⊙C的半径为 , P为⊙C上一动点.
(1) 点B、C的坐标分别为B( )、C ( );
(2)连接PB, 若E为PB 的中点, 连接OE, 则OE的最大值是 .
9.如图, 在△ABC中, ∠ACB=60°,AC=1, D是边AB的中点, E是边BC上一点. 若DE平分△ABC的周长, 则DE的长是 .
10.三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心. 如图G是△ABC的重心.
求证: AD=3GD.
11.(1) 阅读理解:
如图1, 在△ABC中, 若AB=10, AC=6, 求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点 E使DE=AD，再连接 BE(或将△ACD 绕着点 D 逆时针旋转 180°得到△EBD), 把AB、AC, 2AD集中在△ABE中, 利用三角形三边的关系即可判断.
中线AD的取值范围是 ；
(2) 问题解决:
图2,在△ABC中, D是BC边上的中点,DE⊥DF于点 D,DE交AB于点E, DF交AC于点 F, 连接EF.
求证: BE+CF>EF;
(3) 问题拓展:
如图3, 在四边形ABCD中, ∠B+∠D=180°, CB=CD,∠BCD=140°, 以 C为顶点作一个70°角, 角的两边分别交AB, AD于E、F两点, 连接EF, 探索线段BE、DF、EF之间的数量关系，并加以证明.
12. 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1) 如图1, 四边形 ABCD 中, 点 E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA 的中点. 求证: 中点四边形 EFGH是平行四边形；
(2)如图2,点 P是四边形ABCD 内一点,且满足PA=PB,PC=PD, ∠APB=∠CPD, 点 E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA 的中点, 猜想中点四边形 EFGH的形状，并证明你的猜想；
(3)若改变(2)中的条件, 使∠APB=∠CPD=90°, 其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)
13. 在△ABM中, ∠ABM=45°, AM⊥BM,垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.
(1) 如图1, 若 求AC的长；
(2) 如图2, 点D是线段AM上一点, MD=MC, 点E是 外一点, EC=AC, 连接 ED 并延长交 BC于点F, 且点 F 是线段BC的中点, 求证: ∠BDF=∠CEF.
14.若△ABC和△AED 均为等腰三角形,且∠BAC=∠EAD=90°.
(1) 如图1, 点 B 是 DE 的中点, 判定四边形 BEAC 的形状，并说明理由；
(2)如图2，若点G是EC的中点，连接GB 并延长至点F，使CF=CD.
求证: ①EB=DC,
②∠EBG=∠BFC.
15. 在△ABC中, P为边AB上一点.
(1) 如图1, 若∠ACP=∠B, 求证:
(2) 若M为CP的中点, AC=2.
①如图2, 若 求BP的长；
②如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°, 直接写出BP的长.
第2讲 中点的构造
1.
解析: ∵F点是DE中点, ∵△CEF的周长为18, CE=5, ∴CF+EF=13, 即 DE=13, ∴CD=12, ∴BC=12, ∴BE=7, 即 OF的长为
2.C.
3.8.
解析：由题意得：DM= AB=3,∴ME=1,DE=4,∴BC=8.
4.
解析: 连接CF, 则MN为△CDF中CF边所对的中位线,
易得FG=5, GC=5+7=12, ∴CF=13, ∴MN=13
5. D.
解析: 如图, 延长 BF 与 CD 延长线交于点 M, 易证△AFB≌△GFM, ∴GM=AB=5, BF=MF, 又∠BFC=90°, ∴MC=BC=8, ∴CG=3, DG=2, 故选D.
6.解析: 取BF中点 P, 连接PM、PN, 则PM=PB=4cm,∴∠PMB=∠PBM=∠CBM,∴PM∥BC,∵点N是AF中点,∴PN是△ABF中AB边中位线, cm, ∴PM⊥PN,MN= +4 =5cm,故MN=5cm.
7. A.
解析: 连接PC、CB、PB, ∵OQ最大值为2,
∴PB最大值为4, ∴PC+CB=4, 又PC=1, ∴CB=3, 设点B坐标为(m, -m)(m>0),两点间距离公式可得:
解得： ∴点B坐标为 故选A.
8.解析:(1)点B坐标为(3,0), 点C坐标为(0, - 4);
(2)连接AP,则 当AP过点C时，AP取到最大值 ∴OE的最大值为
解析: 延长BC至点F使得CF=CA, ∵DE平分△ABC的周长,∴点E是BF中点,又点D是AB中点,∴ ∵∠ACB=60°, ∴∠ACF=120°, 又AC=1, ∴AF=
10. 解析:取AD中点F,连接EF,则EF∥BC,EF= BD,又.BD=CD,∴EF= CD,∵EF∥BC,∴△EGF∽△CGD, 即AD=3GD.
11. 解析: (1) 2(2)延长FD至点G使得DG=DF,连接EG、BG,∵DE垂直平分FG, ∴EF=EG, 在△CDF和△BDG中,
∴CF=BG, ∵BE+BG>EG, ∴BE+CF>EF.
(3) BE+DF=EF . 延长AB至点M使得BM=DF,∵∠ABC+∠D=180°,∴∠CBM=∠D,在△CDF和△CBM中,(LORN,∠CHM, ∴△CDR≌△GBM(SAS)°
∴∠DCF=∠BCM, ∵∠BCD=140°, ∠ECF=70°,
∴∠DCF+∠BCE=70°, 即∠ECM=70°,在△CEF和△CEM中,
12.解析: (1) 连接AC, ∵E、F分别是 BA、BC 的中点,∴EF是△ABC中AC边的中位线, 同理可证HG∥AC, HG= AC, ∴EF∥HG, EF=HG,∴中点四边形EFGH是平行四边形.
(2)菱形.
连接AC、BD,∵∠APB=∠CPD,∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD, 即∠APC=∠BPD, 在△APC 和△BPD 中,
LACCO∠BPD, ∴△APC≌△BPD, ∴ACBBD,
∴平行四边形 EFGH是菱形.
(3) 正方形.
13. 解析: (1) 由题意得△ABM是等腰直角三角形,∵AB=3 , ∴MA=MB=3, 又BC=5, ∴MC=2, 即AC的长为
(2) 延长EF至点 G使得FG=FE, 连接BG,在△CFE和△BFG中,
∴CE=BG, ∠CEF=∠BGF.
∴△BMD≌△△ANC(SAS).
∴BD=AC,
又∵CE=AC, ∴BG=BD, ∴∠BDG=∠BGD,∴∠BDF=∠CEF.
14.解析：(1) 平行四边形.
∵点B是DE中点,∴AB= DE=BE ,∴∠BAE=∠E=45°,∠ABE=90°, ∴∠BAE=∠ABC, ∴AE∥BC, ∵∠BAC=90°,∴BE∥AC, ∴四边形BEAC是平行四边形.
(2)①易证手拉手全等: △BAE≌△CAD, ∴EB=DC.
②延长FG至点H使得GH=FG, 连接EH,易证△GCF≌△GEH, ∴CF=EH,
又CF=CD=BE, ∴EH=BE,
∴∠EBG=∠H, 又∠H=∠BFC, ∴∠EBG=∠BFC.
15. 解析: (1) ∵∠ACP=∠B, ∠PAC=∠CAB,
(2)①取AP中点N,连接MN,则MN是△ACP的中位线,∴MN= AC=1, MN∥AC,∴∠BNM=∠CAP, 又∠PBM=∠ACP, ∴△BMN∽△CPA, ∴MV/L=BNC,设 PA=2x, 则BN=3-x , ∴ 2x·(3-x)=2 ,解得： (舍),
∴PB的长为
②延长PB至点Q值得BQ=BP, 连接CQ, 则BM是△PCQ的中位线, ∴BM∥QC, ∴∠PCQ=∠PMB=60°,又∠PQC=∠CQA, ∴△QPC∽△QCA, ∴QC =QP·QA.过点 C 作 CH⊥AB 交 AB 于点 H, ∵∠A=60°, ∴AH=1, 设BP=BQ=x, 则
解得： (舍), ∴BP白的长为

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