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第2节 相等角的构造
前言：在了解特殊角的基础上，可构造相等角，若存在特殊位置关系，则从位置考虑； 若无特殊位置关系，可用三角函数度量并构造.
知 识 导 航
构造相等角
(1) 平行：两直线平行，同位角、内错角相等；
平行: ∠1=∠3, ∠2=∠3
(2) 角平分线：角平分线分的两个角相等；
角平分线: ∠1=∠2
(3) 等腰三角形：等边对等角；
(4) 全等(相似) 三角形：对应角相等；
全等三角形: ∠1=∠2
(5) 圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
(6) 三角函数：若两个角的三角函数值相等，则这两个角相等；
三角函数: 若tan∠1=tan∠2, 则∠1=∠2
构造相等角，先考虑是否有特殊位置关系，作恰当的几何构造，若无明显位置关系，再考虑度量角，即用三角函数值构造相等角. 思路多未必是好事，挑出关键性条件确定恰当方法才是更重要的.
引例1:如图,已知抛物线过点A(4,0),B(-2, 0), C(0, - 4).
(1) 求抛物线的解析式；
(2)点C和点C 关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上, 且∠PAB=∠CAC ,求点 P 的横坐标.
解析: (1) 抛物线:
(2) 由题意得: C 坐标为(2, - 4),
思路1：计算已知角三角函数值构造相等角过点C 作C H ⊥AC交AC于H点,由题意得点H(1, 3),
则
设点 P坐标为
则由题意得：
解得：
∴点P 的横坐标为 或
思路2：巧用特殊角.
如图构造等腰直角三角形AMC，
可得M点坐标为(4, - 4),
∴△AMC是等腰直角三角形. ∠MAC=45°,考虑 可知 下同思路1求解 P 点坐标.
引例2: 如图, 抛物线 与两坐标轴相交于点 A (-1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3), D 是抛物线的顶点，E是线段AB的中点.
(1) 求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标；
(2) F(x, y) 是抛物线上的动点:
①当x>1, y>0时, 求△BDF的面积的最大值;
②当∠AEF=∠DBE时, 求点F的坐标.
解析: (1) 抛物线: D 点坐标为 (1, 4);(2)①铅垂法, 当F坐标为(2,3)时, △BDF面积最大,最大值为1；
②思路1：构造平行线.
过点E作EF∥BD交抛物线于 F 点,
∵BD解析式: y=-2x+6,
可得EF的解析式为: y=-2x+2,
联立方程：
解得： (舍).
∴F点坐标为
将EF作关于x轴的对称，如图，交点亦为满足条件的F点，且翻折后的直线解析式为：y=2x-2，
联立方程：
解得： (舍).
∴F点坐标为
综上，F点坐标为 或
思路2：三角函数值.
由题意可得: tan∠DBE=2,
设F 点坐标为
过F点作 FH⊥x轴交x轴于H点, 则H点坐标为(m, 0), 由题意得：
解得： (舍), (舍).∴F点坐标为 或
引例3：若二次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A (3, 0)、B(0, - 2), 且过点C(2, - 2).
(1) 求二次函数表达式；
(2) 在抛物线上(AB下方) 是否存在点 M, 使∠ABO=∠ABM 若存在，求出点M到y轴的距离； 若不存在，请说明理由.
解析: (1) 抛物线:
(2) 思路1：构造全等三角形
作△AOB关于 AB的对称的△ANB，BN与抛物线的交点即为M点. 求N点坐标: 构造△AEN∽△NFB,
可得N点坐标为
∴直线BN解析式为：
联立方程：
解得：
即 M点横坐标为 ，∴M点到y轴的距离为
思路2：构造等腰三角形
考虑直接分析∠ABO=∠ABM并不容易，可寻找∠ABO的相等角. 过点A作AH⊥x轴, 延长BM与AH交于H点,则∠BAH=∠ABO=∠ABH, △ABH是等腰三角形,即AH=BH, 设H点坐标为(3, m),
则
令 解得：
故H点坐标为
由B、H两点坐标求直线BH解析式： 下同思路1，可求M点横坐标为118.
引例4: 如图, 已知点A(-1, 0),B(3,0), C(0, 1) 在抛物线 上.
(1) 求抛物线解析式；
(2) 在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 Q，使∠BQC=∠BAC 若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.
解析: (1) 抛物线:
(2) 思路：构造辅助圆
考虑到∠BAC和∠BQC所对的边均为BC, 故构造△ABC的外接圆，与该抛物线对称轴的交点即为Q 点.
△ABC外接圆圆心记为M点，
则M在线段AB的垂直平分线上，
即M点在抛物线的对称轴上，
设M点坐标为(1, m),
根据MA=MC,得:
解得: m=-1, ∴M点坐标为(1, - 1),
圆M半径为
∴Q点坐标为(
真 题 演 练
1.如图, 抛物线 与x轴交于.A(x , 0), B(x , 0)两点，y轴交于点 C，且
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 抛物线上一点D (1, - 5), 直线BD与y轴交于点 E,动点 M在线段 BD上, 当∠BDC=∠MCE时, 求点 M的坐标.
2. 如图, 已知抛物线 经过A(-5,0), B(-4, - 3)两点, 与x轴的另一个交点为C,顶点为D, 连结CD.
(1) 求该抛物线的表达式；
(2) 点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD 若存在，求出所有点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由.
3. 如图,在平面直角坐标系中, △ABC的一边AB在x轴上, ∠ABC=90°, 点 C(4, 8)在第一象限内，AC与y轴交于点 E，抛物线 经过A、B两点, 与y轴交于点 D (0, - 6).
(1) 请直接写出抛物线的表达式；
(2) 若点 M 是x轴上一点 (不与点A 重合)，抛物线上是否存在点 N, 使∠CAN=∠MAN. 若存在, 请直接写出点N 的坐标； 若不存在，请说明理由.
4. 如图, 直线. 与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线 与直线y=c分别交y轴的正半轴于点 C和第一象限的点 P，连接 PB，得△PCB≌△BOA(O为坐标原点). 若抛物线与x轴正半轴交点为点 F，设M是点 C，F间抛物线上的一点 (包括端点)，其横坐标为m.
(1) 直接写出点 P的坐标和抛物线的解析式；
(2) 求满足∠MPO=∠POA的点 M的坐标.
5. 如图, 直线. 与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线 经过点B、C,与x轴另一交点为A，顶点为D.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得 若存在，求出 P 点坐标； 若不存在，请说明理由.
6. 如图, 二次函数 的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B, 抛物线过点 C (1, 0), 且顶点为D, 连接AC、BC、BD、CD.
(1) 填空: b= ;
(2) 点P 是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q.若∠CQD=∠ACB,求点 P的坐标.
第2节 相等角的构造
1.解析：
解得： 抛物线：
(2) 思路：化角度正切值为“k”
令 解得：
即A 点坐标为 B 点坐标为(4, 0).
考虑 C(0, - 4)、D(1, - 5), 连接BC, 易证△BCD是直角三角形，
若∠MCE=∠BDC, 则
设CE解析式为：
又BD解析式为：
联立方程： 解得：
故M点坐标为
2.解析: (1) 抛物线:
(2) ①当点P在直线BC上方时, 如图,过点 B作DC的平行线，与抛物线交点即为P点，得直线BP解析式为: y=2x+5,
联立方程： 解得： x =-4, x =0,故P点坐标为(0, 5).
②当点P在直线BC下方时，
思路1：利用三角函数值.
连接BD, 可得BD⊥BC, 可得
若∠PBC=∠BCD, 则需满足
但鉴于 BC并非水平或竖直直线，故 这个条件并不好用. 考虑到 B、C点坐标的特殊性，可以发现，过点B作BM⊥x轴,易得△BMC是等腰直角三角形,即有∠MBC=∠MCB,
可转化问题“∠PBC=∠BCD”为“∠PBC+∠CBM=∠BCD+∠BCM”, 即∠PBM=∠DCM.
由题意得: tan∠DCM=2, 故tan∠PBM=2,
转化为直线BP的条件即为
可得直线BP解析式为：
联立方程： 解得： 故P点坐标为
综上所述，P点坐标为(0，5)或
思路2：构造对称.
不难发现，情况①中的直线 BP 和情况②中的直线 BP 是关于直线BC对称，故两个BP的k相乘为1，可知情况②中的 可知BP解析式：
同思路1求得 P 点坐标.
3.解析: (1) 抛物线:
(2) 思路：角平分线构造相等角
①当M 点在 A 点右边时，作∠CAM角平分线，与抛物线交点即为所求N点.令 解得： 故A 点坐标为(-2, 0), AN=6, BC=8.
即 根据特殊角的结果，
可得
故直线AN解析式为：
联立方程： 解得： 故N点坐标为
②当M 点在A 点左边时，作∠CAM角平分线，其所在直线与抛物线交点即为所求N点.
由题意可知此时AN与情况①中的角平分线互相垂直，可知AN解析式: y=-2x-4,
联立方程： 解得： 故N点坐标为
综上所述，N点坐标为
4.解析: (1) P(3, 4), 抛物线:
(2) 当M点在 C、P之间的抛物线上时，
思路：构造平行
M点在 C点位置时, PM∥OA, 有∠MPO=∠POA,此时M点坐标为(0, 4);
当M点在 P、F之间的抛物线上时，
思路：构造等腰三角形
延长PM与x轴交于点N，
若∠MPO=∠POA,则△OPN为等腰三角形,其中NP=NO,设N点坐标为(n, 0),
则
当NO=NP时, 即 解得：
直线 PN解析式为：
联立方程：
解得： 故M点坐标为
综上所述, M点坐标为(0, 4) 或
5.解析: (1) 抛物线:
(2)由点坐标可知:∠OCB=45°,故P 点需满足∠APB=45°,思路1：构造辅助圆.
过点A 作AM⊥BC交BC于 M点, 以M点为圆心, MA为半径作圆，与对称轴的交点即为所求 P 点.
易求M点坐标为(1,2),且. 故 ∴P 点坐标为(
此外在x轴的下方还有一个对称的P点
综上所述， P点坐标为( 或(1,-2-2 ).
思路2：利用特殊角的三角函数.
考虑到 P 点在对称轴上且A、B两点距离对称轴距离相等，故对称轴即∠APB的角平分线，
∴∠APE=∠BPE=22.5°
另求 即
故
故 P点坐标为
同理在x轴的下方还有一对称的点P，坐标为(
综上所述，P点坐标为 或
6.解析: (1) b=-4;
(2) 过点C作CH⊥AB交AB于H点,
∠ACB=∠ACH+∠HCB, tan∠ACH= , ∠HCB=45°,
记BD与x轴交点为E, 由题意得点C(1, 0),
点B坐标为(4, 3), ∴∠BCE=45°,
∵点 D 坐标为 (2, - 1), ∴∠BCD=90°, 且( 即
∴∠ACH+∠HCB=∠BCE+∠CBD=∠CED,即∠CED=∠ACB, 抛物线与 x 轴交于 (1, 0) 和 (3, 0),∴P 点坐标为(3, 0), Q 即在E点( ,0).
另一点Q在BD延长线上且满足 由题意得直线BD 解析式为y=2x-5, 设点Q 坐标为(m, 2m-5), 解得： (舍),∴Q 坐标为 又点 C坐标为(1, 0),
∴直线CQ 解析式为
联立方程： 解得： (舍),∴P 坐标为
综上所述, P点坐标为(3, 0) 或

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