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第8讲 尺规作图
前言：近来越来越多省市中考题中出现尺规作图的影子，尺规作图名义上是作图题，实则蕴藏着推理与计算，了解每一步作图背后的原理，会发现这是个很有趣的话题.
知 识 导 航
尺规作图
(1) 定义：用无刻度的直尺和圆规作图.
即两个基本操作：
①过确定两点画直线；
②以确定点为圆心，确定的两点间距离为半径画圆.
(2)5种基本作图
①作一条线段等于已知线段.
作法：作射线AP，以点A为圆心，a为半径作圆，与射线AP交于点B, 则AB=a.
②作一个角等于已知角.
作法: 作 PC=OB, CD=BA, 又∵PD=PC=OB=OA,∴△PDC≌△OAB, ∴∠DPC=∠AOB.
③作已知线段的垂直平分线.
作法：分别以A、B为圆心，线段 为半径作圆, 交点是 C、D, 连接CD.
则直线CD 即为线段AB的垂直平分线.
④作已知角的角平分线.
作法：以点O为圆心作圆与角两边分别交于A、B，分别以A、B为圆心， 为半径作圆相交于点 C、D, 连接OC(或OD), 即为∠AOB的角平分线.
⑤过一点作已知直线的垂线.
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作法: 以点P为圆心作圆与AB 交于 C、D, 分别以 C、D为圆心， 为半径作圆交于 E、F，连接EF，EF即为AB的垂线.
引例1: 如图, 点 M 和点 N在∠AOB 内部.
(1) 请你作出点P，使点P到点 M和点N的距离相等，且到∠AOB 两边的距离也相等(保留作图痕迹，不写作法);
(2) 请说明作图理由.
解析: (1) 点P 如图所示;
(2) 点 P 到M、N距离相等, 即点 P在线段 MN的垂直平分线上, 点 P 到∠AOB 的两边距离相等, 即点 P 在∠AOB的角平分线上，∴分别作 MN的垂直平分线和∠AOB 的角平分线，交点即为所求 P点.
(3) 推理与计算
尺规作图的背后，每一步都蕴含着推理与计算，看似是作图题，实则是几何问题. 确定要作的点或线满足的特殊几何关系，是解题的关键.
引例2: 如图, ∠BPD=120°, 点A、C分别在射线PB、PD上, ∠PAC=30°, AC=2
(1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线 PB和 PD 相切. 要求：写出作法，并保留作图痕迹；
(2) 求所得的劣弧与线段 PA、PC围成的封闭图形的面积.
解析: (1) 如图, ∵∠BPD=120°, ∠PAC=30°,∴∠PCA=30°, 即△PAC是等腰三角形.
分别以A、C为圆心，AC的长为半径作圆，两圆交点记为O，连接 OA、OC, 则 OA=OC, 以点 O 为圆心, OA 为半径作AC , 此时与射线PB、PD均相切.
(2) ∵AC=2 , ∴PA=PC=2,
∴该劣弧与PA、PC围成的封闭图形的面积为
2单尺作图
(1) 单尺作图：仅用无刻度的直尺作图.
(2)作图思路：单尺只能作直线，重点分析已知条件，从已有的点、线关系分析出要求的点、线位置.与尺规作图相比，单尺作图能做的事情更少，所以需要的条件更多.
引例3:在△ABC中, AB=AC, 点A在以BC为直径的半圆内. 请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1) 在图1中作弦EF使EF∥BC;
(2)在图2中以BC为边作一个45°的圆周角.
解析：(1)如图，分别延长BA、CA，与半圆分别交于点 F、E, 连接EF, 则EF∥BC.
(2)分别连接BE、CF并延长交于一点，连接该点与A，与半圆相交，连接B点与交点，则有45°角.
3格点作图
(1) 格点作图：即在正方形方格纸中按要求完成作图.
(2)作图思路：充分发挥正方形方格纸的作用，可以作平行线、垂线、相等线段等.
引例4:如图, 在7×6的方格中, △ABC的顶点均在格点上. 试按要求画出线段EF(E、F均为格点)，各画出一条即可.
解析：如图所示.
真 题 演 练
1. 如图, 在菱形ABCD 中, ∠A=30°, 取大于 AB 的长为半径，分别以点A、B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示)，连接BE、BD. 则∠EBD的度数为 .
2. 如图,在等腰△ABC中, BC=8，按下列步骤作图：
①以点A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF 的长为半径作弧相交于点 H，作射线AH；
②分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧相交于点 M, N, 作直线MN, 交射线AH于点 O;
③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆.
则⊙O的半径为( )
A. 2 B. 10 C. 4 D. 5
3.如图, 在△ABC中, 按以下步骤作图:①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E.
②分别以点D、E为圆心，大于 DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F.
③作射线BF交AC于点 G.
如果AB=8, BC=12, △ABG的面积为18, 则△CBG的面积为 .
4. 已知: △ABC.
求作：⊙O，使它经过点B 和点 C，并且圆心O在∠A的平分线上.
5.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
已知: ∠α, 直线l及l上两点A、B.
求作: Rt△ABC, 使点C在直线l的上方, 且∠ABC=90°,∠BAC=∠α.
6.已知: 如图,∠ABC,射线BC上一点D.求作: 等腰△PBD, 使线段BD为等腰△PBD 的底边, 点 P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等.
7. 如图,已知△ABC, AC>AB ,∠C=45°.请用尺规作图法, 在AC边上求作一点 P, 使∠PBC=45°.(保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一)
8.如图, 已知: 在正方形 ABCD中, M是BC边上一定点，连接AM. 请用尺规作图法，在AM上作一点 P, 使△DPA∽△ABM. (不写作法, 保留作图痕迹)
9. 在 Rt△ABC中, ∠C=90°.
(1)如图1, 点O在斜边AB上, 以点O为圆心, OB长为半径的圆交AB 于点 D, 交 BC于点 E, 与边 AC 相切于点 F. 求证: ∠1=∠2;
(2) 在图2中作⊙M，使它满足以下条件：
①圆心在边AB上; ②经过点 B; ③与边AC相切.(尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法)
10.(1) 如图1, 已知EK垂直平分 BC, 垂足为D, AB 与EK相交于点F, 连接CF.
求证: ∠AFE=∠CFD.
(2)如图2,在 Rt△GMN中,∠M=90°,P为MN的中点.
①用直尺和圆规在 GN 边上求作点 Q, 使得∠GQM=∠PQN(保留作图痕迹，不要求写作法)；
②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗 为什么
11.如图, 已知△ABC是锐角三角形(AC(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到 B、C两点的距离相等； 设直线l与AB、BC分别交于点 M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN 上, 且与边 AB、BC 相切;(不写作法, 保留作图痕迹)
(2) 在(1) 的条件下, 若 则⊙O的半径为 .
12. 如图,点O在∠ABC的边BC上,以OB为半径作⊙O, ∠ABC的平分线 BM交⊙O于点 D, 过点 D作DE⊥BA于点 E.
(1) 尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)，补全图形；
(2) 判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由.
13. 如图, 在四边形 ABCD中, AB∥CD,AB=2CD，E为AB 的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1) 在图1中, 画出△ABD的BD边上的中线;
(2)在图2中, 若BA=BD, 画出△ABD的AD边上的高.
14.在6×6的方格纸中, 点A、B、C都在格点上，按要求画图：
(1) 在图 1 中找一个格点 D, 使以点 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形.
(2)在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分(保留画图痕迹，不写画法).
15.按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
(1) 如图1，A为⊙O上一点，请用直尺(不带刻度) 和圆规作出⊙O的内接正方形；
(2)我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.
请运用上述性质，只用直尺(不带刻度) 作图.
①如图2, 在平行四边形 ABCD中, E为CD 的中点,作BC的中点F.
②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH.
第8讲 尺规作图
1.45° .
解析: 由题意得: EA=EB,∴∠ABE=∠BAE=30°,又∠ABD=∠ADB=75°, ∴∠EBD=45°.
2.D.
解析：勾股定理设未知数列方程可得 r=5，故选 D.
3.27.
解析: 由题意得 BG 平分∠ABC, 又
4.解析：如图.
5.解析：如图，先构造相等角，再过点B作AB的垂线.
6.解析：如图.
7.解析：如图.
8.解析: 如图, 作AN=BM, 则△DAN≌△ABM,∴△DPA∽△ABM.
9.解析: (1) 连接OF, 则OF⊥AC, 又BC⊥AC,
∴OF∥BC, ∴∠OFB=∠1,
∵OF=OB, ∴∠OFB=∠2, ∴∠1=∠2.
(2) 如图所示.(先作∠ABC角平分线，再确定圆心M)
10. 解析: (1) ∵EK 垂直平分 BC, ∴FB=FC,∴∠CFD=∠BFD, 又∵∠AFE=∠BFD, ∴∠AFE=∠CFD.
(2)①如图
②Q是GN的中点.
连接M'N, 若∠G=60°, 则∠GNM=30°, ∠MNM'=60°,
∴△MM'N是等边三角形, ∵点P是 MN的中点,
∴M'P⊥MN, ∴QM=QN, ∠QMN=∠QNM=30°,
∴∠QMG=60°, ∴QM=QG, ∴QG=QN,
即点Q是GN中点.
11.解析：(1) 如图，分别作BC的垂直平分线和∠ABC的角平分线，交点即为圆心O.
利用特殊角的三角函数值，可得⊙O的半径为
12.解析: (1) 如图.
(2) 1个交点.
连接OD,则OD=OB,∴∠OBD=∠ODB,∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠OBD, ∴∠ODB=∠EBD, ∴OD∥AB,∵DE⊥AB, ∴OD⊥DE, ∴OD是⊙O的切线,∴⊙O和DE只有1个交点.
13. 解析: (1) 如图, AM 即为BD边的中线;
(2) 如图, BH即为AD边上的高.
14解析：如图.
15.解析：(1) 如图，连接AO并延长与圆相交，再作该直径的垂直平分线，即可得正方形.
(2)①连接AC、BD交于点M, 则M是BD中点, 连接BE与CM相交，交点即为三条中线交点，连接D与该交点并延长，与BC中点即为F.
②如图, 先作AC、AB边的高, 再得BC边的高AH.

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